高等代数知识点梳理

特殊行列式的计算方法
二阶行列式
一般形式为a11a22-a12a21，计算方法为 将a11和a22相乘，然后减去a12和a21的乘 积。
三阶行列式
一般形式为 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32，计 算方法为将每一项都按照这个公式进行展开 ，然后将各项相加即可得到结果。
3
互换行列式的两行(列)，行列式的值变号，即 |...|=|-...|。
行列式的定义与性质
01
若行列式的某行(列)所有元素都是两数乘积，则可以对该行(列) 进行拆项，拆项后行列式的值不变。
02
若行列式的某行(列)所有元素都是同一个数，则可以对该行(列)
进行提公因式，提公因式后行列式的值不变。
若行列式的两行(列)对应元素互为相反数，则可以对该行(列)进
线性变换可以用于图像旋转，通 过矩阵乘法可以实现图像的旋转 。
线性变换可以用于图像剪切，通 过矩阵乘法可以实现图像的剪切 。
二次型在经济分析中的应用
要点一
投入产出模型
要点二
经济均衡模型
二次型可以用于描述投入产出模型，通过求解二次型的特 征值可以得到经济的平衡状态。
二次型可以用于描述经济均衡模型，通过求解二次型的特 征值可以得到经济的均衡状态。
03
线性变换的运算
两个线性变换的加法定义为对应元素之间的加法运算；数与线性变换的
乘法定义为数乘运算；两个线性变换的乘法定义为对应元素之间的乘法
运算。
线性变换的矩阵表示
线性变换的矩阵表示
设V是数域P上的线性空间，T是V的线性变换，对于V中 的任意一组基ε1,ε2,...,εn，有 $T(α)=T(ε1α1+ε2α2+...+εnαn)=T(ε1α1)+T(ε2α2)+... +T(εnαn)=ε1T(α1)+ε2T(α2)+...+εnT(αn)$，则称矩阵 A=(T(α1),T(α2),...,T(αn))为线性变换T关于基ε1,ε2,...,εn 的矩阵表示。

定义（集合的映射） 设 A 、 B 为集合。如果存在法则 f ，使得 A 中任意元素 a 在法则 f 下对应 B 中唯一确定的元素（记做 f (a) ），则称 f 是 A 到 B 的一个映射，记为
f : A B, a f (a).
如果 f (a) b B ，则 b 称为 a 在 f 下的像， a 称为 b 在 f 下的原像。 A 的所有元素
称为矩阵的行（列）初等变换。
定义（齐次线性方程组） 数域 K 上常数项都为零的线性方程组称为数域 K 上的齐次
线性方程组。 这类方程组的一般形式是
a11x1 a12 x2 a1n xn 0, a12 x1 a22 x2 a2n xn 0, ...... am1x1 am2 x2 amn xn 0.
f (x) a0 (x 1 )(x 2 )......(x n ) 证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3，对 n 作数学归纳法。
2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义 设 K 是一个数域， x 是一个未知量，则等式
a0 x n a1 x n1 ...... an1 x an 0
命题 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解； 证明 对变元个数作归纳。 说明 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。事实上， 在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。如果
所给的是数域 K 上的线性方程组，那么做初等变换后仍为 K 上的线性方程组，所求出的解 也都是数域 K 中的元素。因此，对 K 上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域 K 中进行。
命题 n 次代数方程在复数域C内有且恰有 n 个根（可以重复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式

《高等代数》知识点梳理高等代数是一门重要的数学学科，它是线性代数的延伸和深化，主要研究向量空间和线性变换的性质和应用。

以下是《高等代数》常见的知识点梳理：1.矩阵和线性方程组：-矩阵：矩阵的定义和运算、矩阵的行列式、逆矩阵等。

-线性方程组：线性方程组的定义和解的分类、线性方程组的矩阵表示、线性方程组的消元法、高斯-约当法等。

2.向量空间：-向量空间的定义：向量空间的基本性质和运算规则。

-子空间和张成空间：子空间和子空间的运算、线性组合和线性相关、张成空间的定义和性质。

-基和维数：线性无关和极大线性无关组、基和维数的相关定义和性质。

3.线性变换：-线性变换的定义和性质：线性变换的基本性质和运算。

-线性变换的矩阵表示：矩阵的表示和判断、线性变换的示例和应用。

-矩阵相似和对角化：矩阵相似的定义和性质、对角化的定义和条件、对角化的意义和应用。

4.特征值和特征向量：-特征值和特征向量的定义：特征值和特征向量的基本概念和性质。

-特征多项式和特征方程：特征多项式和特征方程的定义和性质、求解特征多项式和特征方程的方法。

-对角化和相似对角化：对角化和相似对角化的概念和条件、对角化和相似对角化的关系和应用。

5.矩阵的特征值和特征向量的应用：-线性微分方程组：线性微分方程组的特征方程和特解、线性微分方程组的解的表示和求解方法。

-线性差分方程组：线性差分方程组的特征方程和特解、线性差分方程组的解的表示和求解方法。

- Markov过程：Markov过程的概念和性质、Markov过程的平稳分布和转移概率矩阵。

6.内积空间和正交变换：-内积和内积空间的定义：内积的基本性质和运算规则、内积空间的定义和性质。

-正交向量和正交子空间：正交向量和正交子空间的定义和性质。

-正交变换和正交矩阵：正交变换和正交矩阵的概念、正交变换的性质和应用。

7.对偶空间和广义逆：-对偶空间的定义和性质：对偶空间的定义和对偶基的求解方法、对偶空间的性质和应用。

详细描述
二阶行列式计算较为简单，直接按照定义进行计算即可。三 阶行列式可以利用代数余子式展开，也可以利用对角线法则 进行计算。高阶行列式可以利用递推法或化简法进行计算。
矩阵的秩的定义与性质
总结词
矩阵的秩是矩阵中线性无关的行（或列） 向量的个数，具有一些重要的性质。
VS
详细描述
矩阵的秩具有一些重要的性质，如秩的传 递性、秩的唯一性、秩的性质等。矩阵的 秩可以用来判断线性方程组的解的情况， 如当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时， 线性方程组有解。
利用秩判断线性方程组解的情况
总结词
利用矩阵的秩可以判断线性方程组解的情况。
详细描述
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，线性 方程组有解；当系数矩阵的秩小于增广矩阵 的秩时，线性方程组无解；当系数矩阵的秩 大于增广矩阵的秩时，线性方程组有无穷多 解。此外，利用矩阵的秩还可以判断线性方 程组解的个数和类型。
逆矩阵的性质
逆矩阵是唯一的；逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩阵；逆矩阵的逆矩阵是原矩阵。
逆矩阵的求法
高斯消元法、伴随矩阵法、初等变换法等。
线性方程组的解法
高斯消元法
将增广矩阵转化为上三角矩阵，从而得到解。
回带求解
将得到的上三角矩阵的解回代到原方程组中， 得到未知数的值。
克拉默法则
当方程组系数行列式不为0时，可以用克拉默 法则求解唯一解。
准型有助于简化二次型的计算和性质研究。
二次型的正定性判断
总结词
正定性判断是确定二次型是否为正定的过程， 正定的二次型具有一些重要的性质。
详细描述
正定性判断是二次型研究中的一个重要问题。 一个二次型被称为正定的，如果它对应于一 个正定矩阵。正定的二次型具有一些重要的 性质，如存在唯一的极小值点，且该极小值 点是全局最小值点。此外，正定的二次型还 具有一些几何意义，如对应于一个凸多面体

1122,,0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ⎧=⎪++=⎨≠⎪⎩L==()mn A O A A O A BO BO BBO A AA B B O B O*==**=-1(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a Oa a a a a a a Oa O---*==-K N N 1范德蒙德行列式：()1222212111112n i j nj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L111代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ijij ij M A A M ++=-=-分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1121112222*12n Tn ijn n nn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭LL M M M L ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1*n A A -=, 11A A --=.分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111A B BA---⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矩阵的秩的性质：① ()A O r A ≠⇔≥1; ()0A O r A =⇔=;0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n④ ()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤ ()r AB ≤{}min (),()r A r B⑥ 若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦ 若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B O A AB AC B C ο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩ 只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨⎩ 在矩阵乘法中有右消去律.⑧ ()rr E O E O r A r A A OO OO ⎛⎫⎛⎫=⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨ ()r A B ±≤()()r A r B +, {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B +⑩ ()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭①n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. ③(,)0αβ=. 记为：αβ⊥④21ni i a α====∑⑤1α==. 即长度为1的向量.内积的性质：① 正定性② 对称性③ 线性性12n A λλλ=L 1ni A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A 特征值与特征向量的求法(1) 写出矩阵A 的特征方程0A E λ-=，求出特征值i λ. (2) 根据()0i A E x λ-=得到 A 对应于特征值i λ的特征向量.设()0i A E x λ-=的基础解系为 12,,,i n r ξξξ-L 其中()i i r r A E λ=-. 则A 对应于特征值i λ的全部特征向量为1122,i i n r n r k k k ξξξ--+++L 其中12,,,in r k k k -L 为任意不全为零的数.3. ①1P AP B -= （P 为可逆矩阵）②1P AP B -= （P 为正交矩阵）③A 与对角阵Λ相似.（称Λ是A 7. 矩阵对角化的判定方法① n 阶矩阵A 可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：121n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O .② A 可相似对角化⇔()i i n r E A k λ--=，其中i k 为i λ的重数⇔A 恰有n 个线性无关的特征向量.○注：当iλ=0为A 的重的特征值时，A 可相似对角化⇔i λ的重数()n r A =-=Ax ο=基础解系的个数.③ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值⇒A 可相似对角化. 正交矩阵 T AA E =③ 正交阵的行列式等于1或-1； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；⑥ A 的行（列）向量都是单位正交向量组.施密特正交规范化 123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化：111βηβ= 222βηβ= 333βηβ=1. ① 二次型 11121121222212121112(,,,)(,,,)n n n n Tn ij i j n i j n n nn n a a a x a a a x f x x x a x x x x x x Ax a a a x ==⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑L L L L L L L L L L其中A 为对称矩阵，12(,,,)T n x x x x =L② A 与B 合同 TC AC B =. （,,A B C 为实对称矩阵为可逆矩阵）求C (A I)→(B C^T) 这个变换先进行行变换 再进行一致的列变换 最后 求得C 和C^T③ 正惯性指数 二次型的规范形中正项项数p 负惯性指数二次型的规范形中负项项数r p - ④ 两个矩阵合同⇔它们有相同的正负惯性指数⇔他们的秩与正惯性指数分别相等. ⑤ 两个矩阵合同的充分条件是：A 与B 等价 ⑥ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =2. 12(,,,)Tn f x x x x Ax =L 经过合同变换可逆线性变换x Cy = 化为21ni i f d y =∑标准形.① 正交变换法② 配方法（1）若二次型含有i x 的平方项，则先把含有i x 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行， 直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;（2） 若二次型中不含有平方项，但是0ij a ≠ (i j ≠), 则先作可逆线性变换()1,2,,,i i j j i jkk x y y x y y k n k i j x y=-⎧⎪=+=≠⎨⎪=⎩L 且,3.12,,,n x x x L 不全为零，12(,,,)n f x x x >L 0.正定二次型对应的矩阵.4. ()Tf x x Ax =为正定二次型⇔（之一成立）： （1） x ο∀≠ ，Tx Ax >0； （2）A 的特征值全大于0； （3）f 的正惯性指数为n ； （4）A 的所有顺序主子式全大于0；（5）A 与E 合同，即存在可逆矩阵C 使得TC AC E =； （6）存在可逆矩阵P ，使得TA P P =；(),nT A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s iA p p p p nB AB E AB E⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵存在阶矩阵使得 或 ()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量。

高等代数知识点高等代数是数学的一个分支学科，它研究代数结构与代数运算的一般理论。

在学习高等代数的过程中，我们会接触到一些重要的概念和知识点。

本文将对一些常见的高等代数知识点进行。

1. 线性代数线性代数是高等代数的一个重要分支，它研究向量空间、线性变换和线性方程组等内容。

1.1 向量空间向量空间是线性代数中最基本的概念之一，它是一个满足一定条件的集合。

向量空间具有以下特性：•闭合性：向量空间中的任意两个向量的线性组合仍然属于该向量空间。

•加法结合律：向量的加法满足结合律。

•加法交换律：向量的加法满足交换律。

•零向量存在性：向量空间中存在一个零向量，它和任意向量的加法得到的结果是原向量本身。

•加法逆元存在性：向量空间中的任意向量都有一个加法逆元。

1.2 线性变换线性变换是指保持向量空间中的线性运算不变的变换。

线性变换具有以下性质：•保持零向量不变：线性变换将零向量映射为零向量。

•保持向量加法：线性变换将向量加法映射为映射后的向量的加法。

•保持标量乘法：线性变换将标量乘法映射为映射后的向量的标量乘法。

1.3 线性方程组线性方程组是一组线性方程的集合。

求解线性方程组的关键是确定进行何种变换操作，使得方程组的解能够被简化。

常见的线性方程组解法包括高斯消元法、矩阵消元法等。

2. 群论群论是代数学中研究群的一个分支学科，它研究群的性质和结构。

2.1 群的定义群是一个集合和一个二元运算构成的代数结构。

群具有以下性质：•闭合性：群中的任意两个元素的运算结果仍然属于该群。

•结合律：群中的运算满足结合律。

•存在单位元：群中存在一个元素，使得该元素与群中的任意元素进行运算得到的结果等于该元素本身。

•存在逆元：群中的任意元素都存在一个逆元，使得该元素与其逆元进行运算得到的结果等于单位元。

2.2 群的性质群具有一些重要的性质，例如：•闭包性：群的闭包性指的是群中的任意两个元素的运算结果仍然属于该群。

•唯一性：群的单位元和每个元素的逆元都是唯一的。

高等代数知识点总结高等代数是一门研究抽象代数结构的数学学科。

它是线性代数的拓展，主要涉及向量空间、线性变换、矩阵理论、线性方程组、特征值与特征向量、行列式等知识点。

以下是高等代数的主要知识点的总结。

1.向量空间：向量空间是高等代数的核心概念之一、它是一组满足特定性质的向量的集合。

向量空间具有几何和代数两种性质，包括加法、数乘、零向量、负向量等。

2.线性变换：线性变换是一种保持向量空间线性组合关系的变换。

它可以通过矩阵来表示，矩阵的乘法与线性变换的复合运算等价。

线性变换的性质包括保持加法和数乘、保持零向量、保持线性组合等。

3.矩阵理论：矩阵是高等代数中常用的工具，用于表示线性变换、求解线性方程组等。

矩阵具有加法、数乘、乘法等运算规则，还可以求逆矩阵、转置矩阵等。

矩阵的秩、特征值与特征向量等性质也是矩阵理论的重要内容。

4.线性方程组：线性方程组是高等代数中的基本问题之一、它是一组包含线性方程的方程组，可以用矩阵形式表示。

线性方程组的求解可以通过消元法、高斯消元法、矩阵求逆等方法来实现。

5.特征值与特征向量：特征值与特征向量是线性变换的重要性质。

特征值是线性变换在一些向量上的纵向缩放比例，特征向量是特征值对应的非零向量。

特征值与特征向量在很多应用中起到重要作用，如矩阵对角化、求解微分方程等。

6.行列式：行列式是矩阵的一个标量量。

行列式的值代表矩阵所对应的线性变换对单位面积进行的放缩倍数。

行列式具有反对称性、线性性、乘法性等性质，可以用于求解矩阵的逆、计算特征值等。

7.正交性与正交变换：正交性是高等代数中的一个重要概念。

向量空间中的两个向量称为正交，如果它们的内积为零。

正交性和正交变换在几何、物理、信号处理等领域有广泛应用。

8.对称性与对称变换：对称性是高等代数中的一个重要概念。

对称性指的是其中一变换下，物体经过变换后保持不变。

对称性与对称变换在几何、物理、化学等领域有广泛应用。

总结起来，高等代数是一门研究抽象代数结构的学科，主要涉及向量空间、线性变换、矩阵理论、线性方程组、特征值与特征向量、行列式、正交性与正交变换、对称性与对称变换等知识点。

高等代数知识点高等代数是大学数学专业的一门核心课程，主要研究线性代数的更深层次的内容和推广。

它是数学中的一门基础学科，对于很多数学分支都有着重要的应用。

下面是高等代数的主要知识点：1.向量空间理论：向量空间是高等代数的核心概念之一、它研究向量的基本性质和运算规律，包括向量的加法、数乘、内积、外积等。

2.线性变换和矩阵理论：线性变换是向量空间中的一个重要概念，它是一种保持向量加法和数乘运算的函数。

矩阵是线性变换在两个有限维向量空间基下的坐标矩阵表示。

3.特征值和特征向量：特征值和特征向量是线性变换中重要的概念，它们描述了一个线性变换在一些向量上的作用。

特征值是一个标量，特征向量是满足特定条件的非零向量。

4.行列式和特征多项式：行列式是一个方阵所确定的一个标量值，它描述了一个矩阵的一些特征。

特征多项式则是通过行列式来描述一个线性变换的特征。

5.正交性和正交矩阵：正交性是线性代数中重要的概念，它描述了向量空间中向量的垂直性质。

正交矩阵是一种特殊的方阵，它的列向量两两正交并且长度为16.线性方程组：线性方程组是高等代数中一个基本的研究对象。

通过矩阵的运算和消元法可以求解线性方程组的解。

7.广义逆矩阵和正规方阵：广义逆矩阵是矩阵理论的重要扩展，它在未必是方阵的情况下，求解矩阵方程和线性方程组具有重要应用。

正规方阵则是满足一定条件的方阵。

8.特殊矩阵：特殊矩阵是高等代数中特别重要的一类矩阵，包括对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵等。

9.特征值分解和奇异值分解：特征值分解是一种将线性变换表示成特征向量和对应特征值的形式的方法，奇异值分解则是一种将矩阵表示成特征值和特征向量的形式的方法。

10. Jordan标准形和Schur分解：Jordan标准形是复矩阵的一种标准形式，它可以将复矩阵进行相似变换后表示成一个特殊的形式。

Schur分解是一种将矩阵表示成三角形的形式的方法。

这些是高等代数的主要知识点，掌握了这些知识点，就能够理解和应用高等代数的基本原理和方法，为后续更深入的数学学习打下坚实的基础。

第一章定义1 数域定义2 数域P上的一元多项式定义3 多项式相等定义4 一元多项式环带余除法定义5 整除定理1 r（x）=0定义 6 最大公因式定理 2 d（x）=u（x）f（x）+v（x）g(x);(f(x),g(x))= u（x）f（x）+v（x）g(x)定义7 互素(f(x),g(x))=1定理 3 u（x）f（x）+v（x）g(x)=1定理4 f ，g互素且f|gh，则f|h推论f1|g，f2|g，且f1，f2互素，则f1f2|g，定义8 不可约多项式定理5 一个不可约多项式p，能够表达成P|fg，则p|f或者p|g因式分解及其唯一性定理数域P上的一个多项式f，都可以唯一的分解成数域P上的一些不可约多项式的乘积。

第四章1 转轴----坐标系（x1，y1，z1）到（x2，y2，z2）的坐标变换矩阵是A，如果令X1=（x1，y1，z1）的转置，X2=（x2，y2，z2）的转置，则X1=AX2。

2单位矩阵E=[1⋯0⋮⋱⋮0⋯1]数量矩阵为kE=[k⋯0⋮⋱⋮0⋯k]如：AE=A，EA=A3矩阵的加法，乘法，减法，结合律，交换律，零矩阵4 秩（A+B）≤秩A+秩B5 如：A= (a11⋯a1n ⋮⋱⋮an1⋯ann)则矩阵的数量乘积kA=[ka11⋯ka1n ⋮⋱⋮kan1⋯kann]6 矩阵的转置记作A的转置为A’。

例如A= (a11⋯a1n ⋮⋱⋮an1⋯ann)则A’=(a11⋯an1⋮⋱⋮a1n⋯ann)注意：转置的性质(A’)’=A (A+B)’=A’+B’( AB)’=B’A’(kA)’=kA’定理1 假设A B是数域P上的两个n×n矩阵，那么|AB|=|A||B| 即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积推论1 |A1A2⋯An|=|A 1||A 2|⋯|An|定义6数域P上的一个n×n矩阵A，如果|A|≠0，称为非退化的，否则称为退化的推论2 假设A B是数域P上的两个n×n矩阵，矩阵AB为退化的充要条件是A，B中至少有一个是退化的定理2 假设A是数域P上的n×m矩阵，B是数域P上的m×s 矩阵，于是秩（AB）≤min[秩A，秩B]。

行列式的展开定理
• 总结词：行列式的展开定理是行列式计算的核心，它提供了计算行列式 值的有效方法。
• 详细描述：行列式的展开定理指出，一个$n$阶行列式等于它的主对角线上的元素的乘积与其它元素乘积的代数和的相 反数。具体来说，对于一个$n$阶行列式$|\begin{matrix} a{11} & a{12} & \cdots & a{1n} \ a{21} & a{22} & \cdots & a{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a{n1} & a{n2} & \cdots & a{nn} \end{matrix}|$，其值等于 $a{11}A{11} + a{21}A{21} + \cdots + a{n1}A{n1}$，其中$A{ii}$表示去掉第$i$行和第$i$列后得到的$(n-1)$阶行列 式的值。
04
线性函数与双线性函数
线性函数的定义与性质
线性函数的定义
线性函数是数学中的一种函数，其图 像为一条直线。在高等代数中，线性 函数是指满足 f(ax+by)=af(x)+bf(y) 的函数。
线性函数的性质
线性函数具有一些重要的性质，如加 法性质、数乘性质、零元素性质和负 元素性质等。这些性质在解决实际问 题中具有广泛的应用。
欧几里得空间与酉空间
欧几里得空间
欧几里得空间是一个几何空间，它满足 欧几里得几何的公理。在欧几里得空间 中，向量的长度和角度都可以用实数表 示。
VS
酉空间
酉空间是一种特殊的线性空间，它满足酉 几何的公理。在酉空间中，向量的长度和 角度都可以用复数表示。酉空间在量子力 学、信号处理等领域有广泛应用。

数学高等代数重点知识点数学高等代数是大学阶段数学学科的重要组成部分，它涵盖了众多的数学概念、理论和技巧。

本文将聚焦于数学高等代数的重点知识点，旨在帮助读者全面理解和掌握这些知识。

一、矩阵和行列式1. 矩阵的基本概念：矩阵是由数个数按一定规律排成的矩形阵列。

介绍矩阵的行、列、元素、维数等概念。

2. 矩阵的运算：包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵的乘法等。

3. 矩阵的转置：介绍矩阵的转置操作及其性质。

4. 行列式的定义和性质：解释行列式的概念，阐述行列式的性质和运算规则。

二、向量空间1. 向量的基本概念：阐述向量的定义、线性运算以及向量的线性相关性。

2. 向量空间的定义和性质：解释向量空间的概念，介绍向量空间的性质和基本运算规则。

3. 子空间：介绍子空间的定义，解释子空间的性质和判定标准。

4. 基和维数：讲解基的概念，介绍线性无关和生成空间的概念，并介绍维数的定义和计算方法。

三、线性方程组1. 线性方程组的基本概念：解释线性方程组的定义和基本性质。

2. 解的存在性与唯一性：介绍线性方程组解的存在性、唯一性和无穷多解的判定条件。

3. 齐次线性方程组和非齐次线性方程组：解释齐次线性方程组和非齐次线性方程组的概念，介绍它们解的性质。

4. 矩阵的秩和可逆性：介绍矩阵的秩的概念，解释矩阵可逆的条件和性质。

四、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义：解释特征值和特征向量的概念，说明与矩阵的关系。

2. 特征方程：介绍特征方程的定义和求解方法。

3. 对角化和相似矩阵：解释相似矩阵和对角矩阵的概念，介绍矩阵相似的判定条件和对角化的步骤。

五、线性映射1. 线性映射的定义和性质：解释线性映射的概念，介绍线性映射的基本性质和运算规则。

2. 核和像：介绍线性映射的核（零空间）和像（值域）的概念。

3. 矩阵的表示和变换：解释线性映射的矩阵表示方法，介绍线性映射的变换和判定条件。

综上所述，数学高等代数的重点知识点包括矩阵和行列式、向量空间、线性方程组、特征值和特征向量以及线性映射等内容。

线性无关：对于向量组1,...,r下列条件等价 • 1,...,r线性无关
• 当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0 • 当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝0 • 1,...,r的秩数等于r • (1,...,r)是列满秩矩阵
28
极大无关组与秩数：
1. 1,...,rS是S的一个极大无关组当且仅当 ① 1,...,r线性无关 ② S的每个向量都可由1,...,r线性表示
22
两种常用方法
1.分块矩阵的初等变换和Schur公式
• 把初等变换和初等矩阵的思想用到分块矩阵 • Schur公式 设A可逆
I
CA1
O I
A C
B D
A O
B
D CA1B
A C
B D
I O
A1B
A
I B
O
D CA1B
I
CA1
O I
A C
B D
I O
按第k行 第k列展开
Laplace定理
|aij| = ak1Ak1+…+aknAkn = a1kA1k+…+ankAnk
| A | j1
jk
式
A
i1 j1
ik jk
代余式
A
i1 j1
ik
jk
aj1Ak1+…+ajnAkn = a1jA1k+…+anjAnk =jk|aij|
分块三角矩阵的行列式
对称多项式基本定理 每个对称多项式，都可唯一
地表示成初等对称多项式的多项式
10
运算
行列式

高等代数I知识点整理1.集合和映射：-集合：元素、子集、幂集、交集、并集、差集、集合运算律等。

-映射：定义、定义域、值域、像、单射、满射、双射等。

2.代数结构：-群：群的定义、子群、正规子群、商群、循环群、对称群等。

-环：环的定义、子环、整环、域、特殊环（交换环、有单位元环、整整环）、多项式环等。

-矢量空间：线性组合、线性相关与线性无关、生成子空间、基和维数、坐标等。

3.线性方程组：-线性方程组的解和解集。

-矩阵和向量表示线性方程组，线性方程组的向量形式与矩阵形式的转换。

-齐次线性方程组和非齐次线性方程组。

4.行列式和特征值特征向量：-行列式的定义、性质与计算。

-矩阵的秩与行列式的关系，线性方程组解的结构与行列式的关系。

-特征值与特征向量的定义与性质，对角化、相似矩阵与特征值特征向量的关系。

5.线性空间：-线性空间的定义与性质，子空间、直和、维数定理等。

-线性变换的定义与性质，线性变换的矩阵表示与特征值特征向量的关系。

6.内积空间：-内积的定义与性质，正交、单位正交、正交补空间等。

- 正交矩阵、正交变换，Gram-Schmidt正交化过程。

-线性最小二乘问题。

7.线性算子：-算子的定义和性质，线性算子、特征值、特征向量等。

-特征子空间、核、像与秩-零化度定理等。

以上是高等代数I的一些重要知识点整理。

在学习这门课程时，学生需要深入理解这些知识点的定义、性质和应用，并通过大量的练习问题进行巩固。

高等代数I为后续数学课程如线性代数、矩阵论、抽象代数等打下坚实的基础。

高等代数重点知识点总结归纳10点
1. 函数：定义、概念、性质、图像及性质、偏导数、复合函数、极限、不等式及其解法、积分
2. 向量：概念、加减法及其性质、数量积、模与方向角、标准基、矩阵、线性方程组
3. 曲线：曲线的概念及性质、曲线的根的计算、曲线的切线、曲线的端点与拐点
4. 数列：求和公式、等差数列和等比数列的性质、数列的通项公式
5. 概率：概率及性质、独立性、条件概率、随机变量、分布函数、期望
6. 几何：几何定义与性质、点、线、平面、空间三角形和多边形的性质、圆、椭圆、抛物线、双曲线、圆锥曲线
7. 系统方程：一元、多元方程组的求根法及其原理
8. 函数逆函数：函数的逆函数及其图像、求逆函数的方法
9. 向量函数：向量函数的定义、性质、积分
10. 偏微分：偏微分的概念、作用、求最值的过程。

f
a
p n1 1
p nt t
其中a是非零常数, p1,…,pt, 是互不相同的首一既约多
项式, n1,…,nt是正整数. 进一步,a, p1,…,pt,n1,…,nt由f
唯一确定.
• 重因式
f无重因式当且仅当f与其导式互素.
5
代数学基本定理：
下列陈述等价， 1. 复数域上次数≥1的多项式总有根 2. 复数域上的n次多项式恰有n个根 3. 复数域上的既约多项式恰为一次式 4. 复数域上次数≥1的多项式可分解成一次式之积. 5. 实数域上的次数＞1的既约多项式只有无实根的二
次式 6. 实数域上次数≥1的多项式可分解成一次式和二次
式之积
6
• 复数域上的标准分解定理
在复数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的
标准分解
f
a ( x x1 ) n1 ( x x t ) nt
其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全部互不相同的根, n1,…,nt分别是这些根的重数.
r(AB)≤r(A), r(B) r(AT)=r(A)
伴 随
n, 若r(A)=n
(A*)*=|A|n2A* |A*|=|A|n1 r(A*)= 1, 若r(A)=n-1
0, 若r(A)<n-1
其 它
A-1=|A|-1A*
AA*=A*A=|A|E 当A可逆时，
A*＝|A|A1
定义 性质
若P,Q可逆，则 r(A)=r(PA)=r(AQ)
d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)
• 互素
f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.
4
• 因式分解唯一定理

（1 ）定义：由s⋅ n个数a ij（i= 1,2, s；j= 1,2, n）排成s行n列的数表a 11a s1a1n，称为s行n列矩阵，简记为A= (a ij)s⋅n。

asn（2）矩阵的相等：设A= (a ij)m⋅n，B= (a ij)l⋅k，如果m= l，n= k，且a ij= b ij，对i= 1,2, m；j= 1,2, n都成立，则称A与B相等，记A= B。

（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。

a11（1）矩阵的加法：as1运算规律：①A+ B= B+ A②( A+ B) + C= A+ (B+ C)a11（2）数与矩阵的乘法：kas1 运算规律：①(k+ l) A= kA+ lA a1nb11b1na11+ b11+ =asnbs1bsnas1+ bs1③A+ O= A④A+(−A) = Oa1nka11ka1n=asnkas1kasn③k(lA) = (kl) Aa1n+ b1n。

a sn+b sn②k( A+ B) = kA+ kBa11 （3）矩阵的乘法：as1④A+(−A) = Oa1nb11b1mc11=asnbn1bnmcs1c1m其中csmc = a b + a b + + a b a 11ij i 1 1i i 2 2i in nj ，i = 1,2, s ； j = 1,2, m 。

运算规律：① ( A B )C = A (BC ) ③ (B + C ) A = BA + CA② A (B + C ) = AB + AC ④ k ( A B ) = A (kB ) = (kA )B 一般情况 ，① AB ≠ BA② AB = AC ， A ≠ 0 ， ⇒ B = C ③ AB = 0 ⇒ A = 0 或 A = 0a 11a 1na 11 a1s（4）矩阵的转置 ： A = ，A 的转置就是指矩阵 A '=a s 1asna n 1ans运算规律 ：① ( A ')'= A③ ( A B )'= B ' A '② ( A + B )'= A '+B '（5）方阵的行列式 ：设方阵 A =运算规律： ④ (kA )'= kA 'a 1n a11，则A 的行列式为| A |=。

1122,,0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ⎧=⎪++=⎨≠⎪⎩L==()mn A O A A O A BO BO BBO A AA B B O B O*==**=-1(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a Oa a a a a a a Oa O---*==-K N N 1范德蒙德行列式：()1222212111112n i j nj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L111代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ijij ij M A A M ++=-=-分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1121112222*12n Tn ijn n nn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭LL M M M L ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1*n A A -=, 11A A --=.分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111A B BA---⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矩阵的秩的性质：① ()A O r A ≠⇔≥1; ()0A O r A =⇔=;0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n④ ()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤ ()r AB ≤{}min (),()r A r B⑥ 若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦ 若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B O A AB AC B C ο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩ 只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨⎩ 在矩阵乘法中有右消去律.⑧ ()rr E O E O r A r A A OO OO ⎛⎫⎛⎫=⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨ ()r A B ±≤()()r A r B +, {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B +⑩ ()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭①n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. ③(,)0αβ=. 记为：αβ⊥④21ni i a α====∑⑤1α==. 即长度为1的向量.内积的性质：① 正定性② 对称性③ 线性性12n A λλλ=L 1ni A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A 特征值与特征向量的求法(1) 写出矩阵A 的特征方程0A E λ-=，求出特征值i λ. (2) 根据()0i A E x λ-=得到 A 对应于特征值i λ的特征向量.设()0i A E x λ-=的基础解系为 12,,,i n r ξξξ-L 其中()i i r r A E λ=-. 则A 对应于特征值i λ的全部特征向量为1122,i i n r n r k k k ξξξ--+++L 其中12,,,in r k k k -L 为任意不全为零的数.3. ①1P AP B -= （P 为可逆矩阵）②1P AP B -= （P 为正交矩阵）③A 与对角阵Λ相似.（称Λ是A 7. 矩阵对角化的判定方法① n 阶矩阵A 可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：121n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O .② A 可相似对角化⇔()i i n r E A k λ--=，其中i k 为i λ的重数⇔A 恰有n 个线性无关的特征向量.○注：当iλ=0为A 的重的特征值时，A 可相似对角化⇔i λ的重数()n r A =-=Ax ο=基础解系的个数.③ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值⇒A 可相似对角化. 正交矩阵 T AA E =③ 正交阵的行列式等于1或-1； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；⑥ A 的行（列）向量都是单位正交向量组.施密特正交规范化 123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化：111βηβ= 222βηβ= 333βηβ=1. ① 二次型 11121121222212121112(,,,)(,,,)n n n n Tn ij i j n i j n n nn n a a a x a a a x f x x x a x x x x x x Ax a a a x ==⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑L L L L L L L L L L其中A 为对称矩阵，12(,,,)T n x x x x =L② A 与B 合同 TC AC B =. （,,A B C 为实对称矩阵为可逆矩阵）求C (A I)→(B C^T) 这个变换先进行行变换 再进行一致的列变换 最后 求得C 和C^T③ 正惯性指数 二次型的规范形中正项项数p 负惯性指数二次型的规范形中负项项数r p - ④ 两个矩阵合同⇔它们有相同的正负惯性指数⇔他们的秩与正惯性指数分别相等. ⑤ 两个矩阵合同的充分条件是：A 与B 等价 ⑥ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =2. 12(,,,)Tn f x x x x Ax =L 经过合同变换可逆线性变换x Cy = 化为21ni i f d y =∑标准形.① 正交变换法② 配方法（1）若二次型含有i x 的平方项，则先把含有i x 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行， 直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;（2） 若二次型中不含有平方项，但是0ij a ≠ (i j ≠), 则先作可逆线性变换()1,2,,,i i j j i jkk x y y x y y k n k i j x y=-⎧⎪=+=≠⎨⎪=⎩L 且,3.12,,,n x x x L 不全为零，12(,,,)n f x x x >L 0.正定二次型对应的矩阵.4. ()Tf x x Ax =为正定二次型⇔（之一成立）： （1） x ο∀≠ ，Tx Ax >0； （2）A 的特征值全大于0； （3）f 的正惯性指数为n ； （4）A 的所有顺序主子式全大于0；（5）A 与E 合同，即存在可逆矩阵C 使得TC AC E =； （6）存在可逆矩阵P ，使得TA P P =；(),nT A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s iA p p p p nB AB E AB E⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵存在阶矩阵使得 或 ()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量。