高等代数知识点归纳
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1122,,
0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ⎧=⎪++
=⎨≠⎪⎩
=
=()mn A O A A O A B
O B
O B
B
O A A
A B B O B O
*
=
=*
*=-1
(1)2
1121
21
1211
1
()n n n
n
n n n n n n n a O
a a a a a a a O
a O
---*
==-1
范德蒙德行列式：
()12222
12
11
11
12
n i
j
n
j i n
n n n n
x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111
代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-
分块对角阵相乘：11
112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1122n
n n A A A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
分块矩阵的转置矩阵：T
T
T T
T A B A C C D B
D ⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()
11
21112222*
12n T
n ij
n
n
nn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪⎝⎭
，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1*n A A -=, 1
1A A --=.
分块对角阵的伴随矩阵：*
*
*A BA B AB ⎛⎫
⎛⎫=
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
1
11A B B
A
---⎛
⎫⎛⎫= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭ 1
2
3111
1
2
13a a a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
3
2
1
1
1
112
13a a a a a a -⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
矩阵的秩的性质：
① ()A O r A ≠⇔≥1; ()0A O r A =⇔=;0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n
④ ()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩
若若0的列向量全部是的解
⑤ ()r AB ≤{}min (),()r A r B
⑥ 若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.
⑦ 若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B O
A A
B A
C B C ο⨯⇔=⎧⎪
=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩
⎩ 只有零解
在矩阵乘法中有左消去律；
若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨
⎩
在矩阵乘法中有右消去律.
⑧ ()r
r
E O E O r A r A A O
O O
O ⎛⎫⎛⎫
=⇒
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨ ()r A B ±≤()()r A r B +, {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B +
⑩ ()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭
①
n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. ③
(,)0αβ=. 记为：αβ⊥
④
21
n
i i a α====∑⑤
1α==. 即长度为1的向量.
内积的性质：① 正定性② 对称性③ 线性性
12
n A λλλ= 1
n
i A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A 特征值与特征向量的求法
(1) 写出矩阵A 的特征方程0A E λ-=，求出特征值i λ. (2) 根据()0i A E x λ-=得到 A 对应于特征值i λ的特征向量. 设()0i A E x λ-=的基础解系为 12,,
,i
n r ξξξ- 其中()i i r r A E λ=-.
则A 对应于特征值
i λ的全部特征向量为1122,i i n r n r k k k ξξξ--+++
其中12,,
,i n r k k k -为任意不全为零的数.
3. ①1
P AP B -= （P
为可逆矩阵）
②1
P AP B -= （P 为正交矩阵）
③A 与对角阵Λ相似.（称Λ是A 7. 矩阵对角化的判定方法
① n 阶矩阵A 可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1
P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：
1
2
1
n P AP λλλ-⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
.