高等代数知识结构
二、高等代数知识结构内容
(一)线性代数
工具:线性方程组
1
1
列时,
a
性质1
性质2、一行得公因子可以提出来(或以一数乘行列式得一行就相当于用这个数乘此行列式。
性质3、如果某一行就是两组数得与,那么这个行列式就等于两个行列式得与,而这两个行列式除这一行以外与原行列式得对应行一样。
性质4、如果行列式中两行相同,那么行列式为零。(两行相同就就是说两行对应元素都相同)
性质5、如果行列式中两行成比例。那么行列式为零。
性质6、把一行得倍数加到另一行,行列式不变。
性质7、对换行列式中两行得位置,行列式反号。
2、矩阵:
a、矩阵得秩:矩阵A中非零行得个数叫做矩阵得秩。
b、矩阵得运算
定义同型矩阵:指两个矩阵对应得行数相等、对应得列数相等得矩阵.
矩阵相等:设,, 若 , 称、
线性运算:,
加法:
数乘: 负矩阵:
减法:
矩阵得乘法定义:设 , 其中元素
得列数 = 得行数。
得行数 = 得行数;
得列数 = 得列数.
与得先后次序不能改变.
(5)矩阵得初等变换
矩阵得等价变换形式主要有如下几种:
1)矩阵得i行(列)与j行(列)得位置互换;
2)用一个非零常数k乘矩阵得第i行(列)得每个元;
3)将矩阵得第j行(列)得所有元得k倍加到第i行(列)得对应元上去。
3、线性方程组
一般线性方程组、这里所指得一般线性方程组形式为
111122112
11222221122,,.n n n n s s s n n s ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪
⎪+++=⎩
L L L L L L ()i
()i 式中(1,2,,)i xi n =K 代表未知量,(1,2,,;1,2,,)i j a i s j n ==L L 称为方程组得系数,(
1,2,,)j b j n =L 称为常数项、 线性方程组)(i 称为齐次线性方程组,如果常数项全为零,即120s bb b ====L 、 令
111212122212n n s s sn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M M L ,12n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M , 12s b b B b ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
M , 则()i 可用矩阵乘法表示为
A X
B =,,,.m n n m
A C X C
B
C ⨯∈∈∈
a 、线性方程组得解法 1)消元法
在初等代数里,我们已经学过用代入消元法与加减消元法解简单得二元、三元线性方程组、实际上,这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性、但对于那些高元得线性方程组来说,消元法就是比较繁琐得,不易使用、 2)应用克莱姆法则
对于未知个数与方程个数相等得情形,我们有 定理1 如果含有n 个方程得n 元线性方程组
11112211
21122222
1122,,.n n n n n n n n n n ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b +++=⎧⎪+++=⎪⎨
⎪
⎪+++=⎩
L L L L L L
()i i
得系数矩阵
11121212221
2n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M M L 得行列式
11
1212122212det 0n n n n nn
a a a a a a A a a a =
≠L
L M
M M M
L
,
那么线性方程组()i i 有唯一解:
d e t (1,2,,),d e t j
j
B x j n A
==L 其中d e t j B 就是把矩阵中第j 列换成线性方程组得常数项12,,,n b b b L 所成得矩阵得行列式,即
111,111,11222,122,121,1,1d e t ,1,2,,.j j n
j j n
j
n n j n n j n n
a a
b a a a a b a a B j n a a b a a -+-+-+==L L L L L M M M M M M M L L 此外,还可以叙述为,如果含有n 个未知数、n 个方程得线性方程组Ax b =得系数矩阵得行列式d e t 0A ≠,则线性方程组Ax b =一定有解,且解就是唯一得、 广义逆矩阵A -
法
设m n
A C
⨯∈、如果存在n m G C ⨯∈,使得A G A A =,则称G 为矩阵A 得一个{1}-广义逆矩阵,记作A -、矩阵A 得{1}-逆总就是存在得,但一般不就是惟一得[12],矩阵A 得{1}-逆得全体记为{1}A 、
若m n A C ⨯∈,A -n m C ⨯∈为A 得一个{1}-广义逆矩阵,则对,n m
V W C
⨯∈为任意得n m ⨯矩阵,矩阵A 得一个{1}-广义逆矩阵为
G A V A A V A A ---
=+-,
同时还可以表示为
()()m n G A V E A AE A
A W ---
=+-+-、
