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自动控制原理4 第一节第二节根轨迹绘制的基本准则1

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自动控制原理 根轨迹法

自动控制原理 根轨迹法


n
i
|
注意
• 相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分 必要条件 • 用相角方程绘制根轨迹; • 模值方程主要用来确定已知根轨迹上某 一点的K*值 • 例4-1,4-2
4.2 根轨迹绘制的基本法则
• 法则1: 根轨迹的分支数：根轨迹在[s]平面上的分支数 等于闭环 特征方程的阶数n,也就是分支数与闭环极点的 数目相同。
q
h
f
l
结论：1 零点、 2 极点、3 根轨迹增益
b0 ( s z1 )(s z 2 ) ( s zm ) G( s) H ( s ) K* a0 ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
• 根轨迹增益：
(s z ) (s p )
• 法则6: 根轨迹的起始角(从极点pk)和终止角(到零点zk) ：
起始角：
例2 证2
m n
pk ( 2k 1) ( pk z j ) ( pk pi )
j 1 i 1 i k
终止角：
zk ( 2k 1) ( z k p i ) ( z k z j )
i
nm

0 ( 1) ( 2) 1 30
a
(2k 1)π π π , , π nm 3 3
d1 0.42, d 2 1.58(舍去)
s j
1 1 1 0 d d 1 d 2
1 G(s)H(s) 0即(s 3 3s 2 2s K * ) j 3 3 2 2 j K * 0
s2

0
常规根轨迹的绘制法则(P138) 终止于开环零点或。 1 根轨迹起始于开环极点或， 根轨迹对称实轴 2 根轨迹的条数为特征根的个数, 3 ∣n-m∣条渐近线对称于实轴,均起于实轴上的σa 点,
自动控制原理-第4章 根轨迹

自动控制原理-第4章 根轨迹


又 ∵ 根轨迹方程
n
n
(spi) sn( pi)sn 1L
n
m
Kim 1
i 1 m
snm( pi zj)snm 1L
(szj) sm( zj)sm 1L
i 1
j 1
j 1
j 1
n
m
∴ sn-m-1项系数对应相等
(nm)(a) pi zj
n
m
i1
j1
(2k 1) ,
nm
pi zi
闭环零、极点与开环零、极点的关系
闭环传递函数 (s) G(s)
1G(s)H(s)
开环传递函数 Gk(s)G(s)H(s)
f
l
(s zi)
(s z j)
G (s) KG
i 1 q
H
(s)
K
H
j 1 h
(s pi)
(s p j)
i 1
j 1
f
l
(szi)(szj)
Gk(s)G(s)H(s)K
如何应用根轨迹方程在[s]平面上找到闭环极点。
解： G ( s ) K 0 .5 K K * s(2 s 1) s(s 0.5) s(s 0.5)
K * 0.5 K 开 环 极 点 p1 0， p2 0.5 无开环零点 根据相角方程
s2
p2 4 5 o -0.5 s1
135o
p1 0
m
(s z j)
K j1 n
1
(s pi)
i1
m
n
(szj) (spi)(2k1)
j1
i1
k0,1,2,L
（1）相角条件是决定闭环根轨迹的充要条件； 在测量相角时，规定以逆
自动控制原理第四章 根轨迹

自动控制原理第四章 根轨迹

S ( S 2 )( S 4 )
① ∵有三个极点，根轨迹 有三条分支 ② ∵n=3, m=2 ∴有３－２＝１条根 轨迹→∞， ２条终止于开环零点。 ③在实轴上不同段上取试 验点
-4 -3 -2 -1
jω
×
o
×
o ×
σ
§４－２绘制根轨迹的基本规则
五．根轨迹的渐近线
１．根轨迹中（n－m）条趋向无穷远处的分支的 渐近线的倾角为
1 1
在根轨迹与虚轴的交点处，在系统中出现 虚根。因此可以根据这一特点确定根轨迹与虚 轴的交点。可以用 s j 代入特征方程求解， 或者利用劳斯判据确定。
§４－２绘制根轨迹的基本规则 续例４－２，将 s j 代入特征方程。
j ( j 1 )( j 2 ) K j ( j
§４－１根轨迹的基本概念 将开环传递函数写成下列标准的因子式
K1 G (S )H (S )

j 1 n
m
(s z
j
)

i 1
(s pi )
注意这个形式和求 稳态误差的式子不 同，需变换成这种 形式．
z j －开环零点．
p i －开环极点．
此时，幅值条件和相角条件可写成
K
1

j 1 n

s 2 .3
2 . 3 0 . 7 1 . 64 1 . 64 4 . 33
６．求根轨迹在
p3
的出射角
p 180 ( 135 90 26 . 6 ) 431 . 6
( 减去 360 ，为 71 . 6 ）
§４－３反馈控制系统的根轨迹分析 ７．求根轨迹与虚轴的交点．
K1=6
自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法

自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法


2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版

根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版

1 K (s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0 (s p1 )( s p2 )....( s pn )
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
自动控制原理第四章 根轨迹法PPT

自动控制原理第四章 根轨迹法PPT


第二节 绘制根轨迹的基本方法
四、根轨迹的渐近线
趋于无穷远处的根轨迹的渐近线 由下式确定 渐近线与实轴的夹角： +(2k+1)π K= 0,1,2,3 θ= n-m 渐近线与实轴的交点： σ=
pj zi ∑ ∑ i =1 j=1 n-m
n m
第二节 绘制根轨迹的基本方法
例 已知系统的开环传递函数，试确定 系统的根轨迹图。 Kr G(s)H(s)= s(s+1)(s+2) 渐近线与实轴的夹角 : jω 解： 1）开环零、极点： +(2k+1)π O+ O p =-3 p =0 p =-2 + 180 60 = , θ= 1 3 2 3 p2 60 p p3 2 ）实轴上的根轨迹段： 渐近线与实轴的交点 : 0 1 -1 -2 p ~ p1~p-1-2 3 -1 = σ= 2 3 n-m= 3 3 4）根轨迹的渐近线： ）系统的根轨迹
‫ב‬-
‫ב‬
‫ב‬
‫ב‬
第二节 绘制根轨迹的基本方法
2） <T (1)开环零、极点分布 1 1 p1=0 p2=T z1= (2) 实轴上根轨迹段 p1~p2 z1~-∞ ‫ב‬ ‫ב‬
jω
z1
1 ‫ב‬p2 1 -T p
1 0
(3)系统的根轨迹
p1和p2为根轨迹 的起点 Z1和-∞为根轨迹 的终点
第二节 绘制根轨迹的基本方法
五、根轨迹的分离点和会合点
闭环特征方程的根在 S 平面上的重合 闭环特征方程式： K B ( s)+A(s)=0 r 注意：只有位于根轨迹上的重根才是 点称为根轨迹的分离点或会合点。 重根必须同时满足以下两式 分离点或会合点。 一般将根轨迹 KrB'(s)+A'(s)=0 KrB(s)+ A(s)=0 若不在根轨迹上的分离点或会 离开实轴进入复平面的点称为分离点 即 A'(s) 合点应该舍去。 dB ( s ) dA ( s ) 离开复平面进入实轴的点称为会合点 Kr =K + =0 B'(s) ds ds r 设系统的开环传递函数为 解上式得 Kr B(s) G H((s A (s)B' s)= )=A' A((s s))B(s)
自动控制原理第四章根轨迹法

自动控制原理第四章根轨迹法


第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
孙炳达 自动控制原理第4章

孙炳达 自动控制原理第4章


D(s) Kg N(s) 0
K g1 2.74
j
K g 2 0.06
S1=-1.67 Kg1=2.74
σ
S1=-0.33 Kg1=0.06
15
7.渐近线
根轨迹沿渐近线倾角方向趋向无穷远的直线。
（1）渐近线条数：n-m条 （2）渐近线会与实轴交于一点(交点)： 坐标为（-σ，j0）
n
m
( p0 ) (z j )
去判断；系统静态性能，由“系统型号” 即开环极点的个数和放大系数值决定， 在根轨迹图中“坐标原点上的开环极点个数”，就反映了“系统型号” ；利用根轨 迹分析动态特性时，往往采用“闭环主导极点”的思想，即认为系统的性能主要 由一对“闭环主导极点” 来决定，从而利用二阶系统相关的公式去分析或综合 系统。下面通过例题说明。
1948年伊文思根据反馈系统开环和闭环传递函数之间的关系，提出了 求解特征方程根的图解方法——根轨迹法。根轨迹法是分析、设计线性定 常系统的一种图解方法。
2
第一节 根轨迹的基本概念
定义: Gk(s)的某个参数由0→∞时，系统的闭环特征根在S平 面上的变化轨迹。
例 已知系统的结构图如下图所示，请绘出K由0→∞时的根轨迹。
5
一般而言，绘制根轨迹时的可变参量可以是系统的任意参量。但 最常用的可变参量是系统的开环传递函数Kg（也称为根轨迹增益）
Kg——常规根轨迹 Kg以外的参数——参量根轨迹 以上二阶系统的根轨迹可以用解析法来求得，但对于高阶系统来说， 解析法就不适用了，工程上常采用图解的方法来绘制。
6
第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
i1
j 1
nm
180 (2k 1) nm
16
例 已知系统的开环传递函数如下所示，请求出根轨迹的渐近线。
自动控制原理

自动控制原理

已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。
[-4，-6] 右侧实零、极点数=7。
渐近线与实轴的倾角（k=0，1，2，…） ：
渐近线与实轴交点的坐标值：
沿着渐近线趋于无限远处， 当系统n>m时，有（n－m）条根轨迹分支终止于无限远零点。 渐近线也对称于实轴（包括与实轴重合）。
五、根轨迹的渐近线
证明
根轨迹上，靠近起点p1处取一点s1 相角方程 s1p1 起始角p
四条分支
起始点p1＝0、 p2、3＝―0.5+j1.5 、 p4＝―2.5
终止点z1＝－1.5、z2，3 ＝－2±j、－∞
实轴上0～－1.5和－2.5～－∞两区段是根轨迹
取k＝0
p3和p2为共轭复数， 根轨迹起始角对称。
或
两式相除
或
即得
解出s1，即为分离点b
3
2
1
4
5
6
已知某一系统的开环零极点分布，试概略画出其根轨迹。
规则1、2、3
根轨迹有三条分支，分别起始于开环极点0、－2、－3，终止于一个开环有限零点－1和二个无限零点。 根轨迹对称于实轴。
规则4实轴上0到－1和－2到－3两个区域段为根轨迹
规则5根轨迹有两条渐近线（n－m＝2), 令k=0
K＝0时
两个负实根
K值增加
相对靠近移动
离开负实轴，分别s=-1/2 直线向上和向下移动。
一对共轭复根
根轨迹图系统的相关动静态性能信息
过阻尼系统，阶跃响应为非周期过程；
临界阻尼系统，阶跃响应为非周期过程；
欠阻尼系统，阶跃响应为阻尼振荡过程。
1）当K值确定之后，根据闭环极点的位 置，该系统的阶跃响应指标便可求出。
根轨迹的分离点 证明 例 证明 例
自动控制原理4.2 绘制根轨迹的基本法则

自动控制原理4.2 绘制根轨迹的基本法则


§4—2 绘制根轨迹的基本法则
绘制根轨迹的基本法则（续）
根轨迹在s平面上的分支数=闭环特征方程的阶 数。即:分支数=闭环极点数=开环极点数n(n≥m) 或=开环零点数m(m>n)。
二、根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。 若n>m，则有(n-m)条终止于无穷远处。 若m>n，则有(m-n)条起始于无穷远处。
同理可得 :
zk
2k 1

n

z
k
i 1

pi
m


zk
j 1
zj
jk
共轭复数的开环零极点才需计算出射角和入射角，
实数开环零极点不用计算，一般为：0°, 180°,
±90°, ±60°与±120°, ±45°与±135°等.
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
sd sd
1 2

0.473
3.527舍
j
-5
sd2
sd1
-1
0
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
六、根轨迹与虚轴的交点：
根轨迹与虚轴相交，表示闭环极点中有一部分 位于虚轴上，即闭环特征方程有纯虚根±jω, 系统 处于临界稳定。
1、将s j，代入1 G( j)H( j) 0
3
2

Kg

0
Kg

6,
Kc 3
2、用劳斯判据：
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
s3 1
2
s2 3
Kg
s1 6 K g
0
3
s0 K g
当 s1 行 等 于0时 ， 可 能 出现共轭虚根，令
第二节根轨迹绘制的基本法则 自动控制原理课件

第二节根轨迹绘制的基本法则 自动控制原理课件


当Kg→∞，由于m<n，故s→∞满足根轨迹方程，上式近似为
sn m (a n 1 b m 1 )sn m 1 K g
snm(1an1 sbm 1)Kg
两边开n-m次方
s(1an 1 sbm 1)n 1m(K g)n 1m
利用二项式定理
( 1 x ) K 1 K K ( K x 1 ) x 2 K ( K 1 ) ( K I 1 ) x I ( 1 x 1 )
180
45
45 0
nm4
8
[例4-2]系统开环传递函数为：Gk(s)s(sK 1)g(s5) ，试确定根 轨迹支数，起点和终点。若终点在无穷远处，求渐近线与实轴
的交点和倾角。
[解]：根轨迹有3支。起点为开环极点 p 1 0 , p 2 1 , p 3 5 , 无有限值零点，所以三支根轨迹都趋向无穷远。
这是与实轴交n 点 为m －，斜率n 为m tg (2k 1)
nm
的直线方程。也就
nm
是渐近线方程。渐近线与实轴的夹角(称为渐近线的倾斜角为
q(2k1 ) k0, 1 , 2
nm
180 0
nm1
90
90 0
nm2
180 60
0
nm3 60
2020/10/10
根轨迹分析法--绘制根轨迹的基本 法则
在原点有两个极点，双重极点用“”表示。
2020/10/10
根轨迹分析法--绘制根轨迹的基本
14
法则
实轴上的会合点和分离点
7、根轨迹的会合点和分离点：
若干根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分
离点或会合点。
如图所示某系统的根轨迹，由开环
q4
z2

自动控制原理 第4章 线性系统的根轨迹法：根轨迹法的基本概念 绘制的基本法则


-1.5
相角条件：92.49o- 66.27o- 78.8o- 127.53o= –180o 模值条件 K*= 2.26×2.11×2.61 = 6 2.072
k* 6 k 4 1.5 1.5
k * (s 1) G (s )H (s ) (s 0.5)( s 1.5)( s 2)
根轨迹的模值条件与相角条件 没有零点的相角条件和模值条件你会推吗？ 相角条件: (P140) n m
∑ ∠ (s-z ) － ∑ ∠ (s-p ) = (2k+1) π j i j=1 i=1
m 绘制根轨迹的充要条件
k=0, ±1, ±2, …
模值条件:
1+K Kn =
i=1
) ∏︱ ( s - zn ︱ j p s ︱ ︱ ∏ j=1 i * *
规则6：根轨迹的起始角（出射角）和终止角 （入射角）
起始角（出射角）：根轨迹离开复平面上开环极点处的
切线与实轴的夹角
pi
。
m n o pi 1 8 0 zj p p p i j i 1 j 1 j j i
终止角（入射角）：根轨迹进入复平面上开环零点处的
j
-2
-1
0
综上所述： （1）k*从0 ~ ∞ 时，系统的根轨迹是连续变化。可见：
系统的参量变化对系统闭环极点分布的影响。
（2）由根轨迹图，可得系统动、静态性能的信息： 1）稳定性 无论k*值如何变化（ k*>0），闭环极点不出现
在s的右半平面，所以系统是稳定的。
2）稳态误差
I型系统，K为静态速度误差系数。
2019/2/17
特征方程：
S2+2s+2k=0

自动控制_04c根轨迹绘制的基本法则


→
d s( s 1)( s 2)s d 0 ds
d 3 s 3s 2 2s s d 0 ds
→
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

→
(3s 2 6s 2)sd 0
从而得
d1 0.422, d 2 1.578
由第4点知 d 2 不是根轨迹上的点，故舍去。因此我们可 最后画出根轨迹如图4-9所示。
a1 b1 (1 ) s
→
1 nm
a1 b1 1 ( n m) s
1 1 a1 b1 n a b s(1 ) m s[1 1 1 ] ( K ) nm s (n m) s
→
a1 b1 s K (n m)
1 nm
e
( 2 k 1) j nm
必须说明的是，方程只是必要条件而非充分条件，也就是 说它的解不一定是分离点，是否是分离点还要看其它规则。
实轴上分离点的位置可用重根法和极值法求得。
1）重根法
N (s) G ( s) H ( s) K 1 K D( s) ( s pi )
* j 1 n i 1 *
(s z j )
时，可得
( j 1,2,, m) 所以根轨迹必终于开环零点。
实际系统中，m n ，因此有 n m 条根轨迹的终点将 在无穷远处。的确，当 s 时，
s zj
K lim

i 1 s m
s pi s zj
j 1
n
lim s
s
nm

具有有限值的零点为有限零点，处于无穷远处的零点叫无限零点,则 根轨迹必终于开环零点。这时，开环零点数和开环极点数相等。

孙炳达版《自动控制原理》第4章控制系统的根轨迹分析法-2


1 1 2 3 180 (2k 1)
L1 L2 L3 再按幅值条件求得该 Kg0 点的根轨迹传递系数： l1
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
例 已知系统的开环传递函数
2K GK ( s) ( s 2) 2
试证明复平面上点 s1 2 j 4, s2 2 j 4 是该系统的闭环极点。 证明 该系统的开环极点 p1 2, p2 2 若系统闭环极点为s1，s2，则它们应满足 相角条件。
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
以s1为试验点，由图可得
(s1 p1 ) (s1 p2 ) 90 90 180(2k 1) (k 1)
以s2为试验点，由图可得
(s2 p1 ) (s2 p2 ) 90 90 180(2k 1) (k 0)
可见， s1和s2均满足相角条件， 均为闭环极点。 证毕。
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
4 G ( s ) K /( s 1 ) 例 已知系统的开环传递函数 K
当 K 0 变化时其根轨迹如图所示， 求根轨迹上点 s1 0.5 j 0.5 所对应的K值。 解 根据幅值条件
自动控制原理
第四章 控制系统的根轨迹分析法
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
一、根轨迹的幅值条件和相角条件 一般的闭环系统结构框 图如图所示，其特征方程为：
1 G( s ) H ( s ) 0
其开环传递函数： Gk (s) G(s) H (s) 1 由等式两边幅角和相角分别相等的条件可得：
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
5 实轴上的根轨迹

自控第四章


（4-7）
K 式中：
* H
为反馈通道的根轨迹增益。
* * G ( s) H ( s) K G K H
( s z ) ( s z
i 1 q i j 1 l i 1 i i 1
f
l
j
) )
（4-8）
( s p ) ( s p
j
j
K*
( s z ) ( s z
• 闭环特征方程 D(s)=1+G(s)H(s)=0 （4-11） 闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征 根。 • 根轨迹方程 G(s)H(s)=-1 （4-12） 式中G(s)H(s)是系统开环传递函数，该式明确表 示出开环传递函数与闭环极点的关系。
设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假 定n≥m，这时式（4－12）又可以写成：
最后绘制出根轨迹如图4－7所示。
图4－7
例4－3根轨迹
五、根轨迹的渐近线
渐近线与实轴正方向的夹角为
(2k 1) π a nm
渐近线与实轴相交点的坐标为
a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
例4-4 已知系统的开环传递函数
K * ( s 1) G ( s) H ( s) s ( s 4)( s 2 2 s 2)
•根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求
出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环 特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹。
4－2 绘制根轨迹的基本法则 一、根轨迹的分支数
分支数＝开环极点数 ＝开环特征方程的阶数
即为max(n,m)条。
二、根轨迹的连续性与对称性 根轨迹是连续曲线，对称于实轴

大学自动控制原理第四章 根轨迹法


0.4 0.707
arctan
1 2

arctan1

4
在图上过坐标原点作与负实轴 夹角为45°的射线，它与根轨 迹的交点S=-05±j0.5，这就是 所求的希望闭环极点。
可见，根轨迹图全面地描述了参数K对闭环特征 根分布的影响。 当系统中某一参数(一般以增益为变化参数)发生 变化时，系统闭环特征根在s平面上描绘的曲线 称系统的根轨迹。 它是一种用图解方式表示特征方程的根于系统某 一参数的全部数值关系的方法。 一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变参量可以 是系统的任意参量。以系统根轨迹增益K为可变 参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹。以其它参数 为变量绘制的根轨迹称为参量根轨迹。
l 1 l i 1 n i
m

1 K0
m
幅值条件
当K0→∞时，则有 K
0
lim
s z s p
l 1 l i 1 n i
lim
1 0 K 0 K 0
可见，s→∞ejυ也能满足上式，即n-m条根轨迹终 止与无穷远处。 小结：n条根轨迹起始于n个开环极点，其中m条 终止于m个开环零点，n-m条终止于无穷远处。
根的相角条件：argGs H s (2k 1) , k 0,1,2, 假设系统开环传递函数用零、极点形式表示：
K s z1 s z2 s zm G s H s ,n m s p1 s p2 s pn
K s( s 1)
C (s) K 闭环传函 2 R( S ) s s K
闭环特征方程： s2 s K 0
1 1 s 1 4K 闭环特征根：1, 2 2 2

自动控制原理课后答案第4章


5
的不同，系统的稳定性和动态性能不一定能同时得到满足。因此，只有当附加开环零点的位 置选配得当，才有可能使系统的稳态性能和动态性能同时得到显著改善。 ② 增加开环极点 增加开环极点后，系统阶次升高，渐近线数量增加，使得渐近线与实轴的夹角变小，从 而导致根轨迹向右弯曲，致使系统不稳定成分增加。同时，实轴上的分离点也向右移动。系 统响应减缓，过渡过程延长，调节时间增加，系统的稳定性降低。当增加的极点在[-1,0]范 围内时，越靠近虚轴的极点，其产生的阶跃响应振荡越剧烈，稳定性越差；而当增加的极点 在(-∞, -1)范围内时，越远离虚轴的极点，对根轨迹的影响越小，从而对系统的动态性能影 响越小。
式中，A(s)为开环传递函数的分母多项式，B(s)为开环传递函数的分子多项式。则分离点或 会合点坐标可用下式确定，即 A( s) B '( s ) A '( s ) B ( s ) 0 3）极值法
dK 0 ds
规则 7：根轨迹的出射角和入射角 根轨迹的出射角是指根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角，如图 4-2 中的角 p1 ； 而根轨迹的入射角是指根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角， 如图 4-2 中的角 z1 。
n n
n l
m
s
l 1
n
(1) n pi (1) m K z j
i 1
n
j 1
( 1)
n
s
l 1
l
(1)
nLeabharlann pi 1i
K （系统无开环零点时）

5、根轨迹与系统性能之间的关系 根轨迹可以直观地反映闭环系统特征根在[s]平面上的位置以及变化情况，所以利用根轨 迹可以很容易了解系统的稳定性和动态性能。除此之外，由于根轨迹上的任意一点都有与之对 应的开环增益值，而开环增益又与系统稳态误差有一一对应的关系，因此通过根轨迹也可以 确定出系统的稳态误差，或者根据给定系统的稳态误差要求，来确定闭环极点位置的容许范 围。由此可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
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对如下结构图的系统：
R(s)
C(s)
G(s)
-
(s) G(s) G(s) 1 G(s)H (s) 1 Gk (s)
令闭环传递函数的分母为零，
得闭环系统的特征方程
H (s)
1 Gk (s) 0
若用开环传递函数来讨论，则满足 Gk (s) 1 的点就是闭环系 统特征方程的根。也就是说满足 Gk (s) 1的s值必定是根轨迹 上的点，故称 Gk (s) 1为根轨迹方程。若令
渐近线与实轴的交点： pi zi 1 5 2
nm
30
渐近线与实轴的倾角： q (2k 1) 60,180
nm
零极点分布和渐近线（红线）
如图所示。
5
规定：相角逆时针为正，顺时针为负。
18
180
60
2
1
0
60
4.2 根轨迹绘制的基本准则
实轴上的根轨迹
6、实轴上的根轨迹：
实轴上具有根轨迹的区间是：其右方开 环系统的零点数和极点数的总和为奇数。
z1
p3
q3
q1
[证明]：例如在实轴上有两个开环极点-p1、-p2， 复平面上有一对共轭极点-p3、 -p4和一对共轭零
点-z1 、 -z2 。
先看试验点s1点： ①成对出现的共轭极点-p3、 -p4对实轴上任意试 探点构成的两个向量的相角之和为0°；
p2
s2
s1
p 1
q4
z2
q
2
p4
迹8 上各点的Kg值时，才使用幅值条件。
4.1 根轨迹的基本概念
例：如图所示二阶系统，
R(s) -
K
C(s)
s(0.5s 1)
闭环传递函数：
(s)
s2
2K 2s
2K
特征方程为： s2 2s 2K 0
特征根为： s1,2 1 1 2K
采用试探法可以确定根轨迹上的点。 在实际绘制根轨迹时不采用试探法。 而是应用以根轨迹方程为基础建立起 来的绘制根轨迹的基本法则。
(1 x 1)
2!
I!
当 x 1时，(1 x)K 1 Kx ，令 x an1 bm1 ， K 1
s
nm
15
s(1
n
1 m
an1
bm1 ) s
(K g
1
) nm
4.2 根轨迹绘制的基本准则
s
an1 bm1 nm
1
(K g ) nm
根轨迹的渐近线
设s=x+jy, 利用－1=cos(2k+1)π+j sin(2k+1)π，并根据德莫弗(De Moive)代数定理(cosq +j sinq )n= cos(nq )+j sin(nq )，上式可写为
90
90 0 nm2
180 60
0
n m 3 60
180
45
45 0
nm4
4.2 根轨迹绘制的基本准则
[例4-2]系统开环传递函数为：Gk (s)
s(s
Kg 1)( s
5)
，试确定根
轨迹支数，起点和终点。若终点在无穷远处，求渐近线与实轴
的交点和倾角。
[解]：根轨迹有3支。起点为开环极点 p1 0, p2 1, p3 5, 无有限值零点，所以三支根轨迹都趋向无穷远。
其中相角条件是零点到根轨迹上的某点的向量的相角之和减去极点
到根轨迹上的某点的向量的相角之和等于180度的奇数倍，因此也称
满足上述条件的根轨迹为180度等相角根轨迹。
根据上述两个条件，可以完全确定s平面上的根轨迹和根轨迹上对应
的Kg值。应当指出，相角条件是确定s平面上的根轨迹的充分必要条件。 这就是说，绘制根轨迹时，只需要使用相角条件；而当需要确定根轨
根轨迹的渐近线
snm (an1 bm1)snm1 Kg
当Kg→∞，由于m<n，故s→∞满足根轨迹方程，上式近似为
snm (an1 bm1)snm1 Kg
snm
(1
an1
s
bm1
)
Kg
两边开n-m次方
s(1
an1
bm1
)
1 nm
s
1
(K g ) nm
利用二项式定理
(1 x)K 1 Kx K (K 1) x2 K (K 1) (K I 1) xI
4.1 根轨迹的基本概念
根轨迹的幅值和相角条件
由于Gk (s)是复数，上式可写成 ： | Gk (s) | Gk (s) 1
m
| (s zi ) |
或
K i1 gn
1
|(s pj) |
m j1
n
(s zi ) (s p j ) (2k 1)，k 0,1,2...
i 1
j 1
上述两式分别称为满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件。
20
4.2 根轨迹绘制的基本准则
实轴上的会合点和分离点
7、根轨迹的会合点和分离点：
若干根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分 离点或会合点。
如图所示某系统的根轨迹，由开环极
点 p1, p2 出发的两支根轨迹，随着
Kg
B
Kg Kg 0 Kg 0
z p2 A p1
K g 的增大在实轴上A点相遇再分离进 入复平面。随着K g 的继续增大，又在
j 1
Kg K g
我们称系统有n-m个无限远零点。有限值零点加无穷远零点 的个数等于极点数。
那么，n-m支根轨迹是如何趋于无限远呢？
13
4.2 根轨迹绘制的基本准则
根轨迹的渐近线
5.根轨迹的渐近线： 若开环零点数m小于开环极点数n，则当系统的开环增益
Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条。这n-m条根轨迹 趋向无穷远的方位可由渐近线决定。
上的箭头表示随着K 值的增加，根轨迹
的变化趋势，而标注的数值则代表与闭
环极点位置相应的参数K 的数值。
4
根轨迹定义
j
K 5
3
2
K 1
1
K 0
K 0
2 1
0
K 1 K 0.5 1
2
K 5
3
4.1 根轨迹的基本概念
根轨迹图直观全面地描述了参数K 对闭环特征根分布
的影响。可据此分析系统性能。
9
根轨迹的幅值和相角条件
j
3
2 1
2 1
0
1
2
3
第二节 根轨迹绘制的基本准则
10
4.2 根轨迹绘制的基本准则
根轨迹的连续性和对称性
用解析法或试探法绘制根轨迹很烦琐。下面讨论的内容通 过研究根轨迹和开环零极点的关系，根轨迹的特殊点，渐近线 和其他性质将有助于减少绘图工作量，能够较迅速地画出根轨 迹的大致形状和变化趋势。以下的讨论是针对参数 Kg 的180度 根轨迹的性质。
由根轨迹方程可得：
n
(s p j )
j 1 m
Kg
(s zi )
n
i 1
(s p j )
j 1
m
(s zi )
sn an1sn1 a1s a0 sm bm1sm1 b1s b0
Kg
i 1
n
m
式中 an1 p j ，bm1 zi
j 1
i 1
14
4.2 根轨迹绘制的基本准则
x
jy
an1 bm1 nm
K
1 nm g
c
os
(2k n
1)
m
j sin
(2k 1)
nm
x
an1 bm1 nm
1
K
n g
m
cos
(2k 1)
nm
y
1
K
nm g
sin
(2k 1)
nm
y x an1 bm1
பைடு நூலகம்g (2k 1)
nm
nm
16
4.2 根轨迹绘制的基本准则
根轨迹的渐近线
y tg (2k 1) x an1 bm1 tg (2k 1) x
m
(s zi )
Gk (s) Kg
i 1 n
(s pj)
j 1
6
m
(s zi )
则
Kg
i1 n
1 为根轨迹方程。
(s pj)
j1
4.1 根轨迹的基本概念
根轨迹方程
m
(s zi )
Kg
i 1 n
1
(s pj)
j1
式中，－zi、－pj为已知的开环零极点；Kg从零变到无穷。
7
1、根轨迹的连续性：
闭环系统特征方程的某些系数是增益 K g的函数。当K g从0到 无穷变化时，这些系数是连续变化的。故特征方程的根是连续 变化的，即根轨迹曲线是连续曲线。
2、根轨迹的对称性：
一般物理系统特征方程的系数是实数，其根必为实根或共轭 复根。即位于复平面的实轴上或对称于实轴。
11
4.2 根轨迹绘制的基本准则
19
4.2 根轨迹绘制的基本准则
实轴上的根轨迹例题
[例4-3]设系统的开环传递函数为：Gk (s)
试求实轴上的根轨迹。
s2 (s
Kg (s 2) 1)(s 5)(s
10)
[解]：零极点分布如下：
10
5
2 1 0
红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1] 。注意
在原点有两个极点，双重极点用“ ”表示。
根轨迹的支数和起始点
3、根轨迹的支数： n阶特征方程有n个根。当 K g从0到无穷大变化时，n个根在复
平面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的支数等于系统阶数。