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学院 交通 学号1126002026 姓名 吕立正三．多维随机变量及其分布1.二维随机变量1.设随机试验E 的样本空间为：{}()(),S e X e Y e =、 为定义在S 上的随机变量，由它们构成一个随机向量 ()X Y 、,叫二维随机向量或二维随机变量.2.定义：设二维随机变量()X Y 、，对任意实数x y 、,二元函数{}(),F X Y P X xY y =≤≤,,称为()X Y 、的(联合)概率分布函数. 二维随机变量分布函数的性质：（1）(),F x y 是变量x 和y 的不减函数，即对任意固定的y ，当21x x >时()2,F x y ≥()1,F x y ;对于任意固定的x ，当21y y >时()2,F x y ≥()1,F x y .（2）()0,1F x y ≤≤，且对于任意固定的y ，(),0F y -∞=，对于任意固定的x ,(),0F x -∞=,(),0F -∞-∞=,(), 1.F ∞∞=(3) (),F x y =()0,F x y +，(),F x y =(),0F x y +，即(),F xy 关于x 右连续，关于y 也右连续.(4) 对于任意()11,x y ，()22,x y ，21x x >，21y y >，下述不等式成立: ()()()()22211112,,,,0F x y F x y F x y F x y -+-≥.如果二维随机变量(,)X Y 全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限多对，则称(,)X Y 是离散型的随机变量.3. 对于二维随机变量(),X Y 的分布函数(),F x y .如果存在非负的函数(),f x y 使对于任意()X Y 、有()(),,y xF x y f d d μυμυ-∞-∞=⎰⎰,则称(),X Y 是连续型的二维随机变量，函数(),f x y 称为二维随机变量(),X Y 的概率密度，或称为随机变量X 和Y 的联合概率密度. 概率密度(),f x y 具有以下性质： （1）(,)0f x y ≥ （2） (,)(,)1f x y dxdy F ∞∞-∞-∞=∞∞=⎰⎰(3) 设G 是xOy 平面上的区域，点()X Y 、落在G 内的概率为{}(,)(,)GP X Y G f x y dxdy ∈=⎰⎰(4) 若(),f x y 在点()X Y 、连续 则有2(,)(,)F x y f x y x y∂=∂∂ 4. 两个常用的分布（1）均匀分布：定义设D 为闭区域面积为A ，若随机变量()X Y 、 的(联合)密度为： 则称: ()X Y 、服从D 上的均匀分布.(2)二维正态分布：若二维随机变量 ()X Y 、的概率密度为： 则称: ()X Y 、服从参数为μ1、μ2、σ1、σ2、ρ的二维正态分布.其中σ1>0，σ2>0，|ρ|≤1是常数.记为：()X Y 、~N (μ1、μ2、σ12、σ22、ρ) .⎩⎨⎧∈=其它),(/1),(D y x Ay x f 21222112222211221(,)211()()()()exp 22(1);f x y x x y y x y πσσρμμμμρρσσσσ=⋅-⎧⎫⎡⎤-----⎪⎪-+⎨⎬⎢⎥-⎪⎪⎣⎦⎩⎭-∞<<+∞-∞<<+∞2.边缘分布1.二维随机变量(),X Y 作为一个整体，具有分布函数(),F x y ，而X 和Y 都是随机变量，也有也有分布函数，将他们分别记为()X F x ，()Y F y ，依次称为二维随机变量(),X Y 关于X 和Y 的边缘分布函数。
习题3-11、设(,)X Y 的分布律为求a 。
解：由分布律的性质，得1,0iji jp a =>∑∑，即111111691839a +++++=，0a >， 解得，29a =。
注：考察分布律的完备性和非负性。
2、设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，试用(,)F x y 表示：（1）{,}P a X b Y c ≤≤<；（2）{0}P Y b <<；（3）{,}P X a Y b ≥<。
解：根据分布函数的定义(,){,}F x y P X x Y y =≤≤，得（1）{,}{,}{,}(,)(,)P a X b Y c P X b Y c P X a Y c F b c F a c ---≤≤<=≤<-<<=-； （2）{0}{,}{,0}(,)(,0)P Y b P X Y b P X Y F b F -<<=≤+∞<-≤+∞≤=+∞-+∞； （3）{,}{,}{,}(,)(,)P X a Y b P X Y b P X a Y b F b F a b ---≥<=≤+∞<-<<=+∞-。
3、设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，分布律如下：试求：（1）13{,04}22P X Y <<<<；（2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤；（3）(2,3)F 。
解：由(,)X Y 的分布律，得 （1）1311{,04}{1,1}{1,2}{1,3}002244P X Y P X Y P X Y P X Y <<<<===+==+===++=； （2）{12,34}{1,3}{1,4}{2,3}{2,4}P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ≤≤≤≤===+==+==+==1150016416=+++=；（3）(2,3){2,3}{1,1}{1,2}{1,3}F P X Y P X Y P X Y P X Y =≤≤===+==+==1119{2,1}{2,2}{2,3}000416416P X Y P X Y P X Y +==+==+===+++++=。
第三章 多维随机变量及其分布 二维随机变量：一般，设E 是一个随机试验，它的样本空间是S={e}.设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S 上的随机变量，由它们构成的一个向量（X,Y),叫做二维随机向量或二维随机变量。
设（X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数：)}(){(),(y Y x X P y x F ≤⋂≤=),(y Y x X P ≤≤=称为二维随机变量（X,Y ）的分布函数，或称随机变量X 和Y 的联合分布函数分布函数F(x,y)具有以下基本性质： 1.F （x,y)是变量x 和变量y 的不减函数，即对于任意固定的y ，当);,(),(,1212y x F y x F x x ≥> 对于任意固定的x ，当),(),(,1212y x F y x F y y ≥> 2.0≤F(x,y)≤1，且对于任意固定的y ，F （-∞，y)=0, 对于任意固定的x, F （x ，-∞)=0， F （-∞，-∞）=0，F （∞，∞）=13.F(x,y ）=F(x+0,y ），F(x,y+0），即F(x,y ）关于x 右连续，关于y 也右连续4.对于任意,,),,(),,(21212211y y x x y x y x <<下述不等式成立 0),(),(),(),(21111222≥-+-y x F y x F y x F y x F离散型随机变量：如果二维随机变量（X,Y)全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限多对，则称（X,Y ）是离散型随机变量称,2,1,,},{====j i p y Y x X P ij i i ……为二维离散型随机变量（X,Y ）的分布律，或随机变量X 和Y 是联合分布律 表格形式表示联合分布律： Y X1x… i x… 1y11p … 1i p… ………j yj p 1… ij p… ………离散型随机变量X 和Y 的联合分布函数为∑∑≤≤=x x yy ij i i p y x F ),(，其中和式是对一切满足y y x x i i ≤≤,的i,j 来求和的连续型随机变量：对于二维随机变量（X,Y ）的分布函数F （x,y)，如果存在非负的函数f(x,y)使得对于任意x,y 有 ⎰⎰∞-∞-=y xdudv v u f y x F ),(),(，则称（X,Y ）是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量（X,Y ）的概率密度，或称为随机变量X 和Y 的联合概率密度概率密度的性质： 1.f(x,y)≥0 2.⎰⎰∞∞-∞∞-=∞∞=1),(),(F dxdy y x f3.设G 是xOy 平面上的区域，点（X,Y ）落在G 内的概率为 ⎰⎰=∈Gdxdy y x f G Y X P ),(}),{(4.若f(x,y)在点（x,y ）连续，则有),(),(2y x f y x y x F =∂∂∂一般，设E 是一个随机试验，它的样本空间是S={e},设),(),(2211e X X e X X ==…),(,e X X n n =是定义在S 上的随机变量，由它们构成的一个n 维向量,,(21X X …),n X 叫做n 维随机向量或n 维随机变量对于任意n 个实数n x x x n ,,^,,21元函数},^,{),^,(111n n n x X x X P x x F ≤≤=称为n 维随机变量,,(21X X …),n X 的分布函数或随机变量n X X X ,^,,21的联合分布函数。
