用蒙特卡洛方法估计积分方法及matlab编程实现
专业班级：材料43
学生姓名：王宏辉
学号：2140201060
指导教师：李耀武
完成时间：2016年6月8日
用蒙特卡洛方法估计积分 方法及matlab 编程实现
实验内容：
1用蒙特卡洛方法估计积分 2
0sin x xdx π⎰，2
-0x e dx +∞
⎰和
2
2
221
x
y x y e dxdy ++≤⎰⎰
的值，
并将估计值与真值进行比较。 2用蒙特卡洛方法估计积分 21
0x e dx ⎰
和
22x y +≤⎰⎰
的值，
并对误差进行估计。
要求：
（1）针对要估计的积分选择适当的概率分布设计蒙特卡洛方法；
（2）利用计算机产生所选分布的随机数以估计积分值； （3）进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过计算均方误差（针
对第1类题）或样本方差（针对第2类
题）以评价估计结果的精度。 目的：
（1）能通过 MATLAB 或其他数学软件了解随机变量的概率密度、分布函数
及其期望、方差、协方差等；
（2） 熟练使用 MATLAB 对样本进行基本统计，从而获取数据的基本信息；
（3） 能用 MATLAB 熟练进行样本的一元回归分析。
实验原理：
蒙特卡洛方法估计积分值，总的思想是将积分改写为某个随机变量的数学期望，借助相应的随机数，利用样本均值估计数学期望，从而估计相应的积分值。 具体操作如下：
一般地，积分⎰=b
dx x g a )(S 改写成⎰⎰==b
b dx f h dx f g a
a )(x )(x )(x f(x))
(x S 的形
式，（其中为)f(x 一随机变量X 的概率密度函数，且)f(x 的支持域
）（｝｛b f ,a 0)(x |x ⊇>)，f(x )
)
(x )(x g h =
）;令Y=h(X)，则积分S=E （Y ）；利用matlab 软件，编程产生随机变量X 的随机数，在由
⎩⎨
⎧∉∈==)
b (a,,)
b (a,,01I(x) ,)(x )(x y x x I h ，得到随机变量Y 的随机数，求出样本均值，以此估计积分值。
积分⎰⎰=A
dxdy g S )y (x,的求法与上述方法类似，在此不赘述。
概率密度函数的选取：
一重积分，由于要求)f(x 的支持域）（｝｛b f ,a 0)(x |x ⊇>，为使方法普
遍适用，考虑到标准正态分布概率密度函数2
2
e 21)(x x
f -=π
支持域为
R ，故选用2
2e 21)(x x f -
=
π
。
类似的，二重积分选用2
2
221)y (x,y x e f +-=π
，支持域为2R 。
估计评价：
进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过计算均方误（针对第1类题，积得出）或样本方差（针对第2类题，积不出）以评价估计结果的精度。
程序设计：
依据问题分四类：第一类一重积分；第一类二重积分；第二类一重积分，第二类二重积分，相应程序设计成四类。
为了使程序具有一般性以及方便以后使用：一重积分，程序保存为一个.m文本，被积函数，积分区间均采用键盘输入；二重积分，程序主体保存为一个.m文本，被积函数键盘输入，示性函数用function 语句构造，求不同区域二重积分，只需改变function 函数内容。
编程完整解决用蒙特卡洛方法估计一重、二重积分值问题。
程序代码及运行结果：
第一类一重积分程序代码：
%%%构造示性函数
function I=I1(x,a,b)
if x>=a&&x<=b
I=1;
else
I=0;
%保存为I1.m
%%%%%%%%%%%%%%%%
%%第一类一重积分,程序主体：
%保存为f11.m
function outf11=f11()
g1=input('输入一元被积函数如x.*sin(x):','s')%输入被积函数
g1=inline(g1);
a=input('输入积分下界a:');%输入积分上下限
b=input('输入积分上界b:');
Real=input('积分真值:');%输入积分真值
fprintf('输入样本容量10^V1--10^V2:\r')
V=zeros(1,2);
V(1)=input('V1:');%输入样本容量
V(2)=input('V2:');
for m=V(1):V(2)%样本容量10^m1--10^m2
n=10^m
for j=1:10
x=randn(1,n);
for i=1:n
t1(i)=I1(x(i),a,b);%示性及求和向量
y1=g1(x)*((pi*2)^0.5).*exp(x.^2/2);
Y1(j)=y1*t1'/n; %单次实验样本均值
end
t=ones(1,10);
EY=Y1*t'/10; %十次均值
D=abs(EY-Real); %绝对误差
RD=D/Real; %绝对误差
d=0;
for i=1:10
d=d+(Y1(i)-Real)^2;
end
d=d/(10-1);
EY1(m-V(1)+1)=EY; %样本容量为10^m时的样本均值
D1(m-V(1)+1)=D; %绝对误差
RD1(m-V(1)+1)=RD; %绝对误差
MSE1(m-V(1)+1)=d; %方差
end
Real,EY1,D1,RD1,MSE1
outf11=[EY1;D1;RD1;MSE1]; %存放样本数字特征
%保存为f11.m
