实验二-蒙特卡罗方法计算三维体积

机器人工作空间求解的蒙特卡洛法改进和体积求取佚名【摘要】针对传统的蒙特卡洛法求解机器人工作空间时精确度不够的问题,提出了一种改进的蒙特卡洛法.用传统的蒙特卡洛法生成一个种子工作空间,基于标准差动态可调的正态分布对种子工作空间进行扩展.在扩展过程中设定一个精度阈值,确保得到的工作空间中每个位置都能被准确的描述.基于得到的工作空间,提出了一种体元化算法求取工作空间的体积,寻找到工作空间的边界部分和非边界部分,通过对边界部分的不断细化,降低了体积求取误差.为了验证算法的有效性和实用性,以九自由度的超冗余串联机械臂为例,对本文改进的蒙特卡洛法和提出的体积求取算法进行仿真分析.结果表明:采样点数量相同时,改进的蒙特卡洛法生成的工作空间边界光滑,“噪声小”;得到精确的工作空间时改进方法需要的采样点数仅是传统方法的4.67％;体积求取算法效率较高,相对误差小于1％;求得的工作空间体积可用于评估机械臂性能,为后续机械臂构型优化奠定了理论基础.【期刊名称】《光学精密工程》【年(卷),期】2018(026)011【总页数】11页(P2703-2713)【关键词】机器人;工作空间;蒙特卡洛法;正态分布;体元【正文语种】中文【中图分类】TP2421 引言机器人的工作空间是指操作器执行所有可能运动时末端参考点所能到达的位置的集合，是由操作器的几何形状和关节运动的限位决定的[1]。

机器人工作空间的大小代表了机器人的活动范围，它是衡量机器人工作能力的一个重要运动学指标[2-3]。

2008年，Dai[4]等人研制了一种仿壁虎机器人，通过对机器人足端工作空间的分析验证了机器人的越障能力。

2011年，Wang[5]等人研制了果蔬采摘机械臂，以工作空间为约束对机械臂的结构参数进行了优化设计。

2015年，Dong[6]等人提出一种以工作空间密度函数为基础的迭代算法来求解机器人的逆运动学问题，为冗余机械臂逆运动学求解提供了新方法。

2017年，Zhao[7]等人基于工作空间分析，提出了一种新的超冗余机器人运动规划方法。

蒙特卡罗方法讲解
蒙特卡洛方法（Monte Carlo Method）又称几何表面积法，是用来解决统计及数值分析问题的一种算法。

蒙特卡洛方法利用了随机数，其特点是算法简单，可以解决复杂的统计问题，并得到较好的结果。

蒙特卡洛方法可以被认为是统计学中一种具体的模拟技术，可以通过模拟仿真的方式来估算一个问题的可能解。

它首先利用穷举或随机的方法获得随机变量的统计数据，然后针对该统计数据利用数理统计学的方法获得解决问题的推断性结果，例如积分、概率等。

蒙特卡洛方法在计算机科学中的应用非常广泛，可以用来模拟统计物理、金融工程、统计数据反演、运行时参数优化以及系统可靠性计算等问题，因此广泛被用于许多不同的领域。

蒙特卡洛方法的基本思想是：将一个难以解决的复杂问题，通过把它分解成多个简单的子问题，再用数学方法求解这些子问题，最后综合这些简单问题的结果得到整个问题的解。

蒙特卡洛方法的这种思路，也称作“积分”，即将一个复杂的问题，分解成若干小问题，求解它们的结果，再综合起来，得到整体的结果。

蒙特卡洛方法以蒙特卡罗游戏为基础，用统计学的方法对游戏进行建模。

三维几何中的体积计算三维几何是研究立体空间中的各种几何图形以及其属性和关系的学科。

在三维几何中，计算图形的体积是十分重要的。

本文将介绍三维几何中的体积计算方法，并通过实例进行说明。

1. 直角三棱柱的体积计算直角三棱柱是指底面为直角三角形的立体图形。

其体积计算的公式为：V = 底面积 ×高。

底面积可以通过底边长和高求解，公式为：底面积 = 1/2 ×底边长 ×高边长。

以一个具体的直角三棱柱为例，假设底边长为4cm，高边长为3cm，高为5cm。

则可以按照上述公式进行计算：底面积 = 1/2 × 4cm × 3cm = 6cm²，体积 = 6cm² × 5cm = 30cm³。

2. 球体的体积计算球体是指所有离球心的距离相等的点构成的图形。

在三维几何中，球体的体积计算公式为：V = 4/3 × π × 半径³。

其中，π取近似值3.14。

假设一个球体的半径为7cm，可以进行如下计算：V = 4/3 × 3.14 ×7cm³ ≈ 1436.29cm³。

3. 圆柱体的体积计算圆柱体是指底面为圆形的立体图形。

圆柱体的体积计算公式为：V= 底面积 ×高。

底面积即为圆的面积，公式为：底面积= π ×半径²。

假设一个圆柱体的半径为5cm，高为10cm，可以进行如下计算：底面积= 3.14 × 5cm² = 78.5cm²，体积 = 78.5cm² × 10cm = 785cm³。

4. 锥体的体积计算锥体是指底面为圆形且侧面全部由一个顶点连接而成的立体图形。

锥体的体积计算公式为：V = 1/3 ×底面积 ×高。

假设一个锥体的底面半径为6cm，高为12cm，可以进行如下计算：底面积 = 3.14 × 6cm² = 113.04cm²，体积 = 1/3 × 113.04cm² × 12cm = 452.16cm³。

数学建模算法之蒙特卡罗方法——原理、编程及应用一、前言1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam和Nick Metropolis共同发明了蒙特卡罗方法。

此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一。

蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。

此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。

由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。

二、蒙特卡罗方法的基本原理以及思想1、蒲丰投针实验其基本思想源于法国数学家蒲丰提出著名的蒲丰投针实验，并以该方法求圆周率。

为了求得圆周率π值，在十九世纪后期，有很多人作了这样的试验：将长为2l的一根针任意投到地面上，用针与一组相间距离为2a（l＜a）的平行线相交的频率代替概率P，再利用准确的关系式：求出π值。

其中Ｎ为投针次数，n为针与平行线相交次数。

这就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。

2、射击问题设r表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，ｇ(r)表示击中r处相应的得分数（环数），f(r)为该运动员的弹着点的分布密度函数，它反映运动员的射击水平。

则该运动员的射击成绩为用概率语言来说，<g>是随机变量ｇ(r)的数学期望，即当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。

有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。

蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。

大数定律12.3蒙特卡洛（Monte Carlo）算法蒙特卡洛（Monte Carlo）方法是计算机出现之后，利用概率模型近似计算的方法。

例如右图中单位圆的面积是π，在[][]1,11,1-⨯-区域内均匀地撒点，落在单位圆内的点标为红色，落在圆外的点标为蓝色。

如果共抛了n 个点，落在单位圆内的红色点有m 个，则S mS n ≈单位圆正方形，已知4S =正方形，则得到4m S nπ=≈⋅单位圆，其理论基础是大数定律。

**********************************************************设第k 次撒点落入单位圆内时，随机变量1k X =，落到单位圆外，则0k X =。

则01~144k X ππ⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，1,2,,k n = ，()4k E X π=。

而12n m X X X =+++ ，根据大数定律，对任意的0>ε，11lim ()lim P 044n n n m P X X n n ππεε→∞→∞⎛⎫⎛⎫++-≥=-≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

Monte Carlo方法的基本想法是构造一个随机变量，使得所希望计算的量是这个随机变量的某个数字特征（通常这个数字特征是数学期望）。

然后通过随机模拟的方法得到这个数字特征的估计，从而得到所希望计算的量的估计。

可利用中心极限定理对Monte Carlo方法的精度作进一步的分析。

**********************************************************例12.3.1n X X X 221,,, 相互独立，且均服从(0,1)内的均匀分布⎩⎨⎧<+=-其他,01,422212k k k X X Y ，n k ,,2,1 =，(1)对任意给定的正整数n ，证明nY Y Y Y n +++= 21的期望为π；(2)用中心极限定理估计100n =时，()1.0<-πY P ；(3)用切比雪夫不等式估计，n 取多大时，可保证()9.01.0≥<-πY P 。

立体图形体积的计算方法
立体图形体积的计算方法
三维图形的体积是指图形中实际存在的立体空间，计算三维体积有多种方法，其中主要有以下几种：
一种是采用体积公式法，即利用三维图形的体积公式来求解，通常比较复杂的图形对应的体积公式将会更复杂，因此需要计算时需要谨慎考虑；
另一种是采用积分法，即利用积分定理来求解，其原理是将原有的三维图形分解成多个梯形的集合，然后再求出每一个梯形的面积乘上高度之和，从而得出最终的结果；
最后还有一种是采用分块法，即将三维图形分成数个小体积块，通过求出每一块体积之后相加，计算出最终的体积。

总之，计算三维图形体积是一门有趣又有挑战性的数学领域，我们可以根据自己的能力选择不同的方法来求解，只要我们善于专注、认真计算，就一定能得出满意的结果。

题目：计算三维图形的体积和表面积。

题目：计算三维图形的体积和表面积
引言
本文档将介绍如何计算不同类型的三维图形的体积和表面积。

我们将涵盖以下几种常见的三维图形：立方体、长方体、圆柱体和球体。

立方体
立方体是一种拥有六个相等面积的正方形面的三维图形。

要计算立方体的体积和表面积，我们可以使用以下公式：
体积公式：V = 边长 x 边长 x 边长
表面积公式：A = 6 x (边长 x 边长)
长方体
长方体是一种拥有六个矩形面的三维图形。

要计算长方体的体积和表面积，我们可以使用以下公式：
体积公式：V = 长 x 宽 x 高
表面积公式：A = 2 x (长 x 宽 + 长 x 高 + 宽 x 高)
圆柱体
圆柱体是一种拥有两个圆形底面和一个侧面的三维图形。

要计算圆柱体的体积和表面积，我们可以使用以下公式：
体积公式：V = π x 半径平方 x 高
表面积公式：A = 2πr² + 2πrh
球体
球体是一种拥有球形表面的三维图形。

要计算球体的体积和表面积，我们可以使用以下公式：
体积公式：V = (4/3) x π x 半径³
表面积公式：A = 4πr²
结论
本文档介绍了计算立方体、长方体、圆柱体和球体的体积和表面积的方法。

这些公式可以帮助我们准确计算不同类型的三维图形
的相关指标。

我们可以根据需要使用这些公式进行计算，以解决实际问题。

蒙特卡罗计算方法
1. 嘿，你知道蒙特卡罗计算方法吗？就好比买彩票啊，每一次的选择都是不确定的，但通过大量的尝试，我们却能逐渐接近真实的结果。

比如计算一个不规则图形的面积，蒙特卡罗方法就可以大显身手，随机地在这个图形内投点，通过统计点的数量来估算面积，是不是很神奇？
2. 哇塞，蒙特卡罗计算方法真的超厉害的！就像在大海里捞针，看似不可能，但通过无数次的尝试，总能找到那根针。

比如说预测股票价格的走势，蒙特卡罗方法就如同我们的秘密武器，模拟出各种可能情况，给我们一个大致的方向，这可太有意思了吧？
3. 蒙特卡罗计算方法啊，那可是个宝贝呢！好比我们玩拼图游戏，不知道全貌，但一点点拼凑，就慢慢清晰起来。

像是评估一个项目的风险，蒙特卡罗计算方法能让我们清楚地看到各种可能性，能不牛吗？
4. 哼，你别小看蒙特卡罗计算方法呀！这就像走迷宫，虽然过程充满不确定性，但不断尝试就能找到出路。

比如说计算复杂的物理问题，蒙特卡罗方法就是解题的一把好手，能帮助我们理解那些深奥的现象，你说厉害不厉害？
5. 嘿！蒙特卡罗计算方法可太有趣啦！就像撞大运，虽然不知道每次的结果，但积累多了就知道规律了。

比如在游戏中模拟战斗的结果，蒙特卡罗方法就能让游戏更加刺激和真实，这多好玩呀！
6. 哇哦，蒙特卡罗计算方法那可真是了不起！好比是茫茫夜空中的星星，虽然每一颗单独看起来很渺小，但聚在一起就能照亮整个天空。

像分析交通流量这种复杂问题，蒙特卡罗计算方法就能发挥大作用，帮助我们找到最佳的解决方案，难道不值得我们好好研究吗？
我的观点结论：蒙特卡罗计算方法是一种非常神奇且实用的方法，在各个领域都能发挥重要作用，真的太棒了！。

三维形的体积计算在几何学中，三维形是指具有三个维度的物体，如立方体、球体、圆柱体等。

计算这些三维形的体积是非常重要的，因为它涉及到我们对物体容量和空间的认知和应用。

本文将介绍几种常见三维形体的体积计算方法。

立方体的体积计算立方体是最简单的三维形体之一，它的六个面都是相等的正方形。

立方体的体积可以通过公式V = a³计算，其中a代表边长。

例如，一个边长为5厘米的立方体的体积可以计算如下：V = 5³ = 125立方厘米球体的体积计算球体是一个完全的圆形，其表面上的每一点到球心的距离都相等。

球体的体积可以通过公式V = (4/3)πr³计算，其中r代表球的半径，π是一个常数，约等于3.14159。

例如，一个半径为6厘米的球体的体积可以计算如下：V = (4/3) × 3.14159 × 6³ ≈ 904.7784立方厘米圆柱体的体积计算圆柱体是一个由两个平行的圆形底面和连接它们的侧边组成的三维形体。

圆柱体的体积可以通过公式V = πr²h计算，其中r代表底面的半径，h代表圆柱体的高度，π是一个常数，约等于3.14159。

例如，一个底面半径为4厘米、高度为8厘米的圆柱体的体积可以计算如下：V = 3.14159 × 4² × 8 = 402.12384立方厘米锥体的体积计算锥体是由一个圆形底面和连接底面与顶点的侧边组成的三维形体。

锥体的体积可以通过公式V = (1/3)πr²h计算，其中r代表底面的半径，h代表锥体的高度，π是一个常数，约等于3.14159。

例如，一个底面半径为3厘米、高度为6厘米的锥体的体积可以计算如下：V = (1/3) × 3.14159 × 3² × 6 = 56.54866立方厘米总结：通过以上几个常见的三维形体的体积计算方法，我们可以利用相应的公式并代入具体数值，快速准确地计算出物体的体积。

蒙特卡罗方法求冰淇淋锥的体积_办法蒙特卡罗方法求冰淇淋锥的体积200820302021 赵越问题叙述蒙特卡罗方法是一种通过随机变量的统计试验求近似解的方法.在冰淇淋锥体和其外围六面体中随机产生N个坐标点,统计其中落在锥体中的点和总的点数的比例就可以近似地求出锥体的体积,在该实验中求出空间中x,y,z区间中的冰淇淋锥体的体积大小.问题分析冰淇淋锥含于体积等于8的立方体中,由于rand 产生0 到1之间的随机数,所以:x=2*rand-1产生– 1到1之间的随机数;y=2*rand-1产生– 1到1之间的随机数;z=2*rand;产生0到2之间的随机数;N个点均匀分布于六面体中,锥体中占有m个,则锥体与六面体体积之比近似为m : N多次反复试验,可以观察出其误差情况.实验程序及注释function data=icecream设置函数名if nargin==0,L=10;end %设置循环次数最多为10N=10000;设置采样点的数量N为10000for k=1:L %循环L次P=rand随机取值函数N行3列x=2*P-1;设置x在范围取值y=2*P-1;设置y在范围取值z=2*P设置z在范围取值R2=x.+y.;R=sqrt设置锥体的函数表达II=find设置锥体的函数表达m=length判断落在锥体内的点的数量q=8*m/N;计算出锥体的体积大小enddata=[q; q-pi]返回体积大小和计算误差实验数据结果及分析程序运行后,分别列出了取值N=10000的时候进行10次同样的蒙特卡罗方法计算出来的锥体体积大小,可以看出小数点后第2位的数值已经很不稳定,因此只能保证两位数字的有效数位,因此修改N的大小,进行相同的实验,当N分别取10,10,10,10时可以看出采样点的多少对数据精度的影响.在N为10时,数据精度很差,为10时只能保证不到2位的有效数位,随着N的增加计算精度也随着增加,在N时,数据比较接近3.14.实验结论蒙特卡罗方法近似计算几何体体积,其随着采样点的数量提高,数据精度也逐渐提高,采样点的增加对计算量的影响成正比例关系增加,而不是成几何级数增加,因此使对图形体积的快速计算成为可能,但数据精度较低.六、注记蒙特卡罗方法可以用于快速计算函数曲线所围图形面积,即计算定积分,其优点是计算量小,采样点的提高对计算量提高不快,适合快速计算,计算面积的时候和计算体积的时候维度的增加对计算量的增加也是线性的,不像数值方法计算量提高很快,因此蒙特卡罗方法还适合多维度问题的计算.对抛射曲线的改进实验200820302021 赵越一,问题叙述在研究榴弹炮等类似的抛射曲线发射角度和射程的关系问题中,建立的物理模型为炮弹发射初速不变,炮弹发射后仅在重力的作用下作惯性飞行,飞行的轨迹为抛物线,但在实际问题中,用该模型计算出的射程会与实际的射程发生较大偏差,理论射程会大于实际射程,这主要是由于没有考虑到炮弹在空气中受到空气的助力,速度不断减小的原因.问题分析原抛物曲线公式为:考虑到炮弹在空气中飞行受到空气助力,设空气阻力始终与飞行轨迹的切线方向相反,且阻力大小与速度呈正比例关系,侧有:,其中Z为阻力系数,再根据初值,当t=0时,V=V o,可得到V=V o*exp,用V代替原抛物线公式中的V o得到:先假设Z=0.01实验程序及注释function fx=funxfx=exp-sqrt*4.9*x/515; %定义求解抛物线零点的函数v0=515;alpha=45*pi/180;定义初速度和发射角T=fzero求出并定义T为炮弹飞行的时间for n=1:1:17 %计算17个点t=*T/16;定义采样时间间隔x=v0*exp*t*cos定义各点横坐标y=v0*exp*t*sin -0.5*9.8*t.; %定义各点纵坐标endplotXmax=x实验数据结果及分析下图为未经过修正的原函数曲线:上图为修正过后Z=0.01,发射角为45度时的抛射曲线.Xmax=1.0652e+004.已经比较接近于真实值11800了.实验结论实验描述了通过对抛物曲线速度函数的修正,使得抛射曲线更加接近真实情况的方法,并通过程序化出了较理想的曲线图,但为了逼近真实数据,还需要对阻力系数进行精确的求解.注记下面尝试求出助力系数的较精确的值.Z=0.0085重新画曲线得出:function fx=funxfx=exp-sqrt*4.9*x/515;v0=515;alpha=45*pi/180;T=fzero;for n=1:1:17t=*T/16;x=v0*exp*t*cos;y=v0*exp*t*sin -0.5*9.8*t.; endplotXmax=x得出如上较为精确的曲线赵越200820302021。

三维坐标体积的探究
一、什么是三维坐标体积
三维坐标体积是指三维空间中一个物体所占据的空间大小。

在数学上，三维坐标体积可以用立方体、长方体、球体等几何图形来表示。

在现实生活中，我们可以通过测量物体的长、宽、高来计算出它的体积。

二、如何计算三维坐标体积
计算三维坐标体积需要用到数学知识，具体方法如下：
1. 立方体体积计算公式：V=a，其中a为立方体的边长。

2. 长方体体积计算公式：V=a×b×c，其中a、b、c分别为长方体的长、宽、高。

3. 球体体积计算公式：V=4/3πr，其中r为球体的半径。

三、三维坐标体积的应用
三维坐标体积在日常生活中有着广泛的应用，下面举几个例子：
1. 建筑设计：建筑师需要计算建筑物的体积，以确定所需的建筑材料和建筑成本。

2. 工业生产：工厂需要计算产品的体积，以确定产品的包装和运输成本。

3. 地质勘探：地质学家需要计算地下矿藏的体积，以确定矿产资源的开采价值。

四、三维坐标体积的意义
三维坐标体积不仅仅是一个数学概念，它还有着深刻的意义。

它代表着物体所占据的空间大小，是物体存在的证明。

同时，它也代表着物体的价值和重要性，是衡量物体质量和成本的重要指标。

五、结语
三维坐标体积是一个重要的数学概念，在日常生活中有着广泛的应用。

通过计算三维坐标体积，我们可以更好地理解物体的大小和形状，同时也可以更好地掌握物体的价值和重要性。

三维几何体的体积计算在几何学中，我们经常需要计算三维几何体的体积。

体积是指占据空间的量，是一个物体所包含的内部空间的大小。

对于不同形状的几何体，有不同的计算方法和公式。

下面将介绍几种常见几何体的体积计算方法。

一、立方体的体积计算立方体是最简单的一种几何体，它的三条边相等且相互垂直。

立方体的体积计算公式为：体积 = 边长³其中，边长表示立方体的边长大小。

例如，如果一个立方体的边长为3厘米，则它的体积为：体积 = 3³ = 27立方厘米二、长方体的体积计算长方体是另一种常见的几何体，它的三条边长度可以不相等。

长方体的体积计算公式为：体积 = 长 ×宽 ×高其中，长表示长方体的长边长度，宽表示短边长度，高表示长方体的高度。

例如，如果一个长方体的长、宽、高分别为4厘米、3厘米、2厘米，则它的体积为：体积 = 4 × 3 × 2 = 24立方厘米三、圆柱体的体积计算圆柱体是一个由两个平行且相等的圆底面和一个弧面组成的几何体。

圆柱体的体积计算公式为：体积= π × 半径² ×高其中，π约等于3.14，半径表示圆柱体底面圆的半径大小，高表示圆柱体的高度。

例如，如果一个圆柱体的底面半径为2厘米，高度为5厘米，则它的体积为：体积 = 3.14 × 2² × 5 = 62.8立方厘米四、球体的体积计算球体是一个拥有无数个点都与球心的距离相等的几何体。

球体的体积计算公式为：体积= (4/3) × π × 半径³其中，π约等于3.14，半径表示球体的半径大小。

例如，如果一个球体的半径为3厘米，则它的体积为：体积 = (4/3) × 3.14 × 3³ = 113.04立方厘米五、锥体的体积计算锥体是一个底面为任意形状的多边形，顶点与底面上一点连线垂直且相交的几何体。