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弹性力学课件圣维南边界条件1

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弹性力学圣维南边界条件

弹性力学圣维南边界条件
➢它要求在边界上不同点（所有y值处），应力分量必须处
处与面力分量对等。这种严格的边界条件是较难满足的。
➢但是当l≥h时，左右两端边界是小边界，这时可应用圣维
南原理，用如下静力等效条件来代替上述条件：在这一局 部边界上，使应力的主失量和主矩分别等于对应的面力的 主失量和主矩。（绝对值相等，方向相同）
圣维南原理及应用
➢应用圣维南原理后的积分边界条件具体表达式为：
ห้องสมุดไป่ตู้
h/2
h/2
h / 2 ( x ) xl dy 1 h / 2 f x ( y)dy 1
h/2
h/2
( ) h / 2
x xl
ydy 1
h/ 2
f x ( y) ydy 1
h/2
h/2
h / 2 ( xy ) xl dy 1 h / 2 f y ( y)dy 1
平面问题的应力边界条件
➢具体解题时，建立次要边界上的积分边界条件
的方法有三种：
方法一：
1、在次要边界上应力的主失量和主矩的数值应当等 于相应面力的主失量和主矩的数值（绝对值） 。
2、面力的主失量和主矩的方向就是应力的主失量和 主矩的方向。
例题
习题2－8第二部分：列出图2-14所示问题的边界条件（
上式表明：
（1）等式左右两边的数值是相等的、方向是一致的。
（2）等式左边的符号可以按照应力的符号规定来确定： 应力的正方向就是应力失量的正方向；正的应力乘以正的 矩臂就是应力主矩的正方向。
圣维南原理及应用
➢如果给出的不是面力的分布，而是单位宽度上面力的
主失量和主矩，则具体表达式为：
h/2
h / 2 ( x ) xl dy 1 FN

第2章 第8讲 圣维南原理

第2章 第8讲 圣维南原理

2.8 圣维南原理
2.圣维南原理（Saint-Venant Principle）
圣维南原理可以有效 解决无法严格满足的边界 条件问题。 圣维南原理是法国力 学家圣维南于1855年关于 柱体扭转的论文中提出的， 并得到了工程的检验。但 至今没有严格的证明。
圣维南（Adhemar Jean Claude Barre de SaintVenant，1797～1886）， 法国力学家。主要研究 弹性力学，注重理论研 究成果应用于工程实际。
第二章 平面问题的基本理论
第8讲 圣维南原理
第二章 平面问题的基本理论
上一讲回顾
弹性力学平面问题的基本方程共有8个，需 要在相应的边界条件才能求解，弹性力学的边 界条件有：位移边界条件、应力边界条件和混 合边界条件。
在Su上：
(u )s (v )s
u (s ) v (s )
在S上：
(l (l
x xy
解：① 在主要边界（上、 下表面处），应精确满 MF S O 足下列边界条件： FN ( yx )y h ( y )y h 0;
q h h l
x
(
yx )y
h
0, (
h h
y )y
h
q.
y
h h h h h h
(l
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱh)
② 左、右端面为次要边界，分别列出三个积分的应力边界条件：
(
x )x 0dy xy )x 0dy
3.圣维南原理的几种推广
如果物体一小部分边界上的面力是一 个平衡力系（主矢量及主矩都等于零）， 那么这个面力就只会使近处产生显著的应 力，而远处的应力可以不计。
2.8 圣维南原理
4.圣维南原理的注意事项

弹性力学课件

弹性力学课件
研究对象
弹性力学的研究对象主要是弹性 体，即在外力作用下能够发生变 形，当外力去除后又能恢复到原 来形状的物体。
弹性体基本假设与约束条件
基本假设
弹性体在变形过程中，其内部各点间 距离的变化是微小的，且这种变化不 影响物体的整体形状和大小。
约束条件
弹性体的变形受到外部约束条件的限 制，如支撑、连接等，这些约束条件 对弹性体的变形和内力分布产生影响 。
2
例题2
无限大平板受均布载荷作用下的应力分 析。利用弹性力学理论求解无限大平板 在均布载荷作用下的应力分布，并讨论 平板厚度对应力分布的影响。
3
例题3
圆柱体受内压作用下的应力分析。通过 解析法或数值法求解圆柱体在内压作用 下的应力分布，并讨论不同材料属性和 几何参数对应力分布的影响。
03
弹性体变形协调方程与几何方程
3
讨论
通过对比各向同性和各向异性材料的力学行为， 加深对材料本构关系的理解。
05
平面问题求解方法与应用举例
平面问题定义及分类
平面应力问题
长柱形物体受平行于横截面的外力作用，横截面尺寸远小于轴向 尺寸。
平面应变问题
平面或板状物体受平行于中面的外力作用，中面尺寸远大于厚度。
平面问题的简化
忽略体力，将空间问题简化为平面问题。
各向异性材料本构关系简介
各向异性假设
材料在各个方向上具有不同的力学性质。
本构关系特点
应力与应变之间的关系复杂，需要考虑材料的方 向性。
典型各向异性材料
纤维增强复合材料、层合板等。
典型例题解析与讨论
1 2
例题一
求解各向同性材料在简单拉伸条件下的应力和应 变。
例题二
分析各向异性材料在复杂应力状态下的力学行为 。

弹性力学基础知识PPT课件

弹性力学基础知识PPT课件
应力矩阵
应变矩阵
19
20
弹性体变形实际上是弹性体内质点的位置变化，质点位置 的改变称为位移（displacement）。位移可分解为x、y、z 三个坐标轴上的投影，称为位移分量。沿坐标轴正方向的 位移分量为正，反之为负。
位移的矩阵表示为 弹性体发生变形时，各质点的位移不一定相同，因此位移
也是x、y、z的函数。
• 完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性 的应力与应变关系。
• 研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。
8
1 弹性力学的基本假设
5. 小变形假设
——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下， 物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。
——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引 起的尺寸变化。
• —— 物体的弹性性质处处都是相同的。
• 工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状， 并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为 均匀材料。
• 对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料 6
1 弹性力学的基本假设 3. 各向同性假设
• ——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质， 这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。
17
z
oy x
τyz
τyx
σy
应力分量
符号规定： 图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元 体面的应力称为正应力。 正应力记为 ,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标轴 的方向。 平行于单元体面的应力称为切应力，用τyx 、τyz表示，其
第一下标y表示所在的平面，第二下标x、y分别表示沿
1，没有正应力，没有正应变 2，没有正应变，没有正应力 3，没有应变，没有位移 4，没有位移，没有应变

弹性力学 第3讲 平面问题基本理论(2) PPT课件

弹性力学 第3讲 平面问题基本理论(2) PPT课件


或)(写X 为 ：Y
x y
)
2( x y ) 0 ( 2 Laplace 算子)
(与E, μ无关，适合于平面应力和平面应变问题)
应力法方程： 2( x y ) 0
相容方程
x
m cos(90 ) sin
代入应力边界条件:
l(x cxo)ss m (yxyxs)ins X 0 m (ysiyn)s l(xyxyc)oss Y 0
x N

B
6
2. 圣维南原理
端部：只知合力而不知其分布，应力边界条 件难以给出。
21
22
思考：
若应变分量满足相容方程：
2 x
y2

2 y
x 2

2 xy
xy
那么由物理方程导出的应力分量是否一定满足 以应力表示的相容方程(不计体力)：
(
2 x 2

2 y2
)(
x


y
)

0
23
24
•应力函数：（多数情况体积力为常量）
((xx2222yy2222))((xxyy))0(1
3
• 应力边界条件
ox y
X YN
X ,Y —已知面力
yx y
xy X
x
YN
l( x )s m( yx )s X m( y )s l( xy )s Y 内力和外力的平衡。
4
• 混合边界条件
vs v 0
o
x
( yx )s X 0
y
例：写出水坝OA、O1B的边界条件，设水的密度为 。

P A

弹性力学-边界条件

弹性力学-边界条件
y
yx

x
P y
fx
n
l cosn, x cos m cosn, y sin
xy

由 x s m xy s f x xy s m y s f y
fy
x s cos yx s sin 0

h 2 h 2
h 2 h 2
f x ydy M
则边界条件可以写成(P.23 (b))：

x x l
dy Fx ,

xy x l
dy Fy ,

x x l
ydy M
悬臂梁的例子：
y
h 2 h 2
y y x
h 2 h 2
x
P
L
L
对边界条件的积分为： (P.23 (b))：
x yx
xy l fx y s m fy
x 上面：l=0，m=-1 左面： 右面： l=-1 l=1 m=0 m=0 下面：l=0，m=1 y
(2).上下两面 ( ) f l 0 m 1 ( ) f
二、应力边界条件 在边界上的楔形体（单位厚度）如图所示： 弹性体内单元体斜面上的 y 应力分量与坐标面应力的 yx 关系有(静力平衡) f xn X x p x x xy l p y m y yx
• 所得到的应力分量必须在所有边界上各点处严 格满足应力边界条件，才是所论问题的解答。 • 在小边界上，如果不能严格满足边界条件，可 以用圣维南原理在静力等效意义上满足(积分 意义上的)边界条件。 • 根据这个原理：两组面力其分布尽管不同，但 如果两者的合力与合力矩相同(静力等效)，此 时它们所产生的作用结果仅仅在局部有比较大 的差异，远离这个局部，结果基本相同。

弹性力学-边界条件



1 (
y x) s

f
x
o
x
上面：l=0，m=-1
左面：
右面：
l=-1
l=1
m=0
m=0
下面：l=0，m=1 y
边界面于坐标轴平行时的简单写法: 每个边界条件只含有一个应力分量(l=0 or m=0) 边界上的面力按应力分量的符号规定，不考虑l,m
图中的面力采用矢量 符号规则
举例：
yxx
xy y

s
l m


f f
x y

fYyn
注意：以上在推导时，斜 面上的应力px,py采用矢量 符号规定－与面力相同。
应力边界条件的写法是：左端为边界上微元体的 应力分量；右端为面力分量。可以各自采用各 自的符号规定。但需要用边界的方向余弦
O yyຫໍສະໝຸດ l cos m sin
x yx
xy y

s
l m


f f
x y

x s cos

xy
sin
s
0
xy
cos
s
y
sin
s
0
y
唯一性定理
• 表述－1：在没有初始应力的情况下，如果边界 条件足以确定全部刚体位移，则弹性力学边值问 题的解答是唯一的。
cos

yx
s in
s
0
xy
cos
s

y
s in
s
0

x
s
ytg 2

p

高等材料力学课件第五章-弹性力学边值问题


( ) kk , i 2ui Fbi 0
§5.3 基本解法3
( ) 2 u Fbx 0 x ( ) kk , i 2ui Fbi 0 ( ) 2 v Fby 0 y ( ) 2 w Fbz 0 z
§5.1 基本方程2
弹性力学基本方程 1. 平衡微分方程
x yx zx Fbx 0 x y z xy y zy Fby 0 x y z z yz z Fbz 0 x y z
ij ,i Fbj 0
2. 几何方程
1 u v w ij (ui , j u j ,i ) x , y , z , 2 x y z v u w v u w xy , yz , zx x y y z z x
§5.1 基本方程3
件，则可得到唯一的解。
物理方程中消 去应变分量
§5.3 基本解法16
体力为常量时一些物理量的特性
• 弹性力学的基本未知量位移、应力和应变 等在体力为常量时具有一些特性。
• 掌握这些特性，可以帮助我们分析弹性力 学问题。
• 物理量特性
§5.3 基本解法17
位移分量表示的平衡微分方程
( ) 2 u 0 x x ( ) 2 v 0 y y
§5.3 基本解法12
应力分量表达的变形协调方程， 通常称为贝尔特拉米--米切尔方程
弹性体体力为常量
§5.3 基本解法13
• 应力解法的基本未知量为6个应力分量；
• 基本方程为3个平衡微分方程和6个变形协 调方程。 • 应力解法适用于面力边界条件。 • 总而言之，在以应力函数作为基本未知量 求解时，归结为在给定的边界条件下，求 解平衡微分方程和应力表达的变形协调方 程所组成的偏微分方程组。

数学弹性力学PPT课件

应变有关。
第48页/共210页
说明
物理方程的两种形式：
ε f─(应σ)变用应力表示，用于
按应力求解；
(2 4) n l 21 m2 2
l 2 m2 1 n l 21 (1 l 2 ) 2 n l 2 (1 2 ) 2
0l
1 max
min
1 2
第31页/共210页
xy 0, x 1, y 2
(2 5) n lm( 2 1)
l 2 m2 1 n l 1 l 2 ( 2 1) l 2 l 4 (1 2 )
形变与位移的关系
形变确定，位移不完全确定 ：
从物理概念看， 、 确 定，物体还可
作刚体位移。
从数学推导看， 、 确定，求位移是
积分运算，出现待定函数。
第40页/共210页
形变与位移的关系
例：若 x y ,x求y 位0移：
由
u x
x两边0 对x积分，
u(x,y)0 f1( y).
由
v y
y两 边0 对y积分，
第22页/共210页
思考题
1.试检查，同一方程中的各项，其量纲
必然相同（可用来检验方程的正确性）。
2.将条件 M,c改0为对某一角点的
，
将得出M什0么结果？
3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，
将得出什么结果？
第23页/共210页
问题
§2－3 平面问题中一点的 应力状态
问题的提出：
已知坐标面上应力 σx , σ y，, xy
只有 εx , εy，, γxy
且为 f x, y
第13页/共210页
平面应变
ox z
y
定义
§2－2 平衡微分方程 平衡微分方程 ─表示物体内任一点的微分体的

弹性力学-边界条件


2 h
x
xl ydy 0
2
2
h
L
P
2 h
xy
dy P
x l
2
y
用积分表达的边界条件
h
2 h
x
2
L
P
根据圣维南原理，把给出的面力化成合力和合力矩
h
2 h
f xdy

Fx ,
2
h
2 h
f ydy Fy ,
2
h
2 h
f x ydy M
2
则边界条件可以写成(P.23 (B))：
1 E 1 E
( (
x y
y) x)
(2～12）

xy

1
G
xy


2
1

(

)
x E
x 1 y

2


1 yE
(
y 1
)
x


2(1 )
xy
E
xy

(２13)


左面：
右面：
l=-1
l=1
m=0
m=0
下面：l=0，m=1 y
边界面于坐标轴平行时的简单写法:
每个边界条件只含有一个应力分量(l=0 or m=0) 边界上的面力按应力分量的符号规定，不考虑l,m
图中的面力采用矢量 符号规则
举例：
X 0,Y q
l 0; m 1
X q Y 0
y
X 0,Y q
x
X q Y 0
(1).左右 (2).上下
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式(2-17)
x
x

yx
y

fx
0
y
y

xy
x

fy
0
式(2-18)
4、推导用位移表示的边界条件。将公式（2-17）代入应力边界条
件，得到用 u 和 v 表示的应力边界条件：
式(2-17)
2、只能在局部边界上（小边界）进行静力等效变换。
3、根据圣维南局部影响原理，假如我们用一静力等效 力系取代弹性体上作用的原外力，则其影响仅在力的 作用区域附近。离此区域较远处，几乎不受影响。
圣维南原理及应用
➢例2.7.1：用一个钳子夹住铁杆，钳子对铁杆的作用相当于
一组平衡力系。实验证明，无论作用力多大，在距离力的作用 区域比较远处，几乎没有应力产生。
平面问题 主要内容
平面应力问题与平面应变问题 平面问题的平衡微分方程 平面问题中的一点应力状态分析 平面问题的几何方程与刚体位移 平面问题的物理方程 平面问题的边界条件 圣维南原理及应用 按位移法求解平面问题 按应力求解平面问题及相容方程 常体力情况下的简化与应力函数
h/2
h/2
h/ 2 ( xy )xl dy 1 h/ 2 f ydy 1
h/2
( h/ 2
)x xl
dy
1

FN
h / 2 ( h/ 2
)x xl
ydy
1

M
h/2
( h/ 2
xy
) xl
dy
1
Fs
例题
例：如图所示，列出其边界条件（固定边不写）。
的方法有三种：
方法一：
1、在次要边界上应力的主失量和主矩的数值应当等 于相应面力的主失量和主矩的数值（绝对值） 。
2、面力的主失量和主矩的方向就是应力的主失量和 主矩的方向。
例题
习题2－8第二部分：列出图2-14所示问题的边界条件（
固定边不写）。
上下边界：
y h: 2
( y ) yh 0, ( xy ) yh q1
平面问题的求解方法
➢求解方法：未知函数及方程较多，难于求解，通常采用消
元法。又可分为：按位移求解和按应力求解。
➢按位移求解：以 2 个位移分量为基本未知函数，从基本方
程和边界条件中消去应力分量和应变分量，导出只含位移分量 的基本方程和边界条件，由此解出位移分量，然后根据几何方 程和物理方程求应变分量和应力分量。
上式表明：
（1）等式左右两边的数值是相等的、方向是一致的。
（2）等式左边的符号可以按照应力的符号规定来确定： 应力的正方向就是应力失量的正方向；正的应力乘以正的 矩臂就是应力主矩的正方向。
圣维南原理及应用
➢如果给出的不是面力的分布，而是单位宽度上面力的
主失量和主矩，则具体表达式为：
h/2
( h/ 2
，其它 6 个未知函数须用 u 和 v 表示；
1、将应变分量用 u 和 v 表示，直接采用几何方程：
x

u x
, y

v y
,
xy

v x

u y
式(2-8)
2、为了将应力分量用 u 和 v 表示，将几何方程代入用应变表示的
物理方程（以平面应力问题为例）：
x

1 E
( x
y )
3 Fb 4
Fx 0
b 0
(
xy
) y0
dx


F 2
课后作业
作业： 1、习题2－8第一部分：列出图2－13所示问题的全部边界条件。 2、习题2－9。
主要内容
平面应力问题与平面应变问题 平面问题的平衡微分方程 平面问题中的一点应力状态分析 平面问题的几何方程与刚体位移 平面问题的物理方程 平面问题的边界条件 圣维南原理及应用 按位移法求解平面问题 按应力求解平面问题及相容程 常体力情况下的简化与应力函数
2、式（2-15）是精确的，而积分边界条件是近似的；
3、式（2-15）有两个条件，一般为两个函数方程，而 积分边界条件有三个积分条件，均为代数方程。
4、在求解时，式（2-15）难以满足，而积分边界条件 易于满足。当小边界上的条件难于满足时，便可以用积分 积分边界条件来代替。
平面问题的应力边界条件 处理方法
§2.8 平面问题的求解方法-位移法
平面问题的基本方程与未知数
➢平衡微分方程：2个，两类问题完全相同 ➢几何方程：3个，两类问题完全相同 ➢物理方程：3个，两类问题不同，只需对系数作替换 ➢未知函数：3个应力分量、3个应变分量、2个位移分量 ➢ 边界条件：8个方程是弹性体内部必须满足的条件，
而在边界上则必须满足边界条件（应力、位移、混合）
3F 2
b
0 ( y ) y0 xdx
3 Fb 4
b 0
(
xy
) y0 d x


F 2
平面问题的应力边界条件
方法二： 1、在坐标系的第一象限取微分单元体，根据
应力正负号约定标出单元体各侧面上正的应力（ 按正面正向，负面负向）；
2、建立次要边界积分边界条件时，应当使与 边界面对应微分单元体侧面上的应力合成的主失 （主矩）绝对值与面力主失（主矩）绝对值相等 ，并且应力分量与面力分量方向一致时取正号， 方向相反时取负号。
➢对于上述应力边界条件，应注意以下几点：
1、表示主要边界上任一点的应力和面力之间的关系， 是函数方程，在边界上每一点都应满足（要将边界面 方程代入式中各项）；
2、式中的面力和应力分别应用各自的正负号规定，外
法线方向余弦l 和 m 则按三角公式确定正负号。
3、对于边界面为坐标面的情形，上式可进行简化。
左右边界：
x 0: x b:
上边界：
( x )x0 gy, ( xy )x0 0 ( x )xb 0, ( xy )xb q
Fy 0
b
0 ( y ) y0 dx
3F 2
M o 0
b
0 ( y ) y0 xdx
➢圣维南原理主要内容：如果把物体表面一小部分边界上
作用的外力力系，变换为分布不同但静力等效的力系（主 失量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界 近处的应力有显著的改变，而在距离外力作用点较远处， 其影响可以忽略不计。
圣维南原理及应用
➢应用圣维南原理时必须注意：
1、变换的外力必须与原外力是静力等效的：主失量相 同，对同一点的主矩也相同
x

1
E

2
( x

y )
y

1 E
( y
x )
y

E
1 2
( y

x )
式(2-17)
xy

2(1 E
) xy
xy

E 2(1
) xy
按位移求解平面问题
3、推导求位移分量的方程。将公式（2-17）代入平衡微分方程， 得到用 u 和 v 表示的平衡微分方程，即为求解位移的基本方程：
圣维南原理及应用
➢例2.7.2：以矩形薄板受单向拉伸力作用为例分析
圣维南原理及应用
➢通过圣维南原理的使用，可以将一些难以处理的边界
条件转化为基本方程所能够满足的边界条件，使得弹性力 学问题得到解答。
➢ 圣维南原理的推广：如果物体一小部分边界上的面力
是一个平衡力系（主失量和主矩都等于零），那么，这个 面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不 计。这是因为主失量和主矩都等于零的面力，与无面力状 态是静力等效的，只能在近处产生显著的应力。
➢应用圣维南原理后的积分边界条件具体表达式为：
h/2
h/2
h / 2 ( x ) xl dy 1 h / 2 f x ( y)dy 1
h/2
h/2
( ) h / 2
x xl
ydy 1
h/ 2
f x ( y) ydy 1
h/2
h/2
h / 2 ( xy ) xl dy 1 h / 2 f y ( y)dy 1
2
2
左边界：
yh: 2
( y ) yh q, ( xy ) yh 0
2
2
h
h

2 h
2
(
x
)
x
0
dy


2 h 2
(
f
x
) x0
dy
FN
h
h
2 ( h 2
x )x0
ydy


2(
h 2
f x )x0
ydy

M
h
h

2 h
2
(


F 2
平面问题的应力边界条件
➢方法三：
1、沿次要边界面取出一个薄片（无厚度）为 脱离体，在薄片内侧面标出正的应力（按正 面正向，负面负向）；
2、建立薄片脱离体的平衡条件（力系和力矩 的平衡），即可得到积分边界条件：
Fx 0 Fy 0 Mo 0
例题
例：如图所示，列出其边界条件（固定边不写）。
圣维南原理及应用
➢下面讨论在局部边界上具体如何应用圣维南原理
如图所示，单位厚度的梁，其左右两端作用有一般分 布的面力。试分析其边界条件。
圣维南原理及应用
➢按照严格的应力边界条件（2-15）式，应力分量在左
右边界上应满足条件：
( x )xl f x ( y), ( xy )xl f y ( y)