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弹性力学边值问题及有限元法(PPT)

（2）在边界上给定位移——位移边界条件
（3）在边界上部分给定面力，部分给定位移——混合边界条件
基本解法
弹性力学边值问题——基本方程+边界条件
给定作用在物体全部边界或内部的外界作用(包括温度影响、外力等)，求解物体内由此产生的应力场和位移场。
具体地说，对物体内每一点，当它处在弹性阶段，其应力分量、应变分量、位移分量等15个未知函数要满足平衡方程、几何力程、本构方程这15个泛定方程，在边界上并要满足给定的全部边界条件。
通过与原问题基本方程及边界条件等效的变分原理，建立求解的代数方程组，求解有限个节点上的场变量值
用有限个节点场变量值插值得到全求解域任意位置的场变量
单元内近似函程形式必须一样单元内近似函数一般取Lagrange多项式
单元位移函数
对三角形单元，假定单元内的位移分量是坐标的线性函数
x
x
xy
y
xz
z
Fbx
0
yx
x
y
y
yz
z
Fby
0
zx
x
zy
y
z
z
Fbz
0
平衡方程的意义
受力而平衡的弹性体内各应力之间（及其与体力之间）的相互制约关系
几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
xy
v z
w y
xy
w x
u z
应变与位移之间的关系，以及应变之间的关系
物理方程
也叫本构方程
应力应变之间的关系
x
E(1 ) (1 )(1 2)
( x
1
y

弹性力学平面应力平面应变问题 ppt课件

系，即 σx = Eεx 这就是虎克定律。应力
（Hooke‘s Law）
Y
弹塑性范围
弹性范围
斜率, E
应变
工程上，一般将应变与应力间的关系表示为
xE 1xyz yE 1yzx
xy
1
G
xy
yz
1
G
yz
zE 1zxy
zx
1
G
zx
称它们为物理方程（广义虎克定律）。
x 1 E 1 1 2 x 1 y 1 z
1
0
对 1 0
称
1
2
对于平面应变问题的弹性矩阵，只须在上式
中，以 E
1 2
代E，
1
代μ即可。
小结
则有
uu vv ww (在 u 上)
用矩阵形式表示为：
uu (在 u 上)
小结
弹性力学基本方程的一般形式为
回顾
平衡微分方程 σb0 (在内)
几何方程物理方程
ε tu σDε
(在内) (在内)
边界条件
nσt
(在 t 上)
uu
(在 u 上)
其中 t u ，为弹性体的完整边界。
§2-3 平面应变和平面应力问题
平面应变问题
位移：按平面应变的定义，三个方向的位移函数是
uux,y vv(x,y) w0
应变：由几何方程应变-位移关系，得
x
u x
1x,
y,
y
v y
3x,
y,
xy yz
u y
v x
2x,
v w0 z y
y
z
w0, z
zx
u z

弹性力学与有限元完整版ppt课件

E 1 2 ,
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量：平衡方程——2个物理方程——3个几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型：体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}

弹性力学第四章应力应变PPT

根据完全各向异性弹性体的本构方程，将上述关系式代入广义胡克定律表达式(4-2)得
x C11x C12y C13z C14 yz C15xz C16xy y C21x C22y C23z C24 yz C25xz C26xy z C31x C32y C33z C34 yz C35xz C36xy yz C41x C42y C43z C44 yz C45xz C46xy xz C51x C52y C53z C54 yz C55xz C56xy xy C61x C62y C63z C64 yz C65xz C66xy
4
当变形较小时，可展开成泰勒级数，并略去二阶以上的小量。
x (f1 ) 0 f x 1 0x f y 1 0y f z 1 0z f y 1 z 0y z f x 1 z 0x z f x 1 y 0xy y (f2 ) 0 fx 2 0x fy 2 0y fz 2 0z f y 2 z 0y z f x 2 z 0x z f x 2 y 0xy z (f3 ) 0 fx 3 0x fy 3 0y fz 3 0z f y 3 z 0y z f x 3 z 0x z f x 3 y 0xy
等温过程：利用热力学第二定律
x v F x , y v F y , z v F z , x y v x F ,y y z v F y,z x z v F xz
9
统一的形式：
x v x , y v y , z v z , x y v x ,y y z v y,z x z v x z
5
由没有初应力的基本假设，上式可表示为
x C 1x 1 C 1y 2 C 1z 3 C 1y 4 z C 1x 5 z C 1x 6 y y C 2x 1 C 2y 2 C 2z 3 C 2y 4 z C 2x 5 z C 2x 6 y z C 3x 1 C 3y 2 C 3z 3 C 3y 4 z C 3x 5 z C 3x 6 y

各向异性弹性力学课件

建议
开发更先进的实验设备和方法，提高测试精度和效率
深入研究各向异性材料的微观结构和性能关系
在实际工程中考虑各向异性材料的性能特点，确保结构安全和稳定性
06
各向异性弹性力学的案例分析
案例一：高层建筑结构的各向异性分析
总结词
高层建筑结构的各向异性分析是各向异性弹性力学的重要应用之一，主要研究高层建筑在不同方向上的刚度和强度表现。
03 02
实验设备与实验方法
01
将样本固定在测试仪上
02
通过计算机控制系统施加不同方向的应力
实时采集数据并进行分析
03
实验结果与分析
实验结果
1
2
不同方向上的弹性模量存在差异
3
应变分布不均匀，与方向相关
实验结果与分析
01
泊松比随方向变化而变化
02
结果分析
03
各向异性材料的弹性性质与晶体结构密切相关
。
各向异性弹性力学的发展历程
03
早期研究
理论发展
应用领域拓展
各向异性弹性力学的研究始于19世纪中叶，当时主要关注天然材料的各向异性性质。
20世纪初，随着复合材料和金属材料的广泛应用，各向异性弹性力学的理论得到进一步发展和完善。
随着科技的进步，各向异性弹性力学在航空航天、土木工程、机械制造等领域得到广泛应用，为解决复杂问题提供了重要的理论支持。
复杂材料行为
各向异性弹性材料在不同方向上表现出不同的弹性性质，导致其力学行为非常复杂，难以用传统
弹性力学理论描述。
缺乏统一理论框架
目前缺乏一个统一的数学理论框架来描述各向异性弹性材料的本构关系、边界条件和应力分析。

弹性力学ppt

x xy xz 用矩阵表示： yx y yz zx zy z
其中，只有6个量独立。
z
z
xy yx yz zy zx xz
切应力互等定理
O x
xz xy y yx y yz x zx zy z
f f xi f y j f zk
f x f y f z —— 面力矢量在坐标轴上投影
量纲： L-1MT-2
—— 作用于物体表面单位面积上的外力
z
F
fz
k i
x O j
fx
S f y
y
(1) f 是坐标的连续分布函数；说明： (2) f 如：接触力、流体压力等;
(3) f x f y f z 的正负号由坐标方向确定。沿
•近代弹性力学的研究是从 19世纪开始的。
•柯西1828年提出应力、应变概念，建立了平衡微分方程、几何方程和广义胡克定律。
•柯西的工作是近代弹性力学的一个起点，使得弹性力学成为一门独立的固体力学分支学科。柯西（A.L.Cauchy）
•而后，世界各国的一批学者相继进入弹性力学研究领域，使弹性力学进入发展阶段。
4. 各向同性假定
假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。作用：弹性常数（E、μ）——不随坐标方向而变化；
金属 —— 上述假定符合较好；
木材、岩石 —— 上述假定不符合，称为各向异性材料；符合上述4个假定的物体，称为理想弹性体。
y
yx
zx
zy
yz
应力符号的意义：
第2个下标 y 表示τ的方向. 应力正负号的规定：正应力—— 拉为正，压为负。切应力——正坐标面上，与坐标正向一致时为正；负坐标面上，与坐标正向相反时为正。

弹性力学ppt课件

弹性力学ppt课件•弹性力学基本概念与原理•弹性力学分析方法与技巧目录•一维问题分析与实例讲解•二维问题分析与实例讲解•三维问题分析与实例讲解•弹性力学在工程领域应用探讨01弹性力学基本概念与原理弹性力学定义及研究对象定义弹性力学是研究弹性体在外力作用下产生变形和内力分布规律的科学。

研究对象弹性体，即在外力作用下能够发生变形，当外力去除后又能恢复原状的物体。

弹性体基本假设与约束条件基本假设连续性假设、完全弹性假设、小变形假设、无初始应力假设。

约束条件几何约束（物体形状和尺寸的限制）、物理约束（物体材料属性的限制）。

单位面积上的内力，表示物体内部的受力状态。

应力物体在外力作用下产生的变形程度，表示物体的变形状态。

应变物体上某一点在外力作用下的位置变化。

位移应力与应变之间存在线性关系，位移是应变的积分。

关系应力、应变及位移关系虎克定律及其适用范围虎克定律在弹性限度内，物体的应力与应变成正比，即σ=Eε，其中σ为应力，ε为应变，E为弹性模量。

适用范围适用于大多数金属材料在常温、静载条件下的力学行为。

对于非金属材料、高温或动载条件下的情况，需考虑其他因素或修正虎克定律。

02弹性力学分析方法与技巧0102建立弹性力学基本方程根据问题的具体条件和假设，建立平衡方程、几何方程和物理方程。

选择适当的坐标系和坐标…针对问题的特点，选择合适的坐标系，如直角坐标系、极坐标系或柱坐标系，并进行必要的坐标系转换。

求解基本方程采用分离变量法、积分变换法、复变函数法等方法求解基本方程，得到位移、应力和应变的解析表达式。

确定边界条件和初始条件根据问题的实际情况，确定位移边界条件、应力边界条件以及初始条件。

验证解析解的正确性通过与其他方法（如数值法、实验法）的结果进行比较，验证解析解的正确性和有效性。

030405解析法求解思路及步骤将连续体离散化为有限个单元，通过节点连接各单元，建立单元刚度矩阵和整体刚度矩阵，求解节点位移和单元应力。

第二章各向异性弹性力学 ppt课件

C34z
yz
C35z zx
C36z xy
12C44
2 yz
C45
yz zx
C46
yz xy
12C55
2 zx
C56 zx xy
12C66
2 zy
（2－6）
2.3 坐标转换(应力应变及弹性系数转轴公式)
2.3.1 斜面应力
为了讨论过点A任意斜面的应力，在点A附近取一个四面体微元ABCD(图 2 －1 )。
U0
1 2
ij
ij
U0
ij
Lijkl kl
ij
其中
Lijkl Lklij Mijkl Mklij
(Voigt对称性) (Voigt对称性)
dWi di
Cij ji W ji 2 i W j W ij ij Cji 由线弹性可以得 W12ii 12Cijji
2.2 均质弹性体的弹性性质
可得
U 0 x
x
U 0 yz
yz
U 0 y
y
U 0 zx
zx
U 0 z
z
U 0 xy
xy
（2－5）
为了便于以后的讨论，给出 U 0 的展开式
U0 12C11x2 C12xy C13xz C14x yz C15xzx C16xxy
12C22y2 C23yz C24y yz C25yzx C26yxy 12C33z2
2M1112
2M2212
2M3312 4M2312
4M3112
4M1212
2.1.2 弹性应变能密度
固体变形时，加在它上面的外力要做功。完全弹性体在等温条件下，当缓慢卸载后可以完全恢复其初始状态。因此，可以认为，外力功全部以能量的形式储存在弹性体内。这种能量称为应变能。

2024版弹性力学5PPT课件

2024/1/25
5
边界条件与约束类型
边界条件
位移边界条件、应力边界条件、混合边界条件。
约束类型
几何约束、运动约束、动力约束。
2024/1/25
பைடு நூலகம்
6
应力、应变及位移关系
2024/1/25
应力
单位面积上的内力，包括正应力和剪应力。
应变
物体在外力作用下形状和尺寸的改变，包括线应变和角应变。
位移
物体在外力作用下某点位置的改变，包括线位移和角位移。
广义平面应力问题与广义平面应变问题的定义
阐述广义平面应力问题和广义平面应变问题的基本概念和定义。
广义平面应力问题与广义平面应变问题的求解方法
介绍如何利用弹性力学的基本方程和边界条件，求解广义平面应力问题和广义平面应变问题。
广义平面应力问题与广义平面应变问题的实例分析
通过具体实例，展示广义平面应力问题和广义平面应变问题求解方法的实际应用。
10
功的互等定理与卡氏定理
01
功的互等定理的基本内容
在弹性力学中，如果两个载荷系统在相同的物体上分别作用并产生相同
的位移场，则这两个载荷系统所做的功相等。
2024/1/25
02 03
卡氏定理的基本内容
在弹性力学中，如果物体在某一载荷作用下处于平衡状态，那么在该载荷作用下物体内部任意点的应力分量与另一与之平衡的载荷在该点所引起的位移分量成正比。
2024/1/25
03
平面问题求解方法
13
平面应力问题与平面应变问题
平面应力问题
分析薄板在面内荷载作用下的应力、变形和稳定性。
2024/1/25
平面应变问题
研究长柱体或深埋在地下的结构物，在垂直于轴线或地面的荷载作用下，其横截面内的应力和变形。

弹性力学讲义(徐芝纶版)-PPT

换，
E
1
E
2
,
。 1
边界条件
边界条件--应用极坐标时，弹性体的边界面通常均为坐标面，即：
常数，或常数,
故边界条件形式简单。
平面应力问题在极坐标下的基本方程
1
f
0
1
2
f
0
4 1
u
,
1
u
u
,
u
1
u
u
。
1 E
(
),
1 E
(
),
x ρ x φ x
Φ y
Φ ρ
ρ y
Φ φ
φy .
一阶导数
而
cos,
x
sin , x
sin;
y
y
cos 。
代入，即得一阶导数的变换公式,
Φ cosφ Φ sin Φ (cosφ sinφ )Φ
x
ρ ρ φ
ρ ρ φ
，
(e)
Φ sinφ Φ cos Φ (sinφ cosφ )Φ。
σ x σ ρ cos2 φσφsin2 φ2τ ρφ cosφsinφ,
而
σ
x
2Φ y 2
2Φ ρ2
sin
2
φ(
1 ρ
Φ ρ
1 ρ2
2Φ ρ2
)cos2
φ
2[ ( 1 Φ )]cosφsinφ, ρ ρ
比较两式的 cos2 φ,sin2 φ,cosφsinφ 的系数，便得出 σ ρ,σφ,τ ρφ 的公式。
2(1 E
)
。
4 2
物理方程
物理方程
对于平面应变问题，只须将物理方程作如下的变换即可。

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或 Uij ui, j ij ij
2019/11/24
10
§3-2 应变张量和转动张量
其中
ij

1 2
(ui,
j
u j,i )
ij

1 2
(ui, j
u j,i )
ij = ji（对称张量）， ij = -ji （反对称张量）
而 ij 表示变形体的形变，ij 表示了刚体转动。
x1x3 x1x2 x1x2 x2x3 x2x3 x1x3 2 x2x3

211 ( 23 31 12 )
x2x3 x1 x1 x2 x3
2019/11/24
26
§3-5 变形协调条件（相容条件）

2 11

( 23 31 12 )
x2
22dx2
P x1
x2
23
5
§3-2 应变张量和转动张量
应变张量和转动张量是描述一点变形和刚体转动的两个非常重要的物理量，本节将讨论一下它们与位移之间关系，在讨论之前，先介绍一下相对位移矢量和张量.
2019/11/24
6
§3-2 应变张量和转动张量
2.1 相对位移矢量和相对位移张量
或相容方程。
2019/11/24
22
§3-5 变形协调条件（相容条件）
变形协调方程共有六个，可由几何方程直接导出。即：

2 11
x22

2 22
x12
2

2 12
x2x1

11

u1 x1
22

u2 x2
12

1 2
( u1 x2

u2 x1
)
2019/11/24
2019/11/24
20
§3-5 变形协调条件（相容条件）
在本章第二节中我们讨论了一点的应变张量，它包含了一点的变形信息，应变张量
与位移微分关系称为几何方程（共六个）。 u 如果已知变形体的位移状态，则由这六
个方程直接求出应变张量，但反之由六个独
立的任意 ij求ui不行。
2019/11/24
2019/11/24
11
§3-2 应变张量和转动张量
以在平面x1 —x2的两个垂直线段PQ、PR 的相对位移来说明并直观看一下ij，ij二阶张
量表示了形变和刚体转动。
x2
R
dx2=1
PQLeabharlann dx1=1x12019/11/24
12
§3-2 应变张量和转动张量
x2 R
dx2=1
x2 u2 ,1 u2 ,2 R’’ R’
12=2k x1 x2 x3, 23= 13=0
2019/11/24
32
作业：
(2) 11=k(x12+x22) , 22=kx22 , 33=0, 12=2kx1x2, 23= 13=0
(3) 11=ax1x22 , 22=ax12x2 , 33= ax1x2, 12=0, 23= ax32+bx2, 13=ax12+bx22 其中k、a、b为常数。
23
§3-5 变形协调条件（相容条件）
2 22
x32

2 33
x22
2 2 23
x2x3

22

u2 x2
33

u3 x3
23

1 2
( u3 x2

u2 x3
)
2019/11/24
24
§3-5 变形协调条件（相容条件）
2 33
x12
第三章应变分析
§3-1 位移和（工程）应变 §3-2 应变张量和转动张量 §3-3 应变张量和转动张量的坐标变换式 §3-4 主应变、主应变方向、应变张量
的三个不变量
§3-5 变形协调条件（相容条件）
2019/11/24
1
§3-1 位移和（工程）应变
在第二章我们研究了应力张量本身和体力、面力之间的关系式，即平衡规律。本章将讨论变形体研究的另一个基本关系：变形与位移之间的关系。当然要以小变形假设为基础，位移和形变相对于变形体几何尺寸是微小的。
3

1 2
(12
21 )

1 2
(e12312

e213 21 )
类似可得，其它两个坐标平面转动矢量，
2e2

1e1
2019/11/24
15
§3-2 应变张量和转动张量
综合三个坐标面的转动矢量：

kek

1 2

eijkijek
为转动张量的对偶矢量。
2019/11/24
16
§3-2 应变张量和转动张量
比较工程应变定义和应变张量，可得：
11 12 13 11 212 213
21
22

23

2
21
22
2
23

31 32 33 2 31 2 32 33
2019/11/24
du
ei
ui x j
dx j
——（ a）
而

r x jej
dr dx je j
dx j e j dr ——(b)
将（b）式代入（a）式，得
2019/11/24
8
§3-2 应变张量和转动张量
du ui, jeiej dr
根据商法则 du U dr
令
PQ 平移 P'Q'' 伸长＋转动 P'Q'
Q''Q'

du

dr
'

dr
——相对位移矢量
x3
dr
Q
u+du
P
P
u
r
o
x2
x1
Q’’ Q’
P’
P’ dr
2019/11/24
7
§3-2 应变张量和转动张量
2.1 相u对位移u矢ie量i和相对位移张量
2019/11/24
2
§3-1 位移和（工程）应变
1.1位移
x3
P
P
u
P’

or
x2
x1

变形体任意点P的位移矢量 u uiei
u 有三个分量。
2019/11/24
3
§3-1 位移和（工程）应变
1.2 (工程)应变
工程应变是通常工程中描述物体局部几何变化，分为正应变和剪应变。
，l （角变形）＝两微元线段
用指标符号表示：
ij,kl kl,ij ik, jl jl,ik 0
或
e e mij nkl ik, jl 0
用张量表示：
0
2019/11/24
28
§3-5 变形协调条件（相容条件）
结论：
应变张量 ij 满足变形协调方程是保证
单连域的位移单值连续解存在的必要和充分条件。
17
§3-3 应变张量和转动张量的坐标变换式
在 xk 坐标系中，已知变形体内任一点应变张量 kl 和转动张量 kl ，则在新笛卡尔坐标系x’i中此点应变张量’ij和 ’ij 均可以通
过二阶张量的坐标转换式求出它们。
即：
' ij
Q
i'k Q
j 'l
kl
i'j Q i'kQ j'l kl
x2x3 x1 x1 x2 x3
2 22 ( 31 12 23 )
x3x1 x2 x2 x3 x1
233 ( 12 23 31 )
x1x2 x3 x3 x1 x2
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§3-5 变形协调条件（相容条件）

U ui, jeie j Uijeie j
为一个二阶张量——相对位移张量
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§3-2 应变张量和转动张量
2.2 应变张量和转动张量
相对位移张量 ui,j 包含了变形和刚体转动，为了将两者分开，对 ui,j 进行整理，张量分成对称和反对称张量之和。
1
1
Uij ui, j 2 (ui, j u j,i ) 2 (ui, j u j,i )
Qi'k
ei'
ek

Q ki
'
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§3-4主应变、应变方向应变张量的三个不变量
确定一点的主应变和应变主方向方法与求主应力和应力主方向的方法完全一致，求主应变的方程
3 Ⅰ 2 Ⅱ Ⅲ 0
解出1、2、3 （实根）
、Ⅱ、Ⅲ
分别为应变张量的三个不变量。
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§3-4 主应变、应变方向应变张量的三个不变量
Ⅰ＝11 22 33 1 2 3 e
——体积应变
Ⅱ＝1 2 23 31
Ⅲ 1 23
当 1 2 3 时（三个主应变不相等），三个主方向相互垂直。
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作业：
1. 给定位移分量 u1= cx1(x2+x3)2, u2=cx2(x1+x3)2,u3=cx3(x1+x2)2
此处 c为一个很小的常数，求应变张量ij 和转动张量 ij 。