信号与系统-公式总结

页脚内容1第一章 信号分析的理论基础1．周期信号的判断：)()(T t x t x += 信号正交判断：⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰⎰21221)(,0)()(t t i i t t j iK dt t g ji dt t g t g※2． (1))()0()()(t f t t f δδ= (2)202010100120,()()(),t t ift t t t t t f t dt f t ift t t δ><⎧+=⎨<<⎩⎰或(3)()(1)()u n u n n δ--= 3．※信号的时域分析与变换信号的翻转：)()(t f t f -→ 平移：)()(0t t f t f ±→ 展缩：)()(at f t f → 4．※卷积1212()()*()()()tg t f t f t f f t d τττ-∞==-⎰1212()()*()()()nm g n f n f n f m f n m =-∞==-∑5．)(t f 与奇异函数的卷积※)()(*)()()(*)(00t t f t t t f t f t t f -=-=δδ6．几何级数的求值公式表∑=+⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--=220211,11,11n n n na n a a a a ∑=+⎪⎩⎪⎨⎧=+-≠--=21211,11,1121n n n n n na n n a a a a a ∑∞=<-=1,11n n a aa页脚内容2第二章 傅立叶变换1 正变换：()()j tF f t edt ωω∞--∞=⎰逆变换：1()()2j t f t F e d ωωωπ∞-∞=⎰2 傅立叶变换的性质()ω-页脚内容3※3 抽样定理：(1)已知信号有限频带为m f ，采样信号频率f 满足2s m f f ≥时，抽样信号通过理想低通滤波器后能完全恢复。

其中，2m f 称为奈奎斯特抽样率。

(2)抽样间隔s T 满足条件12s m T f ≤时，抽样信号能够完全恢复。

其中12s mT f =成为奈奎斯特抽样间隔。

4 典型信号的傅里叶变换及频谱图信号名称()f t波形图()()()j F F e ϕωωω=频谱图※※矩形脉冲[()()]E u t u t ττ--+()2E Sa ωττ冲激脉冲()E tδE※※直流函数E2()Eπδω※冲激序列1()Ttδ11()ωωδω112Tπω=第三章拉普拉斯变换1 定义页脚内容4页脚内容5双边拉普拉斯变换()()st F s f t e dt ∞--∞=⎰拉普拉斯反变换 1()()2j st j f t F s e ds j σσπ+∞-∞=⎰单边拉普拉斯变换0()()st F s f t e dt ∞-=⎰单边变换收敛条件：lim ()0t t f t e σ-→∞= 0σσ>称为收敛域。

2 常见函数的拉普拉斯变换3拉普拉斯的基本性质页脚内容6页脚内容7※4. 拉普拉斯反变换 ⑴部分分式展开法111012()()()()m m m m n n b s b s b s b F s a s p s p s p --+++=---1212()()()nn k k k s p s p s p =+++---()()|i i i s p k s p F s ==- (1,2,)i n =⑵留数法留数法是将拉普拉斯反变换的积分运算转换为求被积函数各极点上留数的运算，即1()()2j stj f t F s e ds j σσπ+∞-∞=⎰1Re ni i s p ==∑其中 Re [()()]i st i i s p s p s p F s e ==- （i p 为一阶极点）或111Re [()()](1)!i r p st i i s p r d s p s p F s e r ds-=-=-- （i p 为γ阶极点）第四章 Z 变换1. Z 变换定义⎪⎩⎪⎨⎧<--->↔-az n u a a z n u a a z z z nn )1()( 变换的基本形式()αs t u t +↔-1e α拉氏变换的基本形式：页脚内容8正变换： 双边：()()nn X z x n z ∞-=-∞=∑ 单边：0()()n n X z x n z ∞-==∑2. Z 变换收敛域ROC ：满足() n n x n z ∞-=-∞<∞∑的所有z 值★ ROC 内不包含任何极点（以极点为边界）； ★ 右边序列的ROC 为 1z R > 的圆外； ★ 左边序列的ROC 为 1z R < 的圆内； ★ 双边序列的ROC 为 12R z R << 的圆环。

★ 有限长序列的ROC 为整个 z 平面 （可能除去z = 0 和z = ）；3. 典型信号的Z 变换(1) ()(),x n n δ=()1X z =，0z ≥(2) ()(),x n u n =(),11zX z z z =>- (3) ()()n x n a u n =,(),zX z z a z a=>-4. 单边Z 变换性质特性名称 时间序列 Z 变换页脚内容95 Z 反变换⑴幂级数展开法（长除法）※⑵部分分式展开法 ()()()N z F z D z =11101110M M M M N N N N b z b z b z b a z a z a z a ----++++=++++ 单极点时，将()F z z 展开为部分分式 ()F z z =0N ii i A z p =-∑根据收敛域给出反变换A ： if z R >，则()f n 为因果序列（右边序列），即1()()Nn i i i f n A p u n ==∑页脚内容10B ： if z R <，则()f n 为非因果序列（左边序列），即1()(1)Nn i i i f n A p u n ==---∑※⑶围线积分法（留数法）11()()2n cf n F z z dz jπ-=⎰=1Re [(),]i n i z p is F z z p -=∑，i p 为1()n F z z -的极点。

式中围线C 位于()F z 的收敛域内且包围坐标原点。

对()F z 的收敛域为圆内部分或环形区域时，序列()f n 中将出现左边序列，可以使用留数辅助定理（当i p 为单极点）A ：C 内极点： ()f n =11Re [(),C ][()()]i i n n i z p i z p s F z z p z p F z z --===-⋅内极点B ：C 外极点：()f n =11Re [(),][()()]i i n n i z p i z p s F z z C p z p F z z --==-=-⋅外极点 注意：计算()f n 时，要分别计算n 0≥和n<0两种情况下的极点。

第六章 第七章 第八章 连续系统时域、频域和复频域分析1 线性和非线性、时变和非时变系统判别 （1）线性和非线性先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算()()[]t f C t f C H 2211+页脚内容11若()()()()11221122H C f t C f t C H f t C H f t +=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则系统[]H • 是线性系统,否则是非线性系统。

（2）时变系统与时不变系统在零初始条件下，其输出响应与输入信号施加于系统的时间起点无关，称为非时变系统，否则称为时变系统。

时不变性：先时移，再经系统＝先经系统，再时移若 ()()H f t y t ττ-=-⎡⎤⎣⎦，则系统是非时变系统，否则是时变系统。

2 对线性时不变系统，响应)()()(t r t r t r zs zi +=，其中)(t r zi 为零输入响应，)(t r zs 为零状态响应。

()[]()[]t f H C t f H C 2211+()τ-t y ()[]τ-t f H页脚内容12(1)响应可分解为：零输入响应＋零状态响应, )()()(t r t r t r zs zi +=。

零输入响应)(t r zi ：Step1 特征方程，特征根；Step2 解形式1()i na tzi i i r t C e ==∑或 1111()i Kna ta ti zi i ii i K r t C t e C e-==+=+∑∑；Step3 初始条件代入确定系统i C ； 零状态响应)(t r zs ：方法1：时域分析法)(t r zs =)(*)(t h t e 方法2：变换域分析法Step1:根据电路图，求()H s Step2: ()()()zs R s H s E s = Step3: []1()()zs zs r t L R s -=(2)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。

页脚内容13(3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。

3 冲激响应h(t) 的计算 （1）已知电路图，求h(t)Step1:明确系统输入（激励），系统输出（响应）Step2:电气元件L 和C ，变成变换域11L jwL LsC jWC CS→→或或Step3: 系统函数()()()R H E ωωω=或 ()()()R s H s E s = Step4: [][]11()()()F (w)h t L H s h t H --==或 （2）已知e(t)和零状态响应()zs r t ，求h(t) （3）已知微分方程，求h(t)}{}(0),(0),()ziCr r Cr t --()()zs Ce t Cr t 00)()()zs Ce t t Cr t t --页脚内容14（4）已知各分支子系统h i (t),根据系统连接方式确定总系统h(t)4 无失真传输条件判断定义：任意波形信号通过线性系统不产生波形失真。

时域条件：0()()r t Ke t t =-频域条件：0()j t H Ke ωω-= 等价于0()()()H K t ωϕωω⎧=⎪⎨=-⎪⎩常数即系统的幅频特性为一常数，相频特性是一通过原点的直线。

5 零输入响应)(t r zi ：Step1：特征方程，特征根；Step2：解形式1()i na tzi i i r t C e ==∑或 1111()i Kna t a ti zi i i i i K r t C t e C e -==+=+∑∑Step3：初始条件代入确定系统i C第九章 第十章 离散系统时域、Z 域分析1 差分方程的一般形式前向差分：0()()NMi j i j a y n i b x n j ==+=+∑∑ 1N a =页脚内容15后向差分：0()()N Mi j i j a y n i b x n j ==-=-∑∑ 01a =2 卷积法 ()()()zi zs y n y n y n =+（1）零输入响应()zi y n ：激励()0x n =时初始状态引起的响应Step1 特征方程，特征根；Step2 解形式1()Nn zi i ii y n C a ==∑或 1111()KNi nn zi i i ii i K y n C n a C a-==+=+∑∑；Step3 初始条件(0),(1),,(1)zi zi zi y y y N -代入()zi y n ，确定系统i C ；（12）零状态响应()zs y n ：初始状态为零时外加激励引起的响应方法1：时域分析法()()*()zs y n x n h n =()()m x m h n m ∞=-∞=-∑方法2：变换域分析法()zs y nStep1: 差分方程两边Z 变换（注意初始状态为零）； 左移位性质已知[]()()()Z x n u n X z =，则[]10 ()()()()m mk k Z x n m u n z X z x k z --=⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦∑例：()()()10Z x n zX z zx +=-⎡⎤⎣⎦()()()()22201Z x n z X z z x zx +=--⎡⎤⎣⎦页脚内容16右移位性质已知[]()()()Z x n u n X z =，则[]1()()()()mk k m Z x n m u n zX z x k z ---=-⎡⎤-=+⎢⎥⎣⎦∑例：()()()111Z x n z X z x --=+-⎡⎤⎣⎦()()()()21212Z x n z X z z x x ---=+-+-⎡⎤⎣⎦Step2: 求系统转移函数()()()zs Y z H z X z =Step3: 求()x n 的Z 变换()X z Step4: ()()()zs Y z X z H z = Step5: []1()()zs zs Y n Z Y z -=。