(完整版)信号与系统的公式汇总分类

⎰T 1 11i信号与系统概念，公式集：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。

（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。

第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设 C 为复数，a 、b 为实数。

常数形式的复数 C=a+jb a 为实部，b 为虚部；或 C=|C|e j φ，其中，| C |=复数的辐角。

（复平面）a 2 +b 2 为复数的模，tan φ=b/a ，φ为2.欧拉公式：e jwt= cos wt +j sin wt （前加-，后变减）第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合F = { f 1 (t ), f 2 (t ), f n ( t )}T 21如果满足： T 2f i (t ) f 2j (t )dt = 0i ≠ j ⎰Tf i (t )dt = K ii = 1,2 n 则称集合 F 为正交函数集如果K i = 1i = 1,2, n ，则称 F 为标准正交函数集。

如果 F 中的函数为复数函数T 2f (t) ⋅ f * (t )dt = 0i ≠ j⎰T i j条件变为： T2*⎰T f i (t ) ⋅ f i (t )dt = K ii = 1,2 n其中 f *(t ) 为 f i (t) 的复共轭。

2.正交函数集的物理意义： 一个正交函数集可以类比成一个坐标系统； 正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点； 点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数2 1 11 1 1t 222**在这个坐标系统中的坐标。

3.正交函数集完备的概念和物理意义：如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交 集是完备的，否则称该正交集是不完备的。

如 果 在 正 交 函 数 集 g 1 (t ), g 2 (t ), g 3 (t ), g n(t ) 之 外 ， 不 存 在 函 数 x （ t ）t 20 < ⎰ x 2(t )dt < ∞ ，满足等式： ⎰x (t )g (t )dt = 0 ，则此函数集称为完备正交函数集。

信号与系统公式大全1.傅里叶变换公式：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dtf(t)=∫F(ω)e^(jωt)dω2.傅里叶级数公式：f(t) = a_0/2 + ∑[a_n*cos(nωt) + b_n*sin(nωt)] a_n = (2/T)∫[f(t)*cos(nωt)]dtb_n = (2/T)∫[f(t)*sin(nωt)]dt3.傅里叶变换与傅里叶级数之间的关系：F(ω)=2π∑[a_n*δ(ω-nω_0)+b_n*δ(ω+nω_0)]a_n=f(nT)/Tb_n=04.系统均方根误差公式：E = √(∫[y(t)-x(t)]^2dt)5.窄带系统的频率响应公式：H(ω)=，H(0)，*e^(jφ)φ=∠H(ω)-∠H(0)6.线性时不变系统的冲激响应公式：h(t)=L^{-1}[H(ω)]7.卷积公式：y(t)=h(t)*x(t)=∫h(τ)x(t-τ)dτ8.卷积定理：F_y(ω)=H(ω)F_x(ω)9.线性时不变系统的输入-输出关系公式：y(t)=x(t)*h(t)10.系统频率响应的幅度与相位关系：H(ω)=，H(ω)，*e^(j∠H(ω))11.奇谐信号的频谱：F(ω)=∑[C_k*δ(ω-2kπ/T)]C_k = (2/T)∫[f(t)*sin(kωt)]dt12.偶谐信号的频谱：F(ω)=∑[C_k*δ(ω-2kπ/T)]C_k = (2/T)∫[f(t)*cos(kωt)]dt13.系统频率响应的单位脉冲响应关系：H(ω) = ∫h(t)e^(-jωt)dt以上是信号与系统中的一些重要公式，这些公式是理解和分析信号与系统的基础。

在学习时，我们可以通过掌握这些公式，理解它们的意义和用途，以便更好地应用在实际问题中。

同时，信号与系统还涉及到很多其他的公式和定理，如采样定理、拉普拉斯变换、Z变换等，这些内容超过1200字无法一一列举。

如果对这些公式有更进一步的了解，推荐阅读相关的教材和参考资料，以便更好地理解信号与系统的知识。

信号与系统公式汇总分类信号与系统是电子信息工程、自动化、计算机科学等学科的重要基础课程，是研究和分析信号在系统中的变换、传递及其对系统特性的影响的一门学科。

信号与系统涉及到的知识点较多，包括信号的表示与描述、连续与离散信号、线性时不变系统、傅里叶变换与频谱分析等方面。

以下是信号与系统中常用的公式汇总分类：一、信号的表示与描述1.单位阶跃函数：u(t)=1，当t>=0；u(t)=0，当t<0。

2.单位冲激函数：δ(t) = du(t)/dt。

3.周期信号的傅里叶级数：x(t) = A0/2 + ∑(An*cos(nωt) + Bn*sin(nωt))。

4.脉冲信号：δ(t) = lim_{n→∞} [rect(t/T)/T]，其中rect(t/T)为矩形函数。

二、连续信号与离散信号1.连续时间冲激响应h(t)与输入信号x(t)之卷积：y(t)=∫[x(τ)*h(t-τ)]dτ。

2.离散时间冲激响应h[n]与输入信号x[n]之卷积：y[n]=∑[x[k]*h[n-k]]。

三、线性时不变系统1.线性时不变系统输入输出关系的微分方程表示：a0*y(t) + a1*(dy(t)/dt) + a2*(d^2y(t)/dt^2) + ... = b0*x(t) + b1*(dx(t)/dt) + b2*(d^2x(t)/dt^2) + ...2.线性时不变系统频域表达式：Y(ω)=H(ω)*X(ω)，其中H(ω)为系统的频率响应函数。

四、傅里叶变换与频谱分析1.连续时间傅里叶变换：X(ω) = ∫[x(t)*e^(-jωt)]dt。

2.连续时间频谱密度：S(ω)=，X(ω)，^23.离散时间傅里叶变换：X(e^(jω))=∑[x[n]*e^(-jωn)]，其中n为离散取值。

4.离散时间频谱密度：S(e^(jω))=，X(e^(jω))，^2以上仅是信号与系统中的部分公式，覆盖了信号表示与描述、系统分析与描述以及信号的频谱分析等方面的内容。

信号与系统主要公式和内容摘要一．单位冲激信号()t δ的基本特性： 1. √()()()()()0t x dt t t t x dt t t t x =+=-⎰⎰∞∞-∞∞-δδ2.()()()⎩⎨⎧><=⎰0ab ab dt t t b aϕδϕ3.()()t aat δδ1=4. √ ()()()()000t t t x t t t x -=-δδ5. ()()t t δδ=- 偶函数6.()()t dtt du δ= ()()t u d t =⎰∞-ττδ 7. ()()()t x t t x =*δ ()()()00t t x t t t x -=-*δ 8. ()()()2121t t t t t t t --=-*-δδδ 9. ()()()t x t t x '='*δ ()()()ττd x t u t x t⎰∞-=*10. 若：()()()t x t x t y 21*=则：()()()()()t x t x t x t x t y 2121'*=*'=' ()()()()()()()()t x t x t x t x t y 1212111---*=*=()()()212211t t t y t t x t t x --=-*- 二．单位脉冲序列[]n δ的基本特性： 1. [][]∑+∞=-=k k n n u δ [][]∑-∞==nk k n u δ √[][][]1--=n u n u n δ2. √[][][][]000n n n x n n n x -=-δδ√[][][]n x n n x =*δ √[][][]00n n x n n n x -=-*δ 3. [][][]k n k x n x k -=∑∞-∞=δ特殊：()()()()t r t tu t u t u ==* [][]()[]n u n n u n u 1+=* 1欧拉公式：()()()[]()[]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+=+=--t j t j t j t j t j e e j t Sin e e t Cos t jSin t Cos e ααααααααα2121三．线性时不变系统（LTI 系统）的主要特性 1. 线性：（1） 无初值：()()()()t y a t y a t x a t x a 22112211+→+ [][][][]n y a n y a n x a n x a 22112211+→+ （2） 含初值：若：()()()t y x t f 1110→⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ()()()t y x t f 2220→⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 则：()()()()()()t y t y x t f x t f 21221100βαβα+→⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡[][][][][][]k y k y x k f x k f 21221100βαβα+→⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 2. 时不变性：()()00t t y t t x -→- [][]00n n y n n x -→- 3. 微（差）分性：()()dtt dy dt t dx → [][]k n y k n x -→- 4. 积分（累加）特性：()()⎰⎰→ttd y d x 0ττττ [][]∑∑==→Nk Nk k y k x 05. 因果性：若：()0=t h ，当0<t 时 √若：[]0=n h ，当0<n 时 6. 稳定性：()∞<⎰∞∞-ττd h √[]∑∞-∞=∞<k k h27. 卷积特性： ()()()()()()()ττττττd t x h d t h x t h t x t y f ⎰⎰∞∞-∞∞--=-=*=[][][][][][][]k n x k h k n h k x n h n x n y k k f -=-=*=∑∑∞-∞=∞-∞=有：()()()ωωωj H j X j Y f =()()()S H S X S Y f =()()()Z H Z X Z Y f =四．信号的基本运算： 1. 相加：()()()t x t x t y 21+= [][][]n x n x n y 21+=2. 相乘：()()()t x t x t y 21= [][][]n x n x n y 21=3. 幅度加权：()()t x t y α= [][]n x n y α=4. 反折：()()t x t y -= [][]n x n y -=5. 时移：()()0t t x t y -= [][]0n n x n y -=00>t （或00>n ）为右移，00<t （或00<n ）为左移 6. 尺度变换：（1） 连续时间信号的尺度变换：()()at x t y =1>a 时，表示()t x 在时间轴上被压缩a 倍 1<a 时，表示()t x 在时间轴上被扩展a 倍（2） 离散时间信号的内插与抽取： 内插：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡→L k f k f , L 为正整数[]0f 不动，在序列2点之间插入1-L 个零点 3抽取：[][]Mk f k f →， M 为正整数[]0f 不动，在原序列中每隔1-M 点抽取一点 7. 微分（差分）： ()()dtt dx t y =[][][]1--=n x n x n y8. 积分（累加）： ()()ττd x t y t⎰∞-= [][]∑-∞==nk k x n y9. 卷积()()()()()()()ττττττd t x x d t x x t x t x t y -=-=*=⎰⎰∞∞-∞∞-122121[][][][][][][]k n x k x k n x k x n x n x n y k k -=-=*=∑∑∞-∞=∞-∞=122121五．几何级数的求值公式：1. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠--=+=∑1111121220a n a a a a n n n n2. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-≠--=+=∑11111212121a n n a a a a a n n n n n n210n n ≤<3.aa n n -=∑+∞=110 1<a 4. a a a n n-=∑+∞=11 1<a 5. a a a n n n n-=∑+∞=1111<a六．傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换 1.LTI 系统对虚指数信号的响应：→t j e ω()()t j e j H t y ωω=→()()()tjn n n n tjn n e jn H C t y eC t f 000ωωω∑∑∞-∞=∞-∞==→=42.傅里叶级数公式： ()∑∞-∞==n tjn n eC t x0ω 其中：()dt e t x T C tjn Tn 01ω-⎰= 3. 傅里叶变换公式（系统稳定）：（1）非周期信号：()()ωωπωd ej X t x tj ⎰∞+∞-=21()()dt e t x j X t j ωω-∞+∞-⎰=条件：()⎰∞+∞-∞<dt t x 或()⎰∞+∞-∞<dt t x 2（2）周期信号：()∑∞-∞==k t jk k e a t xω()()∑∞-∞=-=k k k a j X 02ωωδπω 002T πω=()dt e t x T a tjk Tk 01ω-⎰=4. 拉普拉斯变换公式： ()()dt et x S XtS -∞-⎰=0 ()()dS e S X j t x t S j j ⎰∞+∞-=σσπ215. Z 变换公式： ()[]n n Z n x Z X -∞=∑=[]()dZ Z Z X j n x n C121-⎰=π6. 典型信号的三种变换公式：（1）√()1−→←FTt δ√()1−→←LT t δ √()()n LTn S t −→←δROC:整个S 平面√[]1−→←Zn δ ROC:整个Z 平面 (2) √()00t j FTe t t ωδ-−→←-√()00t S LT e t t -−→←-δ ROC:整个S 平面√[]00nZ Z n n -−→←-δROC:整个Z 平面(可能去除0=Z )(3) ()()ωπδω+−→←j t u FT15()St u LT1−→← ROC:{}0>S R e √ []111--−→←Zn u ZROC: 1>Z (4) ()ωj a t u eFTat+−→←-1{}0>a R e√()a S t u eLTat+−→←-1ROC: {}a S R e -> []111--−→←aZn u a Z nROC: a Z > (5) ()()21ωj a t u teFTat+−→←- {}0>a R e()()21a S t u teLTat+−→←- ROC: {}a S R e ->()[]()21111--−→←+aZ k u a k Zk ROC: a Z >(6)()∑∑+∞-∞=+∞-∞=-−→←k kFTk tjk kk a ea 020ωωδπω(7) ()020ωωπδω-−→←FT tj e()020ωωπδω+−→←-FTt j e(8) ()ωπδ21−→←FT(9) √()()[]000ωωδωωδπω++-−→←FTt Cos()220)(ωω+−→←S S t u t Cos LTROC: {}0>S R e(10) ()()[]000ωωδωωδπω--+−→←j t Sin FT()2020)(ωωω+−→←S t u t Sin LTROC: {}0>S R e (11) ()∑∑∞-∞=∞-∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→←-k FTn T kT nT t πωδπδ226（12） −→←FTT ASa T )(211ω（13） −→←FTtt ASin πλ√()()21ωSa t p FT−→← ()()()2211ωSa t p t p FT−→←* 七．傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换的主要性质设：()S X ：ROC {}0Re σ>S ()Z X ：ROC Rf Z > 1. 线性：()()()()ωωj bY j aX t by t ax FT+−→←+()()()()S bY S aX t by t ax lT +−→←+ ROC ：公共收敛域 [][]()()Z bY Z aX n by n ax ZT +−→←+ ROC ：公共收敛域2. 时移： √()()ωωj X e t t xt j FT00-−→←-√()()S X e t t xt S LT 00-−→←- 要求：右移，即00>tROC ：未变因果序列：√[][]()Z X Z n n u n n xn ZT00-−→←-- 要求：右移，即00>nROC ：未变非因果序列：√[][]()[]111-+−→←--x Z X Z n u n x ZT√ [][]()[][]21212-+-+−→←---x x Z Z X Zn u n x ZT73. 频移：()()[]00ωωω-−→←j X t x e FTt j()()00S S X t x e LT tS -−→← ROC: {}00Re σ>-S S []⎪⎭⎫ ⎝⎛−→←a Z X n x a ZT n ROC: Rf a Z >()[]()Z X n x ZTn -−→←-1 ROC:Rf Z >-4．反折：()()ωj X t x FT -−→←-()()S X t x LT -−→←- ROC: {}0Re σ>-S5．尺度变换：()⎪⎭⎫ ⎝⎛−→←a j X a at x FT ω1 √()⎪⎭⎫ ⎝⎛−→←a S X a at x LT1 ROC ：0Re σ>⎭⎬⎫⎩⎨⎧a S6．卷积：√()()()()ωωj Y j X t y t x FT−→←*()()()()S Y S X t y t x LT−→←* ROC ：公共收敛域 [][]()()Z Y Z X n y n x ZT −→←* ROC ：公共收敛域7．时域微分：()()ωωj X j t x dtd FT−→←：未修正 不含初值：√()()S SX t x dt d LT −→← √()()S X S t x dtd n LTn n −→← 含初值： √()()()--−→←0x S SX t x dt d LT √ ()()()()--'--−→←00222x Sx S X S t x dtd LT 8．频域微分： 8()()ωωj X d djt tx FT−→← ()()S X dSd t tx LT-−→← ROC ：未变[]()dZZ dX Z n nx ZT-−→← ROC ：未变9．积分(累加)：()()()()ωδπωωττ01X j X j d x FTt +−→←⎰∞- ()()S X Sd x LTt1−→←⎰-ττ ROC ：{})0,max(Re 0σ>S []()Z X Zn x ZT kn 111-=-−→←∑ ROC ：),1max(Rf Z > 10．调制（频域卷积）：()()()(){}ωωπj Y j X t y t x FT *−→←2111．对偶：若：()()ωj F t g FT−→← 则：()()ωπ-−→←g jt F FT2 八．系统函数： 1.连续系统：()()∑∑===Nk M k kk k k k k dt t x d b dt t y d a 00√()()()()()∑∑====Nk kk kMk k j a j b j X j Y j H 00ωωωωω√()()()∑∑====Nk kk Mk kk f Sa Sb S X S Y S H 0()()ωωπωd ej H t h tj ⎰∞∞-=21()()dS e S H j t h t S j j ⎰∞+∞-=σσπ212. 离散系统：[][]∑∑==-=-Mk kN k kk n x b k n y a 0√()()()k Nk k Mk Kk f Z a Zb Z X Z Y Z H -==-∑∑==[]()dZ Z Z H j n h n C121-⎰=π3. 系统的因果性：（1）连续系统：S 域 一个具有有理系统函数H(S)的LTI 系统，其因果性等价于H(S)的ROC 位于S 平面上最右边极 点的右半平面。

周期信号与非周期信号连续时间信号：()()f t f t kT =+0,1,2,k =±±⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 离散时间信号：()()x n x n kn =+0,1,2,k =±±⋅⋅⋅⋅⋅⋅000()j t j t T e e ωω+=002T πω=00()j n j n N e e ωω+=02N k πω=为整数能量信号和功率信号 连续时间信号2|()|E f t dt ∞-∞=⎰2221|()|T T P f t dt T =⎰（周期信号） 2221|()|lim TT T f t T P dt →∞-=⎰（非周期信号）离散时间信号2|()|n E x n ∞=-∞=∑21|()|21N n N P x n N =-=+∑（周期信号） 21()21lim Nn NN P x n N =-→∞=+∑（非周期信号） 1、能量信号：E 有限0E <<∞，0P =； 2、功率信号：P 有限0P <<∞，P =∞；3、若E P →∞→∞，，则该信号既不是能量信号也不是功率信号；4、一般周期信号是功率信号。

线性系统)()()()()()()()(221122112211t y a t y a t x a t x a t y t x t y t x +→+→→，则，若 )()()()()()()()(221122112211n y a n y a n x a n x a n y n x n y n x +→+→→，则，若时不变系统)()()()(00t t y t t x t y t x -→-→，则若 )()()()(00t n y n n x n y n x -→-→，则若系统时不变性：1电路分析：元件的参数值是否随时间而变化 2方程分析：系数是否随时间而变3输入输出分析：输入激励信号有时移，输出响应信号也同样有时移i关系狄利克雷（Dirichlet）条件（只要满足这个条件信号就可以利用傅里叶级数展开）（1）在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。

信号与系统概念公式11总结.doc信号与系统概念公式总结引言信号与系统是电子工程和信号处理领域的基础概念，它们涉及信号的分析、处理和变换。

在本文档中，我们将总结信号与系统的基本概念、分类和相关的数学公式。

信号的分类1. 连续时间信号与离散时间信号连续时间信号：信号值随时间连续变化，通常用函数 ( x(t) ) 表示。

离散时间信号：信号值在离散的时间点上定义，通常用序列 ( x[n] ) 表示。

2. 确定性信号与随机信号确定性信号：信号的值可以通过确定的数学关系预测。

随机信号：信号的值具有随机性，通常需要通过统计方法来描述。

3. 能量信号与功率信号能量信号：信号的能量总和是有限的，即 ( \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt < \infty )。

功率信号：信号的平均功率是有限的，即 ( \lim_{T \to \infty}\frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt < \infty )。

系统的定义系统可以被定义为将输入信号转换为输出信号的数学模型。

系统通常具有以下特性：1. 线性如果系统满足加法和标量乘法的属性，即对于任意的输入信号( x_1(t) ) 和 ( x_2(t) ) 以及任意常数 ( a ) 和 ( b )，有：[ y_1(t) = ax_1(t) + bx_2(t) ]则系统是线性的。

2. 时不变性如果系统的时间响应不随时间变化而变化，即对于任意的 ( t_0 ) 有：[ y(t) = x(t-t_0) ]则系统是时不变的。

3. 因果性如果系统的输出仅依赖于当前和过去的输入值，即 ( y(t) ) 仅由( x(t) ) 在 ( t \leq t_0 ) 的值决定，则系统是因果的。

信号与系统的数学工具1. 傅里叶变换傅里叶变换是分析连续时间信号的有力工具，其定义为：[ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} dt ] 2. 拉普拉斯变换拉普拉斯变换是分析线性时不变系统的重要工具，其定义为：[ X(s) = \int_{0}^{\infty} x(t) e^{-st} dt ]3. Z变换Z变换用于分析离散时间信号，其定义为：[ X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} ]线性时不变系统线性时不变系统（LTI系统）是信号处理中的核心概念。