人教版八年级数学上册《十三章 轴对称 数学活动》优课导学案_10

13.4 课题学习 最短路径问题
【学习目标】
1. 能利用轴对称解决简单的最短路径问题,
2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用.
【重点难点】
重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题
难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题
【学习过程】
一、复习回顾：
1、如图所示：从A 地到B 地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？
你的理由是什么？
2、如图，要在燃气管道L 上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
二、探索新知：
问题1：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
问题2：如图，点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
追问3：对于问题2，如何将点B “移”到l 的另一侧B ′处，满足直线l 上的任意一点C ，都保持CB 与CB ′的长度相等？你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B ′吗？你能用所学的知识证明你的作法正确吗？
答：(1)从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； (2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A ，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地，再回到B 地的路程之和；(3)现在的问 A B l
题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小(如图)．问题2：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC与CB的和最小？
追问1：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
追问2：你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？
展示点评：作法：
(1)作点B 关于直线l 的对称点B′；
(2)连接AB′，与直线l 交于点C.
则点C 即为所求．
问题3你能用所学的知识证明AC ＋BC最短吗？
证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，
BC ＝B′C，BC′＝B′C′.
∴AC ＋BC＝AC ＋B′C ＝AB′，
AC′＋BC′＝AC′＋B′C′.
在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，
∴AC ＋BC＜AC′＋BC′.即AC ＋BC 最短.
小组讨论：证明AC ＋BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，证明AC ＋BC ＜AC′＋BC′？这里的“C′”的作用是什么？
反思小结：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题．利用三角形的三边关系，若直线l上任意一点(与点C 不重合)与A，B 两点的距离和都大于AC ＋BC，就说明AC ＋BC 最小. C′的代表的是除点C以外直线l上的任意一点．
方法总结：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称变换，把复杂问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择．
三、应用新知：
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）
2．如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．
答：作Q 关于直线BC 的对称点Q ′，连接PQ ′交BC 于R ，
∴旅游船线路：P —Q —R —P.
3、如图，牧马营地在点P 处，每天牧马人要赶着马群先到草地a 上吃草，再到河边b 饮水，最后回到营地．请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短．
答：如图，作点P 关于直线a 的对称点P1，关于直线b 的对称点P2，连接P1P2，分别交直线a ，b
于点A ，B ，连接PA ，PB.
由轴对称的性质知，PA ＝P1A ，PB ＝P2B ，所以先到点A 处吃草，再到点B 处饮水，最后回到营地，按这样的路线放牧所走的总路程最短．
四、巩固新知：
1、如图，牧童在A 处放马，其家在B 处，A 、B 到河岸的距离分别为AC 和BD ，且AC=BD,,若点A 到河岸CD 的中点的距离为500米，则牧童从A 处把马牵到河边饮水
再回家，所走的最短距离是 米.
2、如图，l 为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河里的水从 A 处
引到田地里去，则应从河边 l 的何处开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说明理由.
4、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。

P点就是所求做的点五、归纳总结：
本节课你有什么收获？
①学习了利用轴对称解决最短路径问题
②感悟和体会转化的思想
六、作业布置：
1、必做题
教材第93页第15题.
2、思考题
（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A 到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
思考：
你能把这个问题转化为数学问题吗？
七、板书设计：
八、教学设计说明：
学习是学生主动建构知识的过程，学生不是简单被动地接受信息，而是对外部信息进行主动地选择、加工和处理，从而获得知识的意义。

学习的过程是自我生成的过程，这种生成是他人无法取代的，是由内向外的生长，而不是由外向内的灌输，其基础是学生原有知识与经验。

本节课中，学生原有的知识是两点之间，线段最短以及垂线段最短，因此，教师首先引导学生回顾它们，这就激活了学生原有的知识，从而让学生自我构建新知识。

在整个活动中，学生的知识不是从老师那里直接复制或灌输到头脑中来的，而是让学生自己去类比发现、过程让学生自己去感受、结论让学生自己去总结，实现了学生主动参与、探究新知的目的。