广义积分

∫
b
a
f ( x)dx = lim+ ∫
ε →0
b
a +ε
f ( x)dx ,
1
称其为 f ( x) 在 [a, b] 上的瑕积分. 若上式中的极限存在，则称此瑕积分收敛，其 极限值即为瑕积分值；否则，称此瑕积分发散. 设 b 为 f ( x) 在 [a, b] 上的唯一瑕点，类似地可定义：
∫
b
a
∫ε x ln
1
ε
1
3
x
dx = ∫1
ε
1
ε 1 1 dx + ∫ dx 3 1 x ln 3 x x ln x
由于
∫ε
1
1
1−ε 1 1 ⎡ − 1 ⎤ 1−ε = dx lim dx = lim+ ⎢ 1 1 3 3 + ∫ ε →0 ε → 0 ⎣ 2 ln 2 x ⎥ x ln x x ln x ⎦ε ε
c
−∞
f ( x)dx ，其收敛的充要条件是 ∫
−∞
f ( x)dx 及 ∫
+∞
c
f ( x)dx 同时收敛.
⑵ 无界函数的广义积分(瑕积分)
ˆ ( x , δ ) 内无界,则称点 x 为 f ( x) 的一个瑕点（或奇 若 ∀δ > 0 ，函数 f ( x) 在 U 0 0
点）. 设 f ( x) 在 (a, b] 上有定义， a 为其瑕点，且 ∀ε > 0 ， f ( x) ∈ ( R[a + ε , b]) . 记
3
⎡ −1 1⎤ − ⎥ = −∞ = lim+ ⎢ 2 ε →0 2 ln (1 − ε ) 2⎦ ⎣
ε
故
∫ε x ln
1
1
3
x
dx 发散.
x 1 dx = ln(1 + t 2 ) 当 t → +∞ 时是发散的,由广义积分 2 1+ x 2 +∞ +∞ x ∫−∞ f ( x)dx 的收敛定义,广义积分 ∫−∞ 1 + x 2 dx 是发散的.
0
3、广义积分的柯西主值 按广义积分的定义，无穷积分
∫
+∞ −∞
f ( x)dx = lim
A→ +∞
∫
A c
f ( x)dx + lim
B → −∞
∫
c B
f ( x)dx
2
右端极限过程中的 A, B 是独立变化的.若考虑 A, B 的变化过程要求一致,即定义
B = A ,则相应的无穷积分 ∫ f ( x)dx 称为 f ( x) 在 (−∞,+∞) 上的无穷积分的柯西
⑴
∫ε
ε
1
ε 1 1 1 = dx d (ln x) = − 1 3 3 ∫ 2 ln x x ln x ε ln x
ε
1
=0
ε
⑵ 奇函数积分 ∫
x dx = 0 −∞ 1 + x 2
+∞
答 都不正确. ⑴错误的原因是将广义积分当作常义积分去计算. x = 1 是被积函数的无穷间断点,本例的积分是无界函数的广义积分. 正确的解法是
广义积分学习指导
一、内容提要 1、广义积分的概念. ⑴ 无穷区间上的广义积分 设 f ( x) 在 [a,+∞) 上有定义, ∀A > a
f ( x) ∈ R ( [a, A] )，记
∫
+∞
a
f ( x)dx = lim
A→ +∞ a
∫
A
f ( x)dx
称其为 f ( x) 在 [a,+∞) 上的无穷积分.若⑴中的极限存在,则称该无穷积分收 敛，且其极限值为该无穷积分的值；否则称该无穷积分发散. 类似地可定义： 1） ∫ 2） ∫
ε 2 →0
b
c +ε 2
f ( x)dx
此时 ∫ f ( x)dx 收敛的充要条件是 ∫ f ( x)dx 及 ∫ f ( x)dx 同时收敛.
a a c
b
c
b
2、 Γ 函数的定义及性质 Γ 函数： Γ( s ) = ∫ x s −1e − x dx( s > 0)
0
+∞
Γ 函数的几个性质： i. 递推公式： Γ( s + 1) = sΓ( s )( s > 0) , Γ(n + 1) = n! ( n 为正整数, Γ(1) = 1 )
⑵ 错误的原因是 ∫
t
0
一般地可以证明：当 ∫ f ( x)dx 收敛时,
−∞
+∞
∫
+∞
−∞
f ( x)dx = 0 ( f ( x) 为奇函数).
∫
Hale Waihona Puke +∞−∞f ( x)dx = 2 ∫
+∞
0
f ( x)dx ( f ( x) 为偶函数). 证明从略.
4
−∞
+∞
主值,记为 P．Ｖ． ∫
+∞
−∞
f ( x)dx . 即 P．Ｖ． ∫
+∞ −∞
+∞
−∞
f ( x)dx = lim
A→ +∞ − A
∫
A
f ( x)dx ，若此极限
值存在，则称广义积分 ∫
f ( x)dx 在柯西主值意义下收敛，否则称为发散．
类似地可定义与瑕积分相应的柯西主值为 P．Ｖ． ∫ f ( x)dx = lim+ ⎡ ∫ a ε →0 ⎢ ⎣a
ii. Γ( s )Γ(1 − s ) =
π (0 < s < 1) sin πs
1 1 时， Γ( ) = π 2 2
+∞ 2 1 π 得 ∫ e −u du = 0 2 2
这个公式称为余元公式，特别地，当 s =
iii. Γ( s ) = 2 ∫ e −u u 2 s −1du ，令 s =
2
+∞
f ( x)dx = lim+ ∫
ε →0
b −ε
a
f ( x)dx
设 c 为 f ( x) 在 [a, b] 内的唯一瑕点（ a < c < b ）,我们定义
∫
b
a
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = lim+ ∫
a c
c
b
c −ε 1
ε1 →0
a
f ( x)dx + lim+ ∫
b
−∞
f ( x)dx = lim
f ( x)dx = ∫
c
B → −∞ B
∫
b
f ( x)dx( B < b)
+∞
+∞
−∞
−∞
f ( x)dx + ∫
c
f ( x)dx
= lim 对积分 ∫
+∞
B → −∞ B
∫
c
f ( x)dx + lim
A→ +∞ c
∫
A
f ( x)dx (−∞ < c < +∞)
b c −ε
f ( x)dx + ∫
b
c +ε
f ( x)dx ⎤ ⎥ ⎦
其中 c 为 f ( x) 在 (a, b) 内的唯一瑕点. 二、重点、难点 1、 本节的难点是无界函数的广义积分,因为这一类广义积分容易被当成常义 积分来计算而导致错误. 2、广义积分收敛时，具有常义积分的那些性质与积分方法，如换元积分法， 分部积分法，以及广义的牛顿－莱布尼兹公式. 三、答疑解惑 问题 下列积分是否正确?为什么?