武汉大学研究生课程数值分析期末考试
- 格式:pdf
- 大小:341.36 KB
- 文档页数:2
武汉大学研究生课程《数值分析》半开卷考试资料
姓名: 学号: 第 1 章 绪论 1.1 误差的基本概念 绝对误差:∆ ������ = ������ ∗ − ������ ; ∆f(x) = ������������(������) = ������ ′ (������)������������ ; 绝对误差:∆������ ������ = 有效数字:������ = (0. ������1 ������2 … ������������ × 10−������ ) × 10������ ,则有 n 位有效数字。 1 1 误差限:|∆ ������| = |������ ∗ − ������| ≤ × 10������−������ ; |∆������ ������| ≤ × 10−(������−1)
|������ ∗ −������������+1 | ������→∞ |������ ∗ −������������|������
= C (对于收敛的迭代格式,当|������′(������)| = 0,则是线性收敛)
������(������ )
������
若碰到求收敛阶:迭代公式是个方程,准确解带进去是个方程,两方程相减,然后适当变形利用微分中值定理。 3.3 Newton 法 (二阶收敛):������������+1 = ������������ − ������′(������������ ) ; 假设������ ∗ 是 f(x) = 0 的单根, f(x)在������ ∗ 的邻域内具有连续的二阶导数且 f ′(������ ∗ ) ≠ 0 , 则牛顿公式具有局部收敛性;若 f′′(������ ∗ ) ≠ 0 且������0 ≠ ������ ∗ , 则序列{������������ }是平方收敛。 第 4 章 矩阵特征值特征向量 (略) Householder 变换(H=I-2wwT) 、 Givens 变换、幂法 第 5 章 插值与逼近 5.1 插值多项式的唯一性 Pn (x) = ������0 + ������1 ������ + ������2 ������ 2 + ⋯ + ������������ ������ ������ ; |������| = ∏(������������ − ������������ ) ≠ 0
; f[������������ , ������������, ������������ ] =
������[������������ ,������������ ]−������[������������ ,������������ ] ������������ −������������
; ……
2 2������1
������ ∗ −������ ������
; ∆������ ������(������) =
������������(������) ������(������)
减少误差的原则:如果考的话最可能考:选择稳定的数值计算公式(递推公式,进行变形,放缩求平均,往前迭代) 1.2 向量范数与矩阵范数 1 范数: ‖������‖1 = ∑������ 列范数:‖������‖1 = max ∑������ 1 |������������������ | ������=1|������������ |
牛顿插值: N(x) = N(������0 ) + N[������0 , ������1 ](x − ������0 ) + ������[������0 , ������1 , ������2 ](������ − ������0 )(������ − ������1 ) + ⋯ + ������[������0 , … , ������������ ](������ − ������0 ) … (������ − ������������−1 ) 插值余项:������������ (������) = ������[������, ������0 , … , ������������ ](������ − ������0 )(������ − ������1 )(������ − ������2 ) … (������ − ������������ ) Lagrange 插值形式简单,便于计算,但当增加插值点时,原先所作计算没有利用价值,需从头计算;Newton 插值要 计算差商表,突出优点是当新增加一个插值点������������+1 时,只需在原插值多项式后增加一项。 PS:Lagrange 插值与 Newton 插值得到的多项式应一样 (插值多项式的唯一性)。 5.4 Hermite 插值 (不但满足插值点处函数值相等,还满足插值点处导数也相等) 2 2 ′ ′ 当给出了所有插值点的导数值时:H(x) = ∑������ ������=0{������������ [1 − 2(������ − ������������ )������ ������ (������������ )]������������ (������) + ������ ������ (������ − ������������ )������������ (������)}
������
1.3 条件数 Cond (A) = ‖������−1‖‖������‖;远大于 1 时,矩阵病态 第 2 章 线性方程组解法 顺序消去 A = LU (Doolittle 分解) 2.1 Gauss 消去法{ 列主元法 PA = LU 2.2 经典迭代法 迭代法误差估计:若某种范数‖������‖ < 1,则有: A������ = b ; A = D + L + U (1)Jacobi 迭代:������ (������+1) = ������������ ������ (������) + ������ 式中:������������ = −������−1 (������ + ������) ������ = ������ −1������ (������+1) (2)Gauss - Seidel 迭代:������ = ������������������ ������ (������) + ������ 式中:������������������ = −(������ + ������)−1 ������ ������ = (������ + ������)−1 ������ 充要条件: 迭代矩阵 ρ(G) < 1 经典迭代格式的收敛性判别 {充分条件: ������某种范数‖������‖ < 1 充分条件:系数矩阵 A 对角占优 第 3 章 非线性方程(组)迭代解法 3.1 二分法 (略) 3.2 不动点迭代:������ = ������(������) , 迭代公式:������������+1 = ������(������������ ) 根据压缩映射原理,若������(������)在根������ ∗邻域内有一阶导,且|������′ (������ ∗ )|<1,则迭代收敛,实际根未知,可用其根邻近值 收敛速度: lim
一般通式 称 s*(x)为子空间Ф中对与 f(x)在区间[a, b]上带权ρ(x)的最佳平方逼近元素 ������ (1)∑������=0 < ������������ , φ������ > ������������ =< ������������ , ������ >, 取基函数Φ = span{1, x, ������ 2 , … ,������ ������ }
������−������
������
������
(������)
������+1
������ ;插值余项������������ (������) = (������ ) ������
������
������≠������ ������ ������+1 (������) ������ ������+1 (������) (������+1)!
������
熟练当 n=1、n=2、n=3 的 Lagrange 插值多项式计算 5.3 Newton 插值多项式 差商 (建议:利用表格计算更加清楚明了) f[������������ , ������������ ] =
������(������������ )−������(������������ ) ������������ −������������
������ 2 2 范数: ‖������‖2 = √∑������ ������=1 ������������ ∞范数: ‖������‖∞ = max |������������ | 0≤������≤������
谱范数: ‖������‖2 = √������������������������ (������������ ������) 行范数:‖������‖∞ = max ∑������ 1 |������������������ |
������
定义:������������+1 (������) = ∏������=0(������ − ������������)
������
≤ (������+1)! |(������ − ������0 )(������ − ������1 ) … (������ − ������������ )|