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第4章 数值积分与数值微分1 数值积分的基本概念实际问题当中常常需要计算定积分。
在微积分中，我们熟知，牛顿—莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具，在理论和实际计算上有很大作用。
对定积分()ba I f x dx =⎰，若()f x 在区间[,]ab 上连续，且()f x 的原函数为()F x ，则可计算定积分()()()ba f x dx Fb F a =-⎰ 似乎问题已经解决，其实不然。
如1）()f x 是由测量或数值计算以数据表形式给出时，Newton-Leibnitz 公式无法应用。
2）许多形式上很简单的函数，例如222sin 1(),sin ,cos ,,ln x x f x x x e x x-=等等，它们的原函数不能用初等函数的有限形式表示。
3）即使有些被积函数的原函数能通过初等函数的有限形式表示，但应用牛顿—莱布尼兹公式计算，仍涉及大量的数值计算，还不如应用数值积分的方法来得方便，既节省工作量，又满足精度的要求。
例如下列积分24111ln11arc 1)arc 1)xdxxtg tg C++=+⎡⎤+++-+⎣⎦⎰对于上述这些情况，都要求建立定积分的近似计算方法—数值积分法。
1.1 数值求积分的基本思想根据以上所述，数值求积公式应该避免用原函数表示，而由被积函数的值决定。
由积分中值定理：对()[,]f x C a b∈，存在[,]a bξ∈，有()()()baf x dx b a fξ=-⎰表明，定积分所表示的曲边梯形的面积等于底为b a-而高为()fξ的矩形面积（图4-1）。
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出()fξ。
我们将()fξ称为区间[,]a b上的平均高度。
这样，只要对平均高度()fξ提供一种算法，相应地便获得一种数值求积分方法。
如果我们用两端的算术平均作为平均高度()f ξ的近似值，这样导出的求积公式[()()]2b a T f a f b -=+ (1.1)便是我们所熟悉的梯形公式（图4-2）。
第4 章4数与数微数值积分与数值微分本章内容411.1 光波的特性4.1 引言4.2 Newton-Cotes 公式1.2 光波在介质界面上的反射和折射4.3 Romverg 算法4.4Gauss 1.3 光波在金属表面上的反射和折射4.4 Gauss 公式4.5 数值微分2本章要求主要内容：机械求积、牛顿柯特斯公式、龙贝格算法、高斯公式、•—数值微分。
•基本要求–(1)了解数值微分公式的导出方法及常用的数值微分公式。
–(2) 掌握数值积分公式的导出方法，截断误差；理解代数精度的概念，会用待定系数法。
–(3) 掌握梯形求积公式，抛物线求积公式，牛顿－柯特斯公式的构造及使用，并会应用公式求积分。
(4)熟悉复化梯形公式复化辛普生公式–(4) 熟悉复化梯形公式，复化辛普生公式。
–(5) 会用龙贝格积分法。
–(6) 了解高斯型求积公式的概念及导出方法，能构造简单问题的高精度求积公式，会使用常见的几种高斯型求积公式进行计算。
积公式会使用常见的几种高斯型求积公式进行计算•重点、难点重点牛顿柯特斯公式–重点：牛顿－柯特斯公式；–难点：代数精度的概念。
3414114.1 引言4.1.1 数值求积的基本思想一、问题,d)(∫=b a xxfI数学分析中的处方法由微积分学基本定当如何求积分数学分析中的处理方法：由微积分学基本定理，当f(x)在[a, b]上连续时，存在原函数F(x)，牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式：).()(d)(aFbFxxf ba−=∫但有时用上面的方法计算定积分有困难但有时用上面的方法计算定积分有困难。
441N-L4.1 引言N L公式失效的情形：这时，N-L公式也不能直接运用。
因此有必要研究问题即用数值方法计算定积分因此，有必要研究数值积分问题，即用数值方法计算定积分的近似值.541二、构造数值积分公式的基本思想4.1 引言、构造数值积分公式的基本思想问题：点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出的值，怎么办？f(ξ)641采用不同的近似计算方法从而得到各种不同的4.1 引言)对f(ξ)采用不同的近似计算方法，从而得到各种不同的数值求积公式。
郑州大学研究生课程数值分析复习---第四章数值微分与数值积分郑州大学研究生课程（2012-2013学年第一学期）数值分析Numerical Analysis习题课第四章数值微分与数值积分4.2.1 显格式导数与差商的关系数值微分取为导数的近似值，即差商。
00()() ()()()()()2lim lim lim h h h f x h f x h f x f x h f x h f x h f x h h →→→+??′=??+[,]()/i a b n x a ih h b a n =+=?将区间等分为份，是等距节点，是步长。
一、要点回顾()()'()i i i f x h f x f x h+?≈向前差商x ix i +h一阶数值微分由Taylor 展开2()()'()''(),2!f x h f x hf x f x x hξξ+=++≤≤+因此，有误差()()()'()''()()2!i i i f x h f x hR x f x f O h hξ+?=?=?=一阶数值微分()()'()i i i f x f x h f x h≈向后差商x i -hx i一阶数值微分由Taylor 展开2()()'()''(),2!i i i i i hf x h f x hf x f x x hξξ?=?+≤≤+因此，有误差()()()'()''()()2!i i i f x f x h hR x f x f O h h ξ??=?==一阶数值微分()()'()2i i i f x h f x h f x h+??≈中心差商x i -hx i一阶数值微分由Taylor 展开23112322()()'()''()'''(),2!3!()()'()''()'''(),2!3!i i i i i i i i i i i ih hf x h f x hf x f x f x x hh hf x h f x hf x f x f x h x ξξξξ+=+++≤≤+?=?+??≤≤因此，有误差22212()()()'()2 ['''()'''()]'''()()126i i i f x h f x h R x f x hh hf f f O h ξξξ+??=?=+==一阶数值微分()()231000232000120021()()'()''(),2!()()2'()2''(),24()()3()'(),2()4()3()'().2n n n n h f x f x hf x f x O h f x f x hf x h f x O h h f x f x f x f x hf x f x f x f x h=+++=+++??≈?+≈将第一式乘4并减去第二式，除以可得类似可得一阶数值微分数值积分公式求积系数求积节点()()()()nbk k n ak I f f x dx A f x I f =≈∑∫数值积分0()()nn k k k I f A f x ==∑0()()()()(),nbn k k ak R f I f I f f x dx A f x ==?=?∑∫分别称为为数值求积公式和求积公式余项数值积分求积公式的代数精度定义1称求积公式具有m 次代数精度,如果它满足如下两个条件:(i )对所有次数≤m 次的多项式,有(ii )存在m+1次多项式,使得)(x P m 0)()()(=?=m n m m P I P I P R )(1x P m +0)()()(111≠?=+++m n m m P I P I P R 代数精度定义1中的条件(i),(ii)等价于: )()()0(,0)()()()(1≠≤≤== + mknkkxR iimkxxIxR i代数精度012,,,,,()1,,,,.n nx x x n f x x x x =L L 对于给定的一组结点要构造至少有次代数精确度的求积公式则它对于精确成立基本目标代数精度012,,,,n A A A A L 即求积公式的系数满足线性方程组+?=+++?=+++?=+++++1211110022110010n a b x A x A x A a b x A x A x A a b A A A n n nn n n n n n n L M L L 代数精度Newton-Cotes数值积分插值型求积公式上取一组节点在积分区间],[b a bx x x a n ≤<<<≤L 10插值多项式次的作Lagrange n x f )(0()()()nn k k k x f x l x ?==∑为插值基函数),,1,0)((n k x l k L =()(),n x f x ?用作为被积函数的近似有badx x f )(()bn ax dx ?≈∫∫∑==b ank kkdxx l x f 0)()(∑∫==nk bak k dxx l x f 0)()(则，记∫=bak k dx x l A )(∫badx x f )(∑=≈nk k k x f A 0)(Newton-Cotes数值积分()(0,1,,)bk k aA l x dx k n ==∫L 定义：系数由式所确定的求积公式称为插值型求积公式.4.5.11.n n +定理：利用个结点的求积公式至少具有次代数精确度的充分必要条件是它是插值型的Newton-Cotes数值积分等距节点的Newton-Cotes 求积公式],[)(b a C x f ∈设函数插值多项式为的Lagrange x f )([,]a b n 将积分区间分割为等份,nk kh a x k ,,1,0,L =+=为步长其中nab h ?=各节点为0()()()nn k k k x f x l x ?==∑Newton-Cotes数值积分。
第四章 数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。
（1）若101(1)()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰令()1f x =，则 令()f x x =，则 令2()f x x =，则 从而解得 令3()f x x =，则 故101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰成立。
令4()f x x =，则 故此时， 故101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰具有3次代数精度。
（2）若21012()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰令()1f x =，则 令()f x x =，则 令2()f x x =，则 从而解得 令3()f x x =，则 故21012()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰成立。
令4()f x x =，则 故此时， 因此，具有3次代数精度。
（3）若1121()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -≈-++⎰令()1f x =，则 令()f x x =，则 令2()f x x =，则 从而解得120.28990.5266x x =-⎧⎨=⎩或120.68990.1266x x =⎧⎨=⎩ 令3()f x x =，则 故1121()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -=-++⎰不成立。
因此，原求积公式具有2次代数精度。
（4）若20()[(0)()]/2[(0)()]hf x dx h f f h ah f f h ''≈++-⎰令()1f x =，则 令()f x x =，则 令2()f x x =，则 故有令3()f x x =，则 令4()f x x =，则 故此时， 因此，21()[(0)()]/2[(0)()]12hf x dx h f f h h f f h ''≈++-⎰具有3次代数精度。
