研究生《数值分析》课程作业(二) (含答案)

1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。

解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 5设[]2(),f x Ca b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21m ax ()()m ax ().8a x b a x bf x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为10101010()()()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =()()x bx af a f b a b x a --=+--1()()0()0f a f b L x ==∴= 又 插值余项为1011()()()()()()2R x f x L x f x x x x x ''=-=--011()()()()2f x f x x x x x ''∴=--[]012012102()()1()()21()41()4x x x x x x x x x x b a --⎧⎫≤-+-⎨⎬⎩⎭=-=- 又 ∴21m ax ()()m ax ().8a x b a x bf x b a f x ≤≤≤≤''≤- 16．求一个次数不高于4次的多项式P （x ），使它满足(0)(0)0,(1)(1)0,(2)0P P P P P ''=====解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式0101010,10,10,1x x y y m m ======11300201001012()()()()(12)()(12)(1)j j j j j j H x y x m x x x x xx x x x x x x αβα===+--=---=+-∑∑210110102()(12)()(32)x x x x x x x x x x x α--=---=-2021()(1)()(1)x x x x x xββ=-=-22323()(32)(1)2H x x x x x x x ∴=-+-=-+设22301()()()()P x H x A x x x x =+--其中，A 为待定常数3222(2)1()2(1)P P x x x Ax x =∴=-++-14A ∴= 从而221()(3)4P x x x =-19．求4()f x x =在[,]a b 上分段埃尔米特插值，并估计误差。

数值分析 第二章2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式. 解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+--则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 6．设,0,1,,j x j n =为互异节点,求证:（1）0()nkkj j j x l x x=≡∑ (0,1,,);k n =(2）()()0nk jj j xx l x =-≡∑ (0,1,,);k n =证明（1） 令()kf x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =，则函数()f x 的n 次插值多项式为0()()nkn j j j L x x l x ==∑.插值余项为(1)1()()()()()(1)!n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+ 又,k n ≤(1)()0()0n n f R x ξ+∴=∴=0()nk kj j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =000(2)()()(())()()(())nk j j j n nj i k i k j j j i nnik ii kj j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑0i n ≤≤又 由上题结论可知()nk ij jj x l x x ==∑()()0ni k i ik i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式∴得证。

第2章 插值法1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。

（1）用单项式基底。

（2）用Lagrange 插值基底。

（3）用Newton 基底。

证明三种方法得到的多项式是相同的。

解：（1）用单项式基底设多项式为:2210)(x a x a a x P ++=，所以：6421111111111222211200-=-==x x x x x x A 37614421111111424113110111)()()(222211200222221112000-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2369421111111441131101111)(1)(1)(12222112002222112001=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a 6565421111111421311011111)(1)(1)(12222112002211002=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：2652337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底)21)(11()2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l)21)(11()2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l)12)(12()1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=x x x x x x x x x x x lLagrange 插值多项式为：372365)1)(1(314)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下：Newton 372365)1)(1(65)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。

第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。

[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。

3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。

若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。

练习1 已知410=x，211=x，432=x。

（1）推导以这3点作求积节点在[0，1]上的插值求积公式；（2）指明该求积公式所具有的代数精度； （3）用所求的公式计算dxx ⎰12解：按题设原式是插值型的，故有32434121414321100=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰dx x x A同样，容易计算出3202==A A ，于是有求积公式⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛≈⎰433221314132)(1f f f dx x f由于原式含有3个节点，按定理1它至少有2阶精度。

考虑到其对称性，可以猜到它可能有3阶精度。

事实上，对于3)(x x f =原式左右两端相等。

此外，容易验证原式对4)(x x f =不准确，故所构造的求积公式确实有3阶精度。

（3）31]43221412[31222102=⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯≈⎰dx x31432141214341101-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰dx x x A2. 取7个等距节点（包括区间端点）分别用复化梯形公式和复化辛甫生公式求积分2lnxdx的近似值（取6位小数）解：（1）复化梯形公式])(2)()([2)(11∑⎰-=++=≈n k k ban x f b f a f h T dx x f385139.0])(2)2()1([1211616=++=∴∑-=k k x f f f T(2)复化辛甫生公式])(2)(4)()([6)(11021∑∑⎰-=-=++++=≈n k k n k k n bax f xf b f a f h S dx x f ∴ ])(2)(4)2()1([3161212213∑∑==++++⨯=k k k k x f xf f f S≈0.386 287而 38629436.0ln21=⎰xdx3. 用梯形格式求解初值问题⎩⎨⎧=≤<++-='2)1(6.,y x x y y )1(1 1 ，（取步长h ＝0.2，小数点后至少保留6位） 解：梯形格式为)],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y ，于是⇒++-+++-+=+++ 1 1 ,)]()[(2111n n n n n n x y x y h y y),(222112 +++++-=++n n n n x x hh y hh y,2,1,0=n取步长h ＝0.2，由初值20=y 计算得147709.2)6.1(069422.2)4.1(018182.2)2.1(321=≈=≈=≈y y y y y y4. 对初值问题⎩⎨⎧=>=+'1)0(00y x y y , 试证明用欧拉预-校格式所求得的近似解为,2,1,022, )-(1=+=n hh y nn (其中h 为步长)证明： ,2,1,0)],(),([2),(1111 =⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++n y x f y x f hy y y x hf y y n n n n n n n n n n 将y y x f -=) ( ,代入，于是有⎪⎩⎪⎨⎧--+=-=+++)(2)1(111n n n n n n y y hy y y h y 整理后，有)-(1n n y hh y 221+=+反复递推得 )-(101212y hh y n n +++=由1)0(0==y y ，故得,2,1,022, )-(1=+=n hh y nn。

《数值分析》练习题及答案解析第一章 绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。

1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。

4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。

第二章 非线性方程求根 主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算； 牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。

（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。

"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。

（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。

（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。

（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。

第二章插值法1.当兀= 1—2时,/（%） = 0-3,4^/（%）的二次插值多项式。

解：X。

= I/】=—l,x2 = 2, /Uo) =0,/(^)=-3,/(X2) = 4;一丄(兀+i)(一2)，0（人）=Oo — xJOo — xJ 2加）=（_兀）（—心=丄（一1）（一2）（兀一兀）（州一呂）6(A-.VoX.V-Vj l(Y_1)(x+1)(x2-x Q)(x2-x t) 3则二次拉格朗口插值多项式为2厶⑴=£）恥）k=0=-3/0(X)+4/2(X)1 4= --U- 1)(A—2) + -(x-l)(x + 1)5r 3 7=-X" +—x--6 2 3/（x） = liix2.用线性插值及二次插值计算1110.54的近似值。

解：由表格知，x0 = 0・4，兀=0.59X2 = 0.6, x3 = 0.7,x4 = 0.8; f(x Q) = -0.916291,/(xj = -0.693147 /(A) = —0.510826,/a)= -0.356675 /(x4) =-0.223144若采用线性插值法计算hiO.54即/(0.54),则0.5 <0.54 <0.6/1(x) = ^—^ = -10(.v-0.6) 人一无X —X /.(%) = -__ =-10(x-0.5)厶⑴=/U1XW + /(x 2)/2(x)=6.93147(x — 0.6) - 5・ 10826(.— 0.5)・・・厶(0.54) = -0.6202186 « -0.620219若采用二次插值法计算lnO.54时, (V f _亠)=50(x-0.5)(x- 0.6)(x Q -xj(x 0-x 2)(工7。

)(工_亠)=-100(x- 0.4)(x — 0.6)(兀一 Xo )(X 】一XJ厶(x) = /UoVoW+/U1XW+/(x 2)/2(x )=-50 x 0.916291(%-0.5)(A -0.6)+ 69.3147(x-0.4)(x-0.6)-0.510826 x50(x-0.4)(x-0.5).14(0.54) = -0.61531984 « -0.615320 3.给全cosx,0 <x<90°的函数表,步长/? = r = （l/60）\若函数表具有5位有效数字，研 究用线性插值求cos 兀近似值时的总误差界。

第二章1.试证明nn R⨯中的子集“上三角阵”对矩阵乘法是封闭的。

证明：设n n R B A ⨯∈,为上三角阵，则)( 0,0j i b a ij ij >== C=AB ，则∑==nk kjik ij b ac 1)( 0j i c ij >=∴，即上三角阵对矩阵乘法封闭。

2.已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=512103421121A ，求A 的行空间)(T A R 及零空间N(A)的基。

解：对T A 进行行变换，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=00100010121420050000121501131242121TA 3)(=∴T A r ，)(T A R 的基为[][][]T T T 5121,03421121321=-==ααα，由Ax=0可得[]Tx 0012-=∴N(A)的基为[]T0012-3.已知矩阵321230103A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试计算A 的谱半径()A ρ。

解：2321()det()230(3)(64)013A f I A λλλλλλλλ---=-=--=--+=--max 35()3 5.A λρ=+=+4、试证明22112212211221,,,R E E E E E E ⨯+-是中的一组基。

，其中11121001,0000E E ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22210000,1001E E ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

1222112112211221134112212211221234134411221221122123410010000,,,00001001010110100000E E E E E E E E k k k k k k k E E E E E E k k k k k k E E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎛⎫++++-== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭++++-解：，（）（）令因此（）（0000O E ⎛⎫== ⎪⎝⎭）12331112212212211221111221122122112222112212211221 0 ,22,,,k k k k a a A V a a a a a aA a a E E E E E E R E E E E E E ⨯⇔====⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭+-=+++-+∴+-对于任意二阶实矩阵有（）（）是中的一组基。

2009-2010数值分析第一章绪论 (1)第二章函数插值 (2)第三章函数逼近 (5)第四章数值积分与数值微分 (10)第五章解线性方程组的直接解法 (12)第六章解线性方程组的迭代解法 (16)第七章非线性方程求根 (19)第九章常微分方程初值问题的数值解法 (21)第一章绪论1.1要使胸的相对误差不超过0.1%,应取几位有效数字？解：面的首位数字％=4。

设/有n位有效数字，由定理知相对误差限k(.r*)|<—xlO1^ =-xl0^1 r 1 2x4 84-xio1-" <0.1%, 8解得〃Z3.097,即需取四位有效数字.1.2 序列｛/｝满足关系式y,,=10y,_]-l(n = l,2,...),若y0=V2«1.41,计算到M。

，误差有多大？这个算法稳定吗？解：y0 = V2,y* =1.41,|y0 -y*| <^-xl0-2=5 ,于是|/i 一川=|1。

》0 —IT。

〉；+1| = 1。

|光 - 司 < 1。

5卜2-》；| = |10》1一1一10》；+1| = 10卜1一酣〈10逆, 一般地|儿一司<103 因此计算到Mo其误差限为1010^，可见这个计算过程是不稳定的。

1. 3计算球的体积，要使相对误差限为1%,问测量半径R时允许的相对误差限是多少?解:5,、九兀K ~-7tK R_R* R2+R*R + R*2R_R* 37?2R_R*。

，“ ,(v)= _2 ---------- 2 «■«.____________ = _____ 3 = 1% ' 4 f RR- R R 2 R-7lR 3》=一' ,即测量半径R 时允许的相对误差限是一、。

R 300300第二章函数插值2.1、利用如下函数值表构造差商表，并写出牛顿插值多项式。

进而得牛顿多项式为 地⑴=f (.%) + /■氏次』吼⑴+ /[.r (p x 1,.r 2]<»2(.r) + /[.r (p x 1,.r 2,.r 3]<»3(.r)1 1 33A^3 (x) = 3 + — (x -1) + — (x -1)(尤)-2(x- l)(x )x2. 2、已知f(-2) = 2, f(-1) = 1, f (0) = 2, f (0.5) = 3试选用合适的插值节点利用Lagrange 二次插值多项式计算f (-o.5)的近似值，使之精度 尽可能高。

2.2.给出x x f ln )(=的数值表：用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。

解 线性插值。

由于54.0=x ，介于0.5和0.6之间，故取5.00=x ，6.01=x ，这时插值余项中的))(()(10x x x x x w --=的绝对值最小，于是147693.00-=y ，826510.01-=y ，代入拉格朗日线性插值多项式，得219620.0)826510.0(5.06.05.054.0)147693.0(6.05.06.054.0)54.0(11001011-≈-⨯--+-⨯--=⋅--+⋅--=y x x x x y x x x x L所以219620.0)54.0(54.0ln 1-≈≈L 。

当然还可以按其他方式取0x ，1x ，但近似程度可能差些。

二次插值。

由于54.0=x ，与0.5，0.6及0.4距离较近，故取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，这时插值余项中的))()(()(210x x x x x x x w ---=的绝对值最小，于是291916.00-=y ，147693.01-=y ，826510.02-=y ，代入拉格朗日二次插值多项式，得320615.0)826510.0()5.06.0)(4.06.0()5.054.0)(4.054.0()147693.0()6.05.0)(4.05.0()6.054.0)(4.054.0()291916.0()6.04.0)(5.04.0()6.054.0)(5.054.0())(())(())(())(())(())(()54.0(2120210121012002010212-≈-⨯----+-⨯----+-⨯----=⋅----+⋅----+⋅----=y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x L所以320615.0)54.0(54.0ln 2-≈≈L 。

哈⼯⼤研究⽣数值分析试题与答案---WORD 格式--可编辑--1. 3,2x =-分别是⽅程328120x x x --+= 的根；讨论⽤Newton 迭代法求它们近似值的收敛阶。

取初值02x =-计算根3x =-的近似值，要求迭代3次。

（结果保留4位⼩数）解：设 32()812f x x x x =--+2()328f x x x '=--()62f x x ''=-(3)0,(3)0f f '-=-≠，(2)0,(2)0,(2)100f f f '''===≠则：3-是()0f x =的单根，故Newton 迭代在3-附近是平⽅收敛； 2是()0f x =的⼆重根，故Newton 迭代在2附近是线性收敛；取02x =-，Newton 迭代： 3212()812()328n n n n n n n n f x x x x x x x f x x x +--+=-=-'-- 223634n n n x x x ++=+ 2001023634x x x x ++==+ 2112123634x x x x ++==+ 2223223634x x x x ++==+2. 设常数0a ≠ ，求出a 的取值范围使得解⽅程组112233212313a x b a x b a x b --?????? ??? ?-= ??? ? ??? ????的Jacobi 迭代法收敛。

解： Jacobi 迭代：(1)()k k J x B x g +=+ 10210211203203130130J a B a a a -----?????? ? ? ?=--=-- ? ? ? ? ? ???????112a b g a b -???? ? ?= ? ? ? ?a谱半径：()1JBaρ=<时Jacobi迭代收敛故：a>3. 设（1）⽤Crout三⾓分解法求解⽅程组1232325xx?=??；（2）⽤乘幂法求⽅程组系数阵的按摸最⼤的特征值和对应的特征向量。

第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用：式计算误差最小。

四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。

线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。

习题21. 分析下列方程各存在几个根，并找出每个根的含根区间：(1) 0cos =+x x ； (2) 0cos 3=-x x ； (3) 0sin =--x e x ； (4) 02=--x e x 。

解：(1) 0cos =+x x (A) x x x f cos )(+= ，0sin1)(≥-='x x f ,),(∞-∞∈x10cos 0)0(=+=f ,01cos 1)1cos(1)1(<+-=-+-=-f ∴ 方程(A) 有唯一根 ]0,1[*-∈x (2) 0cos 3=-x x (B) x x x f c o s 3)(-=,0sin 3)(>+='x x f , ),(∞-∞∈x 时010c o s03)0(<-=-⨯=f ，01cos 31cos 13)1(>-=-⨯=f ∴ 方程(B) 有唯一根 ]1,0[*∈x (3)sin =--xex (C)xex -=sinx x f sin )(1=, xex f -=)(2方程(C)有无穷个正根，无负根 在[22,2πππ+k k ] 内有一根 )(1k x ，且0]2[lim )(1=-∞→πk x k k在[ππππ++k k 2,22]内有一根)(2k x ，且0])12([lim )(2=+-∞→πk x k k (示图如下) 3,2,1,0=k)(2x f x(4)02=--xex(D) xex-=2,)(21x x f = xex f -=)(2方程(D) 有唯一根 ]1,0[*∈x 当 0<x 时 (D)与方程2x ex -=- (E) 同解 当 0<x 时 (E)无根 2. 给定方程 012=--x x ； (1)(2)若在[0 , 2]上用二分法求根，要使精确度达到6位有效数，需二分几次？ 解：012=--x x1) 01)(2=--=x x x f 1)1(-=f , 025.0)5.1(<-=f ,1)2(=f]2,5.1[*∈x, 618034.1251*=+=x)(5.1- 1.75(+) 2(+) )(5.1- 1.625(+) 1.75(+) )(5.1-1.5625(+) 1.625(+))(5625.1- )(59375.1-1.625(+)1102103125.02)5625.1625.1(-⨯<=-6.159375.1*≈≈x2位有效近似值为 1.6 2)00==a a ， 20==b b)(21k k k b a c +=kk k a b c x 2121*=-≤-+5102121-⨯≤k，51102≥-k60.162ln 10ln 51=≥-k∴ 只要2等分18次3. 为求0353=--x x 的正根，试构造3种简单迭代格式，判断它们是否收敛，且选择一种较快的迭代格式求出具有3位有效数的近似根。