2009年春季工学硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷

2009级研究生《数值分析》试卷一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为xy y x y x u 223),(+=，其中，y x ,由统计方法得到，分别为4,2==y x,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限)(u ε和相对误差限)(u r ε.解：)(23)(6)(),()(),()(222y x y x x x y xy y y y x u x x y x u u εεεεε⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂+∂∂≈ 6.016.044.001.0)412(01.0)448(=+=⨯++⨯-= 0.010714566.03)()(22=≈+=xy y x u u r εε 二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f .解：21142512)1()2(]2,1[,311401)0()1(]1,0[=-=--==-=--=f f f f f f9232102]1,0[]2,1[]2,1,0[=-=--=f f f ,0!4)(]4,3,2,1,0[)4(==ξff 三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[121)]1()0([21)(1f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度.解：记⎰=10)(dx x f I )]1(')0('[121)]1()0([21f f f f I n -++= 1)(=x f 时：1110==⎰dx I1]00[121]2[21=-+=n I x x f =)(时：2110==⎰xdx I 21]11[121]1[21=-+=n I2)(x x f =时：31102==⎰dx x I 31]20[121]1[21=-+=n I3)(x x f =时：41103==⎰dx x I 41]30[121]1[21=-+=n I 4)(x x f =时：51104==⎰dx x I 61]40[121]1[21=-+=n I求积公式)]1(')0('[121)]1()0([21)(1f f f f dx x f -++≈⎰具有3次代数精度. 四.(12分) 已知函数122)(23-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间},,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式.其中,权函数1)(=x ρ,154))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ.解：0))(),(())(),((21))(),((1101101100=====⎰⎰--dx x x x x x dx x x ϕϕϕϕϕϕ32))(),(())(),(())(),((112110220====⎰-dx x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ0))(),(())(),((1131221===⎰-dx x x x x x ϕϕϕϕ 52))(),((11422==⎰-dx x x x ϕϕ解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛154153234520320320320221a a a 得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛15161210a a a 则)(x f 的最佳平方逼近多项式为：1516)(2-+=x x x p 五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:(1) 填写均差计算表((2) 分别求出满足条件22k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示. 解：12)12)(02()1)(0()20)(10()2)(1()(22+-=----+----=x x x x x x x L12)1)(0(1)0)(1(1)(22+-=--+--+=x x x x x x N 令)2)(1()(12)(24--+++-=x x x b ax x x x H则)2()()2)(1)(()2)(1(22)('4-++--++--+-=x x b ax x x b ax x x ax x x H)1()(-++x x b ax由 ⎩⎨⎧-=+=+⇒⎩⎨⎧=-++-=-=-++-=1220)12(2)2(24)2('2)21)((22)1('44b a b a b a H b a H ,解得 5,3=-=b a 因此1820143)2)(1()53(12)(23424++-+-=--+-++-=x x x x x x x x x x x H 六.(16分)(1). 用Romberg 方法计算⎰31dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈110)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰31dx x .解：过点（1，-1）和点（3，1）作直线得 y t x +=所以积分⎰⎰-+=11312dt t dx x由三次Legendre 多项式 )35(21)(33x x x p -=得得Gauss 点： ,515,0,515210==-=x x x再由代数精度得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==+-==++⎰⎰⎰---32535305155152111220112011210dt x A A dt x A A dt A A A即 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=++9/10022020210A A A A A A A 解得 ,95,98,95210===A A A所以三点Gauss-Legendre 求积公式为：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈⎰-5159509851595)(11f f f dx x f 因此 79746.2515295298515295211=+++-≈+=⎰-dx t I七.(14分)(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5110||-+<-k k x x ). 解：令 2ln )(--=x x x f),1(,011)('∞∈>-=x xx f > 即)(x f 在区间 ),1(∞ 单调增又 04)(,02ln )2(22>-=<-=e e f f 所以 02ln =--x x 在区间 ),1(∞有一单根 ),1(20e x ∈ Newton 迭代公式为1ln 112ln 1-+=----=+k k k k kk k k k x x x x x x x x x令 20=x 计算得八. (12分) 用追赶法求解方程组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x 的解. 解： 由计算公式 ⎪⎩⎪⎨⎧-===+====-1,,2,,,2,,111111n i c n i b a c b i i ii i i i i i βααβγγβαα得 ,2,1,1,21,1,24321111======γγγββαα25211322212=⨯-=⇒=+ααβγb 52222222==⇒=αββαc c 53521133323=⨯-=⇒=+ααβγb 35333333==⇒=αββαc c37352144434-=⨯-=⇒=+ααβγb因此 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛135152121137253125121211113112即 LU A = 令 b Ly = 解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-022137253125124321y y y y 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23753214321y y y y 令 y Ux =解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛237532113515212114321x x x x 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21104321x x x x九. (12分) 设求解初值问题⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 的计算格式为:)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .解：)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y )](')('[)(1-++=n n n x by x ay h x y])('''21)('')('[)(')(2++-++=n nn n n x y h x hy x y hb x hay x y ++-++=)('''21)('')(')()(32n n n n x by h x by h x y b a h x y对比 ++++=+)('''61)(''21)(')()(321n n n n n x y h x y h x hy x y x y得 ⎩⎨⎧==+2/11b b a ， 即 2/1==b a 时该计算格式具有二阶精度.。

的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分
I e dx
1
2
1 x
dy f ( x, y ) 八、 （14 分）对于下面求解常微分方程初值问题 dx 的单步法： y ( x0 ) y 0
1 1 y n 1 y n h( 2 k1 2 k 2 ) k1 f ( x n , y n ) k f ( x h, y hk ) n n 1 2
xi yi
-2 0
-1 1
0 2
1 1
2 0
试用二次多项式 p( x) ax 2 bx c 拟合这些数据。 四、 （14 分）已知 y f ( x) 的数据如下：
xi f ( xi ) f ( xi )
1 2
2 4 3
3 12
（1）求 f ( x) 的 Hermite 插值多项式 H 3 ( x) ； （2）为求 f ( x)dx 的值，采用算法： f ( x)dx H 3 ( x)dx R
武 汉 大 学
2005~2006 学年第一学期硕士研究生期末考试试题
科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。 一、 （15 分）设求方程 12 3x 2 cos x 0 根的迭代法 2 xk 1 4 c o s xk 3 (1) 证明对 x0 R ,均有 lim xk x * ,其中 x * 为方程的根.
2 1 x1 7 1 1 x 2 3
（1） 用 Doolittle 分解法求解方程组； （2） 求矩阵 A 的条件数 Cond ( A) 二、 （12 分）设 A 为 n 阶对称正定矩阵，A 的 n 个特征值为 1 2 n ，为 求解方程组 Ax b ，建立迭代格式 x ( k 1) x ( k ) (b Ax ( k ) ) ，求出常数 的取 值范围，使迭代格式收敛。 三、 （12 分）已知数据

姓名学号评分时间120分钟石家庄铁道学院 2009 级硕士研究生考试试卷参考答案及评分标准课程名称 数值分析 任课教师 王亚红一.(1-6题 2分/空;7-10题 3分/空)1. 3，32. 43. -34. )()(max x P x f bx a -≤≤5. )2)(1(!4)(),2(2)4(2--+-x x x f x x ξ 6. 33,3321=-=x x 7. 21<a8.Λ,2,1,0,211721=--=+k x x x x kkk k 9. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=323/22/3212L 10.1,...,2,1,1--=⎩⎨⎧-==+n n k x d x d x k k k kn n β 二(16分).1. 解 :⎢⎢⎢⎣⎡221213112⎥⎥⎥⎦⎤ =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-32/12/1112132/112/31------8分解,b Ly =得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=304y解,y Ux =得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111x . -----------------------------------------------12分2.Jacobi 迭代法计算公式:初始向量)0(x⎪⎩⎪⎨⎧--=--=--=+++2/)25()236(2/)4()(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x , Λ,2,1,0=k ------------------------------16分-----------------------------------7分)2)(1)(1(245)1)(1(65)1(233))()(](,,,[))(](,,[)](,[)()(21032101021001003--+--++++-=---+--+-+=x x x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N--------------------10分2.(10分)根据最小二乘原理∑=--=302))((i i i y b ax I 最小，----2分有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00aI bI即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑i i i ii i x y y a b xxx 24----------------------8分即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36915554a b ，解得b =1.2857，a =2.8286 拟合曲线2857.18286.2+=x y ----------------------10分 四(16分)解: 1．+----=))(())(()()(2010210x x x x x x x x x f x L ))(())(()(2101201x x x x x x x x x f ----+))(())(()(1202102x x x x x x x x x f ---- ------------------------------6分计算=)(0'x L ()()()()2104321x f x f x f h-+- ----------------9分 )()(0'0'x L x f ≈=()()()()2104321x f x f x f h-+- ------------------------------------------12分2．)()(),,(210x L x f x x x ≈∈,))()!1()(()()(1)1(2'++'='++x n f x L x f n n ωξ, x x n f n n 与ξωξ,))()!1()((1)1('+++有关, )()(),,(210x L x f x x x '≈'∈无法估计. )(,2x L x '不是插值节点时当的值不能作为)('x f 的近似值.-----------------16分 五. 解 1．(8分)Λ004.041.10=-I 21021-⨯≤------------------2分 2000011102110)~(10)1~10(110~-⨯⨯≤-=---=-I I I I I I ------------------------4分22111122102110)~(10)1~10(110~-⨯⨯≤-=---=-I I I I I I类推有 8210999910101021102110~10)1~10(110~--⨯=⨯⨯≤-=---=-I I I I I I-----------6分计算到10I 时，误差限为初始0I 的误差限的1010倍，每递推一次误差扩大10倍， 所以这个计算过程是不稳定的。

2009年中南大学硕士研究生“数值分析”课程试题（闭卷，可自带计算器，120分钟）一、设分段多项式（8分）S(x)=⎩⎨⎧≤≤-++≤≤+21,1210,2323x cx bx x x x x是以x = 0，1，2为节点的三次样条函数，试确定系数b ，c 的值。

二、设)3()(2-+=Φx c x x ，问如何选取 c 能保证迭代法)(1k k x x Φ=+具有局部收敛性。

（8分）三、利用列主元素消去法解方程：（8分）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∙⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---453311294642321x x x四、求()xf x e =在[0，1]上的一次最佳平方逼近多项式。

（8分）五、已知函数表如下，试用抛物插值求125的近似值，估计截断误差。

（14分）利用Romberg 方法计算积分：dx xx⎰1sin （计算到第一个Romberg 值）。

七、利用改进的Euler 法求解如下初值问题：（14分）,1)0(6.00,2)('⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤-=y x y x y x y 取步长 h =0.3 。

八、利用反幂法和矩阵的LU 分解技术求下列矩阵A 接近于 p = -6.4 的特征值及其特征向量（保留3位小数迭代计算2次，分解后取1(1,1,1)T Uv =），-1212-4111-6A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

（14分）九、方程组AX=b ， 其中10101a A a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

试建立解线性方程组AX=b 的雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，并讨论a 取何值时迭代收敛。

（12分）。

《数值分析》I课程试题参考答案及评分标准（中文试卷）( A卷)适用专业年级：信息与计算科学07级 考试时间: 100分钟命题人：吕勇一、解------------------------------------------------------5分则插值多项式。

---------------------------------------- -------10分二、 证明设，以为节点的Lagrange插值多项式为 --3分余项为-----------------------------------------------------6分由于为线性函数，当时，。

--------------------------------9分则：，所以结论得证-------------------------------------------------10分三、证明 ----------------------------------------------------5分-------------------------8分 ---------------------------------------------------10分四、证明设则根据插值多项式原理-------------------------------------------------------------------------------------6分两端在上积分-------------------------------------------------------------10分五、解设，。

--------------------------------------------------------------------3分，---------------------------------------------------------------6分，。

南京工业大学 数值分析 试题（A ）答案2009--2010 学年第一学期 使用班级 信科0701应数0701一、填空题 （每小题3分，共30分）1．已知974997.999995≈，则≈-9995100 0.025003126 具有 8 位有效数字。

2．对f(x)=2x 4+x+1,差商f[0,1,2,3,4]= 2 ;f[0,1,2,3,4,5]= 0 。

3．设方程x=ϕ(x)有根x *,且设ϕ(x)在含x *的区间(a,b)内可导，设x 0∈(a,b)则迭代格式x k+1=ϕ(x k )收敛的充要条件为 1|)(|*<'x ϕ 。

4．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011001001001....A ,||A||∝= 2.01 ,cond(A)∝= 404.01 。

5．中矩形公式：)()2()(a b b a f dx x f ba -+=⎰的代数精度为 2 。

6．在区间[1，2]上满足插值条件⎩⎨⎧==1)2(2)1(P P 的一次多项式P(x)= 3-x 。

7．设∑==n k k k n x f A f I 0)()(是函数f(x)在区间[a,b]上的插值型型求积公式，则 ∑=n k k A0= a b - 。

8．梯形公式和改进的Euler 公式都是 2 阶的。

9．在区间[0，1]上，函数a x x +=)(1ϕ与函数22)(x x =ϕ正交，则a= -0.75 。

10．求解线性方程组Ax=b 的迭代格式x (k+1)=Jx (k)+f 收敛的充要条件为 1)(<J ρ 。

二、计算题 （每题8分，共48分）1．试用Gauss 消元法解下列方程组，计算过程按5位小数进行：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---08.255.190.05.11.40.10.15.26.15.05.12.3321x x x （写出详细过程！） 解：A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2524.01010.0001000.12500.12500.309000.05000.05000.12000.3 （4分） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 2.5000 1.0000 0 0 1.3000 0 1.0000 0 0.5000 0 0 1.0000~ （3分）所以方程组的解为：5.2,3000.1,5000.0321===x x x （1分）2. 给出f(x)的函数表，（1）在表中填上指定阶的差商；（2）写出f(x)的2次牛顿插值多项式；解：（一）表如上 （3分）（二）)55.0x )(4.0x (28000.0)4.0x (116.141075.0)x (f --+-+≈ （3分）（三）截断误差)65.0x )(55.0x )(4.0x (6)(f R )3(---=ξ （2分）3.求解超定方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32121111121x x 的最小二乘解。

东 南 大 学 二〇〇九年攻读硕士学位研究生入学考试试题试题编号：601 试题名称：数学分析一．判断题（判断下列命题正误,若正确请证明,否则请给出反例说明（本题共4小题,每题6分,满分24分）.1.[,]a b 上每个单调函数至多有可列个间断点.2.在有界闭区间[,]a b 上黎曼可积的函数必在[,]a b 上有原函数.3.若n a 非负、单调递减,且lim 0n n na →∞=,则级数1n n a ∞=∑收敛. 4.曲线221x y +=上每一点的某邻域内可确定隐函数()y y x =.二．计算题（本题共6小题,每题8分,满分48分）.5.求极限21lim[ln(1)]x x x x→∞+-. 6.求极限2222212lim (1)(1)(1)n n n n n n→∞+++ . 7.求幂级数143nn x n ∞=-∑的和函数(0)x ≥. 8.求曲线2226,0x y z x y z ++=++=在点(1,2,1)-处的切线方程.9.计算曲线积分22C ydx xdy I x y -=+⎰,其中C 为曲线33cos ,sin (0)2x t y t t π==≤≤的一段.10.计算曲面积分22(1)84x dydz xydzdx xzdxdy ∑-+-⎰⎰,其中∑是由曲线(0)y x e y a =≤≤绕x 轴旋转所成的旋转曲面,取外侧.三．解答题（本题共8小题,前6小题每题10分,后2小题每题9分,满分78分）.11.给定实数0x 及b ,01b <<,令1sin ,1,2,n n x a b x n -=+= ,证明：（1）极限lim n n x →∞存在,记为ξ； （2）ξ是开普勒方程sin x a b x =+的唯一解.12.一个函数f ：[,]a b → 称作上半连续的,假如对给定的[,]x a b ∈及0ε>,存在一个0δ>,使得若[,],y a b y x δ∈-<,则()()f y f x ε<+.证明：[,]a b 上的上半连续函数是上有界的,且在某个点[,]c a b ∈处达到最大值.13.设()f x 在开区间(,)I a =+∞内可导,且lim '()x f x →+∞=∞,证明()f x 在I 内必定是非一致连续的.若(,)I a b =是有限开区间,且lim '()x bf x -→=∞,问()f x 在I 内也必定是非一致连续的？14.设1111n nn I x dx +=+⎰,求证：（1）0,n I n →→∞；（2）极限lim n n nI →∞存在,并求出此极限值. 15.设()f x 在区间[0,1]上连续,在(0,1)内有二阶导数,且10(0)(1)0,''()0,()0f f f x f x dx ⋅>>=⎰. 证明：（1）函数()f x 在(0,1)内恰有两个零点；（2）至少存在一点(0,1)ξ∈,使得0'()()f f x dx ξξ=⎰. 16.设()f x 在0x =的某邻域内有二阶连续导数,且0()lim 0x f x x →=.证明：级数11()n n f n∞=∑绝对收敛. 17.设2222sin(),(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),x y xy x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩讨论f 在原点的连续性、可微性以及两个一阶偏导数在原点的连续性.18.证明反常积分20sin 1x px x +∞+⎰关于[,)p a ∈+∞一致收敛,其中0a >为常数.。

数值分析（研究生，2008-12-15）1.（10分）求函数⎩⎨⎧≤≤++<≤-+=10,101,1sin )(2x x x x x x f 在区间[-1，1]上的最佳平方逼近式x e a x a a x 210)(++=φ。

2．（15分）利用乘幂法计算下列矩阵的主特征值和相应的特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----110141012，初始向量为T x ]0,0,1[0=（要求结果有三位有效数字）。

同时计算该矩阵的1-条件数和谱条件数。

3.（15分）已知函数x x f sin )(=在36.0,34.0,32.0210===x x x 处的值分别为352274.0,333487.0,314567.0210===y y y 。

用Lagrange 插值多项式对3167.0=x 的函数值进行近似计算，并估计近似计算的误差界。

4.（15分）用Newton 迭代法求方程0ln 2=+x x 在区间（0，2π）内的解，选择你认为合适的初始点，计算方程的根，使得近似解具有四位有效数字。

请从理论上估计达到所需精度所需的迭代次数。

5.（15分）用Gauss-Seidel 迭代法解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---542834*********x x x 取初始近似向量0[0,0,0]Tx =，估计达到4位有效数字需要的迭代次数，并实际计算之。

就该具体问题分析计算过程中总的乘除法计算量。

6. （10分）应用拟牛顿法解非线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.12,2322112221x x x x x x 取T x ]1,0[)0(= ，终止容限210-=ε。

7.（10分） 求解矛盾方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++232328.12221321321321321x x x x x x x x x x x x8. （10分）用复合Simpson 公式计算积分⎰=21sin )(xdx f I 讨论在误差要求不超过410-的条件下的步长。

课程编号：12000044 北京理工大学2010-2011学年第一学期2009级计算机学院《数值分析》期末试卷A 卷班级 学号 姓名 成绩注意：① 答题方式为闭卷。

② 可以使用计算器。

请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上。

一、 填空题 （2 0×2′）1. 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 位有效数字。

2. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A ，‖A ‖∞＝___ ____，‖X ‖∞＝__ _____，‖AX ‖∞≤____ ___ (注意：不计算‖AX ‖∞的值) 。

3. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =ϕ(x )在有解区间满足 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。

4. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 。

5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 阶的连续导数。

6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 （填写前插公式、后插公式或中心差分公式），若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 （填写前插公式、后插公式或中心差分公式）；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 。

7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( ；所以当系数a i (x )满足 ，计算时不会放大f (x i )的误差。

8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 位有效数字。

9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 。

2009-2010数值分析第一章绪论 (1)第二章函数插值 (2)第三章函数逼近 (5)第四章数值积分与数值微分 (10)第五章解线性方程组的直接解法 (12)第六章解线性方程组的迭代解法 (16)第七章非线性方程求根 (19)第九章常微分方程初值问题的数值解法 (21)第一章绪论1.1要使胸的相对误差不超过0.1%,应取几位有效数字？解：面的首位数字％=4。

设/有n位有效数字，由定理知相对误差限k(.r*)|<—xlO1^ =-xl0^1 r 1 2x4 84-xio1-" <0.1%, 8解得〃Z3.097,即需取四位有效数字.1.2 序列｛/｝满足关系式y,,=10y,_]-l(n = l,2,...),若y0=V2«1.41,计算到M。

，误差有多大？这个算法稳定吗？解：y0 = V2,y* =1.41,|y0 -y*| <^-xl0-2=5 ,于是|/i 一川=|1。

》0 —IT。

〉；+1| = 1。

|光 - 司 < 1。

5卜2-》；| = |10》1一1一10》；+1| = 10卜1一酣〈10逆, 一般地|儿一司<103 因此计算到Mo其误差限为1010^，可见这个计算过程是不稳定的。

1. 3计算球的体积，要使相对误差限为1%,问测量半径R时允许的相对误差限是多少?解:5,、九兀K ~-7tK R_R* R2+R*R + R*2R_R* 37?2R_R*。

，“ ,(v)= _2 ---------- 2 «■«.____________ = _____ 3 = 1% ' 4 f RR- R R 2 R-7lR 3》=一' ,即测量半径R 时允许的相对误差限是一、。

R 300300第二章函数插值2.1、利用如下函数值表构造差商表，并写出牛顿插值多项式。

进而得牛顿多项式为 地⑴=f (.%) + /■氏次』吼⑴+ /[.r (p x 1,.r 2]<»2(.r) + /[.r (p x 1,.r 2,.r 3]<»3(.r)1 1 33A^3 (x) = 3 + — (x -1) + — (x -1)(尤)-2(x- l)(x )x2. 2、已知f(-2) = 2, f(-1) = 1, f (0) = 2, f (0.5) = 3试选用合适的插值节点利用Lagrange 二次插值多项式计算f (-o.5)的近似值，使之精度 尽可能高。

班级 学号 姓名
…
…
东北大学研究生院考试试卷
总分 一（ 1－8） 一（ 9-10 ） 二
三
四
五
六
… …
2009 —2010 学年第 1 学期
○ …
课程名称： 数值分析
… 一、解答下列各题： （每题 5 分，共 50 分） …
5．求满足条件 f (0) 0, f (1) 1, f ( 2) 0, f (1) 0 的三次插值多项式 H 3( x) 的表
…
6 3 2 x3
1
达式。 解 设 H 3 (x) x( x 2)( ax b) ，则 (a b) 1， a 0 。
于是， H 3 ( x) x(x 2) 。
b
n
n
6. 设求积公式 f ( x)dx a
Ak f ( xk ) 是插值型求积公式，求
Ak .
k0
k0
…
…
213
21 3
10021 3
…
解 由于 4 5 1
迭代一步得： x(1)
(1/ 2, 2 / 3, 3 / 4) T ，若使 x (k)
x* 10 3 ，则有： 1
…
…
2
k
(1 ln x (1)
B 1) x (0)
10 3 / 6
5
ln B 1
ln 23 / 12
ln 6
1
所以，取 k＝52。即应迭代 52 步。
51.28
三、（ 11 分）说明方程 x x3 5 在区间 [1, 2] 内有唯一根，并建立一个收敛的迭
l i ( x)
n x xj j 1 xi xj
ji
nx j
j1 i j

2
∑A
k =0
2
K f ( xk ) ≈ ∫ f ( x )dx 是高斯型的，则其余项为 a
b
∫
b
a
f ( x)dx − ∑ AK f ( xk ) = .
k =0
二、(15 分) 已知函数 f ( x) 在 0，1，2 处的函数值分别是 1，2，15，且 f ′′(1) = 12 . (1) 利用 Newton 均差插值思想，求满足以上四个插值条件的插值多项式 H ( x) ；
f ( x) − P2 ( x) （假设 f ( x) 三阶连续可导）.
二、(15 分) 确定求积公式
∫
h
0
f ( x)dx=
h [ f (0) + f (h)] + α h 2 [ f ′(0) − f ′(h)] 中的待定参数 α，使该 2
公式的代数精度尽量的高，并指出该公式的代数精度是多少. 三、(15 分) 用平方根法求解方程组
五、(20 分) 已知线性方程组
1 x1 + 2 x2 − 2 x3 = 3 x1 + x2 + x3 = 2 x + 2 x + x = 5 2 3 1
(1) 判断用 J 方法、GS 方法求解该方程组是否收敛； (2) 若 J 方法、GS 方法中有收敛公式，用一收敛公式求解；若两种公式都不收敛，构造收敛迭
∫
4
1
x −1 dx 的近似值. x+x
4 −2 −4 x1 10 −2 17 10 x = 2 3 . −4 10 9 x3 −7
5、(15 分) 已知线性方程组
−12 5 x1 + 2 x2 + x3 = 9 − x1 + 4 x2 + 2 x3 = 2 x − 3 x + 10 x = 1 2 3 1

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数3()sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为(A)1.(B)2. (C)3.(D)无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则(A)1a =，16b =-. （B ）1a =，16b =. (C)1a =-，16b =-. （D ）1a =-，16b =.（3）使不等式1sin ln x tdt x t>⎰成立的x 的范围是 (A)(0,1).(B)(1,)2π. (C)(,)2ππ. (D)(,)π+∞.（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为(A)(B)(C)(D)（5）设,A B 均为2阶矩阵，*,A B *分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为(A)**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.(B)**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭.(C)**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.(D)**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭. （6）设,A P 均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则TQ AQ 为(A)210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(D)100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（7）设事件A 与事件B 互不相容，则(A)()0P AB =.(B)()()()P AB P A P B =. (C)()1()P A P B =-.(D)()1P A B ⋃=.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为1{0}{1}2P Y P Y ====，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F Z 的间断点个数为(A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）cos 0x x →= .（10）设()y x z x e =+，则(1,0)zx ∂=∂ .（11）幂级数21(1)n n nn e x n ∞=--∑的收敛半径为 . （12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵T αβ相似于300000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则k = .(14)设1X ，2X ,…,n X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2T X S =-，则ET = .三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.（16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >. （17）（本题满分10 分） 计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中22{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥. （18）（本题满分11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，则(),a b ξ∈，得证()'()()()f b f a f b a ξ-=-.（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()0,,(0)σσ>内可导，且'0lim ()x f x A +→=，则'(0)f +存在，且'(0)f A +=.（19）（本题满分10 分）设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t π倍，求该曲线的方程.（20）（本题满分11 分）设111A=111042--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭,1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. （Ⅰ）求满足21A ξξ=，231A ξξ=的所有向量2ξ，3ξ. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ，证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关. （21）（本题满分11 分）设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-. （Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值.（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2211y y +，求a 的值. （22）（本题满分11 分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为0(,)0xe y xf x y -⎧<<=⎨⎩其他（Ⅰ）求条件概率密度()Y X f y x ； （Ⅱ）求条件概率11P X Y =⎡≤≤⎤⎣⎦. （23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X 、Y 、Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. （Ⅰ）求10P X Z ⎡==⎤⎣⎦；（Ⅱ）求二维随机变量(,)X Y 的概率分布.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数3()sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为(A)1. (B)2. (C)3.(D)无穷多个.【答案】C. 【解析】()3sin x x f x xπ-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则(A)1a =，16b =-. （B ）1a =，16b =. (C)1a =-，16b =-. （D ）1a =-，16b =.【答案】A.【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除(B)、(C). 另外201cos lim3x a axbx →--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除(D).所以本题选(A).（3）使不等式1sin ln xtdt x t>⎰成立的x 的范围是 (A)(0,1).(B)(1,)2π. (C)(,)2ππ. (D)(,)π+∞.【答案】A.【解析】原问题可转化为求111sin sin 1()ln xx x tt f x dt x dt dt t t t =-=-⎰⎰⎰11sin 11sin 0x x t t dt dt t t --==>⎰⎰成立时x 的取值范围，由1sin 0tt->，()0,1t ∈时，知当()0,1x ∈时，()0f x >.故应选(A).（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为(A)(B)(C)(D)【答案】D.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减. ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增. ③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数.④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为(D).（5）设,A B 均为2阶矩阵，*,A B *分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为(A)**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.(B)**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭.(C)**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.(D)**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭. 【答案】B.【解析】根据CC C E *=，若111,C C C CC C*--*==分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式221236O A A B B O ⨯=-=⨯=（），即分块矩阵可逆 1111661O B BO A O A O A O B B O B O B O AO A O A **---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭1236132O BOB AO A O ****⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭故答案为(B).（6）设,A P 均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则T Q AQ 为(A)210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(D)100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.【答案】A.【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即： 12121212122112(1)[(1)][(1)](1)[](1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002T T TT Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（7）设事件A 与事件B 互不相容，则(A)()0P AB =.(B)()()()P AB P A P B =. (C)()1()P A P B =-.(D)()1P A B ⋃=.【答案】D.【解析】因为,A B 互不相容，所以()0P AB = (A)()()1()P AB P AB P A B ==-，因为()P A B 不一定等于1，所以(A)不正确.(B)当(),()P A P B 不为0时，(B)不成立，故排除. (C)只有当,A B 互为对立事件的时候才成立，故排除.(D)()()1()1P AB P AB P AB ==-=，故(D)正确.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为1{0}{1}2P Y P Y ====，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F Z 的间断点个数为（ ） (A) 0. (B)1. (C)2 .(D)3.【答案】 B.【解析】()()(0)(0)(1)(1)Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y =≤=≤==+≤==1[(0)(1)]21[(00)(1)]2P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=+≤==⋅≤=+≤=,X Y 独立1()[(0)()]2Z F z P x z P x z ∴=⋅≤+≤（1）若0z <，则1()()2Z F z z =Φ（2）当0z ≥，则1()(1())2Z F z z =+Φ0z ∴=为间断点，故选(B).二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）cos 0x x →=.【答案】32e . 【解析】cos cos 10xx x x -→→=02(1cos )lim 13x e x x→-=20212lim 13x e x x →⋅=32e =. （10）设()y xz x e =+，则(1,0)zx ∂=∂ .【答案】2ln 21+. 【解析】由()xy z x e=+，故()(),01xz x x =+()''ln(1)ln(1)1ln(1)1x x x x x dz x x e e x dx x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+==++⎣⎦⎢⎥⎣⎦+⎣⎦ 代入1x =得，()ln 21,01ln 22ln 212ze x∂⎛⎫=+=+ ⎪∂⎝⎭.（11）幂级数21(1)n n nn e x n ∞=--∑的收敛半径为 . 【答案】1e. 【解析】由题意知，()210nn n e a n --=>()()()()111122122111()11111n n n n n nn n nn e e ea n n e n a n e n e e +++++⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭--⎢⎥⎣⎦=⋅=⋅→→∞⎡⎤+--+⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以，该幂级数的收敛半径为1e（12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元. 【答案】8000.【解析】所求即为()QP Q P Q ''=+ 因为0.2p Q PQξ'==-，所以0.2Q P Q '=- 所以()0.20.8QP Q Q Q '=-+= 将10000Q =代入有()8000QP '=.（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵Tαβ相似于300000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则k = .【答案】2.【解析】T αβ相似于300000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T αβ的特征值为 T αβ为矩阵T αβ的对角元素之和，1300k ∴+=++，2k ∴=.(14)设1X ，2X ,…,n X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2T X S =-，则ET = .【答案】2np【解析】由222()(1)ET E X S EX ES np np p np =-=-=--=.三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.【解析】2(,)2(2)0x f x y x y '=+=，2(,)2ln 10y f x y x y y '=++=，故10,x y e= =. 2212(2),2,4xxyy xyf y f x f xy y''''''=+ =+ =. 则12(0,)12(2)xxef e ''=+，1(0,)0xyef ''=，1(0,)yy ef e ''=.0xxf ''>而2()0xy xx yy f f f ''''''-< ∴二元函数存在极小值11(0,)f e e=-.（16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >.t =得22212,1(1)tdtx dx t t -= =--2221ln(1ln(1)1ln(1)11111dx t d t t dt t t t =+-+=---+⎰⎰⎰而22111112()11411(1)111ln(1)ln(1)2441dt dtt t t t t t t C t =---+-++--++++⎰⎰所以2ln(1)111ln(1ln 1412(1)1ln(1.2t t dx C t t t x C +++=+-+--+=++-⎰（17）（本题满分10 分） 计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中22{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥. 【解析】由22(1)(1)2x y -+-≤得2(sin cos )r θθ≤+，32(sin cos )4()(cos sin )04Dx y dxdy d r r rdr πθθθθθπ+∴-=-⎰⎰⎰⎰ 332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ⎡+⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎰ 2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-⋅+⋅+⎰3384(cos sin )(sin cos )34d πθθθθθπ=-⋅+⎰3344438814(sin cos )(sin cos )(sin cos )3344d πππθθθθθθπ=++=⨯+⎰83=-.（18）（本题满分11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，则(),a b ξ∈，得证()'()()()f b f a f b a ξ-=-.（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()0,,(0)σσ>内可导，且'0lim ()x f x A +→=，则'(0)f +存在，且'(0)f A +=.【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----，易验证()x ϕ满足：()()a b ϕϕ=；()x ϕ在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--.根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'()0ϕξ=，即'()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足：在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x ξδ∈⊂，使得()0'00()(0)x f x f f x ξ-=-……()*又由于()'lim x f x A +→=，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====-故'(0)f +存在，且'(0)f A +=.（19）（本题满分10 分）设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t π倍，求该曲线的方程.【解析】旋转体的体积为22()()11x x t t V f dx f dx ππ==⎰⎰曲边梯形的面积为：()1x ts f dx =⎰，则由题可知22()()()()1111x x x x t t t tV ts f dx t f dx f dx t f dx πππ=⇒=⇒=⎰⎰⎰⎰两边对t 求导可得22()()()()()()11t x t t t x t t f f dx tf f tf f dx =+⇒-=⎰⎰继续求导可得''2()()()()()f t f t f t tf t f t --=，化简可得'1(2())()2()12dt f t t f t f t t dy y-=⇒+=，解之得1223t c y y -=⋅+在式中令1t =，则2(1)(1)0,()0,(1)1f f f t f -=>∴=，代入1223t cyy -=+得11,2)33c t y =∴=.所以该曲线方程为：230y x =.（20）（本题满分11 分）设111A=111042--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭,1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. （Ⅰ）求满足21A ξξ=，231A ξξ=的所有向量2ξ，3ξ. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ，证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关. 【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-=求特解，令120x x ==，得31x =故21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1k 为任意常数解方程231A ξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭故有两个自由变量，令231,0x x =-=，由20A x =得11x = 令230,1x x ==-，由20A x =得10x =求得特解21200η⎛⎫- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭故 3231102100010k k ξ⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，其中23,k k 为任意常数（Ⅱ）证明：由于12121212122111121112(21)()2()(21)22221k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠故123,,ξξξ 线性无关.（21）（本题满分11 分）设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-. （Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值.（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2211y y +，求a 的值.【解析】（Ⅰ） 0101111a A aa ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭0110||01()1111111aaaE A aa a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--123,2,1a a a λλλ∴==-=+.（Ⅱ） 若规范形为2212y y + 1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意 综上所述，故2a =（22）（本题满分11 分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为0(,)0x e y x f x y -⎧<<=⎨⎩其他（Ⅰ）求条件概率密度()Y X f y x （Ⅱ）求条件概率11P X Y =⎡≤≤⎤⎣⎦ 【解析】（Ⅰ）由0(,)0x y xe f x y -<<⎧= ⎨⎩其它得其边缘密度函数()0xx x x f x e dy xe x --== >⎰故 |(,)1(|)0()y x x f x y f y x y x f x x== << 即 |1(|)0y x y xf y x x ⎧ 0<<⎪=⎨⎪ ⎩其它（Ⅱ）[1,1][1|1][1]P X Y P X Y P Y ≤≤≤≤=≤而111011[1,1](,)12xx x x y P X Y f x y dxdy dx e dy xe dx e ---≤≤≤≤====-⎰⎰⎰⎰⎰()|,0xxyY yf y e dx e e y y+∞---+∞==-= >⎰11101[1]|110y y P Y e dy e e e ----∴ ≤==-=-+=-⎰11122[1|1]11e e P X Y e e ----∴ ≤≤==--.（23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X 、Y 、Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. ①求10P X Z ⎡==⎤⎣⎦.②求二维随机变量(,)X Y 的概率分布.【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球12113324(10)9C P X Z C C ⨯∴====⋅.（Ⅱ）X ，Y 取值范围为0，1，2，故()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0461112,0,0,136311,1,2,10910,291,20,2,20C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======。

000 0.603553 0.628417 0.634573
T1( k )
0.638071
T2( k )
T3( k )
0.636614 0.636625
四、 （8 分）下表给出已知数据 ( xi , yi ), i 0,1, 2,3, 4 及部分均差
xi
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80
yi
0.1995 0.3965 0.5881 0.7721 0.9461
一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差
1.043841 1.086957 1.149425
0.073631 0.071884 0.174492
补上表中未算出的均差，然后写出四次牛顿插值多项式；
10 a 0 五、 （7 分）设 A b 10 b , det( A) 0 ，用 a , b 表示解方程组 Ax d 的雅可比迭代法收敛的充分必要 0 a 5
张耀明 总分
x3 x2 0 x 1 5． S ( x) 3 是以 0，1，2 为节点的三次样条函数，则 b=____, c=_____ 2 2 x bx cx 1 1 x 2
6．若 f ( x) 2x 6 x 1 ，则 f [1,2,3,4,5,6,7] =( 7. 设 A 是 n 阶对称矩阵，则 A 2 =_______ 8．求方程 x f ( x) 根的牛顿迭代格式是________________ 9．设 l k ( x) （ k 0,1,, n ）是给定节点 xk （ k 0,1,, n ）的拉格朗日基函数，则 l k ( x) =______ k 0 1 1 10．设矩阵 A 2 3 ，矩阵 A 的范数 A 2 =___________ 二、 （1） （8 分）设有某实验数据如下图所示，试按照最小二乘法求一次多项式拟合下图中的数据。 x y 1.36 14.094 1.73 16.844 1.95 18.475 2.28 20.963

2009级研究生《数值分析》试卷一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为xyy x y x u 223),(+=，其中，y x ,由统计方法得到，分别为4,2==y x ,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限)(u ε和相对误差限)(u r ε.二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f .三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[121)]1()0([21)(10f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度.四.(12分) 已知函数122)(23-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间},,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式.其中,权函数1)(=x ρ,154))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ.五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:(1) 填写均差计算表(标有*号处不填):(2) 分别求出满足条件)2,1,0(),()(),()(22===k x f x N x f x L k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示. 六.(16分)(1). 用Romberg 方法计算⎰31dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈112)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰31dx x .七.(14分)(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5110||-+<-k k x x ).八. (12分) 用追赶法求解方程组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x 的解.九. (12分) 设求解初值问题⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 的计算格式为:)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .2008年春季学期数值数学试题一．（10分）设给实数0a >，初值00x >：⑴试建立求1a的Newton 迭代公式，要求在迭代函数中不含除法运算；⑵证明给定初值0x ，迭代收敛的充分必要条件为020x a<<；⑶该迭代的收敛速度是多少？⑷取00.1x =，计算15的近似值，要求计算迭代三次的值（结果保留5位小数）。

[考研类试卷]2009年攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷1 1)设x1=5．1074，x2=80．119均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算x1x2具有几位有效数字； 2)利用秦九韶算法计算多项式p(x)=8x5—6x4+4x3—2x2+3x+1在x=2处的值．2 设3次代数方程x3—5x2—2x+1=0的最大实根为x*．任取x0，用Newton迭代法可得迭代序列{x k}k=0∞.证明：如果x0＞x*，则有3 给定线性方程组Ax=b，其中1)写出Jacobi迭代格式；2)设A是按行严格对角占优矩阵，即A满足证明：Jacobi迭代法收敛．4 设f(x)=x4—3x3+x2—10，x0=1，x1=2，x2=3，x3=0． 1)写出f(x)以x0，x1，x2，x3为节点的3次Lagrange插值多项式L3(x)； 2)写出f(x)以x0，x1，x2，x3为节点的3次Newton插值多项式N3(x)； 3)给出以上插值多项式的插值余项表达式．5 求a和b，使得｜e x-(a+bx)｜取最小值，并求该最小值．6 给定积分取正整数M，将区间[a，b]作M等分，并记h=(b—a)／M，x i=a+ih，i=0，1，…，M．1)利用函数值f(x0)，f(x1)，…，f(x M)作f(x)的分段一次插值多项式S(x)，给出S(x)的表达式；2)利用S(x)构造计算I(f)的数值求积公式并写成的形式，给出A i的表达式；3)设f(x)∈C2[a，b]，试估计截断误差I(f)-I N(f)．7 考虑常微分方程初值问题取正整数n，记h=(b-a)/n，x i=a+ih，0≤i≤n．试分析下列求解公式的局部截断误差，并指出其阶数．8 设2阶抛物方程初边值问题有光滑解u(x，t)，其中φ(0)=ψ1(0)，φ(1)=ψ2(0)．取正整数M和N，并记h=1／M，x i=ih，0≤i≤M；τ=T／N，t k=kτ，0≤k≤N．对(A)建立一个无条件稳定且是收敛的差分格式．1)给出差分格式截断误差的表达式；2)分析差分格式的解对右端函数和初值的稳定性；3)证明差分格式的收敛性．。

数值分析试题院系,专业： 分数：姓名,学号： 日期：2004.6. 注：计算题取小数点后四位。

1. (10分)利用Gauss-Legendre 求积公式⎰-++-≈11)7746.0(5556.0)0(8889.0)7746.0(5556.0)(f f f dx x f导出求积分3()f x dx-⎰的三点高斯型求积公式。

2. (15分)写出求解线性代数方程组123121322531272x x x x x x x -+=⎧⎪-+=-⎨⎪+=⎩ 的Gauss-Seidel 迭代格式，并分析此格式的敛散性。

3.(15分)设矩阵21011000201010A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎥⎥⎦， （1）试计算||||A ∞。

（2）用Householder 变换阵H 将A 相似约化为上Hessenberg 阵，即HAH 为上Hessenberg 阵。

4. (10分) 求关于点集{}1,2,3,4的正交多项式{}012(),(),()x x x ϕϕϕ。

5. (10分)用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据1.02.03.04.00.8 1.5 1.8 2.0i i x y ⎧⎨⎩ 6.(20分)给出数据点： 013419156i i x y =⎧⎨=⎩ （1）用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ，并计算 1.5x =的近似值2(1.5)L 。

（2）用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ，并计算 1.5x =的近似值2(1.5)N 。

（3）用事后误差估计方法估计2(1.5)L 、2(1.5)N 的误差。

7．(10分) 设矩阵A 可逆，A δ为A 的误差矩阵，证明：当11A A δ-<时， A A δ+也可逆。

8．(10分)设()f x 四阶连续可导，0,0,1,2.i x x ih i =+=试建立如下数值微分公式 ''01212()2()()()f x f x f x f x h -+≈并推导该公式的截断误差。