第六章 参数估计

L( )

i 1
n
xi 0 0 1 x i n 0 xi e e i 1 ( 0 ) ( 0 )n
n

i 1
n
xi 0
1
ln L( ) n 0 ln n ln ( 0 )
x i ( 0 1)
n 1 n 1 ˆ X i 1 X i 2 k E X i 1 X i 2 E ( 2 ) E k i 1 i 1


2k ( n 1) 2 2
1 k 2( n 1)
19
20
7、如果已知总体X的均值 , 证明总体方差的无偏估计量为
令 E( X ) X
X
(1)
15
E( X 2 )


0
1 x x e dx ( )
1 ( ) 2
x 1e x d x 0

( 2) ( 1) ( ) ( 1) 2 2 ( ) ( ) 2
所以对于已给的置信水平1-α，
的置信区间为
2 S2 n1 1, n2 1 S22 2
S12 12 2 2 F n1 1, n2 1 S 2 2 F
2
1
11
1、 设总体服从几何分布： ( X x ) p(1 p) x 1，x 1， 3 P 2，




X Y 考虑样本函数 T
假设 1 2，求 1 2 的置信区间。
1
2
1 1 sw n1 n2
∴对应于置信水平1- α ， 两个总体均值差 1 2 的置信区间为:

113第六章 参数估计一、 知识点1. 点估计的基本概念2. 点估计的常用方法(1) 矩估计法① 基本思想：以样本矩作为相应的总体矩的估计，以样本矩的函数作为相应的总体矩的同一函数的估计。

(2) 极大似然估计法设总体X 的分布形式已知，其中),,,(21k θθθθΛ=为未知参数，),,(21n X X X Λ为简单随机样本，相应的),,,(21n x x x Λ为它的一组观测值．极大似然估计法的步骤如下：① 按总体X 的分布律或概率密度写出似然函数∏==ni i n x p x x x L 121);();,,,(θθΛ （离散型）∏==ni i n x f x x x L 121);();,,,(θθΛ （连续型）若有),,,(ˆ21nx x x Λθ使得);,,,(max )ˆ;,,,(2121θθθn n x x x L x x x L ΛΛΘ∈=，则称这个θˆ为参数θ的极大似然估计值。

称统计量),,,(ˆ21nX X X Λθ为参数θ的极大似然估计量。

② 通常似然函数是l θ的可微函数，利用高等数学知识在k θθθ,,,21Λ可能的取值范围内求出参数的极大似然估计k l x x x nl l ,,2,1),,,,(ˆˆ21ΛΛ==θθ 将i x 换成i X 得到相应的极大似然估计量k l X X X nl l ,,2,1),,,,(ˆˆ21ΛΛ==θθ 注：当);,,,(21θn x x x L Λ不可微时，求似然函数的最大值要从定义出发。

3. 估计量的评选标准(1) 无偏性：设),,(ˆˆ21nX X X Λθθ=是参数θ的估计量，如果θθ=)ˆ(E ，则称θˆ为θ的无偏估计量。

(2) 有效性：设1ˆθ，2ˆθ是θ的两个无偏估计，如果)ˆ()ˆ(21θθD D ≤，则称1ˆθ较2ˆθ更有效。

4. 区间估计114 (1) 定义 设总体X 的分布函数族为{}Θ∈θθ),;(x F ．对于给定值)10(<<αα，如果有两个统计量),,(ˆˆ111n X X Λθθ=和),,(ˆˆ122n X X Λθθ=，使得{}αθθθ-≥<<1ˆˆ21P 对一切Θ∈θ成立，则称随机区间)ˆ,ˆ(21θθ是θ的双侧α-1置信区间，称α-1为置信度；分别称1ˆθ和2ˆθ为双侧置信下限和双侧置信上限． (2) 单侧置信区间(3) 一个正态总体下未知参数的双侧置信区间（置信度为α-1）二、 习题 1. 选择题(1) 设n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的一个样本，则以下统计量①)(211n X X + ②)2(14321n X X X X X n ++++-Λ ③)2332(101121n n X X X X +++-作为总体均值μ的估计量，其中是μ的无偏估计的个数是A.0B.1C.2D.3(2) 设321,,X X X 是来自正态总体)1,(μN 的样本，现有μ的三个无偏估计量321332123211216131ˆ;1254131ˆ;2110351ˆX X X X X X X X X ++=++=++=μμμ其中方差最小的估计量是A.1ˆμB.2ˆμC. 3ˆμD.以上都不是 (3) 设0,1,0,1,1为来自0-1分布总体B(1,p)的样本观察值，则p 的矩估计值为 。

最大概率的思想就是最大似然法的基本思想 .
(2) 似然函数
定义6.1 设总体X的分布密度(或分布律)为 p(x; ), 其中 (1, 2, ,m )为未知参数. 又设
( x1, x2,, xn ) 为自总体X的样本(X1,X2,…,Xn) 的一 个观察值，则称样本的联合分布
n
L( ) p(x1, x2, … , xn; ) p( xi; )
2º似然估计方程组与最大似然估计之间没有必 然
从中解得 pˆ k n
参数 p的估计值
这时, 对一切 0< p <1, 均有
P{Y k; pˆ } P{Y k; p}
综上所述： 设某试验的可能结果为： A1, A2 , ···, Ai , ···
若在一次试验中，某结果 Ai 出现，则应选择参 数使Ai 出现的概率最大.
以上这种选择一个参数使得实验结果具有
(k 1,2,, m)
(4) 求最大似然估计(MLE)的步骤:
1 写出似然函数
(1, 2 , ,m )
n
L( ) L( x1, x2,, xn; ) p( xi; )
n
i 1
2 取对数 ln L( ) ln p( xi; )
i 1
3 解似然方程(组)
ln L

ln L
2
为来自总体X的简单随机样本. 矩估计法的具体步骤:
1 求出k E( X k ) (1,2,,m )， k 1,2,,m；
2 要求k Ak , k 1,2,, m
这是一个包含 m个未知参数1,2 ,,m的方程组.
3 解出其中1,2,,m , 用ˆ1,ˆ2,,ˆm表示.
4 用方程组的解ˆ1, ˆ2 , ,ˆm 分别作为 1,2 ,,m的估计量,这个估计量称为

P( ˆ )
较 的样本容量
θ
B A
较 的样本容量
θ
ˆ θ
一致性： 一致性：
随着样本容量增大， 随着样本容量增大，估计量会越来越接近被估计 的参数。 的参数。即对任意的
→∞→ n
ε >0
，有
ˆ lim P{| θ −θ |< ε} =1
则称 θ 是参数θ的一致估计量。 ˆ 是参数θ的一致估计量。
X
µ -1.96 σx
+1.96σ µ +1.96σx
90%的样本 90%的样本 95% 的样本 99% 的样本
置信水平
1. 将构造置信区间的步骤重复很多次，置信 将构造置信区间的步骤重复很多次， 区间包含总体参数真值的次数所占的比例 称为置信水平. 称为置信水平. 2. 表示为 1 - a 是总体参数未在区间内的比例 3. a是总体参数未在区间内的比例 是总体参数未在区间内的比例 常用的置信水平值有 99%,
• 如某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95% 如某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95% 75 之间 95
5.1.3. 评价估计量的标准
1.无偏性： 无偏性：
ˆ ˆ 如果 E(θ ) =θ ，即估计量 θ 的数学 期望等于被估计的总体参数， 期望等于被估计的总体参数，我们称估计量
（35）4 35） （45）4.5 45） （55）5 55）
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数. 估计的总体参数 .
ˆ P(θ)
偏 偏
A
B
ˆ θ
θ
样本平均数是总体平均数的无偏估 样本平均数是总体平均数的无偏估 计量。 计量。
以无偏性来评判估计量是很合理的。一 以无偏性来评判估计量是很合理的。 个好的估计量就某一个具体的估计值而言 可能不等于总体参数值， ，可能不等于总体参数值，但平均来看有 向估计的总体参数集中的趋势。 向估计的总体参数集中的趋势。