北京市朝阳区2015年高三年级第二次综合练习数学(理)试卷及解析

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）2015．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合A (1)(2)0x x x ，集合1Bx x ，则A BA ．B ．1x xC ．12x xD ．12x x【答案】D 【解析】(1)(2)0|12A x x x x x ，1|11B x x x x所以AB 12x x，故选D【考点】 集合运算 【难度】 22．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆(如图阴影部分)中的概率是 A ．π4 B ．π8 C ．π16 D．π32【答案】C【解析】设正方形的连长为2a ，则圆的半径为a ，所以阴影部分面积为24a π，正方形面积为24a ，所以所求概率为224416a a ππ=，故选C【考点】 几何概率 【难度】 2开始 S =0，n =1结束n =n +2n >5?输出S 是否cosn S S π=+33．实数x ，y 满足不等式组0,0,2,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数3zx y 的最小值是A ．12 B ． 8 C ． 4 D ．0【答案】B【解析】作出可行域如图， 目标函数3zx y 变形为1133yx z ，作直线13y x ，平移直线，当直线过点(2,2)A --时，z 取得最小值，min 23(2)8z =-+⨯-=-，故选B 【考点】 线性规划 【难度】 24. 已知非零平面向量a ，b ，则“a 与b 共线”是“a +b 与a b 共线”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】若a 与b 共线，设λ=a b ，则(1)λ+=+a b b ，(1)λ-=-a b b ，所以+a b 与-a b 共线，即“a 与b 共线”是“+a b 与-a b 共线”的充分条件；若+a b 与-a b 共线，设()k +=-a b a b ，则有(1)(1)k k -++=a b 0，如果a 与b 不共线，则有1010k k -=⎧⎨+=⎩，此时无解，所以a 与b 共线，即“a 与b 共线”是“+a b 与-a b 共线”的必要条件；所以“a 与b 共线”是“+a b 与-a b 共线”的充分必要条件，故选C 【考点】 充分条件与必要条件 【难度】 35．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 A ．0 B ．1 C ．12 D ．32【答案】A【解析】初始值：0S =，1n =第一次循环：1cos 32S π==，3n =第二次循环：131cos 232S π=+=-，5n =第三次循环：15cos 023S π=-+=，7n =，输出0S =，故选A【考点】 算法与程序框图 【难度】 2 6.函数21,11,()lg ,1,x x f x x x 的零点个数是A. 0B.1C.2D.3 【答案】C【解析】当11x -≤<时，由()0f x =得210x -=，所以1x =-；当1x ≥时，由()0f x =得lg 0x =，所以1x =； 所以零点有两个，故选C【考点】 方程与零点 【难度】 27．已知点A 为抛物线:C 24x y 上的动点(不含原点)，过点A 的切线交x 轴于点B ，设抛物线C 的焦点为F ，则ABFA ．一定是直角B ．一定是锐角C ．一定是钝角D ．上述三种情况都可能 【答案】A【解析】抛物线变形为214y x =，则1'2y x =，设200(,)4x A x ，则001'|2x x y x == 所以切线方程为20001()42x y x x x -=-，令0y =得02xx =，即0(,0)2x B而(0,1)F ，所以0(,1)2x FB =-，200(,)24x x BA =， 所以20000224x x x FB BA ⋅=⨯-=，所以AB FB ⊥，即ABF 一定是直角，故选A 【考点】 抛物线 【难度】 38．已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时段，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料． 若下面4个说法都是正确的： ①甲不在查资料，也不在写教案； ②乙不在打印材料，也不在查资料； ③丙不在批改作业，也不在打印材料； ④丁不在写教案，也不在查资料．此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断 A ．甲在打印材料 B ．乙在批改作业 C ．丙在写教案 D ．丁在打印材料【答案】A【解析】如果甲不打印材料，即甲在批改作业，那么两就不在查资料，即丙在写教案，此时批作业与写教案均有人在干，而乙只能批作业或写教案，所以矛盾；故甲只能在打印材料，故选A 【考点】 合情推理 【难度】 ３第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．设i 为虚数单位，则i(1i) ．【答案】1+i【解析】 2(1)1i i i i i -=-=+ 【考点】 复数综合运算 【难度】 110．若中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(0,2)F ，一条渐近线的方程是0x y -=，则双曲线C 的方程为 ． 【答案】222y x -=【解析】由已知双曲线焦点在y 轴，且2c =，1ab= 即224a b a b ⎧+=⎨=⎩，所以222a b ==，所以双曲线方程为22122y x -=，即222y x -=【考点】 双曲线 【难度】 211．一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为 ；表面积为 ． 【答案】23；35【解析】 四棱锥的直观图如图所示，底面ABCD 为边长为1的正方形，PB ⊥平面ABCD ，且2PB =， 所以体积为1211233V =⨯⨯⨯=； 因为2PB =，1AB =，PB AB ⊥，所以PA =1121122PBA S PB PA ∆=⋅=⨯⨯=； 因为PB BC ⊥，1121122PBC S PB BC ∆=⋅=⨯⨯=；俯视图正视图侧视图DCBAP因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AD ⊥，即AD PB ⊥，又因为AD AB ⊥，所以AD ⊥平面PAB ，所以AD PA ⊥，所以11515222PAD S AD PA ∆=⋅=⨯⨯=； 因为2PB =，1BC =，PB BC ⊥，所以5PC =，因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB CD ⊥，即CD PB ⊥，又因为CD BC ⊥，所以CD ⊥平面PBC ，所以CD PC ⊥，所以11515222PAD S CD PC ∆=⋅=⨯⨯=；又因为底面积为111⨯= 所以表面积为551113522++++=+ 【考点】 点线面的位置关系 【难度】 2 12. 已知在ABC 中，4C π=，3cos 5B =，5AB ，则sin A ；ABC 的面积为 ．【答案】7210；14 【解析】 因为3cos 5B =，所以4sin 5B =，因为4C π=，所以2sin 2C =，2cos 2C =，所以[]423272sin sin ()sin()sin cos cos sin 525210A ABC B C B C B C =-+=+=+=⨯+⨯=，由正弦定理sin sin BC ABA C =，所以572sin 7sin 1022AB BC A C =⋅=⨯= 所以114sin 5714225ABC S AB BC B ∆=⋅⋅=⨯⨯⨯= 【考点】 解三角形 【难度】 3 13．在圆C ：222(2)8x y内，过点(1,0)P 的最长的弦为AB ，最短的弦为DE ，则四边形ADBE 的面积为 . 【答案】46【解析】 由已知AB 为直径，42AB = DE AB ⊥，22(21)(20)5CP =-+-=，22CE =，所以223PE CE CP =-=，所以23DE =四边形ADBE 的面积11112342462222PDE ADE S S S DE PA DE PB DE AB ∆∆=+=⋅+⋅=⋅=⨯⨯= 【考点】 圆的标准方程 【难度】 314．关于函数1()42x f x =+的性质，有如下四个命题： ①函数()f x 的定义域为R ； ②函数()f x 的值域为(0,)；③方程()f x x =有且只有一个实根； ④函数()f x 的图象是中心对称图形． 其中正确命题的序号是 ． 【答案】①③④【解析】由420x +≠得定义域为R ，故①正确； 因为422x +>，所以110422x<<+，即值域为1(0,)2，故②错误； 由()f x x =得142xx =+，即142x x=+，因为函数1y x =与42xy =+的图象只有一个交点，所以方程()f x x =只有一个根，故③正确；因为1111114241()(1)442424242424424224x x x x x x x x xf x f x -++-=+=+=+==+++++⋅+⋅+ 所以()f x 的图象关于点11(,)24成中心对称，故④正确 所以正确命题的序号是①③④ 【考点】 函数的性质 【难度】 4三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数x x x x x f 2sin )cos sin 32(cos )(-+⋅=． （Ⅰ）求函数)(x f 在区间π[,π]2上的最大值及相应的x 的值； （Ⅱ）若0()2,f x =且0(0,2π)x ，求0x 的值．【答案】见解析【解析】解：2()cos cos )sin f x x x x x =+-22cos cos sin x x x x =+-2cos2x x =+2sin(2)6x π=+．（Ⅰ）因为[,]2x π∈π，所以7132[,]666x πππ+∈，所以1sin(2)[1,]62x π+∈-， 所以，当且仅当13266x ππ+=，即x =π时，max ()1f x =．（Ⅱ）依题意，02sin(2)26x π+=，所以0sin(2)16x π+=．又0(0,2)x ∈π，所以0252(,)666x ππ+∈π， 所以0262x ππ+=或05262x ππ+=，所以06x π=或076x π=．【考点】 三角函数的图象与性质 【难度】 316．（本小题满分13分）已知递增的等差数列{}n a （*n N ）的前三项之和为18，前三项之积为120．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若点111(,)A a b ，222(,)A a b ，…，(,)n n n A a b （*n N ）从左至右依次都在函数23xy的图象上，求这n个点123,,A A A ,…,n A 的纵坐标之和． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）依题意，设数列n a 的公差为(0)d d．由12318a a a ，可得26a ，则16a d ，36a d ．由前三项之积为120可得，(6)6(6)120d d ，解得4d.舍负得4d =. 所以 42na n ．（Ⅱ）由于点111(,)A a b ，222(,)A a b ，…，(,)n n n A a b 依次都在函数23x y的图象上，且42na n ，所以213n nb ．所求这n 个点123,,A A A ,…，n A 的纵坐标之和即为数列n b 的前n 项和n T ． 由于19n nb b ，所以数列n b 为以3为首项，9为公比的等比数列．所以 3193(91)198n nnT ． 【考点】 等差数列；等比数列 【难度】 317．（本小题满分13分）某学科测试，要求考生从,,A B C 三道试题中任选一题作答．考试结束后，统计数据显示共有420名学生参加测试，选择,,A B C 题作答的人数如下表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从420份试卷中抽出若干试卷，其中从选择A 题作答的试卷中抽出了3份，则应从选择,BC 题作答的试卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问被抽出的试卷中，选择,,A B C 题作答得优的试卷分别有2份，2份，1份．现从被抽出的选择,,A B C 题作答的试卷中各随机选1份，求这3份试卷都得优的概率． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）由题意可得，试卷的抽出比例为31=18060， 所以应从选择B 题作答试卷中抽出2份，从选择C 题作答试卷中抽出2份．（Ⅱ）记在（Ⅰ）中抽出的选择A 题作答的试卷分别为123,,a a a ，其中12,a a 得优；选择B 题作答的试卷分别为12,b b ，其中12,b b 得优；选择C 题作答的试卷分别为12,c c ，其中1c 得优．从123,,a a a ，12,b b 和12,c c 中分别抽出一份试卷的所有结果如下：111{,,}a b c 112{,,}a b c 121{,,}a b c 122{,,}a b c 211{,,}a b c 212{,,}a b c 221{,,}a b c 222{,,}a b c 311{,,}a b c 312{,,}a b c 321{,,}a b c 322{,,}a b c所有结果共有12种可能，其中3份都得优的有111{,,}a b c 121{,,}a b c 211{,,}a b c 221{,,}a b c ，共4种．设“从被抽出的选择,,A B C 题作答的的试卷中各随机选1份，这3份试卷都得优”为事件M ，故所求概率41123P ==．【考点】 抽样；古典概率【难度】 318．（本小题满分14分）如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =,M 为CD 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．点O 是线段AM 的中点．（Ⅰ）求证：平面DOB ⊥平面ABCM ； （Ⅱ）求证：AD BM ⊥；（Ⅲ）过D 点是否存在一条直线l ，同时满足以下两个条件：①l 平面BCD ；②//l AM ．请说明理由．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）证明：由已知，DA DM =．因为点O 是线段AM 的中点， 所以DO AM ⊥．又因为平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM平面ABCM AM =，DO ⊂平面ADM ，所以DO ⊥平面ABCM ． 因为DO ⊂平面DOB ， 所以平面DOB ⊥平面ABCM ．（Ⅱ）证明：因为在矩形ABCD 中，2AB AD =,且M 为CD 的中点，所以AM BM AB ===， 所以AM BM ⊥．由（Ⅰ）知，DO ⊥平面ABCM ， 因为BM ⊂平面ABCM ， 所以DO BM ⊥．因为DO ⊂平面ADM ,AM ⊂平面ADM ，且DO AM O =，所以BM ⊥平面ADM ． 而AD ⊂平面ADM ， 所以AD BM ⊥．ABCMDOABCMD（Ⅲ）过D 点不存在一条直线l ，同时满足以下两个条件：（1）l平面BCD ； （2）//l AM ．理由如下：（反证法）假设过D 点存在一条直线l 满足条件， 则因为//l AM ，l平面ABCM ，AM ⊂平面ABCM ，所以//l 平面ABCM ． 又因为l平面BCD ，平面ABCM平面BCD BC =，所以//l BC .于是//AM BC ，由图易知AM ，BC 相交，矛盾. 所以，不存在这样的直线l ． 【考点】 立体几何综合 【难度】 319．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2214x y ,O 为坐标原点，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且90AOB．（Ⅰ）若直线l 平行于x 轴，求AOB 的面积；（Ⅱ）若直线l 始终与圆222(0)x y r r相切，求r 的值．【答案】见解析【解析】解：(Ⅰ)不妨设直线l 在x 轴的上方，则,A B 两点关于y 轴对称.设11(,)A x y ，11(,)B x y 11(0,0)x y ，则11(,)OAx y ，11(,)OB x y ．由90AOB ，得0OA OB，所以2211y x ．又因为点A 在椭圆上，所以221114x y ．由于10x ，解得1255x ，1255y ，则 22(5,55A ，B ． 所以1452542555OABS． （Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为ykxm ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．联立方程组 22,4 4.y kx m x y 整理得222(41)8440k x kmx m ． 由方程的判别式0，得22410k m ， （※） 则 122841km x x k ，21224441m x x k ． 由90AOB，得0OA OB ，即12120x x y y ， 而1212()()y y kx m kx m ， 则2212121212(1)()0x x y y k x x mk x x m ． 所以 2222244(8)(1)04141m km k mk m k k ． 整理得 225440mk ， 把22454k m 代入（※）中，解得 234m 而224540k m ，所以 245m ，显然满足234m ． 直线l 始终与圆222x y r 相切，得圆心(0,0)到直线l 的距离d 等于半径r ． 则22221m r d k ，由224455m k ，得245r ， 因为0r ，所以255r． 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为255x ，此时，直线l 与圆2245x y 相切，255r ． 综上所述255r ． 【考点】 圆锥曲线综合【难度】 420．（本小题满分13分）已知函数()sin cos f x a x x ，其中0a ． （Ⅰ）当1a 时，判断()f x 在区间π[0,]4上的单调性； （Ⅱ）当01a 222()21af x t at 对于x π[0,]4恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：(Ⅰ)因为1a ，π[0,]4x ， 所以()cos sin cos sin 0f x a x xx x ． 故()f x 在区间π[0,]4上是单调递增函数．（Ⅱ）令()0f x ，得cos sin a x x ， 因为在区间π[0,]4上cos 0x，所以tan a x ． 因为(0,1)a，tan [0,1]x ， 且函数tan y x 在π[0,]4上单调递增， 所以方程tan a x 在π(0,)4上必有一根，记为0x ， 则000()cos sin 0f x a x x ． 因为()cos sin f x a x x 在π[0,]4上单调递减， 所以，当0(0,)xx 时，0()()0f x f x ； 当0(,)4x x 时，0()()0f x f x ．所以()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0π(,)4x 上单调递减，所以max000()()sin cos f x f x a x x ． 又因为00cos sin a x x ，且2200sin cos 1x x ， 所以220(1)cos 1a x ，2021cos 1x a ， 故22max00()()(1)cos 1f x f x a x a ． 依题意，(0,1)a 2222121aa t at 恒成立，即(0,1)a 时，2(2)20t a t ，恒成立． 令2()(2)2h a =t a t ，则 (0)0,(1)0,h h 即2220,0.t t t 解得 1t 或0t ．【考点】导数的综合应用【难度】 4。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习（文）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A {}(1)(2)0x x x =--?，集合{}1B x x =<，则A B =U （ ）A ．ÆB ．{}1x x =C ．{}12x x＃ D ．{}12x x -<?2．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆(如图阴影部分)中的概率是（ ） A ．π4 B ．π8 C ．π16 D ．π323．实数x ，y 满足不等式组0,0,2,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数3z x y =+的最小值是（ ）A ． 12-B ． 8-C ． 4-D ．0 4. 已知非零平面向量 ， ，则“与共线”是“与共线”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ） A ．0 B ．1- C ．12-D ．32-a b a b a +b -a b6.函数11,()lg ,1,x f x x x ìï-?ï=íï³ïî的零点个数是（ ）A. 0B.1C.2D.37．已知点A 为抛物线:C 24x y =上的动点(不含原点)，过点A 的切线交x 轴于点B ，设抛物线C 的焦点为F ，则ABF Ð（ ）A ．一定是直角B ．一定是锐角C ．一定是钝角D ．上述三种情况都可能 8．已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时段，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料． 若下面4个说法都是正确的： ①甲不在查资料，也不在写教案； ②乙不在打印材料，也不在查资料； ③丙不在批改作业，也不在打印材料； ④丁不在写教案，也不在查资料．此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断（ ） A ．甲在打印材料 B ．乙在批改作业 C ．丙在写教案 D ．丁在打印材料第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．设为虚数单位，则 ．10．若中心在原点的双曲线的一个焦点是1(0,2)F -，一条渐近线的方程是，则双曲线的方程为 ．11．一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为 ；表面积为 ．12. 已知在中，，，，则sin A = ；的面积为 ．13．在圆C ：()222(2)8x y -+-=内，过点(1,0)P 的最长的弦为AB ，最短的弦为DE ，则四边形ADBE 的面积为 . 14．关于函数1()42x f x =+的性质，有如下四个命题： ①函数()f x 的定义域为R ； ②函数()f x 的值域为(0,)+?； ③方程()f x x =有且只有一个实根； ④函数()f x 的图象是中心对称图形． 其中正确命题的序号是 ．i i(1i)-=C 0x y -=C ABCD 4C p =3cos 5B =5AB =ABC D三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数x x x x x f 2sin )cos sin 32(cos )(-+⋅=． （Ⅰ）求函数)(x f 在区间π[,π]2上的最大值及相应的x 的值； （Ⅱ）若0()2,f x =且0(0,2π)x Î，求0x 的值．16．（本小题满分13分）已知递增的等差数列{}n a （*n N Î）的前三项之和为18，前三项之积为120． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若点111(,)A a b ，222(,)A a b ，…，(,)n n n A a b （*n N Î）从左至右依次都在函数23xy =的图象上，求这n 个点123,,A A A ,…,n A 的纵坐标之和．17．（本小题满分13分）某学科测试，要求考生从,,A B C 三道试题中任选一题作答．考试结束后，统计数据显示共有420名学生参加测试，选择,,A B C 题作答的人数如下表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从420份试卷中抽出若干试卷，其中从选择A 题作答的试卷中抽出了3份，则应从选择,B C 题作答的试卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问被抽出的试卷中，选择,,A B C 题作答得优的试卷分别有2份，2份，1份．现从被抽出的选择,,A B C 题作答的试卷中各随机选1份，求这3份试卷都得优的概率．18．（本小题满分14分）如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =,M 为CD 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．点O 是线段AM 的中点． （Ⅰ）求证：平面DOB ⊥平面ABCM ； （Ⅱ）求证：AD BM ⊥；（Ⅲ）过D 点是否存在一条直线l ，同时满足以下两个条件：①l Ì平面BCD ；②//l AM ．请说明理由．19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2214x y +=,O 为坐标原点，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且90AOB?o ．（Ⅰ）若直线l 平行于x 轴，求AOB D 的面积；（Ⅱ）若直线l 始终与圆222(0)x y r r +=>相切，求r 的值．20．（本小题满分13分）已知函数()sin cos f x a x x =+，其中0a >．（Ⅰ）当1a ³时，判断()f x 在区间π[0,]4上的单调性；（Ⅱ）当01a <<2()2f x t at <++对于x π[0,]4恒成立，求实数t 的取值范围．参考答案。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学试卷答案（理工类）2015.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在ACDD中, 因为cos14CAD?，所以sin14CAD?,由正弦定理得，sin sinAC CDADC CAD=行,即2sinsin14CD ADCACCAD´仔===Ð……………………………………6分（Ⅱ）在ACDD中, 由余弦定理得，22422cos120AC AD AD=+-⨯⨯o，整理得22240AD AD+-=，解得4AD=(舍负).过点D作DE AB⊥于E,则DE为梯形ABCD的高.因为AB P CD，120ADC?o，所以60BAD?o.在直角ADED中，sin60DE AD==o即梯形ABCD的高为……………………………………………………13分（16）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意可得：4分（Ⅱ）记事件M ：被抽取的,,A B C 三种答卷中分别再各任取1份，这3份答卷恰有1份得优，可知只能C 题答卷为优.依题意131()1355P M =⨯⨯=．………………………………………………8分 （Ⅲ）由题意可知，B 题答卷得优的概率是13．显然被抽取的B 题的答卷中得优的份数X的可能取值为0,1,2,3,4,5，且X :1(5,)3B ．00551232(0)()()33243P X C ===；11451280(1)()()33243P X C ===； 22351280(2)()()33243P X C ===；33251240(3)()()33243P X C ===；44151210(4)()()33243P X C ===；5505121(5)()()33243P X C ===． 随机变量X 的分布列为所以0123452432432432432432433EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………………………………………13分（17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）由已知得90FAB ∠=︒，所以FA AB ⊥，因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF I 平面ABCD AB =，所以FA⊥平面ABCD ，由于BC ⊂平面ABCD ，所以FA BC ⊥．………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知FA ⊥平面ABCD ，所以,FA AB FA AD ⊥⊥， 由已知DA AB ⊥，所以,,AD AB AF 两两垂直．以A 为原点建立空间直角坐标系（如图）． 因为112AD DC AB ===， 则(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1)B C D E ，所以(1,1,0),(0,1,1)BC BE =-=-u u u r u u u r，设平面BCE 的一个法向量为()x,y,z n =．所以0,0,BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n即0,0.x y y z -=⎧⎨-+=⎩令1x =，则(1,1,1)n =．设直线BD 和平面BCE 所成角为θ，因为(1,2,0)BD =-u u u r，所以sin cos ,BD BD BDθ⋅=〈〉===⋅u u u r u u u r u u u r n n n .所以直线BD 和平面BCE 9分 (Ⅲ)在A 为原点的空间直角坐标系A xyz -中，AD HC BENM(0,0,0)A ,(1,0,0)D ,(0,0,1)F ，(0,2,0)B ，H 1(,1,0)2.设()01DM k k DF =<?， 即DM k DF =uuu u r uuu r .(),0,DM k k =-uuu u r,则(1,0,)M k k -， 1(,1,)2MH k k =--uuu r ，(1,0,1)FD =-u u u r .若FD ^平面MNH ，则FD MH ^.即0FD MH ?uu u r uuu r. 102k k -+=,解得14k =. 则11(,1,)44MH =--uuu r,4MH =uuur .…………………………………………………14分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为22143x y +=，则2a =，b =，1c =． 故离心率为12，焦点坐标为(1,0),(1,0)-． ……………………………………4分 （Ⅱ）由题意，直线AB 斜率存在.可设直线AB 的方程为y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11y kx m =+，22y kx m =+．由22,3412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=. 判别式2222=644(34)(412)k m k m D -+-=2248(43)0k m -+>. 所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+，因为直线MA 与直线MB 斜率之积为14， 所以12121224y y x x ⋅=--， 所以12124()()(2)(2)kx m kx m x x ++=--．化简得221212(41)(42)()440k x x km x x m -++++-=， 所以22222412(8)(41)(42)4403434m km k km m k k---+++-=++，化简得22280m km k --=，即4m k =或2m k =-.当4m k =时，直线AB 方程为(4)y k x =+，过定点(4,0)-．4m k =代入判别式大于零中，解得1122k -<<. 当2m k =-时，直线AB 方程为(2)y k x =-，过定点(2,0)M ，不符合题意舍去．故直线AB 过定点(4,0)-．………………………………………………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当0a =时，2()e x f x x =，2()e (2)x f x x x '=+．由2e (2)0x x x +=，解得0x =，2x =-. 当(,2)x ∈-∞-时，f '(x )＞0，f (x )单调递增； 当(2,0)x ∈-时，f '(x )＜0，f (x )单调递减；当(0,)x ∈+∞时，f '(x )＞0，f (x )单调递增．所以函数()f x 的单调增区间为(,2)-∞-，(0,)+∞，单调减区间为(2,0)-．…………4分 （Ⅱ）依题意即求使函数2()e ()xf x x a =-在()1,2上不为单调函数的a 的取值范围.2()e (2)x f x x x a '=+-.设2()2g x x x a =+-，则(1)3g a =-，(2)8g a =-.因为函数()g x 在()1,2上为增函数，当(1)30(2)80g a g a ì=-<ïïíï=->ïî，即当38a <<时，函数()g x 在()1,2上有且只有一个零点，设为0x .当0(1,)x x Î时，()0g x <，即()0f x ¢<，()f x 为减函数； 当0(,2)x x Î时，()0g x >，即()0f x ¢>，()f x 为增函数，满足在()1,2上不为单调函数.当3a £时，(1)0g ³，(2)0g >，所以在()1,2上()g x 0>成立（因()g x 在()1,2上为增函数），所以在()1,2上()0f x '>成立，即()f x 在()1,2上为增函数，不合题意. 同理8a ³时，可判断()f x 在()1,2上为减函数，不合题意.综上38a <<. …………………………………………………………9分(Ⅲ) 2()e (2)x f x x x a '=+-．因为函数()f x 有两个不同的极值点，即()f x ¢有两个不同的零点，即方程220x x a +-=的判别式440a ∆=+>，解得1a >-.由220x x a +-=，解得1211x x =-=- 此时122x x +=-，12x x a =-. 随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以1x 是函数()f x 的极大值点，2x 是函数()f x 的极小值点.所以1()f x 为极大值，2()f x 为极小值．所以12221212()()e ()e ()xxf x f x x a x a =-⨯-因为1a >-，所以224e4e a ---<．所以212()()4e f x f x -<．……………………………………………………………… 14分（20）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）满足条件的数列有两个：3，1，4，2，5；与2，4，1，3，5．…… 3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知数列5A ：2，4，1，3，5满足55=a ，把其各项分别加5后，所得各数依次排在后，因为65||2a a -=，所得数列10A 显然满足12--=k k a a 或3，{}2,3,,10k ∈L ，即得H 数列10A ：2，4，1，3，5，7，9，6，8，10．其中10,5105==a a ．如此下去，即可得一个满足)403,,2,1(55Λ==k k a k 的H 数列2015A 为{}121222222121222221212122222=e [()]=e [()2]=e [(42]=4e .x x x x x x a x x a x x a x x x x a a a a a a ）++---++-+-+-++-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=--=+-=+=kn n k n n k n n k n n k n n a n 5,15,125,235,245,1，（其中)403,,3,2,1Λ=k （写出此通项也可以：2,541,531,522,51,5n n n k n n k a n n k n n k n n k+=-⎧-=-⎪⎪=+=-⎨-=-⎪=⎪⎩（其中)403,,3,2,1Λ=k ）…… 8分（Ⅲ）不妨设0d >．(1)若6d ≥，则20154031402140262413a b b d ==+≥+⨯=，与20152015≤a 矛盾．(2)若14d ≤≤．（i ）若1001≤b ，则1(1)10040241708k b b k d =+-≤+⨯=，403.,2,1⋅⋅⋅=k ． 不妨设052015l i a -=，其中0{1,2,,403},{1,2,3,4}l i ∈⋅⋅⋅∈. 于是000000555515(1)5||||||312.l l i l l l i l i a a a a a a i ------≤-+⋅⋅⋅+-≤≤ 即05|2015|12l a -≤，可得2003005≥=l l a b ，与17080≤l b 矛盾． （ii ）若1011≥b ，则1011≥≥b b k ，403,,2,1⋅⋅⋅=k ． 不妨设051l i a -=，其中0{1,2,,403},{1,2,3,4}l i ∈⋅⋅⋅∈． 于是000000555515(1)5||||||312l l i l l l i l i a a a a a a i ------≤-+⋅⋅⋅+-≤≤ 即05|1|12l a -≤，可得13005≤=l l a b ，与1010≥l b 矛盾．因为d 为整数，所以综上可得5d =.由（Ⅱ）可知存在使55k k b a k ==（其中403,,2,1⋅⋅⋅=k ）的H 数列2015A ． 把上述H 数列2015A 倒序排列，即有5d =-．所以5d =或5-. …… 13分。