广东省江门市2018届高三3月模拟(一模)考试数学理试题

江门市2018年高考模拟考试数学（理科）2018.3第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．是实数集，，，则 A ．B ．C ．D ．2．为虚数单位，复数的共轭复数为，则A ．B ．C ．D ． 3．已知命题：，．则命题的否定为A ．，B ．，C ．，D ．，4．已知向量，，若与的夹角为，则A ．B ．C ．D ．5．某程序框图如图1所示，该程序运行后输出的 A ． B ． C ．D．6．若实数，满足不等式组且的最大值为，则实数A ．B ．C ．D ．7．若，都是正整数，则成立的充要条件是A ．B ．，至少有一个为1C ．D ．且 8．在△中，若，，且△的面积，则△的边的长为A ．B ．C ．D ．9．件产品中有件合格品，件次品。

为找出件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验出最后一件次品的概率为 A ． B ． C ．D ．10．某几何体的三视图如图2所示，开始结束S =0，是否输出S则该几何体的体积A．B．C．D．11．已知函数，若实数满足，则实数的取值范围为A．B．C．D．12．、是抛物线上关于直线对称的两点，则A．B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22~23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知随机变量，且，则．14．若，，则．15．设表示不超过的最大整数，如，，则．16．若、都是之间的均匀随机数，则方程有实根的概率为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列的前项和（为正整数）．（Ⅰ）求证：为等差数列；（Ⅱ）求数列的前项和公式．18．（本小题满分12分）如图3，是一个直角梯形，，为边上一点，、相交于，，，．将△沿折起，使平面⊥平面，连接、，得到如图4所示的四棱锥．（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）求直线与面所成角的余弦值．19．（本小题满分12分）某市一批养殖专业户投资石金钱龟养殖业，行业协会为了了解市场行情，对石金钱龟幼苖销售价格进行调查。

2017年12月随机抽取500户销售石金钱龟幼苖的平均价格，得到如下不完整的频率分布统计表：（Ⅰ）完成统计表。

（Ⅱ）为了向石金钱龟养殖户提供更好的幼苖销售参考，协会决定2018年1月份从第1，3，5组中用分层抽样方法取出7户出售幼龟价格跟踪调查，求第1，3，5组1月份接受调查的户数。

（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，协会决定从选出的7个养殖户中随机抽取3户总结销售经验．为了鼓励养殖户支持调查工作，协会决定：发给第1组被抽到的每户幸运奖奖金210元，第3组被抽到的每户幸运奖奖金70元，第5组被抽到的每户幸运奖奖金140元．记发出的幸运奖总奖金额为元,求的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点，，动点不在轴上，直线、的斜率之积．（Ⅰ）求动点的轨迹方程；（Ⅱ）经过点的两直线与动点的轨迹分别相交于、两点。

是否存在常数，使得任意满足的直线恒过线段的中点？请说明理由．组号 价格分组（元/只） 频数（户） 频率 第1组[45，50)25 0.050 第2组 [50，55) 0.150 第3组 [55，60) 100第4组 [60，65) 0.500 第5组[65，70)合计5001.00021．（本小题满分12分）已知函数，是常数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程，并证明对任意，切线经过定点； （Ⅱ）当时，设，是的两个正的零点，求证：．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正方向建立平面直角坐标系，曲线的直角坐标方程是（为参数）．（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程； （Ⅱ）求曲线与曲线交点的极坐标．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，．（Ⅰ）解不等式； （Ⅱ）若对，都存在，使得，求实数的取值范围．参考答案一、选择题ACCD BABD DCCB 二、填空题13.；14.；15.；16.；三、解答题17.解：（Ⅰ）（方法一）当1=n 时，,1111--==a S a 解得2111-==S a ……1分 由1)21(---=n n n a S 得，12211--=--n n n n a S ……2分当2≥n 时，有1--=n n n S S a ……3分代入上式得1)(22111---=---n n n n n S S S ……4分 整理得，12211-=---n n n n S S ……5分 所以}2{n n S 是以为首项，为公差的等差数列……6分（方法二）当1=n 时，,1111--==a S a 解得2111-==S a ……1分，设，则，……2分当2≥n 时，有……3分代入得……4分整理得……5分所以即}2{n n S 是以为首项，为公差的等差数列……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S n n -=-⨯-+-=)1()1(12，nn nS 2-=……7分 依题意n n n nn T 221232221132-------=- ①……8分 上式两边同乘以21，得143222123222121+-------=n n n nn T ②……9分①-②得，11322211)211(212)21212121()211(+++---=+++++-=-n n n n n n n T 122212111-+=+-=++n n n n n ……11分 所以222-+=nn n T ……12分 18.解：（Ⅰ）在BEB Rt ∆中，，，所以︒=∠30BAE ……1分 同理︒=∠30BDA ，从而，……2分又因为EC AD EC AD =,//，所以ADCE 是平行四边形，DO CD AOD CDO ⊥︒=∠=∠,90……3分因为平面⊥ABE 平面ADE ，平面 ABE 平面ADE =AE ，AE BO ⊥， 所以⊥BO 平面ADE ……4分 又⊂CD 平面ADE ，所以,CD BO ⊥O DO BO = ，BOD ，BOD ，OD BO 平面平面⊂⊂所以BOD CD 平面⊥……6分（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）可知，直线OA 、OB 、OD 两两互相垂直，因此，以O 为原点，OA 、OD 、OB 所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系(如图所示)……7分则，，，……8分设平面的一个法向量为，则……9分 解得，，取……10分……11分所以直线与面所成角的余弦值为……12分．（方法二）由（Ⅰ）可知，四边形的面积……7分连接，则△的面积， 三棱锥的体积……9分 △的面积……10分设到平面的距离为，则，……11分 直线与面所成角的正弦值为，余弦值为……12分19.解：（Ⅰ）……2分（正确填写1-3个数据给1分，4-5个数据给2分）（Ⅱ）按分层抽样，可得第1组抽取的户数：1717525=⨯，第3组抽取的户数：47175100=⨯，第5组抽取的户数：2717550=⨯. 因此，第1，3，5组接受调查的户数分别为1，4，2……5分 （Ⅲ）依题意，ξ的所有可能取值为210，280，350，420，490，则组号 价格分组（元/只）频数 频率 第1组** ** ** 第2组 ** 75 ** 第3组 ** ** 0.200 第4组 ** 250 ** 第5组** 50 0.100 ******,354)210(37023401===C C C C P ξ,3512)280(37122401===C C C C P ξ ,7235103546)350(37221401022411==+=+==C C C C C C C P ξ ,358)420(37121411===C C C C P ξ.351)490(37220411===C C C C P ξ……10分 所以ξ的分布列为：ξ210 280 350 420 490P354 3512 3510 358 351 ……11分所以ξ的数学期望为：33035149035842035103503512280354210)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……12分20.解：（Ⅰ）设（），则，，……2分由得，，……4分化简整理得，动点的轨迹方程为（）……5分（Ⅱ）动点的轨迹与轴的两个交点为、，猜想时，直线恒过线段的中点……7分（猜想存在1分，猜想存在且2分）记，则直线：，解得……9分当时，，则直线：，同理可得……11分 线段的中点是线段的中点，所以直线恒过线段的中点……12分21.解：（Ⅰ）……1分，所求切线方程为……2分，即……3分切线方程等价于，当时，恒有，即切线过定点。

……4分（Ⅱ）函数的定义域为，曲线在各定义域区间内是连续不断的曲线。

时，，，所以在区间内有零点。

……6分在区间内，，，单调递减。

，若且，则，所以在区间内有零点……9分由单调递减知，在区间内有唯一零点……10分因为，所以，，由单调递减知，，即．……12分22.解：（Ⅰ）由曲线的参数方程得，……2分两式对应相乘得曲线的普通方程为……4分（Ⅱ）（方法一）将，代入上述方程得……6分由得，代入得，……7分解得，。

……8分所以，或，所求交点的极坐标为与。

……10分（方法二）由得，曲线的直角坐标为……6分解得或……8分由得，，，，对应点的极坐标为……9分；同理可得对应点的极坐标为，所求交点的极坐标为与。

……10分23.解：（Ⅰ）依题意，，……1分，……3分（Ⅱ）函数的值域为，设函数的值域为，依题意，……4分时，，此时，不合题意……5分时，，此时，解得 (7)分时，，此时，解得 (9)分综上所述，实数的取值范围为……10分。