2017-2018学年陕西省西安中学高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)

陕西省西安市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.A. 0B. 2C.D. 1【答案】B【解析】解：．故选：B．直接利用平方差公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2.设集合，0，，则A. 0，B. 0，1，C. D. 0，【答案】A【解析】解：集合，0，，0，．故选：A．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.设命题P：，，则￢为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：，，则￢为：，．故选：A．利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．4.设非零向量满足，则A. B.C. D.【答案】D【解析】解：；；，；；．故选：D．由可得出，而的大小关系得不出，也得不出，从而判断出A，B，C都错误，只能选D．考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量长度的概念．5.抛物线方程为，则此抛物线的准线为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：抛物线方程为，即为，可得，即，即有准线方程为，即．故选：C．化抛物线方程为标准方程，由准线方程，可得所求方程．本题考查抛物线的方程和性质，主要是准线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．6.如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为则该几何体的俯视图可以是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：解法1：由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选C．解法2：当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是，高为1，则体积是；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是．故选：C．解法1：结合选项，正方体的体积否定A，推出正确选项C即可．解法2：对四个选项A求出体积判断正误；B求出体积判断正误；C求出几何体的体积判断正误；同理判断D的正误即可．本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，依据数据计算能力；注意三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．7.等差数列的前n项和为，若，则等于A. 52B. 54C. 56D. 58【答案】A【解析】解：等差数列中，，，解得，．故选：A．等差数列中，由，解得，再由等差数列的通项公式和前n 项和公式能求出．本题考查等差数列的前n项和的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答．8.有五瓶墨水，其中红色一瓶、蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶是黑色的概率A. B. C. D.【答案】C【解析】解：有五瓶墨水，其中红色一瓶、蓝色、黑色各两瓶，设红瓶墨水为H，蓝瓶墨水为，，黑瓶墨水为，，某同学从中随机任取出两瓶，设事件A表示“取出的两瓶中有一瓶是蓝色”，某同学从中随机任取出两瓶，取出的两瓶中有一瓶是蓝色，包含的基本事件有7种，分别为：，，，，，，，取出的两瓶中有一瓶是蓝色，另一瓶是黑色，包含的基本事件有4种，分别为：，，，，取出的两瓶中有一瓶是蓝色，另一瓶是黑色的概率．故选：C．设红瓶墨水为H，蓝瓶墨水为，，黑瓶墨水为，，某同学从中随机任取出两瓶，利用列举法求出包含的基本事件有7种，取出的两瓶中有一瓶是蓝色，另一瓶是黑色，包含的基本事件有4种，由此能求出取出的两瓶中有一瓶是蓝色，另一瓶是黑色的概率．本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：算法的功能是计算值，共循环5次，跳出循环体的n值为12，k值为6，判断框内应填的条件是或．故选：C．根据算法的功能确定循环的次数是5，确定跳出循环体的n值为12，k值为6，由此可得判断框内应填的条件．本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定循环的次数，从而求得跳出循环体的k值是关键．10.在中，已知，那么一定是A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 正三角形【答案】B【解析】解：由知，．．，和B是三角形的内角，．故选：B．根据三角形三个内角和为，把角C变化为，用两角和的正弦公式展开移项合并，公式逆用，得，因为角是三角形的内角，所以两角相等，得到三角形是等腰三角形．在三角形内会有一大部分题目出现，应用时要抓住三角形内角和是，就有一部分题目用诱导公式变形，对于题目中正用、逆用两角和的正弦和余弦公式，必须在复杂的式子中学会辨认公式应用公式．11.如图是1，2两组各7名同学体重单位：数据的茎叶图设1，2两组数据的平均数依次为和，标准差依次为和，那么注：标准差，其中为，，，的平均数A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】解：由茎叶图，得第1组的7名同学的体重分别为53 56 57 58 61 70 72，第1组的7名同学体重的平均数为：因此，第1组的7名同学体重的方差为：，同理，第2组的7名同学体重的平均数为：因此，第2组的7名同学体重的方差为：，且故选：C．将题中的茎叶图还原，结合平均数、方差计算公式，分别算出第1组7位同学和第2组7位同学的平均数和方差，再将所得结果加以比较，即得本题的答案．本题给出茎叶图，要我们求出数据的平均数和方差，着重考查了茎叶图的认识、样本特征数的计算等知识，属于基础题．12.已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是A. B.C. D. ，【答案】A【解析】解：函数，若存在，使得成立，即：存在，成立．令，即成立．令，即，，当时，不存在x．当时，存在x．，当时，，时，，时，，解得：，，实数a的取值范围是，故选：A．分别讨论a的取值范围，构造新函数，结合导数研究函数的最值即可得到结论．本题考查了导数的运算法则和函数的最值问题，以及不等式的解法，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的最大值为______．【答案】【解析】解：函数，其中，可知函数的最大值为：．故答案为：．利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可．本题考查三角函数的化简求值，正弦函数的有界性的应用，考查计算能力．14.若变量x，y满足约束条件，则的最大值为______．【答案】1【解析】解：作出变量x，y满足约束条件可行域如图，由知，，所以动直线的纵截距取得最大值时，目标函数取得最大值．由得．结合可行域可知当动直线经过点时，目标函数取得最大值．故答案为：1．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过点时，z最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15.设曲线在点处的切线方程为，则______．【答案】3【解析】解：的导数，由在点处的切线方程为，得，则．故答案为：3．根据导数的几何意义，即表示曲线在处的切线斜率，再代入计算．本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．16.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为______．【答案】【解析】解：抛物线的焦点坐标为抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，，故答案为：先确定抛物线的焦点坐标，可得双曲线的焦点坐标，从而可求双曲线的离心率．本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线与双曲线的几何性质，属于基础题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，成等差数列．Ⅰ求；Ⅱ若，，求的面积．【答案】解：Ⅰ，，成等差数列，，由正弦定理知：，，，代入上式得：，即．又，，即．而，，及，得．Ⅱ由余弦定理得：，，又，，，即，．【解析】Ⅰ由，，成等差数列，可得，利用正弦定理、和差公式即可得出；利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．本题考查了等差数列、正弦定理、和差公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.某校有教职工130人，对他们进行年龄状况和受教育情况只有本科和研究生两类的调查，其结果如下：随机抽取一人，是35岁以下的概率为，求a，b的值；从50岁以上的6人中随机抽取两人，求恰好只有一位研究生的概率．【答案】解：由已知得：，解得分故，即分将50岁以上的6人进行编号：四位本科生为：1，2，3，4，两位研究生为5，6．从这6人中任取2人共有15种等可能发生的基本事件，分别为：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共有15种抽法，分其中恰好有一位研究生的有8种，分别为：15，16，25，26，35，36，45，46，共有8种抽法，故所求的事件概率为：分【解析】由已知得：，由此解得a的值，再根据总数为130求出b的值．从这6人中任取2人，用列举法一一列举，共有15种等可能发生的基本事件其中恰好有一位研究生的抽法有8种，由此求得所求的事件的概率．本题考查古典概型及其概率计算公式，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于基础题．19.如图，三棱柱中，底面为正三角形，平面ABC，且，D是BC的中点．Ⅰ求证：平面；Ⅱ求证：平面平面；Ⅲ在侧棱上是否存在一点E，使得三棱锥的体积是，若存在，求CE长；若不存在，说明理由．【答案】解：Ⅰ连接交于点O，连接OD．三棱柱中，平面ABC，四边形为矩形，可得点O为的中点．为BC中点，得DO为中位线，．平面，平面，平面分Ⅱ底面ABC正三角形，D是BC的中点平面ABC，平面ABC，．，平面，平面，平面平面分Ⅲ假设在侧棱上存在一点E，使三棱锥的体积是，设三棱锥的体积，得．，即在侧棱上存在一点E，当时，三棱锥的体积是分【解析】Ⅰ连接交于点O，连接可得DO为中位线，，结合线面平行的判定定理，得平面．由平面ABC，得正三角形ABC中，中线，结合线面垂直的判定定理，得平面，最后由面面垂直的判定定理，证出平面平面．假设在侧棱上存在一点E且，满足三棱锥体积是，利用作为底、AD为高，得三棱锥的体积，即为三棱锥的体积，建立等式即可解出m的值，所以在侧棱上存在点E，使三棱锥的体积是．本题给出直三棱柱，求证线面平行、面面垂直并探索三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了锥体体积公式的应用，属于基础题．20.已知函数．Ⅰ求函数的极值；Ⅱ若函数在定义域内为增函数，求实数a的取值范围．【答案】解：Ⅰ由已知，得，，令，得或，当时，，当时，，在，上为增函数，在上为减函数．极小值，极大值；Ⅱ，，由题意，知恒成立，即．时，，当且仅当时等号成立．故，．【解析】Ⅰ由已知得到，求其导函数，解得导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，求得函数的单调区间，进一步求得极值；Ⅱ由函数在定义域内为增函数，可得恒成立，分离参数a，利用基本不等式求得最值得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了分离参数法及构造函数求最值，是中档题．21.在直角坐标系xOy中，椭圆：的左、右焦点分别为，，也是抛物线：的焦点，点M为，在第一象限的交点，且．求的方程；平面上的点N满足，直线，且与交于A，B两点，若，求直线l的方程．【答案】解：的焦点，，，，代入抛物线方程，有，，椭圆的方程为点N满足，易知N与M关于原点对称，，设直线l方程：，联立直线和椭圆方程得到：，设，，，，代入韦达定理有，，直线l方程为【解析】先利用是抛物线：的焦点求出的坐标，再利用以及抛物线的定义求出点M的坐标，可以得到关于椭圆方程中参数的两个等式联立即可求的方程；先利用，以及直线得出直线l与OM的斜率相同，设出直线l的方程，把直线方程与椭圆方程联立得到关于A，B两点坐标的等式，整理代入，即可求出直线l的方程．本题是对椭圆与抛物线以及直线与椭圆位置关系的综合考查直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，为参数，直线l的参数方程为，为参数．求C和l的直角坐标方程；若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为，求l的斜率．【答案】解：曲线C的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为为参数．转换为直角坐标方程为：．把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：整理得：，则：，由于为中点坐标，当直线的斜率不存时，．无解故舍去．当直线的斜率存在时，由于和为A、B对应的参数所以利用中点坐标公式，则：，解得：，即：直线l的斜率为．【解析】直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．利用直线和曲线的位置关系，在利用中点坐标求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，中点坐标的应用．23.设函数．当时，求不等式的解集；若，求a的取值范围．【答案】解：当时，．当时，，解得，当时，恒成立，即，当时，，解得，综上所述不等式的解集为，，，，，，解得或，故a的取值范围．【解析】去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可，由题意可得，根据据绝对值的几何意义即可求出本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义，属于中档题。

2017-2018学年陕西省西安中学平行班高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列四个选项中，只有一项是符合题意）1．（5分）设i是虚数单位，则复数＝（）A．6+5i B．6﹣5i C．﹣6+5i D．﹣6﹣5i2．（5分）乘积m（m+1）（m+2）…（m+19）（m+20）（m∈N+）可表示为（）A．B．C．D．3．（5分）（e x+2x）dx等于（）A．1B．e﹣1C．e D．e+14．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，y＝f′（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．5．（5分）现有小麦、大豆、玉米、高粱4种不同农作物供选择，在如图所示的四块土地上进行种植，要求有公共边界的两块地不能种同一种农作物，则不同的种植方法共有（）A．24 种B．30 种C．36种D．48种6．（5分）变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）A．r2＜r1＜0B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2＝r17．（5分）在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cosθ，曲线C2：θ＝，若曲线C1与C2交于A、B两点，则线段AB的长度为（）A．2B．C．2D．18．（5分）从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为（）A．100B．110C．120D．1809．（5分）已知某企业上半年前5个月产品广告投入与利润额统计如下：由此所得回归方程为y＝7.5x+a，若6月份广告投入10（万元）估计所获利润为（）A．95.25万元B．96.5万元C．97万元D．97.25万元10．（5分）如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲y＝x2和曲线y＝围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（）A．144种B．288种C．360种D．720种12．（5分）若对于任意实数x≥0，函数f（x）＝e x+ax恒大于零，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣e）B．（﹣∞，e）C．[e，+∞）D．（﹣e，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．（5分）已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的普通方程是．14．（5分）设随机变量X服从正态分布N（0，1），如果P（X≤1）＝0.8413，则P（﹣1＜X＜0）＝．15．（5分）若，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a+bi|＝．16．（5分）从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为cm3．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知二项式（+）n的展开式中各项的系数和为256．（1）求n；（2）求展开式中的常数项．18．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c在x＝﹣与x＝1时都取得极值．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调区间．19．（12分）在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望Eξ．20．（12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为几点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（，），圆C的参数方程（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．21．（12分）电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）．附：K2＝．22．（12分）已知函数f（x）＝2lnx﹣x2+ax（a∈R）．（Ⅰ）当a＝2时，求f（x）的图象在x＝1处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）＝ax﹣m图象在上有两个不同的交点，求实数m 的取值范围．2017-2018学年陕西省西安中学平行班高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列四个选项中，只有一项是符合题意）1．【解答】解：＝＝＝﹣6﹣5i．故选：D．2．【解答】解：由排列数公式得：m（m+1）（m+2）…（m+19）（m+20）＝．故选：A．3．【解答】解：∵（e x+x2）′＝e x+2x，∴═＝（e+1）﹣（1+0）＝e，故选：C．4．【解答】解：由y＝f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，故函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y＝f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选：C．5．【解答】解：根据题意，如图，假设4个区域为A、B、C、D，分4步进行分析：对于A，有4种农作物供选择，有4种情况，对于B，与A相邻，有3种农作物供选择，有3种情况，对于C，与A、B相邻，有2种农作物供选择，有2种情况，对于D，与B、C相邻，有2种农作物供选择，有2种情况，则不同的种植方法有4×3×2×2＝48种；故选：D．6．【解答】解：∵变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），＝11.72∴这组数据的相关系数是r＝，变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），∴这组数据的相关系数是﹣0.3755，∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，故选：C．7．【解答】解：在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cosθ，曲线C2：θ＝，曲线C1与C2交于A、B两点，其中一点是坐标原点，∴|AB|＝2cos＝2×，故选：B．8．【解答】解：10人中任选3人的组队方案有C103＝120，没有女生的方案有C53＝10，所以符合要求的组队方案数为110种；故选：B．9．【解答】解：由题意，＝（9.5+9.3+9.1+8.9+9.7）＝9.3，＝（92+89+89+87+93）＝90，将（9.3，90）代入y＝7.5x+a，可得a＝20.25，∴x＝10时，y＝75+20.25＝95.25．故选：A．10．【解答】解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）＝1，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S（A）＝＝．所以P（A）＝．故选：C．11．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、将《将进酒》、《望岳》和另两首诗词的4首诗词全排列，有A44＝24种顺序，由于《将进酒》排在《望岳》前面，则这4首诗词的排法有＝12种，②、这4首诗词排好后，不含最后，有4个空位，在4个空位中任选2个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，有A42＝12种安排方法，则后六场的排法有12×12＝144种；故选：A．12．【解答】解：由对于任意实数x≥0，函数f（x）＝e x+ax恒大于零，得e x+ax＞0对任意实数x≥0恒成立，当x＝0时，对于任意实数a都成立；当x＞0时，则a＞，令g（x）＝，则g′（x）＝．当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0．∴g（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，则g（x）max＝g（1）＝﹣e．∴a＞﹣e．综上，实数a的取值范围是（﹣e，+∞）．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．【解答】解：根据题意，椭圆的参数方程为，则有＝cosα，＝sinα，则有，即该椭圆的普通方程为：，故答案为：．14．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（0，1），∴曲线关于直线x＝0对称，∵P（X≤1）＝0.8413，∴P（﹣1＜X＜0）＝P（X≤1）﹣0.5＝0.3413，故答案为：0.3413．15．【解答】解：∴a＝2，b＝﹣1∴故答案为：．16．【解答】解：设小正方形的变长为xcm（0＜x＜5），则盒子的容积V＝（10﹣2x）（16﹣2x）x＝4x3﹣52x2+160x（0＜x＜5），V'＝12x2﹣104x+160＝4（3x﹣20）（x﹣2），当0＜x＜2时，V'＞0，当2＜x＜5时，V'＜0，∴x＝2时V取得极大值，也为最大值，等于（10﹣4）（16﹣4）×2＝144（cm3），故答案为：144．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）由题意，得，即n＝8；（2）该二项展开式的通项，令，得r＝2．∴展开式中的常数项为．18．【解答】解：（1）函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，f′（x）＝3x2+2ax+b，∵函数f（x）在x ＝﹣与x＝1时都取得极值，∴f ′（﹣）＝f′（1）＝0，∴，解得a ＝﹣，b＝﹣2．（2）由（1）f′（x）＝3（x +）（x﹣1），当x变化时，f′（x），f（x）变化如下表：﹣（﹣∴函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣），（1，+∞），递减区间是（﹣，1）．19．【解答】解：解法一：（Ⅰ）P＝1﹣＝1﹣＝，即该顾客中奖的概率为．（Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）．且P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝10）＝＝，P（ξ＝20）＝＝，P（ξ＝50）＝＝，P（ξ＝60）＝＝故ξ有分布列：从而期望Eξ＝0×+10×+20×+50×+60×＝16．解法二：（Ⅰ）P＝＝＝，（Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值Eξ＝2×8＝16（元）．20．【解答】解：（Ⅰ）由题意，M（2，0），N（0，），P（1，），∴直线OP的平面直角坐标方程为y＝x；（Ⅱ）直线l的方程为：，圆心坐标为（2，），圆的半径为2，圆心到直线的距离d＝＝＜2，∴直线l与圆C相交．21．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2＝＝≈3.030．因为3.030＜3.841，所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关．（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率．由题意知X～B（3，），从而X的分布列为E（X）＝np＝3×＝．D（X）＝np（1﹣p）＝3××＝．22．【解答】解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝2lnx﹣x2+2x，f′（x）＝﹣2x+2，切点坐标为（1，1），切线的斜率k＝f′（1）＝2，则切线方程为y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1．（Ⅱ）由题意可得：2lnx﹣x2+m＝0，令h（x）＝2lnx﹣x2+m，则h′（x）＝﹣2x＝，∵x∈[，e]，故h′（x）＝0时，x＝1．当＜x＜1时，h′（x）＞0；当1＜x＜e时，h′（x）＜0．故h（x）在x＝1处取得极大值h（1）＝m﹣1．又＝m﹣2﹣，h（e）＝m+2﹣e2，h（e）﹣＝4﹣e2+＜0，则h（e）＜，∴h（x）在[]上的最小值为h（e）．h（x）在[]上有两个零点的条件是，解得：1＜m≤2+，∴实数m的取值范围是[1，2+]．。

西安中学2017—2018学年度第一学期期末考试高二数学(理科平行班）试题（时间：120分钟满分:150分)一、选择题(每小题5分，共60分）1.用反证法证明某命题时,对结论：“自然数，，中至少有一个偶数”正确的反设为( ) A。

，,都是奇数 B。

,，都是偶数C。

，，中至少有两个偶数 D.，，中至少有两个偶数或都是奇数【答案】D【解析】结论:“自然数中恰有一个偶数"的反面为恰有两个偶数或恰有三个偶数或恰没有偶数，因此选D.2.下列导数运算正确的是（）A. B。

C. D。

【答案】B【解析】【分析】根据函数的求导公式和运算法则,逐一检验即可.【详解】由求导公式知故A错误，，故C错误，，故D错误，B 选项正确，故选B。

【点睛】本题主要考查了常见函数的求导公式，属于容易题。

3。

用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（）A。

B. C。

D.【答案】D【解析】【分析】根据所给式子可知左边为,可知正确选项.【详解】当时,左边应为，即，故选D。

【点睛】本题主要考查了数学归纳法及归纳推理的能力,属于容易题.4。

向如下图所示的容器中匀速注水时,容器中水面高度随时间变化的大致图像是( ）A。

B.C。

D。

【答案】C【解析】【分析】因为容器中间凸，所以匀速注水时，开始和结束时水位高度变化快中间时水位高度变化慢,可知选C.【详解】结合容器的形状，可知一开始注水时，水高度变化较快当水位接近中部时变慢并持续一段时间，接近上部时,水位高度变快，故选C。

【点睛】本题主要考查了对函数概念的理解及函数图象的认识，结合生活实践，属于中档题. 5。

若双曲线的一条渐近线方程为．则此双曲线的离心率为（ )A. B. C。

D。

【答案】A【解析】试题分析：由条件知,,所以，所以选C.考点:双曲线的几何性质。

6.若平面与的法向量分别是,，则平面与的位置关系是( ）A。

平行 B。

垂直 C。

相交但不垂直 D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】根据所给向量可知其数量积为零,故知两向量垂直。

陕西省西安市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合5，7，，4，7，8，，全集，则集合中的元素共有A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】A【解析】解：4，5，7，8，，7，，5，故选A．也可用摩根律：故选：A．根据交集含义取A、B的公共元素写出，再根据补集的含义求解．本题考查集合的基本运算，较简单．2.复数A. 1B.C. iD.【答案】C【解析】解：复数，故选：C．两个复数相除，分子、分母同时乘以分母的共轭复数，再利用两个复数的乘法法则化简．本题考查两个复数的除法法则的应用以及两个复数乘法法则的应用．3.已知，，且，则A. B. 2或 C. 2 D.【答案】B【解析】解：，，且，，化简得，解得或；的值是2或．故选：B．根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出a的值即可．本题考查了平面向量平行的坐标表示的应用问题，是基础题目．4.在区间上随机选取一个实数x，则事件““的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由，得．在区间上随机选取一个实数x，则事件““的概率为．故选：B．求解一元一次不等式得x的范围，再由测度比为长度比得答案．本题考查几何概型，关键是明确测度比为长度比，是基础题．5.已知，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，故选：B．由已知中，由同角三角函数的基本关系公式，我们求出角的正切值，然后代入两角和的正切公式，即可得到答案．本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中角的余切值，根据同角三角函数的基本关系公式，求出角的正切值是解答本题的关键．6.的展开式中，的系数为A. 15B.C. 60D.【答案】C【解析】解：展开式的通项公式为，令，得，所以的系数为60．故选：C．根据二项式展开式的通项公式，利用展开式中，即可求出对应的系数．本题考查了利用二项式展开式的通项公式求特定项的应用问题，是基础题目．7.执行如图所示的程序框图，若输入的a为2，则输出的a值是A. 2B. 1C.D.【答案】A【解析】解：当，时，执行循环，满足继续循环的条件，；执行循环，满足继续循环的条件，；执行循环，满足继续循环的条件，；执行循环，满足继续循环的条件，；执行循环，满足继续循环的条件，；执行循环，不满足继续循环的条件，故输出的结果为2，故选：A．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案；本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8.设非零向量、、满足，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等、可构成菱形的两条相邻边，、为起点处的对角线长等于菱形的边长，两个向量的夹角是，故选：B．根据向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等可构成菱形的两条相邻边，三个向量起点处的对角线长等于菱形的边长，这样得到一个含有特殊角的菱形．本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题向量知识，向量观点在数学物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体．9.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有A. 150种B. 180种C. 300种D. 345种【答案】D【解析】解：分两类甲组中选出一名女生有种选法；乙组中选出一名女生有种选法故共有345种选法．故选：D．选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！10.下列4个命题中正确命题的个数是对于命题p：，使得，则￢：都有已知～，已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为，则回归直线方程为“”是“”的充分不必要条件A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】解：对于命题p：，使得，则￢：都有，正确；已知～，，正确；已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为，则回归直线方程为，正确；“”可得“”“”不能得出“”，比如，则“”是“”的充分不必要条件，正确．故选：D．对4个命题分别进行判断，即可得出结论．本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11.正方体中，若外接圆半径为，则该正方体外接球的表面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：如图，设正方体的棱长为a，则是边长为的等边三角形，设其外接圆的半径为r，则，即．由，得．正方体外接球的．正方体外接球的表面积为．故选：C．由题意画出图形，设正方体的棱长为a，则是边长为的等边三角形，由正弦定理列式求得外接圆半径，进一步求得a值，再由正方体体对角线长的平方等于过一个顶点的三条棱的平方和求得正方体外接球的半径，则答案可求．本题考查球的表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．12.已知奇函数的导函数为，当时，0'/>，若，，，则a，b，c的大小关系正确的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：令，则．当时，，当时，．即当时，，因此当时，函数单调递增，，，函数为奇函数，，故，故，故选：D．令，则由于当时，，可得：当时，即当时，，因此当时，函数单调递增即可得出．本题考查了通过构造函数利用导数研究函数的单调性比较大小，考查了推理能力，是一道中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.能够说明“恒成立”是假命题的一个x的值为______．【答案】0【解析】解：当时，，不成立，故答案为：0．利用反例判断命题的真假即可．本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．14.如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为______．【答案】【解析】解：由题意结合定积分的几何意义可得阴影部分的面积为：，由几何概型计算公式可得：黄豆落在阴影部分的概率为，故答案为：．利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型计算公式求解．本题考查定积分的几何意义，几何概型计算公式等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．15.设实数x，y满足，则的最小值为______．【答案】1【解析】解：不等式组对应的平面区域如图，设，当此直线经过图中时，在y轴的截距最小，即z最小，所以z的最小值为1；故答案为：1．作出不等式组对应的平面区域，设，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最小值本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法16.设等差数列的前n的和为，若，则______．【答案】24【解析】解：又故答案是24先由用性质求得，而，从而求得答案．本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数的一个零点是．Ⅰ求实数a的值；Ⅱ设，若，求的值域．【答案】Ⅰ解：依题意，得，即，解得Ⅱ解：由Ⅰ得．由得当即时，取得最大值2，当即时，取得最小值．所以的值域是．【解析】根据计算a的值；化简的解析式，再根据这些函数的单调性得出的最值即可．本题考查了三角函数的恒等变换与化简求值，属于中档题．18.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图．表1：甲套设备的样本的频数分布表图1：乙套设备的样本的频率分布直方图Ⅰ填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；Ⅱ根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；Ⅲ将频率视为概率若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X，求X的期望．附：．【答案】解：Ⅰ根据表1和图1得到列联表：分将列联表中的数据代入公式计算得；分，有的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；分Ⅱ根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格品的概率约为，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散；因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备；分Ⅲ由题知，不合格品的概率为，且～，分的数学期望为分【解析】Ⅰ根据题意，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；Ⅱ根据表1和图1分析数据特征与离散程度，即可得出结论；Ⅲ由题知～，求出数学期望即可．本题主要考查了统计与概率的相关知识应用问题，也考查了对数据处理能力的应用问题．19.如图，底面ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成的角为．求证：平面平面BDE；求二面角的余弦值．【答案】证明：平面ABCD，平面ABCD．．又底面ABCD是正方形，，又，平面BDE，又平面ACE，平面平面BDE．以D为坐标原点，DA、DC、DE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，与平面ABCD所成的角为，即，，．0，，3，，3，，0，，3，，0，，3，，设平面BEF的一个法向量为y，，则，即，令，则4，又平面BDE，3，为平面BDE的一个法向量．．二面角为锐角，二面角的余弦值为．【解析】根据，可得平面BDE，故而平面平面BDE；建立空间坐标系，求出平面BDE和平面BEF的法向量，根据法向量的夹角得出二面角的大小．本题考查了面面垂直的性质，空间向量的应用，属于中档题．20.在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．Ⅰ写出C的方程；Ⅱ设直线与C交于A，B两点为何值时？此时的值是多少？．【答案】解：Ⅰ设，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆它的短半轴，故曲线C的方程为分Ⅱ设，，其坐标满足消去y并整理得，故分，即而，于是．所以时，，故分当时，，．，而，所以分【解析】Ⅰ设，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是椭圆从而写出其方程即可；Ⅱ设，，其坐标满足，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系及向量垂直的条件，求出k 值即可，最后通牒利用弦长公式即可求得此时的值，从而解决问题．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．21.设函数，为常数，曲线在点处的切线与x轴平行．Ⅰ求k的值；Ⅱ求的单调区间和最小值；Ⅲ若对任意恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：Ⅰ的导数为，因为曲线在点处的切线与x轴平行，所以，所以；Ⅱ，定义域为，导数，令得，当x变化时，和的变化如下表：由上表可知的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为；Ⅲ若对任意成立，则，即，即，解得．【解析】Ⅰ求得的导数，可得切线的斜率，解方程可得k的值；Ⅱ求得的解析式和导数，以及单调区间，可得极值和最值；Ⅲ由题意可得，代入计算即可得到所求a的范围．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题．22.在直角坐标系xOy中，以原点为O极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为．将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；过点作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．【答案】解：圆C的极坐标方程为，展开可得：，可得直角坐标方程：．直线l的参数方程为：为参数，代入上述方程可得：．，，则．【解析】圆C的极坐标方程为，展开可得：，利用互化公式即可得出直角坐标方程．直线l的参数方程为：为参数，代入上述方程可得：．．本题考查了极坐标方程化为参数方程、参数方程化为普通方程及其应用、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.已知函数，．解不等式；若对任意，都有，使得成立，求实数a的取值范围．【答案】解：，由，得，解得或．故不等式的解集为或．对任意，都有，使得成立，．又，．，解得，实数a的取值范围为．【解析】由，得，由此能求出不等式的解集．推导出利用，得到，由此能求出实数a的取值范围．本题考查不等式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．。