中位线(基础)巩固练习
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【巩固练习】
一.选择题
1. 依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形，则这个图形一定是（ ）.
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
2. 如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为（ ）.
A．5 B．10 C．20 D．40
3. 如图，G是△ABC的重心，直线L过A点与BC平行．若直线CG分别与AB，L交于D，E两点，直线BG与AC交于F点，则△AED的面积：四边形ADGF的面积=（ ）.
A．1:2 B．2:1 C．2:3 D．3:2
4. 若一个等腰梯形的周长为30cm，腰长为6cm, 则它的中位线长为（ ）.
A. 12cm B. 6cm C. 18cm D. 9cm
5. 如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF＝3，则梯形ABCD的周长为（ ）.
A．9 B．10.5 C．12 D．15
6．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）.
A．7 B．9 C．10 D．11
二.填空题
7.（2013•泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，-3），△AB′O′是△ABO关于的A的位似图形，且O′的坐标为（-1，0），则点B′的坐标为_____.
8. 已知一个梯形的面积为222cm，高为2cm，则该梯形的中位线的长等于_____cm.
9. 如图，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是________.
10.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，∠B＝50°．先将△ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为1A，则∠BD1A的度数为_____.
11.如图，矩形ABCD的相邻两边的长分别是3cm和4cm，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于_______cm，四边形EFGH的面积等于_____
2cm．
12．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是 ．
三.解答题
13.如图，△ABC的两条中线BD、CE相交于点O，点M、N分别是BO、CO的中点．
（1）说明：四边形DEMN是平行四边形；
（2）连接AO，当线段AO与BC满足怎样的位置关系时，四边形DEMN为矩形？为什么？
14．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD，BC的中点，E，F分别是BM，CM的中点．
(1)求证：四边形MENF是菱形；
(2)若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论．
15.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点．
求证：MN和PQ互相平分．
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】A；
2.【答案】C；
【解析】根据中位线定理可得BC＝2DF，AC＝2DE，AB＝2EF，继而结合△DEF的周长为10，可得出△ABC的周长．
3.【答案】D；
【解析】设三角形ABC的面积是2,
∴三角形BCD的面积和三角形BCF的面积都是1,
∵BG：GF=CG：GD=2,
∴三角形CGF的面积是13,
∴四边形ADGF的面积是2-1-13=23,
∵△ADE≌△BDC（ASA）,
∴△ADE的面积是1,
∴△AED的面积：四边形ADGF的面积=1：23=3：2．故选D．
4.【答案】D；
【解析】等腰梯形的上底＋下底＝30－6－6＝18，它的中位线等于11892cm.
5.【答案】C；
【解析】∵EF梯形的中位线，∴EF∥BC，AD＋BC＝2EF＝6．∴∠EPB＝∠PBC．又因为BP平分∠EBC，所以∠EPB＝∠EBP，∴BE＝EP，∴AB＝2EP．同理可得，CD＝2PF，所以AB＋CD＝2EF＝6．则梯形ABCD的周长为6＋6＝12．
6.【答案】D；
【解析】EF＝HG＝12BC，EH＝FG＝12AD，所以四边形EFGH是平行四边形，由勾股定理BC＝5，所以周长等于3＋3＋5＝11.
二.选择题
7.【答案】（53，-4）；
8.【答案】11；
【解析】设梯形的中位线长为x，则2x＝22，x＝11，该梯形的中位线的长等于11cm．
9.【答案】10；
【解析】∵在△ABC中，AB＝AC＝6，AE平分∠BAC，∴BE＝CE＝12BC＝4，又∵D是AB中点，∴BD＝12AB＝3，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝12AC＝3，∴△BDE的周长为BD＋DE＋BE＝3＋3＋4＝10．
10.【答案】80°；
【解析】由折叠的性质可知AD＝1AD，根据中位线的性质得DE∥BC；然后由两直线平行，同位角相等推知∠ADE＝∠B＝50°；最后由折叠的性质知∠ADE＝∠1ADE，所以∠BD1A＝180°－2∠B＝80°．
11.【答案】10；6;
【解析】四边形EFGH是菱形，直角△AEH中利用勾股定理即可求得EH的长，则周长可以求得；连接HF、EG的长，然后根据菱形的面积公式即可求解．
12.【答案】18°；
【解析】由题意1122PFBCADPE，所以△PEF为等腰三角形，∠PFE＝∠PEF＝18°.
三.解答题
13.【解析】
证明：（1）△ABC的边AC、AB上的中线BD、CE相交于点O，M、N分别是BO、CO的中点，
∴ED∥BC且ED＝12BC，MN∥BC且MN＝12BC，
∴ED∥MN且ED＝MN，
∴四边形DEMN是平行四边形．
（2）OA和BC垂直，四边形DEMN为矩形，
理由如下：
连接OA并延长交BC于点F；
∵E，M，D，N分别是AB，BO，AC，CO的中点，
∴AO∥ME∥DN，
当△ABC为等腰三角形时，
∴AO⊥BC，
∵四边形DEMN是平行四边形，
∴EM⊥MN；
∴此时四边形DEMN是矩形．
14．【解析】
（1）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AB＝CD，∠A＝∠D．
∵M为AD的中点，
∴AM＝DM．
∴△ABM≌△DCM．
∴BM＝CM．
∵E、F、N分别是MB、CM、BC的中点，
∴EN、FN分别为△BMC的中位线，
∴EN＝12MC，FN＝12MB，且ME＝BE＝12MB，MF＝FC＝12MC．
∴EN＝FN＝FM＝EM．
∴四边形ENFM是菱形．
（2）解：结论：等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半．
理由：连接MN，
∵BM＝CM，BN＝CN，
∴MN⊥BC．
∵AD∥BC，
∴MN⊥AD．
∴MN是梯形ABCD的高．
又∵四边形MENF是正方形，
∴△BMC为直角三角形．
又∵N是BC的中点，
∴MN＝12BC．
15.【解析】
证明：连接MP，PN，NQ，QM，
∵AM＝MD，BP＝PD，
∴PM是△ABD的中位线，
∴PM∥AB，PM＝12AB；
同理NQ＝12AB，NQ∥AB，
∴PM＝NQ，且PM∥NQ．
∴四边形MPNQ是平行四边形．
∴MN与PQ互相平分．
