24.6 正多边形与圆
第1课时 正多边形的概念及正多边形与圆的关系
［学习目标］
1．理解正多边形与圆的关系及正多边形的有关概念；
2．理解并掌握正多边形的有关概念；
3.会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形.
［学法指导］
本节课的学习重点是理解正多边形与圆的关系及正多边形的有关概念，并能进行计算，学习难点是探索正多边形和圆的关系.
［学习流程］
一、导学自习
1. 如果一个多边形的
顶点都在
圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的 .
2.各边 ，各角也 的多边形叫做正多边形.
思考：
正多边形的定义中“各边 ，各角 ”是正多边形的两个特征，缺一不可.
3.举例说出生活中常见的正多边形.
二、研习展评
活动1：思考：（1）你知道正多边形和圆有什么关系吗？你能借助圆做出一个正多边形吗？
（2）将一个圆五等分，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论．
证明：如图1，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.
,ABBCCDDEEA
______________________,
（3）如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形吗？
（4）结论：正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成 的一些弧，就可以作出这个圆的 ，这个圆就是这个正多边形的 .
活动2： 阅读教材，思考：如何利用等分圆弧的方法来作正n边形？
方法一、任何正n边形的作法：用量角器作一个等于 的圆心角，再等分圆；
方法二、特殊正多边形的作法:正六边形和正方形等的尺规作法.
（在此基础上，还可以进一步作出正三角形、正八边形、正十二边形）
做一做：在右图2中，用尺规作图画出圆O的内接正三角形．
1 正多边形与圆
一、选择题
1．（2016·江苏南京）己知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ）
A． B. 3 C. 2 D. 23
二、填空题
1．（2016.山东省威海市，3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为 ．
2．（2016·江苏连云港）如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10= ．
三、解答题
1. （2016·四川成都·9分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接ED，BE．
（1）求证：△ABD∽△AEB；
（2）当=时，求tanE；
（3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF=2，求⊙C的半径．
圆内接正多边形
学习目标：
1、理解圆内接正多边形及正多边形的外接圆、正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。
2、掌握用等分圆周画圆内接正多边形的方法，能熟练地进行有关正三角形，正方形，正六边形的计算。
1学习过程：
1、复习回顾
正n边形的有关计算公式：
每个内角= ，每个外角= 。
2、预习、交流并展示
阅读课本97页到98页，回答下列问题
（1） 都在同一个圆上的正多边形叫做 ，这个圆叫做该正多边形的 。
如上图，五边形ABCDE是☉O的 ，☉O是五边形ABCDE的 圆， 叫做正五边形ABCDE的中心， 是正五边形ABCDE的半径， 是正五边形ABCDE的中心角，中心角是 (2)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的 ，外接圆的半径叫做正多边形的 ，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的 ，正n边形的中心角是 ，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 。
度，OM⊥BC，垂足为M， 是正五边形ABCDE的边心距。
（3）利用尺规作一个已知圆的内接正多边形
以圆内接正六边形为例：
由于正六边形的中心角为 ，因此它的边长和外接圆的半径R ，所以在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正多边形。
作法如下：
（1）☉O的任意一条直径AD，如图（1）
（2）分别以A、D为圆心，以☉O的半径R为半径作弧，与☉O相交于B、F和C，E则A，B，C，D，E，F是☉O的六等分点。
（3）顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA，便得到正六边形ABCDEF，图（2）
如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求正六边形的中心角、边长和边心距。
知识点1 正多边形的相关概念
（1） 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
（2） 正多边形和圆：把一个圆n等分，依次联接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
（3） 正多边形是对称图形。当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形。
（4） 与正多边形有关的概念：
a 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心；
b 正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径；
c 正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角。正n边形的每个中心角都等于360/n，正n边形的每个内角都等于【（n-2）×180】/n.
d 正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一条边的距离。
例题1
圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( )
A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化
例题2
正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴.
例题3
正n边形是 对称图形，它的对称轴有 条 。
例题4
正n边形的每个内角是 ，每个中心角是 。
知识点2 正多边形的计算
1.正多边形的中心是这个正多边形的外接圆的圆心，也是内切圆的圆心。
2.联接中心和正多边形的各顶点，所得线段都是外接圆的半径，相邻两条半径的夹角是中心角。
3.在正n变形中，分别经过各顶点的这些半径将这个正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰是正n边形的半径，底边是正n边形的边，顶角是正n边形的中心角；底边上的高是正n边形的内切圆的半径，它的长是正n边形的边心距。
注：正多边形半径R和边长a、边心距r之间的数量关系式
.
