24.3正多边形和圆

1 24.3正多边形和圆

一．【知识要点】

1.把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的，外接圆的半径叫做正多边形的，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的.

【经典例题】

1.分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距、周长和面积(直接写出结果).

边长 边心距 周长 面积

圆内接正三角形

圆内接正方形

圆内接正六边形

2.下列说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的多边形是正多边形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形.其中正确的有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3.如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么这个四边形一定是( )

A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.不能确定

4.如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为______________.

5.如图，正△ABC外接圆的半径为R，求正△ABC的边长、边心距、周长和面积. 2

6.如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值是（）

A. B. C. D. 2

7.如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点P在⊙O上（P不与A，B重合），则∠APB的度数为（ ）

A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°

8．(2023绵阳期末第7题)如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是（ ）

A． B． C． D．（2，4） EFGH26233 9．(2021绵阳期末第14题)如图，要拧开一个边长a＝2cm的正六角形螺帽，则扳手张开的开口b至少要 cm．

10.如图，正五边形ABCDE中

(1)求证：EB=EC;(2)若BE=2，CF⊥BE交AB于F，求AE+AF.

11.如图，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，点P为CD的中点，则PAPB的值为

三．【题库】

【A】

1.下列多边形中，是正多边形的是( ).

A.菱形 B.矩形 C.等腰梯形 D.正六边形

2.下列多边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ).

A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.平行四边形

3.下列正多边形中，对称轴条数是6条的是( ).

A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正五边形

4.正五边形的中心角是______________度.

5.一个正多边形的中心角为90°,则它的边数为____________.

6.圆内接正五边形ABCDE中,对角线AC和BD相交于点P,则∠APB的度数是 ()

A.36° B.60°C.72° D.108°

7.小明画出一个圆内接正三角形,如图所示,若在小明画的图形上再画出一个正六边形,试填4 写完整下面的步骤:

(1)分别用圆规把AB⏜,BC⏜,AC⏜两等分,得出等分点____________.

(2)顺次连接AD,BD,_____,EC,CF,______,六边形ADBECF为所画的正六边形.

8.如图,A,P,B,C是☉O上的四点,∠APC=∠CPB=60°.

(1)求证:△ABC是等边三角形;

(2)已知△ABC的边长为4 cm,求☉O的半径.

9．边长为a的正六边形的面积等于（ ）

A．243a B.2a C.2233a D.233a

10.如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（ ）

A．30° B．40° C．45° D．50°

11.已知圆内接正六边形的半径为2，则正六边形的边长为( ).

A.2 B.1 C.3 D.2

12.已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OH的长为( ).

A.2 B.25C.3 D.23

13.已知⊙O的内接正方形的边长为4，则半径为( ). 5 A.4 B.2 C.22 D. 2

14.半径为1的圆内接正三角形的边心距为___________.

15.边长为1的正六边形的半径为,中心角等于度,面积为.

16.半径为4的正六边形的边心距为,中心角等于,面积为.

17.如图,正八边形ABCDEFGH的半径为2,它的面积为.

18.半径为3的圆内接正方形的边心距等于.

19.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( )

①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形.

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

20.(上海中考)如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是( )

A.4B.5C.6D.7

21.若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( )

A. 6,32 B.32,3C.6,3 D.62,32

22.如图，木工师傅从一块边长为60cm的正三角形木板上锯出一块正六边形木板，那么这块正六边形木板的边长为.

23.如图，圆内接正△ABC的半径为R，试分别计算△ABC的边长，边心距及面积. 6

【B】

1.如图,在☉O中,OA=AB,OC⊥AB,则下列结论错误的是 ()

A.弦AB的长等于圆内接正六边形的边长

B.AC⏜=BC⏜

C.弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长

D.∠BAC=30°

2.已知☉O的面积为2π,则其内接正三角形的面积为 ()

A.3√3 B.3√6 C.32√3 D.32√6

3.△OAB是以正多边形相邻的两个定点A,B与它的中心O为顶点的三角形,若△OAB的一个内角为70°,则该正多边形的边数为_____________.

4.如图,有一圆内接正八边形ABCDEFGH,若△ADE的面积为10,则正八边形ABCDEFGH的面积为________________.

5.如图,正六边形ABCDEF中,点M在AB边上,∠FMH=120°,MH与六边形外角的平分线BQ交于点H.

(1)当点M不与点A,B重合时,求证:∠AFM=∠BMH;

(2)当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动(点M不与点B重合)时,猜想FM与MH的数量关系,并对猜想的结果加以证明.

6.若一个正方形的周长为24，则该正方形的边心距为（ ）

A．2 B．3 C．3 D．2 7 7．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是（ ）

A．30° B．36° C．45° D．72°

8．(2022绵阳期末第11题)如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则△GEF的面积为（ ）

A．2 B．3 C． D．

9.半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长比为.

10.如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H,则EFGH=（ ）

A.62 B.2 C.3 D.2

11.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，对角线AC、BD相交于点P，下列结论：①∠BAC=36°;②PB=PC；③四边形APDE是菱形；④AP=2BP.其8 中正确的结论是( ).

A.①②③④B.①②③C.②③④D.①②④

12.如图，正三角形的边长为12cm，剪去三个角后成为一个正六边形，则这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为cm.

13.如图,正六边形ABCDEF中，P是边ED的中点，连接AP,求APAB的值.

14.如图，⊙O的半径为2，求圆内接正十二边形的边长. 9

【C】

1.如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为220cm，则正八边形的面积为___________2cm。

【D】