小波分析知识点总结

1 小波分析的基本知识 屠2001.8.2

A.基本知识

A1.小波(WAVELET)分类

1.原始小波:(1).高斯gaus, (2).莫来特morlet, (3).墨西哥帽mexihat

2.无限正则小波浪:(4).梅耶meyr (5).离散梅耶dmey

3.正交和紧支集小波:(6).达比切斯dbN(Daubechies), (7).对称symN(symlets), (8).coifN

4.双正交和紧支集小波: (9).双正交biorNr (10). 逆双正交rbioNr.Nd

5.复小波: (11).复高斯cgauN (12)复莫来特 cmor Fb-Fc (13)复香农shan Fb-Fc

(14).复频率B样条 fbspM Fb-Fc

注1:db1小波也称哈尔Harr小波,也是原始小波

注2.symlet小波是Daubechies小波的改进,由不对称改成近似对称

注3.紧支集即函数在有限区域内不为零

A2.小波函数和尺度(SCALE)函数

1.小波函数(psi)--由高通滤波器确定,产生小波分解的细节 D(detail,)

2.尺度函数(phi)--由低通正交镜象滤波器确定, 产生小波分解的逼近 A(approximation)

A3.小波分解:S(SIGNAL)=A1+D1=(A2+D2)+D1=(A3+D3)+D2+D1=(A4+D4)+D3+D2+D1=...

A4.小波包(WP=Wavelet Packet)分解:S=A1+D1=(AA2+DA2)+(AD2+DD2)

=(AAA3+DAA3)+(ADA3+DDA3)+(ADA3+DDA3)+...

一、小波分析基本原理：

信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征， 通过平移母小波来获得信号的时间信息。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。 相关原理详见附件资料和系统设计书。

注：小波分析相关数学原理较多，也较复杂，很多中文的著作都在讨论抽象让非数学相关专业人难理解的数学。本人找到了相对好理解些的两个外文的资料：

Tutorial on Continuous Wavelet Analysis of Experimental Data.doc

Ten.Lectures.of.Wavelets.pdf

二、搜索到的小波分析源码简介

（仅谈大体印象，还待继续研读）：

１、83421119WaveletVCppRes.rar

源码类型：VC++程序

功能是：对简单的一维信号在加上了高斯白噪声之后进行Daubechies小波、Morlet小波和Haar小波变换，从而得到小波分解系数；再通过改变分解得到的各层高频系数进行信号的小波重构达到消噪的目的。

说明：在这一程序实现的过程中能直观地理解信号小波分解重构的过程和在信号消噪中的重要作用，以及在对各层高频系数进行权重处理时系数的选取对信号消噪效果的影响。但这是为专业应用写的算法，通用性差。

２、WA.FOR（南京气象学院常用气象程序中的小波分析程序）

源码类型：fortran程序

功能是：对简单的一维时间序列进行小波分析。

说明：用的是墨西哥帽小波。程序短小，但代码写得较乱，思路不清，还弄不明白具体应用。

３、中科院大气物理学所.zip（原作者是美国Climate Diagnostics Center的C. Torrence 等）

时间序列-小波分析

时间序列（Time Series）是地学研究中经常遇到的问题。在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。

20世纪80年代初，由Morlet提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。

目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。

一、小波分析基本原理

1. 小波函数

小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R(L)t(2且满足：

0dt)t( （1）

式中，)t(为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：

)abt(a)t(2/1b,a 其中，0aR,ba, （2）

小波分析小结（小编整理）

第一篇：小波分析小结

小波分析的形成

小波分析是一门数学分支，是继Fourier变换之后新的时频域分析工具。小波理论的形成经历了三个发展阶段：

Fourier变换阶段：

Fourier变换是将信号在整个时间轴上进行积分，它将信号的时域特征和频域特征联系起来，分别进行分析。设信号f(t)，其Fourier变换为：

F()f(t)eitdt

F()确定了f(t)在整个时间域上的频谱特性。但Fourier变换不能对信号从时域和频域结合起来分析，它是一种全局变换，在时间域上没有任何分辨率。

例：f(t)1,(2t2)，其Fourier变换对应图如下：

短时Fourier变换阶段：

短时Fourier变换即加窗Fourier变换，其思想是把信号分成许多小的时间间隔，用Fourier分析每个时间间隔，以确定该间隔存在的频率，达到时频局部化目的。其表达式为：

Gf(,)f(t),g(t)ejtf(t)g(t)ejtdt

R式中，g(t)为时限函数，即窗口函数，ejt起频限作用，Gf(,)大致反映了f(t)在时、频率为的信号成分含量。

由上式，短时Fourier变换能实现一定程度上的时频局部化，但窗口函数确定时，窗口大小和形状固定，所得时频分辨率单一。

小波分析阶段：

为了克服上述缺点，小波变换应运而生。小波变换在研究信号的低频成分时其窗函数在时间窗长度上增加，即在频率宽上减小；在研究信号的高频成分时其窗函数在时间窗长度上减小，而在频率宽上增加。对信号可以进行概貌和细节上的分析。

小波的定义： ()，若满足设(t)L2(R)（为能量有限的空间信号），其Fourier变换为容许条件：

|()|2||d

(0)(t)dt0，说明(t)具有波动则称(t)为母小波，由容许条件可得：性，在有限区间外恒为0或快速趋近于0.t12以Marr小波(t)(1t)e2为例，如下图：