第1讲 绝对值不等式

章节：4.5.2 课时： 1 备课人； 二次备课人

课题名称 第一讲 2.1 绝对值不等式

三维目标 学习目标

1.理解绝对值的定义及其几何意义;

2.会用绝对值三角不等式的解决简单的问题

重点目标 理解绝对值的定义及其几何意义 难点目标 会用绝对值三角不等式的解决简单的问题

导入示标

目标三导 学做思一：

自学探究

问题1.用恰当的方法在数轴上把||||,||abab，表示出来，你能发现它们之间有什么关系吗？

学做思二

问题2.如果把定理1中的实数,ab分别换为向量,abrr，能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？

问题3.你能根据定理1的研究思路，探究一下||||,||,||ababab，等之间的其他关系吗？

例如||||||||||||||||||abababababab与，与，与等之间的关系.

学做思三

技能提炼

1.设函数()14fxxx．

(1)解不等式()2fx；

(2)求函数()yfx的最值．

★ 2.使不等式axx34有解的条件是( )

A1a B1101a C101a D1010a

达标检测 变式反馈

1.对任意实数x，|1||3|xxa恒成立，则a的取值范围是

2.已知方程1|12||12|axx有实数解，则a的取值范围为 .

★3．当10x时,比较)1(logxa与)1(logxa的大小.)1,0(aa

反思总结 1.知识建构

2.能力提高

3.课堂体验

1 绝对值不等式

1、利用绝对值的几何意义：0,0,xxxxx

在数轴上一个点到原点的距离称为这个数的绝对值

2、分类讨论去绝对值

3、两边平方去绝对值

绝对值三角不等式

证明一个含绝对值的不等式成立，除了用一般不等式的基本性质外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：

aa1，当且仅当0a时等号成立，aa当且仅当0a时等号成立。

22aababa304bbaba

那么?baba?baba 成立吗？

探究：bababa,,,之间的关系

定理（绝对值三角不等式）如果ba,是实数，则bababa

注：当ba,为复数或向量时结论也成立。

1、不等式243x的整数解的个数是_________

2、函数22xxy的定义域为___________

3、设不等式bax的解集为21xx，则a__________b____________

4、解不等式（1）1112xx （2）112x

2

（3）11xx （4）14log2log22xx

（5）321xx （6）1211xxx

（7）2loglog2axaxaa

5、求函数13121xxxxf的最小值

6、关于实数x的不等式axx35无解，则实数a的取值范围是多少？

3 7、设6,4,0byax，求证：bayx3232

8、设二次函数0,02bacbxaxxf，已知

11,11,10,fffab，当1x时，证明：45xf

9、设二次函数0,02bacbxaxxf，已知11,11,10fff，当1x时，证明：45xf

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1 / 4 二 绝对值不等式

1.绝对值三角不等式

课后篇巩固探究

A组

1.设ab>0,下面四个不等式:

①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.

其中正确的是()

A.①② B.①③ C.①④ D.②④

解析∵ab>0,∴a,b同号.

∴|a+b|=|a|+|b|>|a|-|b|.∴①④正确.

答案C

2.函数f(x)=|3-x|+|x-7|的最小值等于()

A.10 B.3 C.7 D.4

解析因为|3-x|+|x-7|≥|(3-x)+(x-7)|=4,所以函数f(x)的最小值为4.

答案D

3.已知|a|≠|b|,m=,n=,则m,n之间的大小关系是()

A.m>n B.m

解析由绝对值不等式的性质,知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.

∴≤1≤.∴m≤n.

答案D

4.若|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是 ()

A.|a+b|+|a-b|>2 B.|a+b|+|a-b|<2

C.|a+b|+|a-b|=2 D.不确定

解析当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2;当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2,综上有|a+b|+|a-b|<2.

答案B

5.若关于x的不等式|x|+|x-1|

A.[-1,1] B.(-1,1) C.(-∞,1] D.(-∞,1)

解析∵|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,

∴若关于x的不等式|x|+|x-1|

答案C

6.若a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2,则|a+b|的最大值是,最小值是.

解析因为|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,所以1=3-2≤|a+b|≤3+2=5.

答案51

7.若不等式|x-4|-|x-3|≤a对一切x∈R恒成立,则实数a的取值X围是.

标准

文案 绝对值函数和绝对值不等式

【知识点】

一、绝对值的性质

1.|a|=a，a≥0，－a，a<0

推论①：|ab|≥ab(当且仅当ab≥0时，“=”成立)；

推论②：|ab|≥－ab(当且仅当ab≤0时，“=”成立).

2.|a|2=a2；

二、绝对值不等式

3.若a2≥b2，则|a|≥|b|；

证明：由性质2，a2≥b2|a|2≥|b|2|a|≥|b|.

4.|a|≥a，(当且仅当a≥0时等号成立)；

推论③：|ab|≥ab.

推论④：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

证明：(1) ||a|－|b||≤|a－b|：

因为 |ab|≥ab，所以：－2|ab|≤－2ab，所以：a2+b2－2|ab|≤a2+b2－2ab，由性质2，则：(|a|－|b|)2≤(a－b)2，由性质3即证.

此时，当且仅当ab≥0时等号成立.

(2) ||a|－|b||≤|a+b|.

证明：由推论②：|ab|≥－ab，所以：－2|ab|≤2ab，从而：(|a|－|b|)2≤(a+b)2，由性质2即证.此时，“=”成立的条件为ab≤0.

(3)由2ab≤2|ab|=2|a||b|，则(a+b)2≤(|a|+|b|)2，由性质2即证.等号成立的条件为ab≥0.标准

文案 同理可证：|a－b|≤|a|+|b|.等号成立的条件为ab≤0.

推论⑤：|a1+a2 +…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|.

证明：当n=2时，显然成立；

设当n=k时，有：|a1+a2 +…+ak|≤|a1|+|a2|+…+|ak|；

则当n=k+1时，|a1+a2 +…+ak+ak+1|=|(a1+a2 +…+ak)+ak+1|≤|a1+a2+…+ak|+|ak+1|≤|a1|+|a2|+…+|ak|+|ak+1|.

推论⑥：|a|+|b|=|a+b|，ab≥0，|a－b|，ab<0，|a|+|b|=max{|a+b|，|a－b|}.