高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不

高中数学学科

【高中数学】绝对值不等式

一、基础知识

1．绝对值三角不等式

定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，

等号成立．↓|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，

右边等号成立.

2．绝对值不等式的解法

(1)|x|a型不等式的解法不等式a>0a＝0a<0|x|

|x|>a{x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R

(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

考点一绝对值不等式的解法

[典例](2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.高中数学学科

(1)画出y＝f(x)的图象；

(2)求不等式|f(x)|>1的解集．

[解](1)由题意得f(x)

＝x－4，x≤－1，

3x－2，－1

－x＋4，x>32，

故y＝f(x)的图象如图所示．

(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，

当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；

当f(x)＝－1时，可得x＝13或x＝5.

故f(x)>1的解集为{x|1

f(x)<－1的解集为x|x<13或x>5.

所以|f(x)|>1的解集为x|x<13或15.

[题组训练]1．解不等式|x＋1|＋|x－1|≤2.

解：当x<－1时，

原不等式可化为－x－1＋1－x≤2，

解得x≥－1，又因为x<－1，故无解；

及第中学高二数学导学案 编制人:张景阳王秀梅 审核 : 审批: 編号：

2014.05.26

1 2.5绝对值不等式

自学指导：

1. 基础训练

（1）不等式|x|(1-3x)>0的解集是（ ）

A. (-∞,1/3) B (-∞,0)∪(0,1/3) C （0,1/3） D (1/3,+ ∞)

(2) 不等式111xx的解集为（ ）

A.{x|01} B.{x|0

（3）已知不等式|2x-t|+t-1<0的解集为（-1/2,1/2 ）,则t=( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

(4)下列各命题中真命题是

A.若xy<0,则|x|+|y|=|x+y|. B.若xy>0,则|x|+|y|>|x+y|.

C. 若xy>0,则|x|+|y|=|x+y|. D. 若xy<0,则|x|+|y|<|x+y|.

(5)不等式|x+1|-|x-3|≥0的解集___________

(6)若不等式|x-2|+|x+3|

2. 知识梳理

（1）绝对值不等式的基本模式

①|x|a____________

②|ax+b|c____________

③不等式|x-a|+|x-b|≥ c的解法是_____________________

(2) 绝对值不等式的性质

① |a+b|≤__________________

② |a-b|≤|a-c|+______________

规律总结

名人名言、警句： 一份耕耘 ， 一分收获

2 范例解析：

例1. 解不等式|x2-2x+2|≥x

变式：|x-4|+|3-x|<2

例2. 若不等式|x-1|+|x+3|>a对一切实数x都成立，求a范围

变式：关于不等式|x-1|+|x-2|≤a2+a+1的解集为空集，求实数a范围.

1 2.绝对值不等式的解法

课后篇巩固探究

A组

1.已知集合A={x|x2-5x+6≤0},B={x||2x-1|>3},则A∩B等于( )

A.{x|2≤x≤3}

B.{x|2≤x<3}

C.{x|2

D.{x|-1

解析A={x|2≤x≤3},B={x|x>2或x<-1},

则A∩B={x|2

答案C

2.若a>2,则关于x的不等式|x-1|+a>2的解集为( )

A.{x|x>3-a}

B.{x|x>a-1}

C.⌀

D.R

解析不等式|x-1|+a>2可化为|x-1|>2-a,因为a>2,所以2-a<0,故原不等式的解集为R.

答案D

3.不等式|3x-4|>x2的解集为( )

A.(-4,1)

B.(-1,4)

C.⌀

D.(-∞,-4)∪(1,+∞) 2 解析由|3x-4|>x2可得3x-4>x2或3x-4<-x2,解3x-4>x2得无解;解3x-4<-x2得-4

答案A

4.不等式<0的解集是( )

A.{x|-3

B.{x|-3

C.{x|-3≤x≤5}

D.{x|-3≤x≤5,且x≠2}

解析因为分母|x-2|>0,且x≠2,所以原不等式等价于|x-1|-4<0,即|x-1|<4,所以-4

又x≠2,故原不等式的解集为{x|-3

答案B

5.不等式|2x-log2x|<|2x|+|log2x|的解集为( )

A.(0,1) B.(1,2)

C.(1,+∞) D.(2,+∞)

解析在|a-b|≤|a|+|b|中,“=”成立的条件是ab≤0,“<”成立的条件是ab>0,所以2x·log2x>0.

又x>0,所以log2x>0,解得x>1.

答案C

6.不等式|2x-1|<3的解集为 .

解析|2x-1|<3⇔-3<2x-1<3⇔-1

答案(-1,2)

7.不等式|x+3|>|2-x|的解集是 .

解析由|x+3|>|2-x|得(x+3)2>(2-x)2,整理得10x>-5,即x>-, 3 故原不等式的解集为.

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1 / 4 二 绝对值不等式

1.绝对值三角不等式

课后篇巩固探究

A组

1.设ab>0,下面四个不等式:

①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.

其中正确的是()

A.①② B.①③ C.①④ D.②④

解析∵ab>0,∴a,b同号.

∴|a+b|=|a|+|b|>|a|-|b|.∴①④正确.

答案C

2.函数f(x)=|3-x|+|x-7|的最小值等于()

A.10 B.3 C.7 D.4

解析因为|3-x|+|x-7|≥|(3-x)+(x-7)|=4,所以函数f(x)的最小值为4.

答案D

3.已知|a|≠|b|,m=,n=,则m,n之间的大小关系是()

A.m>n B.m

解析由绝对值不等式的性质,知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.

∴≤1≤.∴m≤n.

答案D

4.若|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是 ()

A.|a+b|+|a-b|>2 B.|a+b|+|a-b|<2

C.|a+b|+|a-b|=2 D.不确定

解析当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2;当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2,综上有|a+b|+|a-b|<2.

答案B

5.若关于x的不等式|x|+|x-1|

A.[-1,1] B.(-1,1) C.(-∞,1] D.(-∞,1)

解析∵|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,

∴若关于x的不等式|x|+|x-1|

答案C

6.若a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2,则|a+b|的最大值是,最小值是.

解析因为|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,所以1=3-2≤|a+b|≤3+2=5.

答案51

7.若不等式|x-4|-|x-3|≤a对一切x∈R恒成立,则实数a的取值X围是.