2020版数学人教A版必修5课件：第三章 3.4 第2课时 基本不等式的应用

1 3.4 基本不等式：ab≤a＋b2 第2课时 基本不等式的应用

A级 基础巩固

一、选择题

1．若x＞0，则函数y＝－x－1x( )

A．有最大值－2 B．有最小值－2

C．有最大值2 D．有最小值2

解析：因为x＞0，所以x＋1x≥2.

所以－x－1x≤－2.当且仅当x＝1时，等号成立，故函数y＝－x－1x有最大值－2.

答案：A

2．下列命题正确的是( )

A．函数y＝x＋1x的最小值为2

B．若a，b∈R且ab>0，则ba＋ab≥2

C．函数x2＋2＋1x2＋2的最小值为2

D．函数y＝2－3x－4x的最小值为2－43

解析：A错误，当x<0时或≠1时不成立；B正确，因为ab>0，所以ba>0，ab>0，且ba＋ab≥2；C错误，若运用基本不等式，需x2＋22＝1，x2＝－1无实数解；D错误，y＝2－(3x＋4x)≤2－43.

答案：B

3．lg 9·lg 11与1的大小关系是( )

A．lg 9·lg 11＞1 B．lg 9·lg 11＝1

C．lg 9·lg 11＜1 D．不能确定

解析：lg 9×lg 11≤lg 9＋lg 1122＝lg 9922＜lg 10022＝222＝1.

答案：C 2 4．已知a，b∈R，且a＋b＝1，则ab＋1ab的最小值为( )

A．2 B.52 C.174 D．22

答案：C

5．已知a＝(x－1，2)，b＝(4，y)(x，y为正数)，若a⊥b，则xy的最大值是( )

A.12 B．－12

C．1 D．－1

解析：因为a⊥b，则a·b＝0，

所以4(x－1)＋2y＝0，所以2x＋y＝2，

所以xy＝12(2x)·y≤12·222＝12，

当且仅当2x＝y时，等号成立．

答案：A

二、填空题

6．设x>－1，则函数y＝（x＋5）（x＋2）x＋1的最小值是________．

小初高试卷教案类

K12小学初中高中 3.4.2 基本不等式的应用（一）

项目 内容

课题 3.4.2 基本不等式2baab的应用 修改与创新

教学

目标 一、知识与技能

1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式2baab；

2.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路；

3.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达

二、过程与方法

1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；

3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣

三、情感态度与价值观

1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验不等式的证明过程需要从理性的角度去思考，通过设置思考项，让学生探究，层层铺设，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；

2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；

3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣

教学重、 教学重点

1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式 小初高试卷教案类

K12小学初中高中 难点

2baab；

2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达；

3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路

教学难点

1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式2baab；

2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达；

3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路

教学

准备 投影仪、胶片、三角板、刻度尺

教学过程

导入新课

师 前一节课，我们通过问题背景，抽象出了不等式a2+b2≥2ab(a、b∈R)，然后以数形结合思想为指导，从代数、几何两个背景推导出基本不等式2baab.本节课，我们将利用基本不等式2baab 来尝试证明一些简单的不等式

第三章 不等式

本章概览

三维目标

1.在具体的情境中会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题,理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值.掌握不等式性质的简单应用,了解比较两个实数(代数式)大小的数学思维过程.

2.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间的关系,能借助二次函数图象解一元二次不等式,并会解简单的分式不等式,会应用函数与方程、不等式之间的关系解决一些问题.了解二元一次不等式(组)的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式(组),并能够画出图形,能从实际问题中抽象出二元一次不等式组.知道线性规划的意义,能正确地利用图解法中的求解程序解决线性规划问题,能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.

3.了解基本不等式的证明过程,并能用数形结合的思想来理解基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.

4.经历从实际情境中抽象出不等式模型的过程,体会不等式、方程以及函数之间的联系;探索并了解均值不等式的证明过程,体验均值不等式在实际中的应用.

5.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系;体会不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值;体会线性规划的基本思想,借助几何直观解决一些简单的线性规划问题;通过实例,体验数学与日常生活的联系,感受数学的实用价值,增强应用意识,提高实践能力;根据自己的生活经验发现并提出问题,采取多种合作方式,从不同的角度、层次探索解决的方法,从而获得综合运用知识和方法解决实际问题的经验,发展创新意识.

知识网络

[学习目标]1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．

知识点一基本不等式求最值

1．理论依据：

(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为s24.

(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2p.

2．基本不等式求最值的条件：

(1)x，y必须是正数；

(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．

(3)等号成立的条件是否满足．

3．利用基本不等式求最值需注意的问题：

(1)各数(或式)均为正．

(2)和或积为定值．

(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．

(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．

知识点二基本不等式在实际中的应用

基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论．

题型一利用基本不等式求最值

例1(1)已知x≥52，则f(x)＝x2－4x＋52x－4有()

A．最大值54B．最小值54

C．最大值1D．最小值1

(2)已知t＞0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为____．

(3)已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为____．

答案(1)D(2)－2(3)3

解析(1)f(x)＝x2－4x＋52x－4＝（x－2）2＋12（x－2）

＝12（x－2）＋1x－2≥1.

当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时，等号成立．

(2)y＝t2＋1－4tt＝t＋1t－4≥2－4＝－2，

当且仅当t＝1t，即t＝1或t＝－1(舍)时，等号成立，