下载文档原格式
灰色关联度评价模型一、介绍1.1 任务概述灰色关联度评价模型是一种用于分析多因素相互关联度的方法。
该模型通过对不同因素之间的数据进行比较和分析，来确定它们之间的相似性和相关性程度。
灰色关联度评价模型广泛应用于各种领域，如经济、环境、工程等，旨在帮助决策者做出科学合理的决策。
1.2 灰色关联度评价模型的起源灰色关联度评价模型最早由中国科学家李四光在上世纪六十年代提出。
当时，他面临的问题是如何评估不同因素对灌区水资源分配的影响程度。
他发现，传统的因子分析方法往往无法很好地处理多因素之间的关联关系。
因此，李四光提出了灰色关联度评价模型，通过对因素之间的相关数据进行处理和比较，得出相应的关联度指标，从而解决了他所面临的问题。
二、灰色关联度评价模型的应用2.1 经济领域灰色关联度评价模型在经济领域的应用非常广泛。
例如，在市场营销中，可以利用灰色关联度评价模型来确定不同市场因素对产品销售的影响程度。
这有助于企业合理调整营销策略，提高产品销售额。
另外，灰色关联度评价模型也可以用于股票市场的决策分析。
通过对不同因素与股票价格的关联程度进行评估，投资者可以更好地把握市场走势，做出明智的投资决策。
2.2 环境领域在环境领域，灰色关联度评价模型可以用于评估不同因素对环境污染程度的影响。
例如，在大气污染控制中，可以利用灰色关联度评价模型来确定不同因素（如工业排放、交通排放等）对空气污染的影响程度，从而制定出相应的减排措施。
此外，灰色关联度评价模型还可以应用于评估水质和土壤质量。
通过对不同因素与水质或土壤质量的关联度进行评估，环保部门可以及时采取相应的污染治理措施，保护环境和人民的健康。
三、灰色关联度评价模型的基本原理灰色关联度评价模型的基本原理是通过对因素数据进行标准化和比较，来确定它们之间的相似性和相关性程度。
具体而言，该模型主要包括以下几个步骤：3.1 数据标准化首先，需要对因素数据进行标准化处理。
标准化的目的是消除不同数据之间的量纲和数量级的差异，使得它们可以进行有效的比较和分析。
对灰色关联度计算方法的改进■曹明霞党耀国张蓉陆建峰计算方法记折线００一、引言在系统分析中，为了研究系统的结构和功能，就要建立适当的数学模型去描述系统。
而这样做时，首要的工作就是要分析各种因素间的关系，找出系统的主要特征及主要关系，为分析研究提供必要的基础。
灰色系统理论提出了灰色关联分析方法，自提出以来，众多学者就自己对灰色关联度的实质的理解而提出了不同的量化模型。
就目前的情况来看，主要有以下的几种计算模型：邓氏关联度、Ｔ型关联度、斜率关联度、Ｂ型关联度、广义灰色关联度、灰色Ｃ型关联度、欧几里德关联度等。
灰色关联分析方法是灰色系统理论中一个重要的组成部分，其基本思想是根据数据序列曲线的相似程度来判别因素间的关联程度，即曲线形状越相似，其关联度越大，否则越小。
所以关联度的合理计算显得非常重要，然而目前有关关联度的各种计算方法中存在如下的欠缺。
（１）不具有规范性。
这里的规范性是指：０＜γ≤１且γｉ＝１当且仅当Ｘｉ（ｋ）＝Ｘ０（ｋ）轻的程度。
（６）当Ｘｉ围绕Ｘ０摆动时，且Ｘｉ位于００（ｘｉ（１）－ｘｉ（１），ｘｉ（２）－ｘｉ（１），…，ｘｉ（ｎ）－ｘｉ（１））为Ｘｉ。
令ｓｉ＝Ｘ０之上部分的面积与位于之下的面积相等时，ε０ｉ＝１。
这样，就不能正确地反映曲线相似的实质。
二、改进的灰色绝对关联度的计算以及灰关联空间的定义目前提出的几种主要的灰关联度计算模型中存在着某种欠缺，主要是因为灰色关联理论体系不是很完备，因此有必要重新定义曲线的相似性及灰色关联空间。
既然灰关联度是通过数据序列的几何关系的相似程度来度量的，我们首先要准确地给出曲线相似的定义，并且要充分地利用曲线相似这一点来给定一个比较合理的灰色关联度的计算公式，计算灰色关联度的前提条件是我们定义的灰关联映射应满足对称性。
设系统行为数据序列为０#Ｘｄｔｎ０ｉｌ（ｉ＝０，１，２，…，ｍ），则（１）当Ｘｉ为增长序列时，ｓｉ≥０；（２）当Ｘｉ为衰减序列时，ｓｉ≤０；（３）当Ｘｉ为振荡序列时，ｓｉ符号不定。
灰色关联分析模型及其应用的研究第一章绪论1.1 研究背景灰色关联分析模型是一种基于灰色系统理论的数据分析方法，它可以用于研究不确定性较大的系统，对于解决复杂问题具有重要意义。
随着信息技术的不断发展和应用，灰色关联分析模型在各个领域得到了广泛应用。
1.2 研究意义灰色关联分析模型可以对复杂系统进行综合评价和决策支持，帮助我们更好地了解系统的内在规律和特征。
在工程领域中，它可以用于预测和优化设计；在经济领域中，它可以用于市场预测和经济决策；在环境保护领域中，它可以用于环境评价和污染治理等。
1.3 研究内容本文主要研究了灰色关联分析模型及其应用。
具体内容包括：对灰色系统理论进行介绍；对灰色关联分析模型进行详细阐述；探讨了该模型在不同领域中的应用案例，并进行了实证分析。
第二章灰色系统理论2.1 灰色系统理论的概念灰色系统理论是灰色关联分析模型的理论基础，它是对不确定性系统进行建模和分析的一种方法。
灰色系统理论主要包括灰色数学和灰色关联分析。
2.2 灰色数学灰色数学是一种将确定性和不确定性相结合的数学方法，它主要包括建模方法、预测方法和决策方法。
通过对数据进行建模，可以得到系统的动态特性和规律。
2.3 灰色关联分析灰色关联分析是一种通过计算数据之间的关联度来评估系统状态、预测未来发展趋势或进行决策支持的方法。
它主要通过计算数据序列之间的相似度来评价其相关程度。
第三章灰色关联分析模型3.1 模型基本原理灰色关联分析模型基于相似度原则，通过计算数据序列之间的相似程度来评价其相关程度。
它可以将多个指标或因素进行综合评价，并得到各个指标或因素对综合评价结果的贡献程度。
3.2 模型构建步骤构建灰色关联分析模型主要包括选择指标、数据标准化、关联度计算和综合评价等步骤。
在选择指标时，需要考虑指标的重要性和可行性；在数据标准化时，需要对不同指标的数据进行统一处理；在关联度计算时，可以采用灰色关联度和灰色关联度函数等方法；在综合评价时，可以采用加权平均法或加权几何平均法等方法。
作者： 崔杰[1,2]
作者机构： [1]南京航空航天大学经济与管理学院,南京210016;[2]淮阴工学院经济管理学院,江苏淮安223001
出版物刊名： 统计与决策
页码： 4-6页
主题词： 灰色系统;灰色关联分析;点关联系数;灰色关联度
摘要：灰色关联理论是灰色系统理论的一个重要组成部分，也是灰色决策与灰色聚类的基础。
文章在对灰色关联公理和已有的灰色关联度模型研究的基础上，提出了点关联系数序列稳定度的概念；并在此基础上对已有的灰色关联度计算模型进行了修正，得到了一种改进后的灰色关联度模型。
该模型可以有效地解决点关联系数具有显著差异条件下关联度排序问题。
实例表明该模型计算简单，具有良好的应用性。
股票投资价值灰色系统模型及应用【摘要】本文旨在探讨股票投资价值灰色系统模型及其应用。
首先介绍了灰色系统理论的基本概念，然后详细解析了股票投资价值分析方法。
接着分析了灰色系统在股票投资中的应用，并提出了股票投资价值灰色系统模型。
通过实证分析和结果讨论，验证了该模型的有效性。
总结了股票投资价值灰色系统模型的有效性，探讨了未来的发展方向，并对研究结论进行了总结。
本文旨在为股票投资者提供一种新的分析方法，帮助他们更准确地评估股票的价值，提高投资的成功率和效益。
【关键词】股票投资、灰色系统、模型、应用、价值分析、理论、实证分析、结果讨论、有效性、未来发展方向、结论总结1. 引言1.1 股票投资价值灰色系统模型及应用本文通过对灰色系统理论的概述，股票投资价值分析方法的介绍，以及灰色系统在股票投资中的具体应用等内容的探讨，将展示股票投资价值灰色系统模型的构建过程和实际运用情况。
通过实证分析与结果讨论，我们将评价该模型的有效性，并在结尾部分探讨未来发展方向。
通过对股票投资价值灰色系统模型及应用的研究，我们希望为投资者提供更科学、更准确的投资决策方法，同时也推动灰色系统理论在股票投资领域的深入应用和发展。
2. 正文2.1 灰色系统理论概述灰色系统理论是由中国科学家梁元河教授于1982年首次提出的一种非确定性系统理论。
灰色系统理论是研究不确定性和部分信息的系统理论，它适用于数据不完备和不确定性分布不均的情况下的建模和预测。
灰色系统理论的主要特点是能够处理非线性、非稳定、非均匀和非完备的信息，使得原本难以分析的问题得以有效处理。
在灰色系统理论中，将数据分为已知和未知两部分，已知部分称为白色数据，未知部分称为灰色数据。
通过对灰色数据进行处理和建模，可以揭示数据的内在规律和趋势，从而实现对未知信息的预测和分析。
灰色系统理论已被广泛应用于各个领域，包括经济管理、环境保护、医学科研等。
在股票投资领域，灰色系统理论也具有重要的应用价值。
灰色预测模型的缺陷及改进方法
缺陷：
（1）灰色预测模型假设系统中所有变量间都是线性关系，而实际情况往往不是这样；
（2）灰色预测模型假设现在及未来系统内部状态和变化趋势都相同，但这在实际应用中往往不成立；
（3）灰色预测模型忽略了外部因素的影响，往往无法准确反映真实情况。
改进方法：
（1）基于更多实际因素采用多元回归分析方法进行预测。
（2）结合时间序列分析方法和灰色预测模型，将外部因素的影响加入计算模型中，更准确的反映实际情况。
（3）开展更大规模的灰色预测实验，结合后续实证研究，增加数据的支持，提高准确率。
基于改进CRITIC权的灰色关联评价模型及其应用
王磊;高茂庭
【期刊名称】《现代计算机（专业版）》
【年(卷),期】2016(000)023
【摘要】为了改进灰色关联分析模型评价精度低的缺点,将CRITIC算法与灰色关联分析方法相结合,并根据实际,建立起基于改进CRITIC权的灰色关联分析评价模型.采用CRITIC法确定指标权重,不仅克服传统灰色关联分析中多采用主观赋权法的不确定性,而且与常用客观赋权法相比,CRITIC在考虑指标变异性大小的同时兼顾指标之间的相关性,因而更具客观性.模型在城市雨水资源开发利用潜力综合评价中的分析结果表明:将CRITIC理论引入到灰色关联分析模型中是科学的,所建立的模型是合理的,能够提高灰色关联分析模型的评价精度.
【总页数】6页(P7-12)
【作者】王磊;高茂庭
【作者单位】上海海事大学信息工程学院,上海201306;上海海事大学信息工程学院,上海201306
【正文语种】中文
【相关文献】
1.基于熵权的改进灰色关联度分析在县域经济竞争力评价中的应用 [J], 任红松;陈宝峰;黄润
2.基于改进CRITIC-GGI-VIKOR的工业发展绿色度动态评价模型构建及其应用研究 [J], 傅为忠;陈文静
3.基于改进熵权的属性综合评价模型在雷达BIT测试性能评估中的应用 [J], 张晔;吴坤;张芳;姜新亮
4.基于改进CRITIC权的灰色关联评价模型及其应用 [J], 王磊;高茂庭
5.基于改进熵权的灰色关联模型在湿地水质综合评价中的应用 [J], 侯保灯;李佳蕾;潘妮;梁川
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
基于灰色关联分析的几种决策方法及其应用一、本文概述本文旨在深入探讨基于灰色关联分析的几种决策方法及其应用。
灰色关联分析，作为一种有效的系统分析方法，已广泛应用于多个领域，尤其在处理信息不完全、不确定、不精确的复杂系统问题时表现出色。
本文首先概述了灰色关联分析的基本理论，包括其起源、基本原理和计算步骤。
随后，本文详细介绍了几种基于灰色关联分析的决策方法，包括灰色关联决策、灰色聚类决策和灰色动态规划决策等。
这些方法不仅为决策者提供了新的视角和工具，而且在实践中得到了广泛的应用。
在应用领域方面，本文重点介绍了灰色关联分析在经济管理、生态环境、工程技术等领域的应用案例。
这些案例不仅展示了灰色关联分析在实际问题中的有效性和实用性，同时也为其他领域的研究者提供了有益的参考和启示。
本文总结了基于灰色关联分析的决策方法的主要优点和局限性，并对未来的研究方向进行了展望。
随着科技的进步和研究的深入，相信灰色关联分析将在更多领域发挥重要作用，为决策者提供更加科学、合理的决策支持。
二、灰色关联分析理论基础灰色关联分析是一种基于灰色系统理论的决策分析方法，它通过对系统内部因素之间发展趋势的相似或相异程度进行量化描述，揭示系统内部因素间的关联性和主导因素。
这种方法尤其适用于数据样本少、信息不完全的复杂系统。
灰色关联分析的理论基础主要包括灰色关联度、灰色关联矩阵和灰色关联模型。
灰色关联度是描述系统内部因素之间关联性强弱的量化指标，它反映了因素间发展趋势的相似程度。
灰色关联矩阵则是一个由灰色关联度组成的矩阵，用于全面描述系统内部各因素之间的关联性。
灰色关联模型则是基于灰色关联度和灰色关联矩阵建立的数学模型，用于分析系统内部因素间的动态关联关系。
在灰色关联分析中，常用的计算灰色关联度的方法有绝对值关联度、斜率关联度和综合关联度等。
绝对值关联度通过比较因素间绝对值差异的大小来量化关联性；斜率关联度则通过比较因素间变化趋势的斜率来量化关联性；综合关联度则是综合考虑绝对值差异和斜率差异来量化关联性。
《灰色GM（1,1）模型的优化及其应用》篇一一、引言灰色系统理论是一种研究信息不完全、数据不精确的系统的理论。
其中，灰色GM（1,1）模型是灰色系统理论中最为重要和常用的预测模型之一。
该模型通过累加生成序列和一次微分方程进行建模，具有较高的预测精度和实用性。
然而，传统的灰色GM（1,1）模型在某些情况下仍存在模型参数不够准确、预测精度不高等问题。
因此，对灰色GM（1,1）模型进行优化及其应用的研究具有重要意义。
本文将首先介绍灰色GM（1,1）模型的基本原理，然后探讨其优化方法，并最后分析其在不同领域的应用。
二、灰色GM（1,1）模型的基本原理灰色GM（1,1）模型是一种基于微分方程的预测模型，主要用于处理小样本、不完全信息的数据。
该模型通过累加生成序列和一次微分方程进行建模，将原始数据序列转化为微分方程的形式，从而进行预测。
其基本步骤包括：数据累加、建立微分方程、求解微分方程、模型检验等。
三、灰色GM（1,1）模型的优化针对传统灰色GM（1,1）模型的不足，学者们提出了多种优化方法。
其中，基于数据预处理、模型参数优化和预测结果修正的优化方法较为常见。
1. 数据预处理：通过对原始数据进行处理，如去趋势、归一化等，以提高模型的适应性和预测精度。
2. 模型参数优化：通过引入其他因素或变量，如时间序列的波动性、随机性等，对模型参数进行优化，提高模型的预测精度。
3. 预测结果修正：通过对预测结果进行修正，如引入专家知识、其他预测方法的结果等，进一步提高预测精度。
四、灰色GM（1,1）模型的应用灰色GM（1,1）模型在各个领域都有广泛的应用。
下面以几个典型领域为例，介绍其应用。
1. 经济学领域：灰色GM（1,1）模型可以用于预测经济增长、股市走势等经济指标，为经济决策提供参考。
2. 农业领域：灰色GM（1,1）模型可以用于预测农作物产量、农业气候等指标，为农业生产提供指导。
3. 医学领域：灰色GM（1,1）模型可以用于预测疾病发病率、死亡率等指标，为医学研究和卫生政策制定提供参考。
灰色关联分析是一种比较常用的关联聚类方法，它适用于许多领域并具有重要作用。
下面将分别从灰色关联聚类的适用范围和作用两个方面进行详细阐述。
一、灰色关联聚类的适用范围1. 工程领域工程领域中经常需要对各种数据进行聚类分析，例如在工程设备状态监测中，可以利用灰色关联聚类方法对设备运行数据进行分析，找出设备的运行规律和潜在故障。
2. 经济管理领域在经济管理领域，灰色关联聚类方法被广泛应用于市场分析、企业绩效评估、人才选拔等方面。
通过对各种经济数据进行关联分析，可以帮助决策者更好地把握市场趋势和企业发展方向。
3. 医疗健康领域在医疗健康领域，灰色关联聚类方法可以用于病症分析、病因诊断、药物疗效评估等方面。
通过对患者的临床数据进行聚类分析，可以帮助医生更准确地诊断和治疗疾病。
4. 社会科学领域在社会科学领域，人们对各种社会现象进行研究时，往往需要对大量的数据进行分析和分类。
灰色关联聚类方法可以帮助研究者更好地理清数据之间的关系，挖掘出隐藏在数据背后的规律和特征。
二、灰色关联聚类的作用1. 数据挖掘与知识发现灰色关联聚类方法可以帮助人们从海量数据中挖掘出有用的信息和知识，发现数据之间的内在通联和规律，为决策提供参考依据。
2. 问题诊断与预测在工程、医疗等领域，灰色关联聚类方法可以帮助人们对问题进行诊断和预测，及时发现潜在问题并采取相应措施。
3. 决策支持与优化针对复杂的决策问题，灰色关联聚类方法可以帮助决策者分析各种可能的因素，并进行综合评估和优化，提高决策的科学性和准确性。
4. 过程监控与质量改进在生产制造等领域，灰色关联聚类方法可以帮助企业监控生产过程中的各种数据，及时发现潜在问题并进行质量改进，提高产品的质量和生产效率。
灰色关联聚类方法具有广泛的适用范围和重要的作用，在实际应用中可以帮助人们更好地理清数据的关系，挖掘出数据背后的规律和特征，为各种决策和问题解决提供科学依据。
希望通过对灰色关联聚类的适用范围和作用的简述，能够使读者对这一方法有更全面的了解，并在实际应用中取得更好的效果。
灰色关联度分析模型的特点与具体运用-应用数学论文-数学论文——文章均为WORD文档，下载后可直接编辑使用亦可打印——摘要：本文针对灰色关联模型进行分析, 通过分析得出灰色关联模型具有处理数据灵活的特点;并且灰色关联模型能应用于样本数量较少且关系为线性关系的系统分析。
关键词：灰色关联模型; 线性关系; 系统分析;引言在实际的工程设计与模型分析过程中，往往存在比较多的变量，而这些变量之间是否存在关系在很大程度上具有不确定性。
但是如果能够明确这些变量之间的关系，它们就会对工程设计以及系统分析起到理论的指导作用。
因此，将这些变量之间的关系以数学关联的方式进行表述是非常有意义的。
灰色关联度分析模型是目前较为常用的数学分析方法之一，其对描述变量关系具有重要意义。
目前，该模型已经被广泛应用，如文献[1]中利用灰色关联模型对六个苜蓿品种在某地的环境适应特性进行分析，得到了较好的结果；文献[2]利用灰色关联模型进行水质评价，也收到了不错的效果；灰色关联模型还可以广泛地应用于经济、桥梁工程等各个领域[3,4,5]。
因此，对灰色关联模型进行分析与研究对技术发展具有重要意义。
一、灰色关联度分析模型特点(一) 处理数据灵活灰色关联度分析中的灰色主要表现为信息不完整和非唯一性，灰靶思想[6]是非唯一性的一个重要体现，即多目标，多途径，灵活处理数据。
在求解过程中，要求定性与定量相结合，从而得到一个或者多个满意的解。
(二) 标准不固定该模型具有广泛适用性。
灰色关联度分析法主要通过估计被评价对象和评价指标之间的差距，利用历史样本之间的关系去评价样本，从而达到排除模糊关系的效果。
灰色关联度分析的评价标准并不固定。
因此，其具有广泛适用性，能较好地适用于各个领域[7]。
二、灰色关联度分析模型的应用分析(一) 研究的样本数量不用过多灰色关联度分析是根据历史发展趋势来分析的。
因此，即使是小样本量也能很好地推算出来，比较精确，得到可靠的分布规律。
灰色预测GM模型的改进及应用一、本文概述灰色预测GM模型是一种基于灰色系统理论的预测方法，具有对样本数据量少、信息不完全的复杂系统进行有效预测的优势。
然而，传统的GM模型在处理某些实际问题时，可能会遇到预测精度不高、模型适应性不强等问题。
因此，本文旨在深入研究灰色预测GM模型的改进方法，以提高其预测精度和适应性，并探讨改进后的模型在各个领域的应用价值。
具体而言，本文首先将对灰色预测GM模型的基本原理和算法进行详细阐述，为后续研究提供理论基础。
然后，针对传统GM模型存在的问题，本文将从模型参数优化、数据预处理、模型结构改进等方面提出一系列改进措施，并通过实验验证其有效性。
在此基础上，本文将进一步探讨改进后的GM模型在经济管理、生态环境、社会发展等领域的实际应用，以展示其广泛的应用前景和实用价值。
本文旨在通过深入研究灰色预测GM模型的改进方法，提高其预测精度和适应性，推动灰色系统理论在实际问题中的应用，为相关领域的研究和实践提供有益参考。
二、灰色预测GM模型的基本理论灰色预测GM模型，简称GM模型，是灰色系统理论的重要组成部分。
灰色系统理论是由我国著名学者邓聚龙教授于1982年提出的，它主要用于解决信息不完全、数据不充分的“小样本”和“贫信息”问题。
GM模型以其独特的优势，在众多领域如经济预测、环境科学、工程技术等得到了广泛应用。
GM模型的基本思想是通过生成变换，将原始数据转化为规律性较强的生成数据，然后建立微分方程模型进行预测。
其核心步骤包括：数据累加生成：原始数据序列经过一次或多次累加生成，使原本杂乱无章的数据呈现出明显的规律性，这是灰色预测的关键步骤。
建立微分方程：基于累加生成的数据序列，建立一阶线性微分方程，该方程能够较好地描述数据序列的变化趋势。
还原预测值：通过还原操作，将微分方程求解得到的预测值还原为原始数据序列的预测值。
模型检验：对预测结果进行后验差检验或残差检验，以评估模型的预测精度和可靠性。
新型灰色关联分析模型的改进与拓展杨文光;吴云洁;王建敏【摘要】为了解决灰色相似关联度与接近关联度存在失准的缺陷, 提出了基于面积的新型灰色关联分析的改进模型.对于具有相同量纲的不同序列数据, 首先利用分段二次Lagrange插值建立它们的逼近函数, 进而对逼近函数进行始点零化操作, 然后分别计算以逼近函数曲线或其始点零化像与t=1, t=n所围图形面积, 最后得到相应序列数据的灰色相似关联度与接近关联度, 并研究了它们的性质.在具体计算所围图形面积时,采用了微元法与梯形法.算例计算结果表明, 本文所提出模型与方法是有效的, 客观反映了序列数据之间的相关性大小, 避免了计算失效的可能.%In order to solve the incorrectness defects of the similitude degree of grey incidence and the close degree of grey incidence, the improvement model of grey relational analysis model was proposed based on the area.For different sequence data with the same dimension, the approximation function was set up by using the piecewise quadratic Lagrange interpolation, and the approximation function was operated by zero starting point operator.Then the area was calculated between t=1, t=n and the approximation function curve or the image of zero starting point of them.Finally, the similitude degree of grey incidence and the close degree of grey incidence were obtained, and their properties were studied.In the concrete calculation around the figure area infinitesimal method could trapezoidal method could be used.The calculation results showed that, the proposed model and method were effective, which objectively reflectedthe correlation between the sizes of sequence data and avoided computing the possibility of failure.【期刊名称】《郑州大学学报（理学版）》【年(卷),期】2017(049)002【总页数】6页(P24-29)【关键词】灰色关联分析;相似性;接近性;分段二次Lagrange插值;梯形求积【作者】杨文光;吴云洁;王建敏【作者单位】华北科技学院基础部河北三河 065201;北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院北京 100191;北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院北京 100191;中国科学院空间应用工程与技术中心北京 100094【正文语种】中文【中图分类】C931灰色关联分析理论以研究“小样本，贫信息”的数据系列相关性大小为主要内容，为不确定性系统的建模、评价与决策提供了有利工具. 传统灰色关联分析模型是依据比较序列与参考序列的曲线几何相似程度进行度量的. 事实上，关联度大小不仅与曲线相似程度密切相关，也与曲线之间的接近程度紧密联系. 目前，不同学者从几何、积分、分数阶导数、插值等不同角度定义了多种不同的改进型灰色关联分析模型[1-7]. 文献[1]构建了绝对灰色关联度, 该模型满足偶对称性, 且计算相对简便. 文献[2]基于数据序列相似性与相近性视角构建了新型灰色关联分析模型，但该模型对于走势不一致的两组数据会出现灰色关联度为1的情况. 文献[3]指出关联度取值随分辨系数变化而变化，从而造成关联度取值唯一性不满足或关联度不满足对称性等问题. 文献[4]利用光滑性与逼近效果较好的三次样条插值函数逼近序列数据改进了灰色绝对关联度, 提高了逼近精度.文献[5]利用梯形求积法建立了序列数据折线面积基础上的灰色预测模型. 文献[6]采用Caputo型分数阶导数的记忆性改进灰色预测模型. 文献[7]提出了基于改进灰色关联度模型的综合一致性检验方法. 这些工作都促进了灰色系统理论的发展.灰色相似关联度与接近关联度是建立在两组序列数据所围图形面积基础之上的[2, 8]，但当两组序列数据存在振荡情况时表现的并不准确，当一组序列数据在另一组序列数据之上与之下的面积相等时，关联度为1. 本文将利用分段二次Lagrange 插值完成对序列数据的逼近，通过引入绝对值表示所围面积的改进型灰色相似关联度与灰色接近关联度模型.结合微元法与梯形法的计算，客观地反映序列数据的相似性与接近性.1.1 基于面积的灰色相似关联度与接近关联度的定义与计算定义1[2] 设系统第i组与第j组序列数据为Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n)),Xj=(xj(1),xj(2),…,xj(n))，它们的始点零化像分别为((1),(2),…,(n))，((1),(2),…,(n))，其中：i,j表示序列标号；(k)=xi(k)-xi(1),(k)=xj(k)-xj(1)，k=1,2,…,n，且n≥3.定义2 设fi(t)是第i组序列数据Xi的逼近函数, fj(t)是第j组序列数据Xj的逼近函数, t∈[1,n]， fi(t)与fj(t)的始点零化像分别为(t)与(t)，其中：(t)=fi(t)-fi(1)，(t)=fj(t)-fj(1)， fi(t)与fj(t)可以采用拟合或插值的方法对原始序列数据进行逼近. 当使用分段线性Lagrange插值逼近原始序列数据时会出现光滑性较差, 且精度不高的问题, 而三次样条插值又相对较复杂, 故为了简化计算, 提高计算精度, 下面采用分段二次Lagrange插值.定义3[9] 对于如定义1所给的第i组序列数据Xi，任取相邻节点k-1,k,k+1，以[k-1,k+1]作为插值区间构造分段二次Lagrange插值函数，其中：lk-1(t)；lk(t)=-(t-k+1)(t-k-1)；lk+1(t)，k=2,4,6,…，n,且n≥3.根据定义3整理出序列数据Xi,Xj的分段二次Lagrange插值函数的整体形式.当n≥3,且n=2g+1,g∈Z+时,当n≥4,且n=2g,g∈Z+时,其中为Xj在t∈[k-1,k+1]时的分段二次Lagrange插值函数, 插值基函数lk-1(t),lk(t),lk+1(t)定义同上, k=2,4,6,…，n,且n≥3.在得到分段二次Lagrange插值函数fi(t)与fj(t)的基础上,再按照定义2分别对fi(t)与fj(t)进行始点零化像操作后可以获得(t)与(t).定义4 设Δ，Δ，则称为序列数据Xi与Xj基于面积的灰色相似关联度,称为序列数据Xi与Xj基于面积的灰色接近关联度.注：Δsij表示(t)与(t)对应曲线与直线t=1,t=n所围图形的面积, ΔSij表示fi(t)与fj(t)对应曲线与直线t=1,t=n所围图形的面积.对于量纲相同的两组原始序列数据Xi与Xj，基于面积的灰色相似关联度αij可以表征Xi与Xj对应曲线的相似程度, Xi与Xj越相似, fi(t)与fj(t)也就越相似, 则(t)与(t)重合的可能性就越大, Δsij取值越接近于0, αij取值就越接近1.基于面积的灰色接近关联度βij可以表征Xi与Xj对应曲线的接近程度, Xi与Xj越接近, fi(t)与fj(t)也就越接近, 则ΔSij取值越接近于0, βij取值就越接近1.构建的基于面积的灰色相似关联度与接近关联度均充分考虑了原始序列数据在始点零化处理之前与之后各自在平面直角坐标系中所围封闭图形的面积大小的差异性. 对于定义4中的Δsij与ΔSij，用两种近似数值计算方法.1) 微元法其中Δt为采样步长.2) 梯形求积法(简称梯形法)Δ≈ΔΔt+ Δt，其中:Δt为采样步长, m=(n-1)/Δt.证明设Xi与Xj是如定义1所给出的两个不同序列数据, fi(t)与fj(t)是对应的分段二次Lagrange插值函数.a) 当始点零化像恒在的一侧时代入(9)即得公式(7).同理当fi(t)恒在fj(t)的一侧时, 使用梯形求积公式可证明公式(8).b) 当始点零化像与存在除(1,0)外的交点(1+k0Δt,x)时, 则存在某个k=k0，使得(1+k0Δt)=(1+k0Δt)=x，k=0,1,…,m，则其中:Δ为第k个小梯形的面积, k=0,1,…,m; k≠k0,k≠k0-1; m=(n-1)/Δt，Δt为采样步长; Δ,Δ为三角形面积.因为k≠k0,k≠k0-1时,又由=0，可知代入式(10)化简即得公式(7). 同理当fi(t)与fj(t)存在交点时, 使用梯形求积公式亦可证明公式(8).1.2 基于面积的灰色相似关联度与接近关联度的相关性质定理1 基于面积的灰色相似关联度为，与基于面积的灰色接近关联度，都满足邓氏灰色关联公理中的规范性、接近性与偶对称性.证明1) 规范性.显然Δsij≥0,ΔSij≥0，故0<αij≤1,0<βij≤1，当且仅当Δsij=0时，αij=1，ΔSij=0时，βij=1.2) 接近性.由1)可知，显然成立.3) 偶对称性.对于X={Xi,Xj}，显然有，Δsij=Δsji，，ΔSij=ΔSji，故αij=αji，βij=βji.定理2 在平面直角坐标系下, 当始点零化像恒在的一侧时, αij≈εij，当序列数据Xi恒在Xj的一侧时, βij≈ρij. 其中εij，ρij分别为文献[2]所定义的灰色相似关联度与灰色接近关联度,证明当始点零化像恒在的一侧时, 因((t)(t))(t)(t)≈Δsij，故αij≈εij.当序列数据Xi恒在Xj的一侧时, 因(xi(t)-xj(t))(t)-xj(t)≈ΔSij，故βij≈ρij.当始点零化像不恒在的一侧时, αij≠εij,当序列数据Xi不恒在Xj的一侧时, βij≠ρij. 当始点零化像恒在的一侧时, 实际计算中, 由于文献[2]采用了离散点计算, 步长为1, 产生较大误差. 对于存在交点的情况刘氏灰色相似关联度与接近关联度模型存在失准甚至错误.对于非1-时距序列可以采用相应变换转化为1-时距序列, 故假设下面讨论的均是1-时距序列[2], 并且要求序列数据的长度是一致的, 而当序列长度不一致时可以采用分层逐次均值填补空缺[2].例1 设序列数据X1=(x1(1),x1(2),…,x1(7))=(0.91,0.97,0.90,0.93,0.91,0.93,0.95)，X2=(x2(1),x2(2),…,x2(7))=(0.60,0.68,0.61,0.62,0.63,0.64,0.65)，X3=(x3(1),x3(2),…,x3(7))=(0.82,0.86,0.90,0.89,0.88,0.87,0.86)，X1,X2,X3均是1-时距序列, n=7，试求X2,X3与X1三者之间基于面积的灰色相似关联度α12,α13,α23与灰色接近关联度β12,β13,β23，要求给出与文献[2]方法、基于微元法的相似与接近关联度、基于梯形求积法的相似与接近关联度(简称梯形法)的对比结果.解 1) 由于n=7，故首先按照公式(1)，计算X1,X2,X3的分段二次Lagrange插值曲线得f1(t),f2(t),f3(t)，见图1.2) 计算f1(t),f2(t),f3(t)的始点零化像(t),(t),(t)，为了与其他方法进行对比, 也一并算出X1,X2,X3的始点零化像,,得,(t)=fi(t)-fi(1),i=1,2,3.((1),(2),…,(7))=(0,0.06,-0.01,0.02,0,0.02,0.04)，((1),(2),…,(7))=(0,0.08,0.01,0.02,0.03,0.04,0.05)，((1),(2),…,(7))=(0,0.04,0.08,0.07,0.06,0.05,0.04)，其中(t),(t),(t)是f1(t),f2(t),f3(t)的始点零化像, 也是,,的分段二次Lagrange插值曲线,如图2所示.3) 根据微元法与梯形法给定的公式分别计算Δsij,ΔSij.采用微元法由公式(5)计算Δsij，采样步长Δt=0.01,由公式(6)计算ΔSij，得Δs12≈0.104 8，Δs13≈0.266 1，Δs23≈0.215 6，ΔS12≈2.061 6，ΔS13≈0.419 3，ΔS23≈1.642 3.采用梯形求积法由公式(7)计算Δsij，由公式(8)计算ΔSi j，得4) 最后代入公式(3)和(4)计算出基于面积的灰色相似关联度与灰色接近关联度, 结合文献[2]的方法给出对序列数据两两比较的3种结果, 见表1.使用微元法得灰色相似关联度与灰色接近关联度为：使用梯形求积法得灰色相似关联度与灰色接近关联度为α12=0.905 1，α13=0.789 9，α23=0.822 7，β12=0.327 0，β13=0.705 1，β23=0.378 8.上述两种方法的计算结果表明, X1,X2,X3中的X1,X2最相似, X2,X3的相似程度次之, 而X1,X3的相似程度最低; X1,X3最接近, X2,X3的接近程度次之, 而X1,X2的接近程度最低.对于本算例, 三种方法给出的序列数据的相似程度和接近程度的排序是一致的.例2 设序列数据试给出X1,X2基于分段二次Lagrange插值微元法、梯形法与刘氏法的灰色相似关联度与接近关联度.解本算例的计算与上例是一样的, 采用上例相同的4步操作可得X1,X2基于分段二次Lagrange插值微元法、梯形法的结果，见表2. 显然,微元法和梯形法的结果是合理的,而刘氏法的结果是不合理的,因为差异较大数据的关联度是不可能取1的. 原序列数据与分段二次Lagrange插值曲线见图3.建立不同序列数据的分段二次Lagrange插值, 尽可能以一种简单的方式逼近序列数据,基于序列数据被逼近曲线与t=1,t=n所围的图形面积，构建了微元法与梯形法两种计算灰色相似关联度与灰色接近关联度的改进算法, 使得灰色关联度的计算更能反映数据间的几何位置关系. 改进模型克服了原有灰色相似关联度与接近关联度不能客观反映振荡序列相似性与接近性的弊端, 是对原有模型的有效拓展. 通过算例证明了本文所提出的基于面积的两种方法是有效的.当数据较多, 信息包含较多时, 基于分段二次Lagrange插值建立的逼近曲线将具有较高的逼近精度, 随之建立的灰色相似关联度与接近关联度模型也将具有较高的评估精度.【相关文献】[1] LIU S, FANG Z, LIN Y. A new definition for the degree of grey incidence[J]. Grey systems theory and application, 2005, 7(2): 8-18.[2] 刘思峰, 谢乃明, FORREST J. 基于相似性和接近性视角的新型灰色关联分析模型[J]. 系统工程理论与实践, 2010, 30(5): 881-887.[3] 刘勇, 刘思峰, FORREST J. 一种新的灰色绝对关联度模型及其应用[J]. 中国管理科学, 2010, 20(5): 173-177.[4] 陈勇明, 张明. 灰色样条绝对关联度模型[J]. 系统工程理论与实践, 2015, 35(5): 1304-1310.[5] 蒋诗泉, 刘思峰, 刘中侠, 等.基于面积的灰色关联决策模型[J]. 控制与决策, 2015, 30(4): 685-690.[6] 吴利丰, 刘思峰, 姚立根. 含Caputo型分数阶导数的灰色预测模型[J]. 系统工程理论与实践, 2015, 35(5): 1311-1316.[7] 胡玉伟, 马萍, 杨明, 等. 基于改进灰色关联分析的仿真数据综合一致性检验方法[J]. 北京理工大学学报(自然科学版), 2013, 33(7): 711-715.[8] 刘思峰, 杨英杰, 吴利丰, 等. 灰色系统理论及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2014.[9] 施吉林, 张宏伟, 金光日.计算机科学计算[M]. 北京: 高等教育出版社, 2005.。
