解决球问题的四大瞝

解决球问题的四大策略浙江 曾安雄一、突出球心球心是球的灵魂，抓住球心就抓住了球的位置，特别是当球与球相切或球与平面相切时，我们更应该通过球心和切点及球心的连线来构造多面体，使球问题转化为多面体问题来加以解决．例1（2004年全国高考卷Ⅱ四川、吉林等地）已知球O 的半径为1，AB C ，，三点都在球面上，且每两点间的球面距离为π2，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ） Ａ．13Ｃ．23分析：突出球心O 即可．由于三点AB C ，，在球面上，且每两点间的球面距离相等．故可构造正三棱锥求解．解：球心O 与AB C ，，三点构成正三棱锥O ABC -，如图所示， 已知1OA OB OC R ====，90AOB BOC AOC ∠=∠=∠= ，由此可得AO ⊥面BOC ．12B O C S =△，ABC S =△． 由A BOC O ABC V V --=，得h =．故选（Ｂ）． 评注：解有关球面距离的问题，最关键是突出球心，找出数量关系．二、展示大圆因为大圆的半径就是球的半径，所以我们可以把球的问题转化为圆的问题，使空间问题平面化．例2（2004年全国高考卷Ⅲ陕西、广西等地）用平面α截半径的为R 的球，如果球心到平面α的距离为2R ，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 ． 分析：只要画出截面及球的大圆，利用R 及r 的数量关系，即可求出小圆的半径r ．解：作出球的大圆截面图，如图所示，易得2r R =．故得316S S =小球表． 评注：展示大圆的特征图是将空间问题平面化的重要途径．对于球问题通常要抓住其特征Rt △（即球半径、小圆半径及圆心距构成的直角三角形）来解决．三、巧作截面解与球有关的截面问题通常要作出轴截面，即通过大圆的截面．例3 （2004年全国高考江苏卷）一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是（ ）Ａ．3100πcm 3Ｂ．3208πcm 3 Ｃ．3500πcm 3Ｄ．3cm 3分析：作过大圆的截面，则问题可迎刃而解． 解：画出截面图，作图所示，知球的半径5R =，求得500π3V =球，故选（Ｃ）．评注：解有关球的表面积和体积问题，最关键是画出截面图，转化为平面几何问题求出球半径R ．四、掌握规律在解决球问题时，除了以上几种方法外，还应掌握一定的规律．如长方体的外接规律：长方体的外接球直径2R 恰为其对角线长为2R 2R，即2R =．例4 （2001年北京春季高考题）已知球内接正方体的表面积为S ，那么球的体积等 于 ．解：设正方体的边长为a ，则有26a S =．又由性质有22(2)3R a =，故有R =由此求得34ππ324V R ==球．。

台球比赛中的解球技巧与应对策略在台球比赛中，解球技巧是非常重要的，它决定了球员在比赛中的进攻和防守策略。

本文将介绍一些常用的解球技巧和应对策略，帮助球员在比赛中取得胜利。

一、解球技巧1. 中袋解球：中袋解球是一种常见的解球技巧，适用于球落在中袋附近的情况。

球员需要选取一定的杆头位置，斜射撞击被解球球的顶点，使被解球球按照预定轨迹进袋。

2. 粘球解球：粘球解球适用于球员想要尽量保持解球球的位置不变的情况。

球员需要选择较轻的杆头，用较小的力度撞击球，使解球球滚动的距离尽量小。

3. 绕过障碍球的解球：有时候解球球周围有一些障碍球，球员需要巧妙地绕过这些障碍球。

解决这个问题的技巧是使用侧旋，改变解球球的路径，使其绕过障碍球并进袋。

4. 巧妙借壁解球：当解球球距离袋口较远时，球员可以巧妙地利用边壁来解球。

他们需要选择合适的角度和力度，使解球球正确撞击边壁后进袋。

二、应对策略1. 攻守兼备：在比赛中，球员需要灵活运用进攻和防守策略。

当解球球位置较好时，他们可以选择进攻策略，争取一次性将多个球进袋。

而当解球球位置较差时，他们需要采取防守策略，尽量将解球球位置放在不利于对手进攻的地方。

2. 观察对手：在比赛中，观察对手的解球技巧和策略非常重要。

球员需要细心观察对手的解球动作和球的跑位，以便调整自己的策略，避免对手取得优势。

3. 调整杆头位置：解球时，球员需要根据球的位置和撞击方式来调整杆头位置。

他们可以选择高位、低位或中位的杆头位置，以确保解球球按照预定轨迹进袋。

4. 注意力集中：台球比赛需要球员保持高度集中的注意力。

他们需要时刻关注球的位置和撞击力度，以便做出正确的解球决策。

总结：台球比赛中的解球技巧和应对策略对于球员取得胜利至关重要。

球员需要熟练掌握各种解球技巧，并灵活运用进攻和防守策略。

同时，他们需要观察对手、调整杆头位置和保持注意力集中。

只有经过不断的练习和磨练，球员才能在台球比赛中取得好成绩。

Җ㊀湖北㊀马云飞㊀㊀笔者认为在简单几何体中球最完美,其结构较为简单,但由球引发的立体几何问题却不简单,尤其是与球有关的 切㊁接 问题,常常使人摸不到头脑．其实万事万物都有规律,抓住规律方可顺利解决问题．球的问题也是如此,那么破解球的问题,我们该抓住哪些要素,采取何种策略?１㊀抓住球心做任何事情,最关键的是抓住主要矛盾．对于球的问题,抓住主要矛盾就是要抓住球心,抓住球心就抓住了球的位置,尤其是一类与球有关的相切或相接问题,通常要抓住球心和有关的切点或者连接点,利用它们来构造多面体,把曲面问题转化为多面体的平面问题来解决．例１㊀已知球O 的半径为１,球面上有A ,B ,C 三点,且每两点间的球面距离都是π２,那么球心O 到平面A B C 的距离是．解答本题应抓住球心O 与A ,B ,C 三点之间的关系．由于A ,B ,C 都在球面上,并且它们两点间的球面距离都一样,故可尝试通过构造正三棱锥来求解．球心O 与A ,B ,C 三点构成正三棱锥O ＧA B C ,如图１图１已知O A ＝O B ＝O C ＝R ＝１,øA O B ＝øB O C ＝øA OC ＝９０ʎ,由此可得A O ʅ平面B O C ．S әB O C ＝１２,S әA B C ＝３２．由V A ＧB O C ＝V O ＧA B C ,得h ＝３３,即球心O 到平面A B C 的距离是３３．求解有关球面距离的问题,关键是抓住球心,从球心出发找出数量关系．本题中的球心就是正三棱锥O ＧA B C 的顶点,抓住了这个特征就可以把球心O 到平面A B C 的距离转化为正三棱锥O ＧA B C 底面A B C 上的高．２㊀展示大圆过球心的截面面积最大,该圆被称为球的大圆,大圆的半径就是球的半径．求解有些球的问题,往往需要利用大圆把立体几何问题平面化．例２㊀如果半径为R 的球被平面α所截,该球的球心到平面α的距离是球的半径的一半,那么将平面α上截面小圆的面积与球的表面积作比,这个比值是．㊀㊀图２如图２所示,画出截面和球的大圆,再揭示R 与r 之间的数量关系,就可求出r ．利用勾股定理可得r ＝３２R ,于是平面α上截面小圆的面积与球的表面积的比值是３１６．将立体图形转化为平面图形,必须抓住立体图形中的主要元素,如球心㊁大圆和截面上的小圆等,进而利用球半径㊁小圆半径和圆心距组成直角三角形的特征来解决相关问题．３㊀巧作截面立体几何问题最终都是在平面中解决的,与球有关的截面问题通常要作出球的轴截面,利用这个轴截面可以求出大圆的半径㊁小圆的半径,还可求出大圆与小圆所在的两个平行平面之间的距离．图３例３㊀用一个平面去截一个球,得到了一个直径是６c m 的圆面,且知该球的球心到这个截面的距离是４c m ,那么这个球的体积是．作过大圆的截面,且此截面与已知平面平行,则可求出球的半径．作出如图３所示的截１面图,易知该球的半径,于是可利用球的体积公式求得V 球＝５００３πc m ３．与球的表面积或体积有关的问题,准确画出截面图很关键,因为利用截面图可将原问题转化为平面几何问题,依据勾股定理能直接求出球的半径R ．４㊀掌握规律任何事物的发展都是有规律可循的,求解球的问题除了掌握以上几种方法外,我们还应掌握一定的规律或结论．例如,长方体外接球的直径２R 恰为长方体对角线的长a ２＋b ２＋c ２,即２R ＝a ２＋b ２＋c ２．特别地,正方体外接球的直径等于正方体对角线的长,即２R ＝３a ．例４㊀(１)如果一个正方体的八个顶点都在同一个球面上,且该正方体的表面积为S ,那么这个正方体外接球的体积等于．(２)如果一个正四面体内含一个内切球,正四面体的表面积是S １,内切球的表面积是S ２,那么S １S ２＝．(１)设正方体的边长为a ,则６a ２＝S ．又由(２R )２＝３a ２,得R ＝S８．由此求得V 球＝４３πR ３＝S ２S ２４π．(２)设正四面体棱长为a ,则正四面体表面积S １＝４ ３４ a ２＝３a ２,其内切球半径为正四面体高的１４,即r ＝１４ ６３a ＝６１２a ,因此内切球的表面积S ２＝４πr ２＝πa ２６,则S １S ２＝３a ２πa ２６＝６３π．在考试中,与球有关的问题一般以客观题的形式出现,因此记住一些常用规律或结论可减少思维量,还可以提高计算的准确率．兵来将挡,水来土掩．与球有关的问题虽然灵活多变,具有一定难度,但我们只要掌握了上述四种策略,就可化难为易㊁化繁为简．(作者单位:湖北省孝感市云梦县黄香高级中学)Җ㊀甘肃㊀曾㊀霞㊀㊀基本不等式a ＋b ２ȡa b 成立的前提条件是a ＞０,b ＞０,常用变形式有a ＋b ȡ２a b 和a b ɤ(a ＋b２)２,取等号的条件是当且仅当a ＝b ．在求解有关代数式或函数的最小值问题时,若能灵活运用基本不等式及其变式,往往可获得巧思妙解．１㊀关注常见解题误区,有利于借 误 导 悟 例１㊀已知x ＞０,y ＞０,且x ＋y ＝４,求１x ＋４y的最小值．错解㊀因为４＝x ＋y ȡ２x y ,则x y ɤ２,所以１x ＋４y ȡ２１x ４y ＝４x y ȡ４２＝２,则１x ＋４y 的最小值为２．剖析㊀在x y ɤ２中,当且仅当x ＝y ＝２时,不等式取等号,而在１x ＋４y ȡ２１x ４y中,当且仅当１x ＝４y ,即y ＝４x ＝１６５时,不等式取等号．因此,在传递之后所得到的不等式１x ＋４yȡ２中的等号就取不到,故２不是１x ＋４y的最小值．正解㊀因为１x ＋４y ＝１４ˑ４(１x ＋４y)＝１４(x ＋y )(１x ＋４y )＝１４(５＋y x ＋４xy)ȡ１４(５＋２y x ４x y )＝９４,当且仅当y x ＝４x y ,即y ＝２x ＝８３时,不等式取等号．综上,１x ＋４y 的最小值为９４．通过 多次放缩 探求最小值时,必须具体分析每次放缩时不等式中的 等号 能否同时取到．２。

小升初数学精讲：称球问题[专题介绍]称球问题是一类传统的趣味数学问题，它锤炼着一代又一代人的智力，历久不衰。

下面几道称球趣题，请你先认真考虑一番，然后再阅读解答，想来你一定会有所收成。

[经典例题]例1.有4堆外表上一样的球，每堆4个。

已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。

解：依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆确实是次品球。

例2.有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次（不用砝码），把次品球找出来。

解：第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。

若天平不平稳，可找到较轻的一堆；若天平平稳，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。

第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在其中较轻的那一堆。

第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平稳，则较轻的确实是次品，若天平平稳，则剩下一个未称的确实是次品。

例3.把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出来。

解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。

把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则（1）若A=B，则A、B中差不多上正品，再称B、C。

如B=C，明显D中的那个球是次品；如B＞C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出2个球来称，便可得出结论。

如B＜C，仿照B＞C的情形也可得出结论。

（2）若A＞B，则C、D中差不多上正品，再称B、C，则有B=C，或B＜C（B＞C不可能，什么缘故？）如B=C，则次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2个球来称，便可得出结论；如B＜C，仿前也可得出结论。

课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。

小升初数学精讲：称球问题[专题介绍]称球问题是一类传统的趣味数学问题，它锻炼着一代又一代人的智力，历久不衰。

下面几道称球趣题，请你先仔细考虑一番，然后再阅读解答，想来你一定会有所收获。

[经典例题]例1.有4堆外表上一样的球，每堆4个。

已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。

解：依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。

例2.有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次（不用砝码），把次品球找出来。

解：第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。

若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。

第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在其中较轻的那一堆。

第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。

例3.把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出来。

解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。

把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则（1）若A=B，则A、B中都是正品，再称B、C。

如B=C，显然D中的那个球是次品；如B＞C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出2个球来称，便可得出结论。

如B＜C，仿照B＞C的情况也可得出结论。

（2）若A＞B，则C、D中都是正品，再称B、C，则有B=C，或B＜C（B＞C不可能，为什么？）如B=C，则次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2个球来称，便可得出结论；如B＜C，仿前也可得出结论。

（3）若A＜B，类似于A＞B的情况，可分析得出结论。

小学体育练习题掌握基本的球类运动技巧在小学体育课上，学生学习和掌握基本的球类运动技巧是非常重要的。

通过体育练习题的实践，学生可以提高他们的身体素质和协调能力，并且培养团队合作和竞争意识。

本文将介绍一些适合小学生的练习题，旨在帮助他们掌握基本的球类运动技巧。

一、篮球练习题1. 基本传球练习要求学生组成小组，站成一列。

最前面的学生持球，然后将球向后传给队友。

每位学生依次传球，直到最后一名学生再将球向前传回最前面的学生。

这个练习可以帮助学生熟悉传球的技巧和团队合作。

2. 基本投篮练习学生站在篮球场上，依次进行投篮。

首先，让学生站在距离篮筐较近的位置进行投篮，然后逐渐增加投篮的距离。

这个练习可以帮助学生提高他们的命中率和远距离投篮能力。

二、足球练习题1. 盘球练习学生分成两队，面对面站立。

一队的学生开始盘球，另一队的学生则试图抢夺球。

当一个学生的球被抢夺时，他将离开游戏。

这个练习可以帮助学生提高他们的盘球技巧和敏捷性。

2. 带球射门练习让学生分成两队，一队是射门队，另一队是守门队。

守门队的学生站在球门附近，射门队的学生则带球尝试射门。

守门队的学生必须尽力阻挡射门，并防止球进门。

这个练习可以让学生练习带球和射门的技巧。

三、乒乓球练习题1. 握拍姿势训练要求学生正确地握持乒乓球拍，拇指和食指夹持乒乓球拍的把手，其他三个手指放在把手下面。

这个练习可以帮助学生正确掌握乒乓球拍的握持方式，为后续的发球和击球打下基础。

2. 发球练习学生按照教练的指导，练习乒乓球的发球技巧。

首先是正手发球，然后是反手发球。

学生可以通过调整发球的角度和力度，来练习更多种类的乒乓球发球技巧。

这个练习可以帮助学生提高他们的球技和专注力。

请注意，以上只是一些供参考的小学体育练习题，实际应用时需要根据学生的年龄和技能水平进行适当调整。

体育练习题的设计应该注重培养学生的兴趣和参与度，让他们在愉快的氛围中学习和成长。

通过积极参与这些练习，小学生将能够掌握和提高基本的球类运动技巧，并享受运动的乐趣。

小学体育学习基本的球类运动技巧一、引言体育作为小学教育中不可或缺的一环，对学生的身心发展起着重要作用。

球类运动作为体育活动中的重要内容之一，不仅可以培养学生的协调性、灵活性和反应能力，还可以提高学生的集体协作和团队意识。

本教案旨在介绍小学体育学习中的基本球类运动技巧，以帮助学生掌握正确的动作和技巧。

二、篮球运动技巧1.持球技巧a.正面持球：双手持球，手指稍微分开，保持身体平衡，注视前方。

b.侧面持球：侧身持球，一个手掌托住球，另一只手将球放在腰部旁边。

c.运球：弯曲手肘，用手尽量将球推向地面，用指腹控制球的起落，注意保持身体的平衡。

2.传球技巧a.胸前传球：两手抓住篮球，肘部弯曲，将球稳准地传到目标位置。

b.头顶传球：双手紧握球，身体保持直立，头部后仰，用力将球抛出，注意传球的方向和力度。

c.地面传球：弯曲膝盖，双手将球下压，用手指腹将球向目标传送，注意传球的速度和准确度。

三、足球运动技巧1.控球技巧a.内侧停球：用内侧脚背停球，球落地点应尽量靠近脚背，并且将脚背用力贴住球面。

b.外侧停球：用外侧脚背停球，同样要贴住球面，并使球停留在脚前方。

c.大腿停球：用大腿内侧接住球，控制好力度，使球停在自己的掌握范围内。

2.传球技巧a.直塞传球：用内侧脚背按照球的运动方向迅速将球推向目标位置。

b.内切传球：将球从大腿外侧踢向内侧，使球在空中弯曲弧线，越过防守队员，传到目标位置。

c.弧线传球：用外侧脚背踢出一道弧线，使球绕过防守队员，落在目标位置。

四、乒乓球运动技巧1.握拍技巧a.正手握拍：将拍直立在手掌上，拇指放在拍背上，食指、中指和无名指扣住拍柄，其余两指稍微分开。

b.反手握拍：将拍背向上倾斜，将食指、中指和无名指放在拍柄上，其余两指稍微分开。

2.发球技巧a.正手发球：将球放在手心中部，轻轻抛起，利用拍面在接触球时的转动带出旋转。

b.反手发球：将球放在手心中部，形成撑点，通过抓住球的侧面，使球在发球过程中自旋。

巧解球类问题招教事业部付明慧球类问题，画起图来麻烦，分析思考就更困难了，但球类问题却是招教数学的必考内容之一，无论是求球的面积还是体积，还是利用球这个模型进行立体几何证明计算，招教考试中年年都考。

下面结合具体立体谈谈如何突破难关，解决球类问题。

一. 多球相切例1、将半径都为1的四个球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A. 3263+B.2263+C. 4263+D.43263+分析：设正四面体为A1－B1C1D1，它的高有最小值时，四球两两外切，并且同时内切于正四面体，两球外切时，球心连线通过切点，球心距等于两球半径之和。

四球心连线构成的正四面体A－BCD（如图1）与正四面体A1－B1C1D1相似，过高AH及棱AB作的一个截面（如图2），包含其主要元素。

图1图2由正四面体A－BCD的棱长AB＝2，求得AH=263利用Rt A F A Rt AHE∆∆11~，得A1A＝3AF1＝3，而HH1＝1∴正四面体A1－B1C1D1的高A1H1的最小值=++=+A A AH HH114263，故选C。

点评：解决多球相切的问题，常用的方法有两种：①连球心，转化为多面体问题；②找截面，化为平面几何问题。

二. 球与多面体相接例2、如图3，已知正三棱锥P －ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，△ABC 、△PEF 都是正三角形，PF AB ⊥。

（1）证明PC ⊥平面PAB ；（2）求二面角P －AB －C 的平面角的余弦值；（3）若点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的球面上，求△ABC 的边长。

分析：（1）利用PC PA ⊥，PC AB ⊥，即可证明结论。

（2）∠PFC 是二面角P －AB －C 的平面角，cos ∠=PFC 33（3）由（1）（2）可证P －ABC 是正三棱锥，∠=∠=∠=APB BPC CPA 90。

如图3，把它的高PK 延长交球面于另一点D ，则PD 是球的直径。

古希腊数学家芝诺提出的四大悖论古希腊数学家芝诺提出的四大悖论（1）运动场问题（The dichotomy paradox）中的，又称为两分法悖论。

悖论的内容：因为一运动物体在到达目的地之前，必须先抵达距离目的地之一半的位置。

即：若要从A处到达B处，必须先到AB中点C，要到达C，又须先到达AC的中点D。

如此继续划分下去，所谓的“一半距离”数值将越来越小。

最后“一半距离”几乎可被视为零。

这就形成了某一物体若要从A移动到B，必须先停留在A的悖论。

这样一来，此物体将永远停留在初始位置，或者说物体初始运动所经过的距离近似0，以至这物体的运动几乎不能开始。

因此，我们得出了运动不可能开始的结论。

《庄子·天下篇》，庄子提出：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。

”悖论的解释：此悖论在设立时有意忽略了一个事实，那就是从A到B 的“运动”必须是一个时间相关的概念而不仅仅是距离的概念。

也就是说如果运动的速度为0的时候这个悖论为真！但是一旦运动起来，必然有一个速度，速度等于经过的距离除以历经的时间。

什么时候速度为0呢？一种情况是距离为0，根本没有要动，另一种情况大家一般会忽略掉，就是经历的时间趋近于无限，不论距离多大，只要是一个固定值，那么速度就是0，于是悖论就成立了。

此悖论虽然没有提及时间，但是却故意掩盖了时间这个因素。

这同最小分割无关，因为在数学上，无限分割是成立的。

（2）飞矢不动悖论悖论内容：一根箭是不可能移动的，因为箭在其飞行过程中的任何瞬间都有固定位置，则可知一枝动的箭是所有不动的集合，所以可导出一根箭是不可能移动的。

中国古代的名家惠施也提出过，“飞鸟之景，未尝动也”的类似说法。

悖论提出过程：芝诺问他的学生“一支射出的箭是动的还是不动的？”，学生回答“那还用说，当然是动的。

”芝诺又问“确实是这样，在每个人的眼里它都是动的。

可是，这支箭在每一个瞬间里都有它的位置吗？学生回答“有的，老师。

”芝诺又一连串的问道，“在这一瞬间里，它占据的空间和它的体积一样吗？”“有确定的位置，又占据着和自身体积一样大小的空间。