2015高考数学易错点查漏补缺(七)

2015高考数学全套知识点（通用版）1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。

∅ 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

{}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ⊂（答：，，）-⎧⎨⎩⎫⎬⎭10133. 注意下列性质：{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ⊆⇔== （3）德摩根定律：()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==，4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x aM M M a --<∈∉50352的取值范围。

()（∵，∴·∵，∴·，，）335305555015392522∈--<∉--≥⇒∈⎡⎣⎢⎫⎭⎪M a aM a aa5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().⌝若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假⌝p p6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。

）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象）8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()()例：函数的定义域是y x x x =--432lg()()()（答：，，，）022334 10. 如何求复合函数的定义域？[]如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0义域是_。

2015高考数学易错点查漏补缺（六） 易错点51 平行线间的距离公式使用不当 【问题】：求两条平行线1: 和2: 间的距离。

错解： ∴直线1与2的距离为2或1 剖析：技能不熟，求两条平行线间的距离时，没有把x、y的系数化成相同。

正确答案： 反思：两条平行线之间的距离是指其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离。

若直线1: A x+By+C1=0和2: A x+By+C2=0(C1≠C2)，则直线1与2的距离为。

常见的错误是忽视判断两直线中x、y系数是否相等。

易错点52 误解“截距”和“距离”的关系 【问题】：若直线与抛物线（y－1）2＝x －1在x轴上的截距相等，求a的值。

错解：直线在x轴上的截距为，抛物线（y－1）2＝x －1在x轴上的截距为2，∴,解得a=±1 剖析：概念模糊，错把截距当成距离。

正确答案：a=－1 反思：截距是指曲线与坐标轴交点的横（纵）坐标，它是一个实数，可为正数、负数、零，而距离一定是非负数，对此考生应高度重视。

易错点53 忽视直线点斜式和斜截式方程适用范围 【问题】：求过点（2，1）和（a，2）的直线方程。

错解：先求出斜率，故所求直线方程为y－1=（x－2） 剖析：知识残缺，未考虑k不存在的情况。

正确答案：当a=2时，直线方程为x=2,当时，直线方程为y－1=（x－2） 反思：点斜式和斜截式是两种常见的直线方程形式，应用非常广泛，但它们仅适用于斜率存在的直线。

解题时一定要验证斜率是否存在，若情况不明，一定要对斜率分类讨论。

易错点54 忽视直线截距式方程适用范围 【问题】：直线经过点P（2，3），且在两坐标轴上的截距相等，求直线方程。

错解：设直线方程为（a≠0），将点P代入得a=5，∴的方程为x+y-5=0 剖析：知识残缺，不了解截距式方程适用范围，漏掉直线过原点的情况。

正确答案：x+y-5=0或3x-2y=0 反思：直线的截距式方程为( ab≠0)，a为直线在x轴上的截距，b为直线在y轴上的截距。

2015高考数学专题十七：易错点分类解析一、集合、逻辑用语、函数与导数易错点1 遗忘空集致误例1 已知A ＝{x ∈R |x <－1或x >4}，B ＝{x ∈R |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是________．错解 由A ∪B ＝A 知，B ⊆A ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋32a >4或a ＋3<－1， 解得a <－4或2<a ≤3.∴实数a 的取值范围是a <－4或2<a ≤3.错因分析 由并集定义容易知道，对于任何一个集合A ，都有A ∪∅＝A ，所以错解忽视了B ＝∅时的情况．正解 由A ∪B ＝A 知，B ⊆A .①当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋32a >4或a ＋3<－1，解得a <－4或2<a ≤3；②当B ＝∅时，由2a >a ＋3，解得a >3. 综上可知，实数a 的取值范围是a <－4或a >2.易错突破 造成本题错误的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质．当题目中出现A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 时，注意对A 进行分类讨论，即分为A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论．补偿练习1 (1)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则所有实数m 组成的集合是 ( )A ．{0，－1,2} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0，1C ．{－1,2}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12 答案 A解析 当m ＝0时，B ＝∅，符合题意；当m ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1m ，若B ⊆A ，则1m ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，∴m ＝－1或m ＝2.故m ＝0，或m ＝－1，或m ＝2.(2)已知集合A ＝{x |x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0，p ∈R }，若A ∩R *＝∅，则实数p 的取值范围为____________． 答案 (－4，＋∞)解析 由于A ∩R *＝∅，先求A ∩R *≠∅的情况有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(p ＋2)2－4≥0，－p ＋22>0，即⎩⎪⎨⎪⎧p ≥0或p ≤－4，p <－2，解得p ≤－4. 故当A ∩R *＝∅时，p 的取值范围是(－4，＋∞)． 易错点2 忽视元素互异性致误例2 已知集合A ＝{1，x,2}，B ＝{1，x 2}，若A ∪B ＝A ，则x 的不同取值有________种情况．( )A ．1B ．2C ．3D ．4错解 由x 2＝2，解得x 1＝2，x 2＝－ 2. 由x 2＝x ，解得x 3＝0，x 4＝1. ∴选D.错因分析 当x ＝1时，集合A 、B 中元素不满足互异性，错解中忽视了集合中元素的互异性，导致错误．正解 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .∴x 2＝2或x 2＝x .由x 2＝2，解得x ＝±2，由x 2＝x ，解得x ＝0或x ＝1.当x ＝1时，x 2＝1，集合A 、B 中元素不满足互异性，所以符合题意的x 为2或－2或0，共3种情况，选C.易错突破 由集合的关系求参数的值应注意元素性质的具体情况，对求出的参数值要进行验证．补偿练习2 若A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}，且A ∪B ＝{1,3，x }，则这样的x 为________．答案 ±3或0解析 由已知得B ⊆A ，∴x 2∈A 且x 2≠1. ①x 2＝3，得x ＝±3，都符合．②x 2＝x ，得x ＝0或x ＝1，而x ≠1，∴x ＝0. 综合①②，共有3个值．易错点3 忽视区间的端点致误例3 记f (x )＝ 2－x ＋3x ＋1的定义域为A ，g (x )＝lg[(x －a －1)(2a －x )] (a <1)的定义域为B .若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________．错解 由2－x ＋3x ＋1≥0，得x <－1或x ≥1.∴A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．由(x －a －1)(2a －x )>0得(x －a －1)(x －2a )<0. 且a <1，∴2a <x <a ＋1.∴B ＝(2a ，a ＋1)，∵B ⊆A ，∴2a >1或a ＋1<－1，∴a >12或a <－2.∴a ∈⎝⎛⎭⎫12，1∪(－∞，－2)．错因分析 从B ⊆A 求字母a 的范围时，没有注意临界点，区间的端点搞错．正解 ∵2－x ＋3x ＋1≥0，得x －1x ＋1≥0，∴x <－1或x ≥1，即A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． ∵(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0. ∵a <1，∴a ＋1>2a ，∴B ＝(2a ，a ＋1)． ∵B ⊆A ，∴2a ≥1或a ＋1≤－1， 即a ≥12或a ≤－2，而a <1，∴12≤a <1或a ≤－2. 故所求实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫12，1.补偿练习3 设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >a }，若A B ，则a 的取值范围是__________．答案 (－∞，1]解析 因为A ⊆B 且A ≠B ，利用数轴可知：a ≤1. 易错点4 对命题否定不当致误例4 命题“若x ，y 都是奇数，则x ＋y 是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ，y 都是偶数，则x ＋y 是奇数B ．若x ，y 都不是奇数，则x ＋y 不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 都不是奇数D ．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是奇数 错解 C错因分析 “x ，y 都是奇数”的否定中包含三种情况：“x 是奇数，y 不是奇数”，“x 不是奇数，y 是奇数”，“x ，y 都不是奇数”，误把“x ，y 都不是奇数”作为“x ，y 都是奇数”的否定而错选C.正解 “都是”的否定是“不都是”，答案选D.易错突破 对条件进行否定时，要搞清条件包含的各种情况，全面考虑；对于和参数范围有关的问题，可以先化简再否定．补偿练习4 已知集合M ＝{x |a 2x ＋2x －3ax －1<0}，若2D ∈/M ，则实数a 的取值范围是________．答案 a ≥12解析 若2∈M ，则2a 2＋12a －1<0，即(2a －1)(2a 2＋1)<0，∴a <12，∴当2D ∈/M 时，a 的取值范围为a ≥12.易错点5 充分条件、必要条件颠倒致误例5 若p ：a ∈R ，|a |<1，q ：关于x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件错解 B错因分析 由p ⇒q 应得p 是q 的充分条件，错解颠倒了充分条件、必要条件． 正解 将两条件化简可得p ：－1<a <1，q ：a <2， 易知p ⇒q ，且qD ⇒/p ，故p 是q 的充分不必要条件，选A.易错突破 在解题时熟练运用以下几种方法即可减少失误： (1)定义法：直接利用定义进行判断；(2)逆否法(等价法)：“p ⇔q ”表示p 等价于q .要证p ⇒q ，只需证它的逆否命题綈q ⇒綈p 即可，同理要证p ⇐q ，只需证綈q ⇐綈p 即可，所以p ⇔q ，只需綈q ⇔綈p .(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p 和结论q 都是集合，那么若p ⊆q ，则p 是q 的充分不必要条件；若p ⊇q ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ＝q ，则p 是q 的充要条件，尤其对于数的集合，可以利用小范围的数一定在大范围中，即小⇒大，会给我们的解答带来意想不到的惊喜．(4)举反例：要说明p 是q 的不充分条件，只要找到x 0∈{x |p }，但x 0∉{x |q }即可． 补偿练习5 已知条件p ：|x ＋1|＞4，条件q ：x ＞a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a的取值范围是( )A ．(－3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，－3]答案 B解析 由题意知，条件p ：x ＜－5或x ＞3，条件q ：x ＞a ，所以綈p ：－5≤x ≤3，綈q ：x ≤a .因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以a ≥3. 易错点6 忽视函数定义域致误例6 函数y ＝log (x 2－5x ＋6)的单调递增区间为____________．错解 ⎝⎛⎭⎫－∞，52 12错解分析 忽视了函数定义域，应加上条件x 2－5x ＋6>0. 正解 由x 2－5x ＋6>0知{x |x >3或x <2}． 令u ＝x 2－5x ＋6，则u ＝x 2－5x ＋6在(－∞，2)上是减函数，∴y ＝log (x 2－5x ＋6)的单调递增区间为(－∞，2)．易错突破 在研究函数问题时，不论什么情况，首先要考虑函数的定义域，这是研究函数的最基本原则．补偿练习6 若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．(12，32)B ．(1，32)C ．(12，32]D ．[1，32)答案 D解析 由题意，知函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ，由f ′(x )＝0，解得x ＝12.所以函数f (x )在(0，12]上单调递减，在[12，＋∞)上单调递增．故有⎩⎨⎧0≤k －1＜12，k ＋1＞12，解得1≤k ＜32.易错点7 忽视二次项系数为0致误例7 函数f (x )＝(k －1)x 2＋2(k ＋1)x －1的图象与x 轴只有一个交点，则实数k 的取值集合是__________．错解 由题意知Δ＝4(k ＋1)2＋4(k －1)＝0. 即k 2＋3k ＝0，解得k ＝0或k ＝－3. ∴k 的取值集合是{－3,0}．错因分析 未考虑k －1＝0的情况而直接令Δ＝0求解导致失解．正解 当k ＝1时，f (x )＝4x －1，其图象与x 轴只有一个交点⎝⎛⎭⎫14，0. 当k ≠1时，由题意得Δ＝4(k ＋1)2＋4(k －1)＝0， 即k 2＋3k ＝0，解得k ＝0或k ＝－3. ∴k 的取值集合是{－3,0,1}．易错突破 对多项式函数或方程、不等式，如果含有参数，一定首先考虑最高次项系数为0的情况．补偿练习7 函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，0]∪{1}12C ．(－∞，0)∪{1}D ．(－∞，1)答案 B解析 当m ＝0时，x ＝12为函数的零点；当m ≠0时，若Δ＝0，即m ＝1时，x ＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然x ＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f (x )＝mx 2－2x ＋1＝0有一个正根一个负根，即mf (0)＜0，即m ＜0.故选B. 易错点8 分段函数意义不明致误例8 已知：x ∈N *，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 (x ≥6)f (x ＋2) (x <6)，求f (3)．错解 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 (x ≥6)f (x ＋2) (x <6)，∴f (x ＋2)＝(x ＋2)－5＝x －3， 故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 (x ≥6)x －3 (x <6)，∴f (3)＝3－3＝0.错因分析 没有理解分段函数的意义，f (x )＝x －5在x ≥6的前提下才成立，f (3)应代入x <6化为f (5)，进而化成f (7)．正解 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 (x ≥6)f (x ＋2) (x <6)，∴f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.补偿练习8 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ≤0f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (2 013)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案 B解析 f (2 013)＝f (2 012)－f (2 011)＝f (2 011)－f (2 010)－f (2 011)＝－f (2 010)＝f (2 007)＝f (3) ＝－f (0)＝0.易错点9 函数单调性考虑不周致误例9 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x ≥0，(a 2－1)e ax，x <0在(－∞，＋∞)上单调，则a 的取值范围是________． 错解 (－∞，1)∪(1，＋∞)错因分析 忽视了函数在定义域分界点上函数值的大小． 正解 若函数在R 上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2－1>0，(a 2－1)e 0≥1，解之得a ≤－2；若函数在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－1>0，(a 2－1)e 0≤1，解得1<a ≤2，故a 的取值范围是(－∞，－2]∪(1，2]．易错突破 分段函数的单调性不仅要使函数在各个段上具有单调性，还要考虑分界点上函数值大小．补偿练习9 已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23答案 A解析 f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称， 又f (x )在[0，＋∞)上递增，∴f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13⇔|2x －1|<13⇔13<x <23. 易错点10 混淆“过点”与“切点”致误例10 求过曲线y ＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．错解 ∵y ′＝3x 2－2， ∴k ＝y ′|x ＝1＝3×12－2＝1，∴切线方程为：y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0.错因分析 混淆“过某一点”的切线和“在某一点处”的切线，错把(1，－1)当做切点． 正解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为 y ′|x ＝x 0＝3x 20－2.∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)， 即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)，整理，得(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1，或x 0＝－12.故所求切线方程为y －(1－2)＝(3－2)(x －1)，或y －(－18＋1)＝(34－2)(x ＋12)，即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.易错突破 过曲线上的点(1，－1)的切线与曲线的切点可能是(1，－1)，也可能不是(1，－1)．本题错误的根本原因就是把(1，－1)当成了切点．解决这类题目时，一定要注意区分“过点A 的切线方程”与“在点A 处的切线方程”的不同．虽只有一字之差，意义完全不同，“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点．补偿练习10 已知曲线S ：y ＝－23x 3＋x 2＋4x 及点P (0,0)，则过点P 的曲线S 的切线方程为____________． 答案 y ＝4x 或y ＝358x解析 设过点P 的切线与曲线S 切于点Q (x 0，y 0)，则过点P 的曲线S 的切线斜率y ′|x ＝x 0＝－2x 20＋2x 0＋4，又k PQ ＝y 0x 0，所以－2x 20＋2x 0＋4＝y 0x 0， ① 点Q 在曲线S 上，y 0＝－23x 30＋x 20＋4x 0，②将②代入①得－2x 20＋2x 0＋4＝－23x 20＋x 0＋4， 化简得43x 20－x 0＝0，所以x 0＝0或x 0＝34， 若x 0＝0，则y 0＝0，k ＝4，过点P 的切线方程为y ＝4x ；若x 0＝34，则y 0＝10532，k ＝358，过点P 的切线方程为y ＝358x .所以过点P 的曲线S 的切线方程为y ＝4x 或y ＝358x .易错点11 函数极值点概念不清致误例11 已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则a ＋b ＝________.错解 －7或0错因分析 忽视了条件的等价性，“f ′(1)＝0”是“x ＝1为f (x )的极值点”的必要不充分条件．正解 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，得 ⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， ①f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， ② 联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)在x ＝1两侧的符号相反，符合题意．当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2在x ＝1两侧的符号相同，所以a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去．综上可知a ＝4，b ＝－11，∴a ＋b ＝－7.易错突破 对于可导函数f (x )：x 0是极值点的充要条件是在x 0点两侧导数异号，即f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根x 0的左右的符号：“左正右负”⇔f (x )在x 0处取极大值；“左负右正”⇔f (x )在x 0处取极小值，而不仅是f ′(x 0)＝0.f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的必要而不充分条件．对于给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f ′(x 0)＝0，又考虑检验“左正右负”或“左负右正”，防止产生增根．补偿练习11 已知函数f (x )＝x 44＋b 3x 3－2＋a 2x 2＋2ax 在点x ＝1处取极值，且函数g (x )＝x 44＋b 3x3－a －12x 2－ax 在区间(a －6,2a －3)上是减函数，求实数a 的取值范围．解 f ′(x )＝x 3＋bx 2－(2＋a )x ＋2a ， 由f ′(1)＝0，得b ＝1－a ，当b ＝1－a 时，f ′(x )＝x 3＋(1－a )x 2－(2＋a )x ＋2a ＝(x －1)(x ＋2)(x －a )，如果a ＝1，那么x ＝1就只是导函数值为0的点而非极值点，故b ＝1－a 且a ≠1. g ′(x )＝x 3＋bx 2－(a －1)x －a ＝x 3＋(1－a )x 2－(a －1)x －a ＝(x －a )(x 2＋x ＋1)． 当x <a 时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，a )上单调递减， ∴(a －6,2a －3)⊆(－∞，a )， ∴a －6<2a －3≤a ， 故所求a 的范围为－3<a ≤3.综上可知a 的取值范围应为－3<a ≤3且a ≠1. 易错点12 导数与函数单调性关系不准致误例12 函数f (x )＝x 3－ax 2－3x 在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．错解 (－∞，94)错因分析 求函数的单调递增区间就是解导数大于零的不等式，受此影响，容易认为函数f (x )的导数在区间[2，＋∞)上大于零，忽视了函数的导数在[2，＋∞)上个别的点处可以等于零，这样的点不影响函数的单调性． 正解 由题意，知f ′(x )＝3x 2－2ax －3，令f ′(x )≥0(x ≥2)，得a ≤32(x －1x )．记t (x )＝32(x －1x)，当x ≥2时，t (x )是增函数，所以t (x )min ＝32×(2－12)＝94，所以a ∈(－∞，94]．经检验，当a ＝94时，函数f (x )在[2，＋∞)上是增函数．补偿练习12 已知函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为__________．答案 [12，＋∞)解析 f ′(x )＝2mx ＋1x －2≥0在(0，＋∞)上恒成立，m ≥－12x 2＋1x，所以m ≥⎝⎛⎭⎫－12x 2＋1x max ，所以m ≥12. 三角函数与平面向量易错点13 忽视角的范围致误例13 已知sin α＝55，sin β＝1010，且α，β为锐角，则α＋β＝________.错解 ∵α、β为锐角，∴cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55×31010＋255×1010＝22. 又0<α＋β<π.∴α＋β＝π4或α＋β＝34π.错因分析 错解中没有注意到sin α＝55，sin β＝1010本身对角的范围的限制，造成错解． 正解 因为α，β为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22，又因为0<α＋β<π，所以α＋β＝π4.易错突破 对三角函数的求值问题，不仅要看已知条件中角的范围，还要挖掘隐含条件，根据三角函数值缩小角的范围；本题中(0，π)中的角和余弦值一一对应，最好在求角时选择计算cos(α＋β)来避免增解．补偿练习13 已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0 (a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则tan α＋β2的值是________． 答案 －2解析 因为a >1，tan α＋tan β＝－4a <0， tan α·tan β＝3a ＋1>0，所以tan α<0，tan β<0.又α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＋β∈(－π，0)， 则α＋β2∈⎝⎛⎭⎫－π2，0.又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－4a 1－(3a ＋1)＝43，又tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan 2α＋β2＝43，整理，得2tan 2α＋β2＋3tan α＋β2－2＝0，解得tan α＋β2＝－2或tan α＋β2＝12(舍去)．易错点14 图象变换混乱致误例14 要得到y ＝sin(－3x )的图象，需将y ＝22(cos 3x －sin 3x )的图象向______平移______个单位(写出其中的一种特例即可)．错解 右 π4或右 π12错因分析 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12. 题目要求是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4→y ＝sin(－3x )． 右移π4平移方向和平移量都错了；右移π12平移方向错了．正解 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12， 要由y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12到y ＝sin(－3x )只需对x 加上π12即可， 因而是对y ＝22(cos 3x －sin 3x )向左平移π12个单位．易错突破 函数图象的左右平移是自变量x 发生变化，如ωx →ωx ±φ(φ>0)这个变化的实质是x →x ±φω，所以平移的距离并不是φ.补偿练习14 将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20 答案 C解析 将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，所得函数图象的解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10；再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10.故选C.易错点15 解三角形多解、漏解致误例15 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 且a ＝1，c ＝ 3.(1)若C ＝π3，求A ；(2)若A ＝π6，求b ，c .错解 (1)在△ABC 中，a sin A ＝csin C，∴sin A ＝a sin C c ＝12，∴A ＝π6或5π6.(2)由a sin A ＝c sin C 得sin C ＝c sin A a ＝32，∴C ＝π3，由C ＝π3知B ＝π2，∴b ＝a 2＋c 2＝2.错因分析 在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c 边比a 边大，在求得sin A ＝a sin C c ＝12后，得出角A ＝π6或5π6；在第(2)问中又因为没有考虑角C 有两解，由sin C ＝c sin A a ＝32，只得出角C ＝π3，所以角B ＝π2，解得b ＝2.这样就出现漏解的错误． 正解 (1)由正弦定理得a sin A ＝csin C， 即sin A ＝a sin C c ＝12.又a <c ，∴A <C ，∴0<A <π3，∴A ＝π6.(2)由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin A a ＝3·sinπ61＝32，∴C ＝π3或2π3.当C ＝π3时，B ＝π2，∴b ＝2；当C ＝2π3时，B ＝π6，∴b ＝1.综上所述，b ＝2或b ＝1.易错突破 已知两边及其中一边的对角解三角形时，注意要对解的情况进行讨论，讨论的根据一是所求的正弦值是否合理，当正弦值小于等于1时，还应判断各角之和与180°的关系；二是两边的大小关系．补偿练习15 在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．解 由正弦定理得sin C ＝AB ·sin B AC ＝32.又因为AB >AC ，所以C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，A ＝90°，于是S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×23×2×1＝2 3.当C ＝120°时，A ＝30°，于是 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×23×2×12＝ 3.故△ABC 的面积是23或 3.易错点16 向量夹角定义不明致误例16 已知等边△ABC 的边长为1，则BC →·CA →＋CA →·AB →＋AB →·BC →＝________.错解 ∵△ABC 为等边三角形，∴|BC →|＝|CA →|＝|AB →|＝1，向量AB →、BC →、CA →间的夹角均为60°.∴BC →·CA →＝CA →·AB →＝AB →·BC →＝12.∴BC →·CA →＋CA →·AB →＋AB →·BC →＝32.错因分析 数量积的定义a·b ＝|a|·|b |·cos θ，这里θ是a 与b 的夹角，本题中BC →与CA →夹角不是∠C .两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角，如图BC →与CA →的夹角应是∠ACD .正解 如图BC →与CA →的夹角应是∠ACB 的补角∠ACD ，即180°－∠ACB ＝120°. 又|BC →|＝|CA →|＝|AB →|＝1，所以BC →·CA →＝|BC →||CA →|cos 120°＝－12.同理得CA →·AB →＝AB →·BC →＝－12.故BC →·CA →＋CA →·AB →＋AB →·BC →＝－32.易错突破 在判断两向量的夹角时，要注意把两向量平移到共起点，这样才不至于判断错误．平面向量与三角函数的结合，主要是指题设条件设臵在向量背景下，一旦脱去向量的“外衣”，实质上就变成纯三角问题．补偿练习16 在正三角形ABC 中，D 是边BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________.答案 152解析 方法一 在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7，∴AD ＝7，cos ∠BAD ＝32＋(7)2－122×3×7＝5714，∴AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|·cos ∠BAD＝3×7×5714＝152.方法二 ∵AD →＝AB →＋BD →，∴AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝AB →2＋AB →·BD →＝|AB →|2＋|AB →||BD →|·cos 120°＝9＋3×1×⎝⎛⎭⎫－12＝152. 易错点17 忽视向量共线致误例17 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是__________．错解 ∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1.因θ为锐角，有cos θ>0，∴2λ＋15·λ2＋1>0⇒2λ＋1>0，得λ>－12，λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 错因分析 当向量a ，b 同向时，θ＝0，cos θ＝1满足cos θ>0，但不是锐角． 正解 ∵θ为锐角，∴0<cos θ<1. 又∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1，∴0<2λ＋15·λ2＋1且2λ＋15·λ2＋1≠1，∴⎩⎨⎧2λ＋1>0，2λ＋1≠5·λ2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2.∴λ的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠2.易错突破 在解决两向量夹角问题时，一般地，向量a ，b 为非零向量，a 与b 的夹角为θ，则①θ为锐角⇔a·b >0且a ，b 不同向；②θ为直角⇔a·b ＝0；③θ为钝角⇔a·b <0且a ，b 不反向．补偿练习17 设两个向量e 1，e 2，满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3.若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的范围． 解 ∵2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0且2t e 1＋7e 2≠λ(e 1＋t e 2)(λ<0)． 由(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0得2t 2＋15t ＋7<0，∴－7<t <－12.若2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ<0)，∴(2t －λ)e 1＋(7－tλ)e 2＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧2t －λ＝07－tλ＝0，即t ＝－142，∴t 的取值范围为－7<t <－12且t ≠－142.数列与不等式易错点18 运用公式“a n ＝S n －S n －1”不当致误例18 已知数列{a n }对任意的n ∈N *都满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8－5n ，则数列{a n }的通项公式为________．错解 ∵a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8－5n ，∴a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8－5(n －1)，两式相减，得2n －1a n ＝－5，∴a n ＝－52n －1.错因分析 当n ＝1时，由题中条件可得a 1＝3，而代入错解中所得的通项公式可得a 1＝－5，显然是错误的．其原因是：两式相减时，所适用的条件是n ≥2，并不包含n ＝1的情况．只有所求的通项公式对n ＝1时也成立，才可以这样写，否则要分开写． 正解 当n ≥2时，由于a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8－5n ，那么a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8－5(n －1)，两式对应相减可得2n －1a n ＝8－5n －[8－5(n －1)]＝－5，所以a n ＝－52n －1.而当n ＝1时，a 1＝3≠－521－1＝－5，所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝1，－52n －1， n ≥2. 易错突破 本题实质上已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项a n 与S n 的关系中，a n ＝S n －S n －1，成立的条件是n ≥2，求出的a n 中不一定包括a 1，而a 1应由a 1＝S 1求出，然后再检验a 1是否在a n 中，这是一个典型的易错点．补偿练习18 已知数列{a n }的前n 项之和为S n ＝n 2＋n ＋1，则数列{a n }的通项公式为__________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝n 2＋n ＋1－(n －1)2－(n －1)－1＝2n ， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.易错点19 忽视等比数列公比的条件致误例19 各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40等于( )A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－50错解 C错因分析 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30的公比q 10>0.忽略了此隐含条件，就产生了增解－200.正解 记b 1＝S 10，b 2＝S 20－S 10，b 3＝S 30－S 20，b 4＝S 40－S 30， b 1，b 2，b 3，b 4是以公比为r ＝q 10>0的等比数列． ∴b 1＋b 2＋b 3＝10＋10r ＋10r 2＝S 30＝70， ∴r 2＋r －6＝0，∴r ＝2，r ＝－3(舍去)，∴S 40＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝10(1－24)1－2＝150.易错突破 在等比数列中，公比的条件在使用中要注意隐含条件，S n 中q ≠1；构造新数列要注意新数列的公比和原公比的关系，如等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30的公比为q 10>0.补偿练习19 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列的公比q ＝________.答案 1或－1解析 ①当q ＝1时，S 3＋S 6＝9a 1，S 9＝9a 1， ∴S 3＋S 6＝S 9成立．②当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9， 得a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝a 1(1－q 9)1－q∴q 9－q 6－q 3＋1＝0，即(q 3－1)(q 6－1)＝0. ∵q ≠1，∴q 3－1≠0，∴q 6＝1，∴q ＝－1. 易错点20 数列最值意义不清致误例20 已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn的最小值为________．错解 233－1错因分析 忽视了n 为正整数，直接利用基本不等式求最值，要注意和函数最值的区别． 正解 a n ＝n 2－n ＋33， ∴a n n ＝n ＋33n－1. 又f (x )＝x ＋33x－1(x >0)在[33，＋∞)上为增函数，在(0，33]上为减函数．又n ∈N *，f (5)＝535，f (6)＝212，∴⎝⎛⎭⎫a n n min＝f (6)＝212. 易错突破 研究数列的最值问题时，往往借助函数的思想利用导数研究数列的单调性来解决．关于正整数n 的对勾函数，使其取最值的点就是在离单调区间分界点距离最近的那两个点中取得，代入检验，便可确定最值．补偿练习20 若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则数列{na n }中数值最小的项是第________项． 答案 3解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－9；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －(n －1)2＋10(n －1)＝2n －11. 可以统一为a n ＝2n －11(n ∈N *) 故na n ＝2n 2－11n ，该关于n 的二次函数的对称轴是n ＝114，考虑到n 为正整数，且对称轴离n ＝3较近，故数列{na n }中数值最小的项是第3项． 易错点21 数列递推关系转化不当致误例21 已知函数f (x )＝2x x ＋1，数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝f (a n )，b n ＝a n1－a n，n ∈N *，求数列{b n }的通项公式．错解 ∵f (x )＝2x x ＋1，∴a n ＋1＝f (a n )＝2a na n ＋1，∴a n ＋1a n ＋a n ＋1－2a n ＝0，a n (a n ＋1－2)＋a n ＋1＝0. 错因分析 递推关系转化不当，无法求出b n . 正解 ∵f (x )＝2x x ＋1，∴a n ＋1＝f (a n )＝2a na n ＋1，∴1a n ＋1＝12＋12a n . ∴1a n ＋1－1＝12(1a n －1)，又b n ＝a n 1－a n，∴1b n ＝1a n －1，∴1b n ＋1＝12·1b n， ∴b n ＋1＝2b n ，又b 1＝a 11－a 1＝2，∴{b n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴b n ＝2n .易错突破 解决递推数列问题的基本原则是根据递推数列的特征进行转化．掌握以下几类递推关系的转化，可极大地提高解题效率．①a n ＋1＝qa n ＋k 形式可用待定系数法：a n ＋1＋λ＝q (a n ＋λ)；②a n ＋1＝ma na n ＋n形式可用取倒数法；③观察法，如a n ＋1＝2(1＋1n )2a n ⇒a n ＋1(n ＋1)2＝2·a nn 2. 补偿练习21 已知数列{a n }满足a 1＝13，a n ＋1a n ＝2a n ＋1－a n ，S n 表示数列{a n }前n 项和．求证：S n <1.证明 由a 1＝13≠0，易知对于任意的n ，a n ≠0.a n ＋1a n ＝2a n ＋1－a n 可化为2a n －1a n ＋1＝1，1a n ＋1－1＝2⎝⎛⎭⎫1a n －1. 令b n ＝1a n －1，则b 1＝2，b n ＋1＝2b n .所以数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列．b n ＝1a n －1＝2n ，所以a n ＝12n ＋1，则S n ＝121＋1＋122＋1＋123＋1＋…＋12n ＋1<121＋122＋…＋12n ＝1－12n <1.易错点22 忽视基本不等式的应用条件致误例22 函数y ＝x ＋2x －1的值域是________．错解 [22＋1，＋∞)错因分析 错解中直接使用基本不等式，而忽视了应用条件x －1>0时的情况被忽视．正解 当x >1时，y ＝x ＋2x －1＝x －1＋2x －1＋1≥2 (x －1)·2x －1＋1＝22＋1，当且仅当x －1＝2x －1，即x ＝1＋2时等号成立；当x <1时，－y ＝－x ＋21－x ＝1－x ＋21－x －1≥2 (1－x )·21－x－1＝22－1，∴y ≤1－22；当且仅当1－x ＝21－x ，即x ＝1－2时等号成立．∴原函数的值域为(－∞，1－22]∪[1＋22，＋∞)．易错突破 利用基本不等式求最值时，无论怎样变形，均需满足“一正，二定，三相等”的条件．本例由于忽视了x －1的正、负问题，导致结果错误．在应用基本不等式a ＋b2≥ab时，首先应考虑a ，b 是否为正值．补偿练习22 函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．答案 2解析 因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)， 由题意，知点A 在直线mx ＋ny －2＝0上， 所以，m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2. 而1m ＋1n ＝12(1m ＋1n )×(m ＋n ) ＝12(2＋n m ＋m n)，因为mn ＞0，所以n m ＞0，mn ＞0.由基本不等式，可得n m ＋m n ≥2 n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)，所以1m ＋1n ＝12×(2＋n m ＋m n )≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n 的最小值为2. 易错点23 解含参数不等式讨论不当致误 例23 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.错解 原不等式化为a (x －1a)(x －1)<0.∴当a >1时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1a ，1.当a <1时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1，1a . 错因分析 解本题容易出现的错误是：(1)认定这个不等式就是一元二次不等式，忽视了对a ＝0时的讨论；(2)在不等式两端约掉系数a 时，若a <0，忘记改变不等号的方向；(3)忽视了对根的大小的讨论，特别是等根的讨论；(4)分类讨论后，最后对结论不进行整合． 正解 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}． 当a ≠0时，不等式化为a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 当a <0时，原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)>0，不等式的解集为{x |x >1或x <1a}； 当0<a <1时，1<1a ，不等式的解集为{x |1<x <1a }；当a >1时，1a <1，不等式的解集为{x |1a <x <1}；当a ＝1时，不等式的解集为∅.综上所述，当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，1a ∪(1，＋∞)； 当a ＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)； 当0<a <1时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1，1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅； 当a >1时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1a ，1.易错突破 解形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式，应对系数a 分a >0，a ＝0，a <0进行讨论，还要讨论各根的大小，最后根据不同情况分别写出不等式的解集．补偿练习23 设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果M ⊆[1,4]，求实数a 的取值范围．解 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，有Δ＝(－2a )2－4(a ＋2)＝4(a 2－a －2)． ①当Δ<0，即－1<a <2时，M ＝∅，∅⊆[1,4]； ②当Δ＝0，即a ＝－1或2时，若a ＝－1，则M ＝{－1}⃘[1,4]，若a ＝2，则M ＝{2}⊆[1,4]；③当Δ>0，即a <－1或a >2时，设方程f (x )＝0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2， 那么M ＝[x 1，x 2]，则M ⊆[1,4]⇔1≤x 1<x 2≤4 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≥0，f (4)≥0，1<a <4，Δ>0，解得2<a ≤187.综上，可得M ⊆[1,4]时，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，187. 易错点24 线性规划问题最值意义不明致误 例24 设双曲线x 2－y 2＝1的两条渐近线与直线x ＝22围成的三角形区域(包含边界)为D ，点P (x ，y )为D 内的一个动点，则目标函数z ＝x －2y 的最小值为________．错解 322错因分析 没有理解线性规划中目标函数的几何意义，认为目标函数一定在最高点处取到最大值，最低点时取到最小值．正解 －22易错突破 对于线性规划问题中的目标函数z ＝ax ＋by ，可以化成y ＝－a b x ＋z b 的形式，zb 是直线的纵截距，当b <0时，z 的最小值在直线最高时取得．补偿练习25 已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是______． 答案 (3,8)解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <42<x －y <3表示的可行域(如图)，在可行域内平移直线z ＝2x －3y ，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的 交点A (3,1)时，有z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝ －1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，有z max ＝2×1＋3×2＝8， 故z 的取值范围为(3,8)．立体几何易错点25 三视图识图不准确致误例25已知某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是________．错解4 0003错因分析 没有理解几何体的三视图的意义，不能正确从三视图还原成几何体，不清楚几何体中的几何关系．正解 如图所示，作几何体S －ABCD 且知平面SCD ⊥平面ABCD ， 四边形ABCD 为正方形，作SE ⊥CD 于点E ，得SE ⊥平面ABCD 且SE ＝20.∴V S －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·SE ＝8 0003；∴这个几何体的体积是8 0003.易错突破 在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑． 补偿练习25 (2013·浙江)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________ cm 3.答案 24解析 由三视图可知，其直观图为： AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90°， ∴BC ＝5.作AH ⊥BC 于H ，AH ＝AB ·AC BC ＝125.作A 1M ⊥BB 1于M ，A 1N ⊥CC 1于N .连接MN . V ＝13×(5×3)×125＋(3×4)×12×2＝24.易错点26 线面关系定理条件把握不准致误例26 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1、DB 的中点．(1)求证：EF ∥平面ABC 1D 1； (2)求证：EF ⊥B 1C . 错解 (1)连接BD 1，∵E 、F 分别为DD 1、DB 的中点．∴EF ∥D 1B ，∴EF ∥平面ABC 1D 1. (2)AC ⊥BD ，又AC ⊥D 1D ， ∴AC ⊥平面BDD 1，∴EF ⊥AC .错因分析 推理论证不严谨，思路不清晰． 正解 (1)连接BD 1，如图所示，在△DD 1B 中，E 、F 分别为DD 1、DB 的中点，则EF ∥D 1B .⎭⎪⎬⎪⎫EF ∥D 1BD 1B ⊈平面ABC 1D 1EF ⊄平面ABC 1D 1 ⇒EF ∥平面ABC 1D 1.(2)ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体⇒AB ⊥面BCC 1B 1⎭⎪⎬⎪⎫⇒B 1C ⊥ABB 1C ⊥BC1 AB ，BC 1⊈平面ABC 1D 1AB ∩BC 1＝B⎭⎪⎬⎪⎫⇒B 1C ⊥平面ABC 1D 1 BD 1⊈平面ABC 1D 1⎭⎪⎬⎪⎫⇒B 1C ⊥BD 1 EF ∥BD 1⇒EF ⊥B 1C . 易错突破 证明空间线面位臵关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如本题第(2)问是证明线线垂直，但分析问题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上(或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上)，通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的．解这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等．补偿练习26 如图，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.(1)证明：AA 1⊥BD ； (2)证明：CC 1∥平面A 1BD .证明 (1)方法一 因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊈平面ABCD ，所以D 1D ⊥BD . 在△ABD 中，由余弦定理，得 BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos ∠BAD .又因为AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，所以BD 2＝3AD 2. 所以AD 2＋BD 2＝AB 2，所以AD ⊥BD .又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1. 又AA 1⊈平面ADD 1A 1，所以AA 1⊥BD .方法二 因为DD 1⊥平面ABCD ，且BD ⊈平面ABCD ， 所以BD ⊥D1D .如图，取AB 的中点G ，连接DG . 在△ABD 中，由AB ＝2AD ， 得AG ＝AD .又∠BAD ＝60°，所以△ADG 为等边三角形， 所以GD ＝GB ，故∠DBG ＝∠GDB . 又∠AGD ＝60°，所以∠GDB ＝30°，所以∠ADB ＝∠ADG ＋∠GDB ＝60°＋30°＝90°， 所以BD ⊥AD .又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1. 又AA 1⊈平面ADD 1A 1，所以AA 1⊥BD . (2)如图，连接AC 、A 1C 1.设AC ∩BD ＝E ，连接EA 1.因为四边形ABCD 为平行四边形，所以EC ＝12AC .由棱台的定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1 知，A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ，所以四边形A 1ECC 1为平行四边形，因此CC 1∥EA 1. 又因为EA 1⊈平面A 1BD ，CC 1⊄平面A 1BD ， 所以CC 1∥平面A 1BD .易错点27 空间向量概念不清致误例27 在△ABC 中，已知AB →＝(2,4,0)，BC →＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝________.错解 cos 〈AB →，BC →〉＝AB →·BC →|AB →||BC →|＝－2＋1225·10＝22.∴∠ABC ＝45°.错因分析 概念混淆，没有搞清〈AB →，BC →〉和∠ABC 的区别．正解 ∵BA →＝(－2，－4,0)，BC →＝(－1,3,0)，cos 〈BA →，BC →〉＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝2－1225·10＝－22，∴∠ABC ＝135°.易错突破 弄清向量夹角与几何图形中的角的区别与联系．在用向量表示角的时候，一定要特别注意向量的起点是否相同，以此决定二者是相等还是互补．补偿练习27 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，且a ≠b ，记|a －b |＝m ，求a －b 与x 轴正方向的夹角的余弦值．解 设a －b 与x 轴正方向的夹角为θ，取x 轴上一点P ，令OP →＝(1,0,0)，则由题意可得：cos θ＝(a －b )OP →|a －b |·|OP →|＝a 1－b 1m ，所以a －b 与x 轴正方向的夹角的余弦值为a 1－b 1m .易错点28 混淆空间角与两向量夹角致误例28 如图所示，四棱锥P －ABCD 中，底面四边形ABCD 是正方形，侧面PDC 是边长为a的正三角形，且平面PDC ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点．(1)求异面直线P A 与DE 所成角的余弦值； (2)求AP 与平面ABCD 所成角的正弦值．错解 如图所示，取DC 的中点O ，连接PO ， ∵△PDC 为正三角形， ∴PO ⊥DC .又∵平面PDC ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD .建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则P (0,0，32a )，A (a ，－a 2，0)，B (a ，a 2，0)，C (0，a2，0)，D (0，－a2，0)．(1)E 为PC 的中点，∴E (0，a 4，34a )，∴DE →＝(0，34a ，34a )，P A →＝(a ，－a 2，－32a )，∴P A →·DE →＝34a ×(－a 2)＋34a ×(－32a )＝－34a 2，|P A →|＝2a ，|DE →|＝32a ，cos 〈P A →，DE →〉＝P A →·DE →|P A →|·|DE →|＝－34a 22a ×32a＝－64.∴异面直线P A 与DE 所成角的余弦值为－64.(2)∵平面ABCD 的法向量n ＝(0,0，32a )，。

2015高考数学易错知识点全总结集合与简易逻辑易错点1遗忘空集致误错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，对于集合B高三经典纠错笔记：数学A，就有B=A，φ≠B高三经典纠错笔记：数学A，B≠φ，三种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了B≠φ这种情况，导致解题结果错误。

尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。

空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。

易错点2忽视集合元素的三性致误错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。

在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。

易错点3四种命题的结构不明致误错因分析：如果原命题是“若A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。

这里面有两组等价的命题，即“原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。

在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。

另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a，b都是奇数”。

易错点4充分必要条件颠倒致误错因分析：对于两个条件A，B，如果A=>B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件;如果B=>A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件;如果A<=>B，则A，B互为充分必要条件。

解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。

易错点5逻辑联结词理解不准致误错因分析：在判断含逻辑联结词的命题时很容易因为理解不准确而出现错误，在这里我们给出一些常用的判断方法，希望对大家有所帮助：p∨q真<=>p真或q真，命题p∨q假<=>p假且q假(概括为一真即真);命题p∧q真<=>p真且q真，p∧q假<=>p假或q假(概括为一假即假);┐p真<=>p假，┐p假<=>p真(概括为一真一假)。

2015高考数学易错点查漏补缺（一） 一、集合与简易逻辑 易错点1 对集合表示方法理解存在偏差 【问题】1: 已知，求。

错解： 剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。

正确结果： 【问题】2: 已知，求。

错解： 正确答案： 剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为为点集。

反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。

易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集 【问题】: 已知，且，求的取值范围。

错解：[-1，0）的情况。

正确答案：[-1，2] 反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合就有可能忽视了，导致解题结果错误。

尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。

考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。

易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性 【问题】: 已知1∈{,, }，求实数的值。

错解： 剖析：忽视元素的互异性，其实当时，==1；当时，==1；均不符合题意。

正确答案： 反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。

解题时可先求出字母参数的值，再代入验证。

易错点4 命题的否定与否命题关系不明 【问题】: 写出“若，则”的否命题。

错解一：否命题为“若，则” 剖析：概念模糊，弄错两类命题的关系。

错解二：否命题为“若，则” 剖析：知识不完整，的否定形式应为。

正确答案：若，则 反思：命题的否定是命题的非命题，也就是“保持原命题的条件不变，否定原命题的结论作为结论”所得的命题，但否命题是“否定原命题的条件作为条件，否定原命题的结论作为结论”所得的命题。

对此。

考生可能会犯两类错误①概念不清，不会对原命题的条件和结论作出否定；②审题不够细心。

2015年高考数学重点难点总结夯实基础知识，形成知识的纵横联系的网络。

突出主干知识，重视思想方法的渗透和运用，这些始终是高考的主旋律。

今年高考数学试题仍然会坚持知识面广，起点低，坡度缓，难度适中，分题分层把关的特点;会继续坚持较高区分度，能体现出不同考生对基本概念掌握的层次。

众所周知，高考中造成失分的祸首总是基础知识掌握不牢，相当一部分学生数学公式记不熟，记不准，记不全，解题时选择公式不恰当。

相当一部分学生对概念的理解只停留在表面上，其内涵是什么，适用范围是什么，怎样表达，举例说明，举反例否定往往做不到。

又特别要注意对薄弱环节的复习，知识是一环扣一环的，某一环节薄弱会影响整个知识链条，就像木桶盛水的多少取决于最短的木板，而高考失分最多的是由薄弱环节造成的。

因为一道数学题是由多个知识点组合而成的，其中一个知识点出了偏差就可能导致“满盘皆输”。

因为基础知识融汇于主干内容之中，主干内容又是整个学科知识体系的重要支撑，理所当然是高考的重之中重。

主干内容包括：函数、不等式、三角、数列、解析几何、向量等内容。

现分块阐述如下：1.函数函数是贯穿中学数学的一条主线，近几年对函数的考察既全面又深入，保持了较高的内容比例，并达到了一定深度。

题型分布总体趋势是四道小题一道大题，题量稳中有变，但分值基本在35分左右。

选填题覆盖了函数的大部分内容，如函数的三要素，函数的四性(奇偶性、单调性、周期性、对称性)与函数图像、常见的初等函数，反函数等。

小题突出考察基础知识，大题注重考察函数的思想方法和综合应用。

2.三角函数三角部分是高中数学的传统内容，它是中学数学重要的基础知识，因而具有基础性的地位，同时它也是解决数学本身与其它学科的重要工具，因此具有工具性。

高考大部分以中低档题的形式出现，至少考一大一小两题，分值16分左右，其中三角恒等变形、求值、三角函数的图象与性质，解三角形是支撑三角函数的知识体系的主干知识，这无疑是高考命题的重点。

高考数学易错点查漏补缺（一）一、集合与简易逻辑易错点1 对集合表示方法理解存在偏差【问题】1: 已知{|0},{1}A x x B y y =>=>，求A B 。

错解：A B =Φ剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。

正确结果：A B B =【问题】2: 已知22{|2},{(,)|4}A y y x B x y x y ==+=+=，求A B 。

错解： {(0,2),(2,0A B =-正确答案：A B =Φ剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A 为点集。

反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。

易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集【问题】: 已知2{|2},{|21}A x a x a B x x =<<=-<<，且B A ⊆，求a 的取值范围。

错解：[-1，0）剖析：忽视A =∅的情况。

正确答案：[-1，2]反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合B A ⊆就有可能忽视了A =∅，导致解题结果错误。

尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。

考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。

易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性【问题】: 已知1∈{2a +,2(1)a +, 233a a ++ }，求实数a 的值。

错解：2,1,0a =--剖析：忽视元素的互异性，其实当2a =-时，2(1)a +=233a a ++=1；当1a =-时， 2a +=233a a ++=1；均不符合题意。

正确答案：0a =反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。

解题时可先求出字母参数的值，再代入验证。

专题02 函数和反函数 【2015高考考纲解读】1.利用函数的性质求函数定义域、值域与最值，尤其是考查对数函数的定义域、值域与最值问题．2.考查函数的单调性与单调区间，以及复合函数的单调性．3.考查函数奇偶性的判断，常与单调性、周期性综合考查．4.求二次函数的解析式、值域与最值，考查二次函数的最值、一元二次方程及不等式的综合应用．5.考查指数函数、对数函数的图象与性质及其应用，考查指数函数、对数函数的求值，以及考查指数函数、对数函数、幂 函数的综合问题．6.在函数与导数的解答题中，考查指数函数、对数函数的求导、函数单调性的讨论、函数极值或最值的求解．【难点突破】难点1 借助函数单调性求函数最值或证明不等式1．已知定义域为[0，1)的函数f(x)同时满足①对任意x ∈[0，1]，总有f(x)≥0；②f(1)=1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则有f(x 1+x 2)≥f(x 1)+f(x 2)．(1)求f(0)的值； (2)求函数f(x)的最大值．2．设f(x)是定义在(0，+∞)上的函数，k 是正常数，且对任意的x ∈(0，+∞)，恒有f[f(x)]=kx 成立． 若f(x)是(0，+∞)上的增函数，且k=1，求证：f(x)=x ．(2)对于任意的x 1、x 2∈(0，+∞)，当x 2>x 1时，有f(x 2)-f(x 1)＞x 2-x 1成立，如果k=2，证明：34＜x x f )(＜23．难点2 综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题1．设f(x)是定义在[-1，1]上的偶函数．当x∈[-1，0]时，f(x)=g(2-x)，且当x∈[2,3]时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3，(1)求f(x)的表达式；(2)是否存在正实数a(a＞6)，使函数f(x)的图像的最高点在直线y=12上，若存在，求出正实数a的值；若不存在，请说明理由．2．函数y=f(x)是偶函数，且是周期为2的周期函数，当x ∈[2，3]时,f(x)=x-1．在y=f(x)的图像上有两点A 、B ，它们的纵坐标相等，横坐标都在区间[1，3]上，定点C 的坐标为(0，a)，(其中a ＞2)，求△ABC 面积的最大值．难点3 反函数与函数性质的综合1．在R 上的递减函数f(x)满足：当且仅当x ∈M ⊂R +函数值f(x)的集合为[0，2]且f(21)=1；又对M 中的任意x 1、x 2都有f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2)．(1)求证：41∈M ，而81∉M ；(2)证明:f(x)在M 上的反函数f -1(x)满足f -1(x 1)·f -1(x 2)=f -1(x 1+x 2)．(3)解不等式f -1(x 2+x)·f -1(x+2)≤41(x ∈[0，2])．2．已知奇函数f(x)，偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x(a＞0且a≠1).求证:f(2x)=2f(x)·g(x)设f(x)的反函数为f-1(x)，当a=a-1时，试比较f-1[g(x)]与-1的大小，并证明你的结论．若a>1，n∈N*且n≥2，比较f(n)与nf(1)的大小，并证明你的结论.【学科思想与方法】 2.函数中的数形结合思想“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的．在解答选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，并综合图象的特征得出结论．【例1】设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧gx ＋x ＋4，x <gx ，gx －x ，x ≥gx ，则f (x )的值域是( )．A.⎣⎡⎦⎤－94，0∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－94，＋∞D.⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞)【变式】函数y＝11－x的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()．A．2 B．4 C．6 D．8【易错点点睛】易错点1 函数的定义域和值域1．对定义域D f 、D g 的函数y=f(x)，y=g(x)，规定：函数h(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈∙gf g f g f D x D x x g D x D x x f D x D x x g x f 且当且当且当)()()()( (1)若函数f(x)=11-x ,g(x)=x 2，写出函数h(x)的解析式; (2)求问题(1)中函数h(x)的值域．2．记函数f(x)=132++-x x 的定义域为A ， g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a≤1)的定义域为B. (1)求A ；(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．3．记函数f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合M ，函数g(x)=121--的定义域为集合N ．求 （1）集合M ，N ； （2）集合M∩N ．M ∪N.(2)∴M∩N={x|x>23}∩{x|x≥3或x>1}={x|x≥3}．M ∪N={x|x>23}∪{x|x≥3或x>1}={x|x>23或x<1}．4．若集合M={y|y=2-x }，P={y|y=1-x }，则M∩P 等于 ( ) A ．{y|y ＞1} B ．{y |y≥1} C.{y|y>0} D ．{y|y≥0}【特别提醒】对于含有字母的函数求定义域或已知其定义域求字母参数的取值范围，必须对字母酌取值情况进行讨论，特别注意定义域不能为空集。

高考数学考前查漏补缺一. 本周教学内容： 考前查漏补缺 二. 重点知识回顾从近几年高考试题的革新看，有以下几个特点：（1）题量适当减少，尤其是选择题的个数在减少，今年北京卷的高考试题中调整为8个，但填空题由原来的4个增加至6个；（2）试卷结构更趋合理，通过题量及题型，既能更好地考查学生的知识水平，解题能力，又能给学生更多的思维时间和空间，更好地展现学生的思维水平；（3）试题的命制更具综合性与灵活性、新颖性，由于题量的减少，而又要考查的全面，就必然加强知识方法运用的综合性，这符合纲中的“在知识网络的交汇处”命题的原则。

此外，近几年的试题中加强了数学的应用意识（每年都会设置一道大的应用题），也在不断探索编制一些情境新颖，或能体现中等数学与高等数学的衔接的一些问题。

从试题的以上特点，不难得出我们的复习策略：（1）不必猜题、押题，这样做无疑既耗费精力又容易造成复习的不全面； （2）重视基础知识与方法的全面复习，争取以点带面；（3）树立整张试卷一盘棋的思想意识，要获取最后的胜利，就需要全局考虑，争取“能得分处多得分，难得分处要争分”；（4）考前的近半个月可做“温故”工作，即把一模，二模的试题重新检阅，以试题带动重点知识与方法的复习。

近些年的高考试题，对知识的考查既全面又突出重点，对课本中的重点知识与解题方法保持了较高的比例与深度，此外，在考查思维能力的同时，也兼顾考查学生的其他能力，如审题、分析能力，合理表述的能力，等等。

常见的问题有：①审题不慎；②计算不准；③表述不当；④时间安排不合理。

这些问题往往是导致失分的主要原因，不可不引起大家的重视。

高考试卷中重点考查的知识有哪些呢？不妨做一简略回顾。

（一）函数：定义域、值域、解析式、判断或证明函数的单调性、奇偶性、反函数、最值、图象。

（二）不等式：解不等式、证明不等式（常用比较法、数学归纳法）（三）数列：两种基本数列（等差数列与等比数列），递推关系式、极限、数学归纳法证明、求和。

2015高考数学易错、易混、易忘题分类汇编------------函数部分“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。

本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。

【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。

例1、设，，若，求实数a组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。

解析：集合A化简得，由知故（Ⅰ）当时，即方程无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当时，即方程的解为3或5，代入得或。

综上满足条件的a组成的集合为，故其子集共有个。

【知识点归类点拔】（1）在应用条件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。

有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：，，其中,若求r的取值范围。

将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B表示以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r的取值范围。

思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。

此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。

【练1】已知集合、，若，则实数a的取值范围是。