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线性系统2-2

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第二章 线性不变系统.

第二章 线性不变系统.

§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
常用傅里叶变换对
5. {d (x-a)}=exp(-j2pfxa) {exp(j2pfax)}= d (fx-fa)
6.
1 {cos (2pf 0 x) [d ( f x f 0 ) d ( f x f 0 )] 2 1 {sin(2pf 0 x) [d ( f x f 0 ) d ( f x f 0 )] 2j
0
圆对称函数的F.T. 仍是圆对称函数, 称为F-B (傅-贝)变 换,记为
-1{G()}
G() =
{g(r)}, g(r) =
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶-贝塞尔变换
例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.
1, r 1 , 定义: circ(r ) 0, 其它 r x2 y 2
1
是圆对称函数
{circ(r )} 2p rJ 0 (2pr )dr
0
作变量替换, 令r’ =2pr, 并利用:
J
0
2p 0
x
0 ( )d
xJ1 ( x)
J1 (2p )
{circ(r )}
1 2p
2

r ' J 0 (r ' )dr'

§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
用算符表示系统
g(x, y) = ℒ{f(x, y)}
线性系统定义:
输入
f(x, y)
ℒ{
}
输出
g(x, y)
令 g1(x, y) = ℒ{f1(x, y)}， g2(x, y) = ℒ{f2(x, y)} 若对任意复常数a1， a2有： ℒ{a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } = ℒ{a1 f1 (x, y)} + ℒ{a2 f2 (x, y) } = a1 ℒ{f1 (x, y)} + a2 ℒ{f2 (x, y) } = a1 g1 (x, y) + a2 g2 (x, y)

第二章 线性系统分析

第二章 线性系统分析
b0 y x sx a0
也就是说，理想的线性时不变系统 , 其输出 是输入的单调、线性比例函数。在这种关系上所 确定的测试系统的传输特性称为静态特性。
定度曲线：表示静态特性方程的图形称为测试系统 的定度曲线（特性曲线、校准曲线、标定曲线、定 标曲线）。 定度曲线是以输入x作为自变量，对应输出y作为因 变量，在直角坐标系中绘出的图形。
第二章 线性系统分析
测试系统与线性系统 线性系统分析基础 测试系统的传输特性 系统的噪声干扰与抑制

一、测试系统与线性系统
测试系统是指由传感器、信号调理电路、 信号处理电路、记录显示设备组成并具有获取 某种信息之功能的整体。
对象 传感器 变换装置
记录 显示 装置 处理 装置
测试系统基本要求 测试系统的输出信号能够真实地反映被测物理量 (输入信号)的变化过程，不使信号发生畸变，即 实现不失真测试。
系统分析的三类问题： 1)当输入、输出是可测量的(已知)，则可推断系统的传输特性。 (系统辨识) 2)当系统特性已知，输出可测量，则可推断导致该输出的输 入量。(反求) 3)如果输入和系统特性已知，则可以推断和估计系统的输出 量。(预测)
2、系统特性的描述： 系统特性的描述通常可用下列微分方程表达：
测量系统的静态特性有灵敏度、非线性度和回程误差。
1、灵敏度
若系统的输入x有一增量△x，引起输出y发生相 应变化△y时，则定义灵敏度S为: S=△y/△x
当系统的输出和输入具 有同一量纲时，则灵敏 度是一个无量纲的数。 常用“增益”或“放大 倍数”来替代灵敏度。



线性系统的灵敏度为常数，特性曲线是一条直线。 非线性系统的特性曲线是一条曲线，其灵敏度随 输入量的变化而变化。通常用一条参考直线代替 实际特性曲线（拟合直线），拟合直线的斜率作 b0 y 为测试系统的平均灵敏度。 s a0 x 灵敏度反映了测试系统对输入量变化反应的能力， 灵敏度愈高，测量范围往往愈小，稳定性愈差。 （合理选取） 当测试系统由多个相互独立的环节构成时，其总 灵敏度等于各环节灵敏度的乘积。 S=S1×S2×S3

线性系统理论(郑大钟第二版)第4章

线性系统理论(郑大钟第二版)第4章
第三章 线性系统的稳定性及李雅普诺夫 分析方法
§1 稳定性基本概念
一、外部稳定性与内部稳定性 1．外部稳定性 考虑一个线性因果系统,在零初始条件下,如果对应于任意有界输 入的输出均为有界，则称该系统是外部稳定的。
u(t ) k1
y(t ) k2
系统的外部稳定性也称有界输入－有界输出（BIBO）稳定性。 对于线性定常连续系统，外部稳定的充要条件是系统传递函数 的全部极点具有负实部。
n
it
i 1
i i
2．非线性系统情况 对于非本质性的非线性系统，可以在一定条件下用它的近似 线性化模型来研究它在平衡点的稳定性。
非线性自治系统： x f ( x)
f ( x )为n维非线性向量函数，并对各状态变量连续可微。
xe 0
是系统的一个平衡点。
将f ( x )在平衡点xe 邻域展成泰勒级数: f ( x ) f ( xe )
(t t0 )
则称平衡状态 xe 是稳定的。 可以将下式看成为状态空间中以 xe 为球心，以 为半径的一个超 球体，球域记为 S ( ) ；把上式视为以 xe为球心，以 为半径的一个 超球体，球域记为 S ( ) 。球域 S ( )依赖于给定的实数 和初始时间t 0 。
平衡状态 xe 是稳定的几何解释： 从球域 S ( )内任一点出发的运动 x(t; x0 , t0 )对所有的 t t0 都不超越球域 S ( ) 。 x2 一个二维状态空间中零平衡 S ( ) xe 0 是稳定的几何解释 状态 如右图 。 S ( ) 如果 与 t 0 无关，称为是 一致稳定，定常系统是一致 稳定的。 上述稳定保证了系统受扰运动的有 界性，通常将它称为李雅普诺夫意义 下的稳定，以区别于工程意义的稳定 (还应该具有对于平衡状态的渐进性)。

自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型

自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型



c(t ) e
dt Leabharlann t

c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0





0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方 程。
• 涉及的是线性系统 非线性系统必须 进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与 实际对应，通常将复杂系统分解为 若干典型环节的连接
数学模型的定义 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相 应的数学关系式，建立模型。 自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然 而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的 共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是 用来描述系统模型的基本定律。 实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当 的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 数学模型的形式 时间域： 复数域： 频率域： 微分方程 差分方程 传递函数 结构图 频率特性 状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10

第二章控制系统数学模型

第二章控制系统数学模型
s s 后，再求 F (s) 的极限值来求得。条件是当 t 和s 0时，等式两边各
有极限存在。
终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差，求取系统
输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算
定理。
7.初值定理： lim f (t) lim sF (s)
18
2
例2-1：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
uo
ui 输入
uo 输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
L di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
②
由②： i C d，uo代入①得： dt
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
3
例2-2 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力 F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的 位移y(t)之间的微分方程。
uR uc Us
把 uR i R
和
ic
C
duc dt
代入电路，可得到电路的
微分方程：
RC
duc dt
uc
Us
23
现在对于上面的微分方程，我们用Laplace变换求解。
首先，利用Laplace变换中的微分定理，将微分方程变换成如下形式：
RC
duc dt
uc
Us
RCsU c (s) Uc (s) Us R(s)
利用待定系数法可求得：
A 1 ARC B 0
F (s) L[ f (t)] f (t)e st dt 0

第2章 线性系统的状态空间描述

第2章 线性系统的状态空间描述
特征多项式 定义2.4 [特征矩阵] 特征矩阵] 定义
定义2.5 [特征多项式] 特征多项式] 定义
2.4 线性时不变系统的特征结构
特征多项式α(s)的计算方法 的 特征多项式
莱弗勒(Leverrier)递推算法 递推算法 莱弗勒
2.4 线性时不变系统的特征结构
α ( s ) = s n + α n −1s n −1 + L + α1s + α 0
0 1 0 A = 0 0 1 0 −1 −1
5，化下列各状态方程为对角线规范型或约当规范型 化下列各状态方程为对角线规范型或约当规范型
8 −8 −2 2 3 & x = 4 −3 −2 x + 1 5 u 3 −4 1 7 1
0 1 4 & x= x + 2 u −9 −6
作 业
6，计算下列状态空间描述的传递函数 计算下列状态空间描述的传递函数 −5 −1 2 & x= x + 5 u 3 −1 y = [1 2] x + 4u 7，给定反馈系统如下图所示 给定反馈系统如下图所示
& 为 x1 = y , x2 = y ，列出系统的状态方程和输
出方程
u
+ −
&& y
+
∫
by 2
& y
二次部件
∫
y
+ + +
a (t )
k
作 业
2，试求出下列各个输入输出描述的一个状态空间描述 试求出下列各个输入输出描述的一个状态空间描述
&&& + 2&& + 6 y + 3y = 5u y y & &&& + 2&& + 6 y + 3 y = 7u + 5u & y y & & & 3&&& + 6 && + 12 y + 9 y = 6u + 3u y y

线性系统理论PPT-郑大钟(第二版)


系统具有如下3个基本特征:
(1)整体性
1.结构上的整体性 2.系统行为和功能由整体 所决定
(2)抽象性
作为系统控制理论的研 究对象，系统常常抽去 了具体系统的物理，自 然和社会含义，而把它 抽象为一个一般意义下 的系统而加以研究。
(3)相对性
在系统的定义 中, 所谓“系统” 和“部分”这 种称谓具有相 对属性。
u1 u2

up
x1 x2
动力学部件

xn
输出部件
y1 y2

yq
连续时间线性系统的状态空间描述
线性时不变系统
x Ax Bu

y

Cx

Du
线性时变系统
x A(t)x B(t)u

y

C (t ) x

D(t
)u
连续时间线性系统的方块图
x A(t)x B(t)u
对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述
y (n) an1 y (n1) a1 y (1) a0 y bmu (m) bm1u (m1) b1u (1) b0u

H (k )
单位延迟
C(k)
y(k)
u(k)


G(k)
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
设系统的状态空间描述为 x f ( x,u, t) y g( x,u, t)
向量函数
f1(x,u,t)
g1(x,u,t)
f
(
x,u,
t
)


f
2
(
x,u,
e

线性系统课后答案第2章

2.1 Consider the memoryless system with characteristics shown in Fig 2.19, in which u denotes the input and y the output. Which of them is a linear system? Is it possible to introduce a new output so that the system in Fig 2.19(b) is linear?Figure 2.19Translation: 考虑具有图2.19中表示的特性的无记忆系统。

其中u 表示输入，y 表示输出。

下面哪一个是线性系统？可以找到一个新的输出，使得图2.19(b)中的系统是线性的吗？Answer: The input-output relation in Fig 2.1(a) can be described as:u a y *=Here a is a constant. It is a memoryless system. Easy to testify that it is a linear system. The input-output relation in Fig 2.1(b) can be described as:b u a y +=*Here a and b are all constants. Testify whether it has the property of additivity. Let: b u a y +=11*b u a y +=22*then:b u u a y y *2)(*)(2121++=+So it does not has the property of additivity, therefore, is not a linear system.But we can introduce a new output so that it is linear. Let:b y z -=u a z *=z is the new output introduced. Easy to testify that it is a linear system.The input-output relation in Fig 2.1(c) can be described as:u u a y *)(=a(u) is a function of input u . Choose two different input, get the outputs:111*u a y =222*u a y =Assure:21a a ≠then:221121**)(u a u a y y +=+So it does not has the property of additivity, therefore, is not a linear system.2.2 The impulse response of an ideal lowpass filter is given by)(2)(2sin 2)(00t t t t t g --=ωωω for all t , where w and to are constants. Is the ideal lowpass filter causal? Is is possible to built the filter in the real world?Translation: 理想低通滤波器的冲激响应如式所示。

信号与线性系统课件(第5版)管致中 第2章2-3及应用


得齐次解 (自由响应)为： y(t) =12e−t −11e−2t t ≥0
得全解(全响应)为： y(t) =12e−t −11e−2t +2e−3t
14
t ≥0
(4)零输入响应，特征根为：λ1 = −1, λ2 = −2
∴ yzi (t ) = A1e −t + A2e−2t
代入初始值，得
⎧A1 + ⎩⎨− A1
11
例
已知系统的转移算子 H ( p)
=
p2
p +2p+1
，初始条件为
r(0) = 1, r′(0) = 2, 试求系统的零输入响应 rzi(t)。并画出草图。
解：令 p2 + 2 p +1 = 0 得：p1 = p2 = −1
∴ rzi (t) = (C1 + C2t)e− t 代入初值得：
⎧r(0) = C1 = ⎩⎨r′(0) = −C1
一.冲激响应的定义
定义：当激励为单位冲激函数δ (t)时，系统的零状态响应称 为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。
h(t)
δ(t)
(1)
δ(t)
h(t)
LTI
0
t
零状态
0
t
冲激响应的一般形式：
δ (t)
h (t)
22
冲激响应的求法 � 直接求解法 � 间接求解法 � 转移算子法 � 拉普拉斯变换
� 受迫响应（强迫响应）
� 有输入激励时系统的响应。
� 对应于特解（只含外加激励频率项） 。
� 形式由微分方程的自由项或外加激励信号决定。
2
零输入响应与零状态响应
� 一个连续系统的完全响应，可以根据引起响应的不同原 因，将它分解为零输入响应和零状态响应两部分。 � 零输入响应

线性系统理论(第四章)线性系统的能控性和能观测性


An1B] T S 0
rankS n 系统状态不能控，与已知矛盾。
同理可证充分性。
例 线性定常连续系统的状态方程如下，判断其能控性。
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0
x
x u0 0 0 1 Nhomakorabea0
1
0 0 5 0 2 0
系统的特征值： 1 2 0 ,3 5 ,4 5
当 1 2 0 时：
② 系统能控：如果状态空间中的所有非零状态都是在 t0 时 刻可控的，则称系统在 t0 时刻是完全可控，简称系统在 时刻 t0 可控。如果系统对任意初始时刻 t0 完全可控， 则称系统一致可控。
③系统不完全能控：如果对给定得初始时刻 t0 Tt ，如果状
态空间中存在一个或一些非零状态在 t0 时刻是不可控的，则 称系统在 t0 时刻是不完全可控的，也称系统是不可控的。
x0TWC (0, t1)x0
t1 0
x0T
eAt
BBT
eAT t
x0
dt
t1 0
BT
eAT t
x0
2
dt
0,
BT eATt x0 0
x(t1) eAt1 x0
t1 eA(t1t) Bu(t) d t 0
0
x0
et1 -At1
0
Bu(t) d t
x0
2
x0T x0
[
et1 -At1
An1B] T S 0
T Ai B 0； i 0，1，2， ，n 1 应用凯-哈定理 An , An1 均可表示为A 的 n-1 阶多项式
T Ai B 0； i 0，1，2，3,
对 t1 0
(1)i T
Ai t i i!
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2012-3-24
2.7.1 特征值
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2.7.1 特征值
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2.7.2 特征多项式
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2.7.2 特征多项式
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2.7.2 特征多项式
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特征多项式的求解
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特征多项式的求解
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2.7.3 特征向量和广义特征向量
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例题
2012-3-24
例题
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线性系统在坐标变换下的特性
2012-3-24
线性系统在坐标变换下的特性
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线性时不变系统在坐标变换下的特性
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2012-3-24
2012-3-24
2.7 线性时不变系统的特征结构
2012-3-24
结论2.3(特征根两两相异)
2012-3-24Fra bibliotek结论2.3(特征根两两相异)
2012-3-24
比较：0<m<n，特征根两两相异
结论2.1 结论2.2 结论2.3
问题： 同一个系统为什么会有不同的状态空间描述？ 不同描述之间的关系是什么？
2012-3-24
由状态空间描述导出传递函数矩阵
线性系统分析与设计
主讲教师: 黎 明 E-Mail: limingneu@ 单 位：中国海洋大学 工程学院
2012-3-24
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内容
状态空间描述与输入输出描述之间的关系； 线性系统在坐标变换下的特性； 线性时不变系统的结构特征； 状态方程的约当规范型； 总结
2012-3-24
2.8 状态方程的约当规范形
2012-3-24
2012-3-24
2.8.2 特征值包含重值的情形
2012-3-24
2.8.2 特征值包含重值的情形
2012-3-24
2012-3-24
2012-3-24
2012-3-24
2.10 本章总结
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2012-3-24
2012-3-24
2.7.3 特征向量和广义特征向量
2012-3-24
2.7.3 特征向量和广义特征向量
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2.7.3 特征向量和广义特征向量
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2.7.3 特征向量和广义特征向量
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2.8 状态方程的约当规范形
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2012-3-24
对于多输入多输出系统
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传递函数矩阵
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2012-3-24
G(s)的基本关系式
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G(s)的基本关系式
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说明
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G(s)实用计算关系式
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2012-3-24
2012-3-24
状态空间描述与输入输出描述之间的关系
结构上的关系 参数间的关系
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由输入输出描述导出状态空间描述
结构上的关系
参数间的关系分析步骤
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结论2.1
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结论2.1
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结论2.2
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结论2.2
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结论2.3(特征根两两相异)