杭州二中2015学年第一学期高二年级期中考试数学试卷1

2023-2024学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线x −√3y −1=0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．某班共有45名学生，其中女生25名，为了解学生的身体状况，现采用分层抽样的方法进行调查，若样本中有5名女生，则样本中男生人数为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．93．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若DM →=13DD 1→，则MB →=（ ） A ．13AA 1→+AD →−AB →B ．−13AA 1→−AD →+AB →C ．−23AA 1→+AD →−AB →D ．23AA 1→−AD →+AB →4．已知向量a →2=3，b →=（2，0），|a →+b →|=1，则a →与b →的夹角等于（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π65．甲、乙两同学对同一组数据进行分析，甲同学得到的数据均值为x ，方差为s 2，乙同学不小心丢掉了一个数据，得到的均值仍为x ，方差为2，则下列判断正确的是（ ） A ．s 2＝2 B ．s 2＞2C ．s 2＜2D ．s 2与2的大小关系无法判断6．已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4，直线l ：x ﹣my +2m ＝0与圆C 相交于A 、B 两点，若圆C 上存在点P ，使得△ABP 为正三角形，则实数m 的值为（ ） A ．m =−43 B ．m =43 C ．m =−43或m ＝0D ．m =43或m ＝07．棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点N 在以A 为球心半径为1的球面上，点M 在平面ABCD 内且C 1M 与平面ABCD 所成角为60°，则M ，N 两点间的最近距离是（ ） A ．2√2−2√33B ．2√2−2√33−1C ．2√3−1D ．2√3−2√28．第19届亚运会的吉祥物由“琮琮”、“宸宸”和“莲莲”三类组成，现有印着三类吉祥物的挂件各2个（同类吉祥物完全相同，无区别），若把这6个挂件分给3位同学，每人2个，则恰好有一位同学得到同类吉祥物挂件的概率是（ ） A ．14B ．25C ．17D ．37二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年浙江省杭州市S9联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．已知集合M ＝{﹣1，0，1，2}，N ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≥0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{﹣1，0，1} B ．{0，1，2} C ．﹣1 D ．{﹣1}2．复数z =1−i2+i（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．15B ．35C ．−35D ．35i3．已知向量a →=(m ，2)，b →=(4，−8)，若a →=λb →，则实数m 的值是（ ） A ．﹣4B ．﹣1C ．1D ．44．函数y =(12)x 2−2x+1的单调道减区间为（ ）A ．（﹣∞，1]B ．[1，+∞）C ．(−∞，√2]D ．[√2，+∞)5．已知直线 l 1：ax ﹣3y ﹣3＝0，l 2：3x ﹣ay +1＝0，则“a ＝3”是“l 1∥l 2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为（ ） A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°7．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若点P 满足AP →=35AB →+13AD →+14AA 1→，则点P 到直线AB的距离为（ ） A ．25144B ．512C ．1320D ．√105158．设m ∈R ，若过定点A 的动直线x +my ＝0和过定点B 的动直线mx ﹣y ﹣m +2＝0交于点p （x ，y ），则|P A |•|PB |的最大值是（ ） A ．52B ．.2C ．.3D ．.5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

杭州二中2015学年第一学期高二年级期中考试数学试卷命题：李 鸽 校对：金 迪 审核：徐存旭时间：100分钟注意：本试卷不得使用计算器参考公式： 球的表面积公式 S =4πR 2 球的体积公式 V =43πR 3 其中R 表示球的半径 锥体的体积公式 V =13Sh其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高柱体的体积公式 V=Sh其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式()1213V h S S =其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 不等式0322>++-x x 的解集是A.)1,3(-B. )3,1(-C. ),3()1,(+∞⋃--∞D. ),1()3,(+∞⋃--∞ 2.已知0,>b a ，且13=+b a ，则ab 的取值范围是A.),63[+∞ B. ]121,0( C. ]121,241( D. ]63,0(3. 设m 为一条直线,βα,为两个不同的平面,则下列说法正确的是A ．若ββαα//,//,//m m 则B ．若,m αβα⊥⊥，则m β⊥C ．若ββαα⊥⊥m m 则,,//D ．若ββαα⊥⊥m m 则,//,4. 在等差数列}{n a 中，已知201=a ，前n 项和为n S ，且1510S S =，则n S 的最大值是 A ．110B ．120C ．130D ．1405. 若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则实数a 的取值范围为 A ．),523(+∞-B ．]1,523[-C ．(1,+∞)D ．)1,(--∞6.已知各棱长均为1的四面体ABCD 中， E 是AD 的中点，P ∈直线CE ，则|BP|＋|DP|的最小值为A.1＋63B.1＋63 C.1＋32 D.1＋327.若y x a y x +≤+2对+∈R y x ,恒成立，则实数a 的最小值是 A.2 B.3 C. 5 D. 28.设三个底面半径都为1的圆柱侧面两两相切，且它们的轴两两互相垂直，则与这三个圆柱侧面都相切的球的半径最小值等于 A. 12- B. 13- C. 25- D. 1二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.9. 已知圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的侧面面积=S .10.右图是某三棱锥的三视图，各个视图是全等的等腰直角三角形，且直 角边长为1，则这个三棱锥外接球的表面积是 .11.在等比数列{a n }中，各项均为正值，且4862142=+a a a a ,693=a a ,则=+84a a .12.设函数x x x f +-=11log )(21，则不等式)21()(log 21f x f ->的解集是 . 13.空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，则EF 与AB 所成角的大小为 .14.对一切实数x ，二次函数c bx ax x f ++=2)(的值均为非负实数，则cba +的最小值是 .15.已知三棱锥BCD A -，DC DB DA ,,两两垂直，且90=∠+∠+∠CAD BAC DAB ，则二面角D BC A --的余弦值的最大值为 .杭州二中2015学年第一学期高二年级期中考试数学答题卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在题中的横线上．9． 10．11． 12．13. 14.15.三、解答题：本大题共4小题．共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）如图：已知四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，该菱形的边长为1，60=∠ABC ，AC AA 平面⊥1.（1）设棱形ABCD 的对角线的交点为O ，求证： O A 1//平面C D B 11; （2）若四棱柱的体积23=V ，求C C 1与平面C D B 11所成角的正弦值.1B17.（本小题满分12分）（1）求关于x 的不等式)(012R a a x ax ∈>+--的解集. （2）求证：))(()(22222d c b a bd ac ++≤+，R d c b a ∈,,,.18.（本小题满足12分） 如图：已知正六边形ABCDEF 边长为1，把四边形CDEF 沿着FC 向上翻折成一个立体图形F E ABCD 11. （1）求证：A E FC 1⊥；（2）若1E B =时，求二面角C FB E --1的正切值.19.（本小题满足12分）数列{}n a 满足341=a ，2*11(N )n n n a a a n +=-+∈. （1）求证：n n a a >+1； （2）设201521111a a a m +++= ，求不超过m 的最大整数.杭州二中2015学年第一学期高二年级期中考试数学答案一．选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.9 10． π311． 152 12． )2,21(13. 12512ππ或 14. -115.31三、解答题：本大题共4小题．共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分10分）如图：已知四棱锥1111D C B A ABCD -的底面是棱形，该棱形的边长为1，60=∠ABC ，AC AA 平面⊥1.（1）设棱形ABCD 的对角线的交点为O ，求证： O A 1//平面C D B 11;（2）若四棱柱的体积23=V ，求C C 1与平面C D B 11所成角的正弦值. （1）证明：连接1111,D B C A 交于点G ，连接GC ，因为CO G A CO G A =11,//，于是四边形GCOA 1是平行四边形，故OG O A //1，又C DB OG 11平面⊂，故CD B O A 111//平面（2）解：设h AA =1，因为23sin =∠⋅⋅=ABC BC AB S 底，所以23==Sh V ，所以1=h . 11B因为1111C A D B ⊥，A A D B 111⊥，所以C A D B 111平面⊥所以C A C D B 111平面平面⊥，过GC H C ⊥1，于是C D B H C 111平面⊥所以CG C 1∠为所求角，且55sin 11==∠GC G C CG C .17.（本小题满分12分）（1）求关于x 的不等式R a a x ax ∈>+--,012的解集.解：若0<a ，解集为)1,11(-a；若0=a ，解集为)1,(-∞；若210<<a ，解集为),11()1,(+∞-⋃-∞a ；若21=a ，解集为),1()1,(+∞⋃-∞；若21>a ，解集为),1()11,(+∞⋃--∞a；（2）求证：))(()(22222d c b a bd ac ++≤+，其中d c b a ,,,都是实数.证明：0)(2))(()(2222222222≤--=--=++-+bc ad c b d a acbd d c b a bd ac 故))(()(22222d c b a bd ac ++≤+. 18.（本小题满足12分）如图：已知正六边形''''''F E D C B A ，边长为1，沿着''C F 向上翻折成一个立体图形ABCDEF.（1）求证：EA FC ⊥； （2）若210=EB 时，求二面角E-FB-C 的正切值. （1）证明：过E 作FC EH ⊥，连接AH ，于是FC AH ⊥ 又H EH AH =⋂，于是AHE FC 平面⊥，又FF1BAEH EA 平面⊂，故EA FC ⊥.（2）解：连接HB ，计算可得：23=EH ， 2760cos 222=⋅-+=CB CH CB CH BH由210=EB ，故222EB EH BH =+，所以HB EH ⊥，又FC EH ⊥，H FC HB =⋂，所以ABCF EH 平面⊥ 过H 作FB SH ⊥，连接ES ，则ESH ∠为所求角. 在ESH ∆中，23,41==EH SH ，32tan ==∠HS EH ESH . 19.数列{}n a 满足143a =，2*11(N )n n n a a a n +=-+∈. （1）求证：n n a a >+1；（2）设122013111m a a a =+++ ，求不超过m 的最大整数. （1）因为1341>=a ，故1)1()1()1()()()(1222221112211>+-++-+-=+-++-+-=-----a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ，于是n n n n n n a a a a a a =->+-=+2121.（2）解：)1(11-=-+n n n a a a ，于是nn n n n a a a a a 111)1(1111--=-=-+ 所以111111---=+n n n a a a 于是113)1111()1111()1111(2014201420133221--=---++---+---=a a a a a a a m 当2≥n 时，31341)1(1->+-=+n n n n a a a a ，于是)1(3411->-+n n a a ，故21)34(312014214>+⋅>a ，所以11102014<-<a ，所以不超过m 的最大整数是2.F。

2023-2024学年浙江省9+1高中联盟高二（上）期中数学试卷一.单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线l 的方程：x +√3y −1=0，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π32．若复数z 满足：z （1+2i ）＝8+i ，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣3B ．2C ．3D ．﹣3i3．“x ＜1”是“lnx ＜0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若函数f （x ）＝cos （2x +φ）（φ＞0）的图象关于直线x =−56π对称，则φ的最小值是（ ） A ．4π3B ．2π3C ．π3D ．π65．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AA 1，D ，E 分别为AC ，BC 的中点，则异面直线C 1D 与B 1E 所成角的余弦值为（ ）A ．√33B ．√55C ．√1010D ．√30106．若关于x 的不等式x 2﹣（m +1）x +9≤0 在[1，4]上有解，则实数m 的最小值为（ ） A ．9B ．5C ．6D ．2147．设椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 与双曲线C 2：x 2a 2−y 2b2=1的离心率分别为e 1，e 2，且双曲线C 2的渐近线的斜率小于√155，则e 2e 1的取值范围是（ ） A ．（1，4）B ．（4，+∞）C ．（1，2）D ．（2，+∞）8．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝2，△ACD 是正三角形，P A ⊥AC ，平面P AC ⊥平面PBC ，若点F 是△P AD 所在平面内的动点，且满足|F A |+|FD |＝2，点E 是棱PC （包含端点）上的动点，则当直线AE 与CD 所成角取最小值时，线段EF 的长度不可能为（ ）A ．√52B ．√62C ．√264D ．√72二.多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符 9．下列命题正确的是（ ）A ．集合A ＝{a ，b ，c } 的子集共有8个B ．若直线l 1：x +ay ﹣1＝0 与 l 2：a 2x −y +1=0 垂直，则a ＝1C ．若x 2+y 2＝1（x ，y ∈R ），则3x ﹣4y 的最大值为5D ．长、宽、高分别为1、2、3的长方体的外接球的表面积是14π10．已知向量a →=(−√2，cosθ)，b =(sinθ，1)，则下列命题正确的是（ ） A ．不存在θ∈R ，使得a →∥b →B ．当tanθ=√22时，a →⊥b →C ．对任意θ∈R ，都有|a →|≠|b →|D ．当a →⋅b →=√3时，a →在b →方向上的投影向量的模为35√511．已知直线l ：（λ+1）x +（1﹣λ）y +2λ＝0，⊙C ：x 2+y 2﹣4y ＝0，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 恒过定点（﹣2，4） B ．直线l 与⊙C 必定相交C ．⊙C 与⊙C 1：x 2+y 2−4x =0公共弦所在直线方程为y ＝xD ．当λ＝0时，直线l 与⊙C 的相交弦长是√2 12．设椭圆C ：x 24+y 2=1 的左、右焦点分别为 F 1F 2，椭圆C 的右顶点为A ，点P 、Q 都在椭圆C 上且P 、Q 关于原点对称，直线x ＝m 与椭圆C 相交于点M 、N ，则下列说法正确的是（ ） A ．四边形PF 1QF 2不可能是矩形 B ．△PQF 2周长的最小值为6C ．直线P A ，QA 的斜率之积为定值−14D ．当△F 2MN 的周长最大时，△F 2MN 的面积是√3三.填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应的横线上）13．若双曲线16x2﹣9y2﹣144＝0上一点M与它的一个焦点的距离为9，则点M与另一个焦点的距离为．14．已知一个圆锥的侧面积为6π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为．15．若直线l：x+y+m＝0与曲线C：y=√9−x2只有一个公共点，则实数m的取值范围是．16．已知扇形OPQ中，半径r＝2，圆心角为θ(0＜θ＜π2)．若要在扇形上截取一个面积为1的矩形ABCD，且一条边在扇形的一条半径上，如图所示，则tanθ的最小值为．四.解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsinA+√3acosB=0．（1）求角B的大小；（2）若a＝2，AC边上的中线BD=√3，求△ABC的面积S．18．（12分）亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国轮流主办，每四年举办一届.1951年第1届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，衢州举办了亚运知识竞赛活动．活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有40名选手参加，如图是其中男子组成绩的频率分布直方图（成绩介于85到145之间），（1）求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第8的选手分数；（2）若计划从男子组中105分以下的选手中随机抽样调查2个同学的答题状况，则抽到的选手中至多有1位是95分以下选手的概率是多少？（3）若女子组40位选手的平均分为117，标准差为11，试求所有选手的平均分和方差．19．（12分）已知双曲线C 的渐近线方程是y =±√3x ，点M （2，3）在双曲线C 上． （1）求双曲线C 的离心率e 的值；（2）若动直线l ：y ＝kx +1与双曲线C 交于A ，B 两点，问直线MA ，MB 的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．20．（12分）如图，四棱锥 P ﹣ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，BC ＝4，PC ＝PD ＝CD ＝2，M 为AD 的中点．（1）若BM ⊥PC ，求证：BM ⊥PM ； （2）若二面角P ﹣CD ﹣A 的余弦值为√33求直线PB 与平面P AD 所成角θ的正弦值．21．（12分）已知函数f （x ）＝3x 2﹣（2x ﹣a ）|x ﹣a |． （1）当a ＝0 时，求函数f （x ）的值域；（2）若不等式f （x ）≥33对 x ∈R 恒成立，求实数a 的最小值．22．（12分）已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F （1，0），且长轴长是短轴长的√2倍． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，F 1是椭圆的另一个焦点，若△ABF 1内切圆的半径r =√23，求直线l 的方程．2023-2024学年浙江省9+1高中联盟高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。

高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。

第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题 数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ­ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C 正确， 故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，， 则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ­ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分 又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=， 得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分 综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分 所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分 所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分 所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分 因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解： 作于点G ，连接FG ， 四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ， 则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分 又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分 点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分 当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-， 综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分 （或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分 解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。

2023-2024学年浙江省杭州二中高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线x 2＝4y 的准线方程为（ ） A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．y ＝1D ．y ＝﹣12．圆x 2+y 2﹣4x ＝0上的点到直线3x ﹣4y +9＝0的距离的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．53．设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足PD →=xPA →+(2−x)PB →+3xPC →，则x 的值为（ ） A ．0B ．−19C ．−13D ．−234．已知△ABC 的三个顶点分别为A （1，0，0），B （0，2，0），C （2，0，2），则BC 边上的中线长为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．25．设{a n }是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，且a 1＜0，S 4＝S 8，则（ ） A ．d ＜0B ．a 7＝0C ．S 12＝0D ．S n ≥S 76．用数学归纳法证明：f(n)=1+12+13+⋯+12n ≥n+22（n ∈N *）的过程中，从n ＝k 到n ＝k +1时，f （k +1）比f （k ）共增加了（ ） A ．1项B ．2k ﹣1项C ．2k +1项D ．2k 项7．若数列{a n }满足递推关系式a n+1=2a na n +2，且a 1＝2，则a 2024＝（ ） A ．11012B ．22023C ．11011D ．220218．设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB →=OF →，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得|OA |＝|OF |，且∠OAB ≥3∠OBA ，则Γ的离心率的取值范围是（ ） A ．[2√15−27，2√15+27]B ．(1，2√15+27]C ．(1，3√15+37] D ．[3√15−37，3√15+37]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知f （x ），g （x ）在R 上连续且可导，且f '（x 0）≠0，下列关于导数与极限的说法中正确的是（ ） A ．limΔx→0f(x 0−Δx)−f(x 0)Δx =f′(x 0)B ．limΔℎ→0f(t+Δℎ)−f(t−Δℎ)2Δℎ=f′(t)C ．limΔx→0f(x 0+3Δx)−f(x 0)3Δx =f′(x 0)D ．limΔx→0g(x 0+Δx)−g(x 0)f(x 0+Δx)−f(x 0)=g′(x 0)f′(x 0) 10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，正项等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则（ ） A ．数列{Sn n}是等差数列B ．数列{3a n }是等比数列C ．数列{lnT n }是等差数列D ．数列{T n+2T n}是等比数列 11．已知O 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的顶点，直线l 交抛物线于M ，N 两点，过点M ，N 分别向准线x =−p2作垂线，垂足分别为P ，Q ，则下列说法正确的是（ ）A ．若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与y 轴相切B ．若直线l 过焦点F ，则PF ⊥QFC ．若M ，N 两点的纵坐标之积为﹣8p 2，则直线l 过定点（4p ，0）D ．若OM ⊥ON ，则直线l 恒过点（2p ，0）12．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）A ．QC →=AD →+2AB →−2AA 1→B ．若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM →⋅BD →的最小值为1 C ．点F 到直线CQ 的距离是√173D ．异面直线CQ 与AD 1所成角的正切值为√17 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知f （x ）＝e sin x ，则f '（x ）＝ ．14．若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足|PA||PB|=2，则△P AB 面积的最大值为 ．15．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为（﹣1，0），则|PF||PA|的最小值为 ．16．意大利著名数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardoFibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割√5−12≈0.618，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为{a n}．记一个新的数列{b n}，其中b n的值为a n除以4得到的余数，则∑2024i=1b i=．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A．（1）求过点A的f（x）的切线方程；（2）若点B在函数f（x）图象上，且f（x）在点B处的切线与直线l平行，求B点坐标．18．（12分）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝9有两个不同的交点D，E．（1）求r的取值范围；（2）若r＝4，求线段DE的长．19．（12分）已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，S n=n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=(a n+1)⋅2a n，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，且P A＝PC，PB＝PD，（1）若AC与BD交于点O，证明：PO⊥平面ABCD；（2）棱PD上的点E满足PE＝2DE，若PA=√3，AB＝2，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．21．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，且对任意正整数n都有a n+1＝a n+n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，b n=n−(−1)n a n，（n∈N*），若A={n|n≤100且T n≤100，n∈N∗}，求集合A中所有元素的和．22．（12分）已知焦点在x轴上的椭圆C：x2a2+y2b2=1，长轴长为4，离心率为12，左焦点为F．点M在椭圆内，且MF⊥x轴，过点M的直线与椭圆交于A、B两点（点B在点A右侧），直线AN、BN分别与椭圆相切且交于点N．（1）求椭圆的方程；（2）若直线AF与直线BF的倾斜角互补，则M点与N点纵坐标之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．2023-2024学年浙江省杭州二中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线x 2＝4y 的准线方程为（ ） A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．y ＝1D ．y ＝﹣1解：因为抛物线的标准方程为：x 2＝4y ，焦点在y 轴上； 所以2p ＝4，即p ＝2，所以p2=1，所以准线方程y ＝﹣1，故选：D ．2．圆x 2+y 2﹣4x ＝0上的点到直线3x ﹣4y +9＝0的距离的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5解：化圆x 2+y 2﹣4x ＝0为（x ﹣2）2+y 2＝4，得圆心坐标为（2，0），半径为2． 圆心到直线3x ﹣4y +9＝0的距离d =|6+9|√3+4=3．∴圆x 2+y 2﹣4x ＝0上的点到直线3x ﹣4y +9＝0的距离的最小值为d ﹣r ＝3﹣2＝1． 故选：A ．3．设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足PD →=xPA →+(2−x)PB →+3xPC →，则x 的值为（ ） A ．0B ．−19C ．−13D ．−23解：因为A ，B ，C 三点不共线，点P 是平面α外一点，D 在平面α内， 由共面向量基本定理可得：存在唯一一对实数λ，μ，使得AD →=λAB →+μAC →， 即PD →−PA →=λ(PB →−PA →)+μ(PC →−PA →)，整理为PD →=(1−λ−μ)PA →+λPB →+μPC →， 与PD →=xPA →+(2−x)PB →+3xPC →相比较，可得{1−λ−μ=xλ=2−x μ=3x，解得x =−13．故选：C ．4．已知△ABC 的三个顶点分别为A （1，0，0），B （0，2，0），C （2，0，2），则BC 边上的中线长为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．2解：设BC 的中点为D ，则D （1，1，1），故AD →=(0，1，1)，则|AD →|=√2，即BC 边上的中线长为√2． 故选：B ．5．设{a n}是公差为d的等差数列，S n是其前n项和，且a1＜0，S4＝S8，则（）A．d＜0B．a7＝0C．S12＝0D．S n≥S7解：根据题意，{a n}是公差为d的等差数列，若S4＝S8，则S8﹣S4＝a5+a6+a7+a8＝0，变形可得：a6+a7＝0，则有a1+a12＝a6+a7＝0，又由a1＜0，则a12＞0，其公差d＞0，A错误；而a6+a7＝0，则a6＜0，a7＞0，B错误；Sn的最小值为S6，D错误；S12=(a1+a12)×122=0，C正确．故选：C．6．用数学归纳法证明：f(n)=1+12+13+⋯+12n≥n+22（n∈N*）的过程中，从n＝k到n＝k+1时，f（k+1）比f（k）共增加了（）A．1项B．2k﹣1项C．2k+1项D．2k项解：根据题意，证明f(n)=1+12+13+⋯+12n≥n+22时，f（k+1）中有2k+1项，f（k）中有2k项，则f（k+1）比f（k）增加了2k+1﹣2k＝2k项．故选：D．7．若数列{a n}满足递推关系式a n+1=2a na n+2，且a1＝2，则a2024＝（）A．11012B．22023C．11011D．22021解：∵a n+1=2a na n+2，∴1a n+1=a n+22a n，即1a n+1=12+1a n，∴1a n+1−1a n=12，又∵a1＝2，∴1a1=12，∴数列{1a n}是首项为12，公差为12的等差数列，∴1a n=12+12(n−1)=12n，∴a n=2 n ，∴a2024=22024=11012．故选：A ．8．设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB →=OF →，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得|OA |＝|OF |，且∠OAB ≥3∠OBA ，则Γ的离心率的取值范围是（ ） A ．[2√15−27，2√15+27]B ．(1，2√15+27]C ．(1，3√15+37] D ．[3√15−37，3√15+37]解：不妨设A 在第一象限，A 是以O 为圆心，OF 为半径的圆O 与Γ的交点． 设Γ的左焦点为X ，则∠XOA ＝∠OAB +∠OBA ≥4∠OBA ，∠AFO =12∠XOA ≥2∠OBA ，即∠F AB ≥∠FBA ，F A ≤FB ，在圆O 上取一点C ，使FC ＝FB ，则FC ≥F A ， 由双曲线的定义知CX ﹣CF ≤2a （a 是实半轴长）， 即（2a +CF ）2≥CX 2＝4c 2﹣CF 2（c 是半焦距），代入CF =FB =c 2，得(2a +c 2)2≥4c 2−c 24，解得e ∈(1，2+2√157]．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知f （x ），g （x ）在R 上连续且可导，且f '（x 0）≠0，下列关于导数与极限的说法中正确的是（ ） A ．lim Δx→0f(x 0−Δx)−f(x 0)Δx =f′(x 0)B ．limΔℎ→0f(t+Δℎ)−f(t−Δℎ)2Δℎ=f′(t)C ．limΔx→0f(x 0+3Δx)−f(x 0)3Δx =f′(x 0)D ．limΔx→0g(x 0+Δx)−g(x 0)f(x 0+Δx)−f(x 0)=g′(x 0)f′(x 0) 解：A ：lim △x→0f(x 0−△x)−f(x 0)△x =−lim △x→0f(x 0−△x)−f(x 0)−△x =−f ′（x 0），故A 错误；B ：lim△ℎ→0f(t+△ℎ)−f(t−△ℎ)2△ℎ=lim △ℎ→0f(t+△ℎ)−f(t−△ℎ)(t+△ℎ)−(t−△ℎ)=lim △ℎ→0f(t+2△ℎ)−f(t)2△ℎ=f ′（t ），故B 正确；C ：根据极限与导数的定义可判断C 正确；D：lim△x→0g(x0+△x)−g(x0)f(x0+△x)−f(x0)=lim△x→0g(x0+△x)−g(x0)△xf(x0+△x)−f(x0)△x=△x→0limg(x0+△x)−g(x0)△x△x→0limf(x0+△x)−f(x0)△x=g′(x0)f′(x0)，故D正确．故选：BCD．10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，正项等比数列{b n}的前n项积为T n，则（）A．数列{S nn}是等差数列B．数列{3a n}是等比数列C．数列{lnT n}是等差数列D．数列{T n+2T n}是等比数列解：根据题意，设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则S n=d2n2+(a1−d2)n⇒S nn=d2n+(a1−d2)，依次分析选项：对于A，S nn−S n−1n−1=d2(n≥2)是常数，故A正确；对于B，易知3a n3a n−1=3a n−a n−1=3d(n≥2)是常数，故B正确；对于C，由lnT n﹣lnT n﹣1＝lnb n（n≥2）不是常数，故C错误；对于D，T n+2T n÷T n+1T n−1=b n+2b n=q2(n≥2)是常数，故D正确．故选：ABD．11．已知O为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的顶点，直线l交抛物线于M，N两点，过点M，N分别向准线x=−p2作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（）A．若直线l过焦点F，则以MN为直径的圆与y轴相切B．若直线l过焦点F，则PF⊥QFC．若M，N两点的纵坐标之积为﹣8p2，则直线l过定点（4p，0）D．若OM⊥ON，则直线l恒过点（2p，0）解：设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线l过焦点F（p2，0）时，设其方程为x＝ty+p2，联立{x=ty+p2y2=2px，得y2﹣2pty﹣p2＝0，所以y1+y2＝2pt，y1y2＝﹣p2，所以x1+x2＝t（y1+y2）+p＝2pt2+p，对于选项A，线段MN中点坐标为（x1+x22，y1+y22），即（pt2+12p，pt），其到y轴的距离为pt2+12p，弦长|MN|＝x1+x2+p＝2pt2+2p，因此以MN为直径的圆的半径为|MN|2=pt2+p≠pt2+12p，所以以MN 为直径的圆与y 轴不相切，即选项A 错误； 对于选项B ，由题意知，P （−p 2，y 1），Q （−p2，y 2），所以PF →⋅QF →=（p ，﹣y 1）•（p ，﹣y 2）＝p 2+y 1y 2＝p 2﹣p 2＝0，即PF ⊥QF ，故选项B 正确； 当直线l 不过焦点F （p2，0）时，设其方程为x ＝ty +m （m ≠0），联立{x =ty +m y 2=2px，得y 2﹣2pty ﹣2pm ＝0，所以y 1y 2＝﹣2pm ，所以x 1x 2=y 122p ⋅y 222p =4p 2m 24p2=m 2， 对于选项C ，若M ，N 两点的纵坐标之积为﹣8p 2，则y 1y 2＝﹣2pm ＝﹣8p 2，所以m ＝4p ， 所以直线l 的方程为x ＝ty +4p ，过定点（4p ，0），即选项C 正确；对于选项D ，若OM ⊥ON ，则OM →⋅ON →=x 1x 2+y 1y 2＝m 2﹣2pm ＝m （m ﹣2p ）＝0， 因为m ≠0，所以m ＝2p ，所以直线l 的方程为x ＝ty +2p ，过定点（2p ，0），即选项D 正确． 故选：BCD ．12．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）A ．QC →=AD →+2AB →−2AA 1→B ．若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM →⋅BD →的最小值为1 C ．点F 到直线CQ 的距离是√173D ．异面直线CQ 与AD 1所成角的正切值为√17解：因为CQ →=CB →+BQ →=−AD →+2BA 1→=−AD →+2（AA 1→−AB →）＝﹣2AB →−AD →+2AA 1→， 所以QC →=−CQ →=−（﹣2AB →−AD →+2AA 1→）=AD →+2AB →−2AA 1→，故A 正确；如图以A 1为坐标原点，建立空间直角坐标系，则B （0，1，﹣1），D 1（﹣1，0，0），D （﹣1，0，﹣1），Q （0，﹣1，1），C （﹣1，1，﹣1），A （0，0，﹣1），P （1，﹣1，0），F （1，0，0），BD →=(−1，−1，0)，CQ →=(1，−2，2)，AD 1→=(−1，0，1)，CP →=(2，−2，1)，CF →=（2，﹣1，1），对于B ：因为M 为线段CQ 上的一个动点，设CM →=λCQ →，λ∈[0，1]， 则BM →=BC →+CM →=（﹣1，0，0）+λ（1，﹣2，2）＝（λ﹣1，﹣2λ，2λ）， 所以BM →•BD →=−（λ﹣1）+2λ＝λ+1，所以当＝1时，(BM →⋅BD →)max =2，故B 正确； 对于C ：|CF →|=√22+(−1)2+12=√6，CF →⋅CQ →|CQ →|=222=2， 所以点F 到直线CQ 的距离d =√|CF →|2−(CF →⋅CQ→|CQ →|)2=√2，故C 错误；对于D ：因为cos ＜CQ →，AD 1→＞=CQ →⋅AD 1→|CQ →|⋅|AD 1→|=13√2=√26， 所以sin ＜CQ →，AD 1→＞=√1−(√26)2=√346，所以tan〈CQ →，AD 1→〉=√17，即异面直线CQ 与 AD 1所成角的正切值为√17，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知f （x ）＝e sin x ，则f '（x ）＝ e sin x •cos x ． 解：根据题意，可得f '（x ）＝e sin x •（sin x ）′＝e sin x •cos x ． 故答案为：e sin x •cos x ．14．若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足|PA||PB|=2，则△P AB 面积的最大值为 3 ．解：平面内两定点A，B间的距离为3，设A（−32，0），B（32，0），P（x，y），由|PA||PB|=2，得√(x+3)2+y2√(x−2)2+y2=2，所以(x−52)2+y2=4，所以要使△P AB的面积最大，只需点P到AB的距离最大，如图所示：由图可知当点P到AB的距离h＝r＝2 时，△P AB面积的最大值，故S△P AB的最大值为12×3×2=3．故答案为：3．15．已知点P是抛物线y2＝4x上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为（﹣1，0），则|PF||PA|的最小值为√22．解：由抛物线的方程y2＝4x可得焦点F（1，0），A（﹣1，0）在准线上，过抛物线上的点P作PD垂直于准线交于D点，由抛物线的性质可得|PF|＝|PD|，在△P AD中，|PD||PA|=cos∠DP A＝cos∠P AF，所以|PD||PA|最小时，则cos∠P AF最小，则∠P AF最大，而∠P AF最大时即过点A的直线与抛物线相切，设P（x，y）在第一象限，y＞0，由y2＝4x可得y＝2√x，y'=√x，所以在P处的切线的斜率为√x =y−0x+1=2√xx+1，整理可得：2x＝x+1，解得x＝1，代入抛物线的方程可得y＝2，即P（1，2），所以|PF||PA|的最小值为|PD||PA|=√[1−(−1)]2+22=√22．故答案为：√2 2．16．意大利著名数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardoFibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割√5−12≈0.618，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为{a n}．记一个新的数列{b n}，其中b n的值为a n除以4得到的余数，则∑2024i=1b i=2698．解：由题意，斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…每项被4除所得的余数构成数列{b n}，可得数列{b n}的各项分别为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，即数列{b n}中各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，所以数列{b n}在一个周期内的和为1+1+2+3+1+0＝8，因为2024＝337×6+2，所以∑2024i=1b i=337×8+b1+b2＝2698．故答案为：2698．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A．（1）求过点A的f（x）的切线方程；（2）若点B在函数f（x）图象上，且f（x）在点B处的切线与直线l平行，求B点坐标．解：（1）设切点为（x0，f（x0）），切线斜率k=f′(x0)=3x02−1，∴切线方程为y−(x03−x0+1)=(3x02−1)(x−x0)，∵所求切线过点A（1，0），∴−x03+x0−1=3x02−1−3x03+x0，解得：x0＝0或x0=3 2．当x0＝0时切线方程为y＝﹣x+1；当x0=32时切线方程为y=234x−234．（2）由f′（x）＝3x2﹣1＝2，解得x＝±1，∴B（1，1）或B（﹣1，1）．18．（12分）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝9有两个不同的交点D，E．（1）求r的取值范围；（2）若r＝4，求线段DE的长．解：（1）由于圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝9有两个不同的交点，故|r﹣3|＜5＜r+3，整理得：2＜r＜8，即r∈（2，8）．（2）∵OD＝r＝4，所以：x2+y2＝16，根据圆与圆的位置，CD＝3，OC＝5，所以△OCD为直角三角形，利用面积相等，所以DE=2⋅3⋅45=245．19．（12分）已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，S n=n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=(a n+1)⋅2a n，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）根据题意，n≥2时，a n=s n−s n−1=n2−(n−1)2=2n−1，n＝1时，a1＝S1＝1＝2×1﹣1，故a n＝2n﹣1；（2）由（1）的结论，可知b n=2n⋅22n−1=n⋅22n=n⋅4n，故T n=b1+b2+⋯+b n=1⋅41+2⋅42+⋯+n⋅4n，可得4T n=1⋅42+2⋅43+⋅⋯⋅(n−1)⋅4n+n⋅4n+1，两式相减，得3T n=n⋅4n+1−(41+42+⋯+4n)=n⋅4n+1−1−4n1−4⋅4=n⋅4n+1−43⋅(4n−1)=(n−1 3)4n+1+43所以T n=(n3−19)⋅4n+1+49．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，且P A＝PC，PB＝PD，（1）若AC与BD交于点O，证明：PO⊥平面ABCD；（2）棱PD上的点E满足PE＝2DE，若PA=√3，AB＝2，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．（1）证明：由题意知，点O既是AC的中点，也是BD的中点，因为P A＝PC，PB＝PD，所以PO⊥AC∵PB＝PD，PO⊥BD⇒PO⊥AC又AC ∩BD ＝O ，AC 、BD ⊂平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．（2）解：以O 为坐标原点，OD ，OC ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B （−√2，0，0），C （0，√2，0），P （0，0，1），E （2√23，0，13）， 所以PB →=(−√2，0，−1)，BC →=(√2，√2，0)，CE →=(2√23，−√2，13)， 设平面PBC 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅PB →=0n →⋅BC →=0，即{−√2x −z =0√2x +√2y =0， 取x ＝1，则y ＝﹣1，z =−√2，所以n →=(1，−1，−√2)， 设直线CE 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜CE →，n →＞|=|CE →⋅n →||CE →|⋅|n →|=|2√23+√2−√23|√89+2+19×2=2√69， 故直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为2√69． 21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意正整数n 都有a n +1＝a n +n +1． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }的前n 项和为T n ，b n =n −(−1)n a n ，（n ∈N *），若A ={n|n ≤100且T n ≤100，n ∈N ∗}，求集合A 中所有元素的和．解：（1）由a 1＝1，且对任意正整数n 都有a n +1＝a n +n +1，即a n +1﹣a n ＝n +1， 可得a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+...+（a n ﹣a n ﹣1）＝1+2+3+...+n =12n （n +1）；（2）b n =n −(−1)n ⋅n(n+1)2，显然，当n 为偶函数，n −n(n+1)2＜0， T 2k =(1+2+⋯+2k)+12⋅[1⋅2−2⋅3+3⋅4−4⋅5+⋯+(2k −1)⋅2k −2k ⋅(2k +1)]=k ⋅(2k +1)+12⋅[−2⋅2−2⋅4−⋯−2⋅2k]＝2k 2+k ﹣（2+4+⋯+2k ）＝2k 2+k ﹣k （k +1）＝k 2，由k 2≤100， ∴k ≤10．则T 2，T 4，…，T 20满意题意；T 2k+1=k 2+(2k +1)+(2k +1)⋅(k +1)=3k 2+5k +2≤100，可得k ≤4， ∴T 1，T 3，T 5，T 7，T 9满足．∴A 中所有元素和为（1+3+5+7+9）+（2+4+⋯+20）＝25+110＝135． 22．（12分）已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1，长轴长为4，离心率为12，左焦点为F ．点M 在椭圆内，且MF ⊥x 轴，过点M 的直线与椭圆交于A 、B 两点（点B 在点A 右侧），直线AN 、BN 分别与椭圆相切且交于点N ． （1）求椭圆的方程；（2）若直线AF 与直线BF 的倾斜角互补，则M 点与N 点纵坐标之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．解：（1）椭圆C 的长轴长为4，则2a ＝4，所以a ＝2， 又离心率为12，所以c ＝1，所以b =√3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1．（2）由（1）知，x 24+y 23=1，由点M 在椭圆内，且MF ⊥x 轴，设M （﹣1，y μ），则直线AB 的方程为y ﹣y μ＝k （x +1），联立直线和椭圆的方程，可得{y =kx +k +y μ3x 2+4y 2=12，则3x 2+4(kx +k +y μ)2=12，所以(4k 2+3)x 2+8(k +y μ)⋅kx +4⋅(k +y μ)2−12=0， 所以{x 1+x 2=−8(k+y μ)k4k 2+3x 1x 2=4(k+y μ)2−124k 2+3，所以k AF =k BF ⇔y 1x 1+1=−y 2x 2+1， 所以（x 2+1）•y 1+（x 1+1）•y 2＝0，所以（x 2+1）（kx 1+k +y μ）+（x 1+1）•（kx 2+k +y μ）＝0， 所以2（2x 1x 2+（2k +y μ）（x 1+x 2）+2（k +y μ）＝0，2k 2+3ky μ+y μ2⇔2k[4(k 2+y μ)2−12]−8k(2+k μ)(2k +y μ)+2⋅(k +y μ)⋅(4k 2+3)=0 ⇔8k 2+16k 2y μ+8ky μ2−24k −16k 3−24k 2y μ−8ky μ2+8k 2+6k +8k 2y μ+6y μ=0，所以6y μ＝18k ，所以y μ＝3k ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则直线AN 的方程为x⋅x 14+y⋅y 13=1，所以x =4x 1⋅(1−y⋅y 13)， 直线BN 的方程为x⋅x 24+y⋅y 23=1，所以x =4x 2⋅(1−y⋅y 23)，所以1−y⋅y 13x 1=1−y⋅y 23x 2，所以x2（3﹣y•y1）＝x1•（3﹣y•y2），3（x2﹣x1）＝（x2y1﹣x1y2）•y N，所以y N=3(x2−x1)x2y1−x1y2．因为x2y1﹣x1y2＝x2（kx1+k+yμ）﹣x1（kx2+k+yμ）＝（k+yμ）（x2﹣x1），所以y N=3k2+yμ=34k，所以yμ⋅y N=94为定值．。

2014-2015学年杭州二中高二（上）开学考数学模拟试卷（理科）注意事项：(1) 试卷共有三大题21小题，满分100分，考试时间100分钟. (2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.参考公式： 球的表面积公式 柱体的体积公式 S =4πR 2 V =Sh球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 V =34πR 3 台体的体积公式 其中R 表示球的半径 V =31h (S 1+21S S +S 2) 锥体的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积， V =31Sh h 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高如果事件A ，B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )一、选择题（40分） 1．（4分）直线的倾斜角是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．（4分）已知a ，b 为非零实数，且a ＜b ，则下列命题一定成立的是（ ）A ． a 2＜b 2B ．C ． a 3b 2＜a 2b 3D ． ac 2＜bc 23．（4分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则△ABC 的形状一定是（ ）4．（4分）已知x ∈（﹣，0），cosx=，则tan2x=（ ）A ．B ．C ．D ．6．（4分）设a ＞0，b ＞0，若是3a和3b的等比中项，则的最小值为（ ）A ．6B ．C ． 8D ．97．（4分）设函数，则方程f （x ）=x 2+1的实数解的个数为（ ）A ．1B ． 2C ． 3D ．48．（4分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（ ） ．CD ．9．（4分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＞S 7＞S 5，则满足S n •S n+1＜0的正整数n 的值为（ ） A ．10 B ． 11 C ． 12 D ．1310．（4分）已知点，过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2 B．C．D．4二、填空题（21分11．（3分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n（n∈N*），则a2=_________．12．（3分）函数的最小值为_________．13．（3分）直线（m﹣1）x+3y+m=0与直线x+（m+1）y+2=0平行，则实数m=_________．14．（3分）直线l：mx﹣y+2﹣m=0与圆C：x2+（y﹣1）2=5的位置关系是_________．15．（3分）设α是锐角，且，则cosα=_________．16．（3分）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则= _________．17．（3分）等比数列{a n}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a9a10﹣1＞0，a9a10﹣a9﹣a10+1＜0．给出下列结论：①0＜q＜1；②T10的值是T n中最大的；③使T n＞1成立的最大自然数n等于18．其中正确结论的序号是_________．三、解答题（39分，（9+9+9+12）18．（9分）已知函数f（x）=x2+ax+a+1（a∈R）．（Ⅰ）当a=5时，解不等式：f（x）＜0；（Ⅱ）若不等式f（x）＞0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．19．（9分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a2+b2+ab=c2．（Ⅰ）求角C的度数；（Ⅱ）若a+b=10，求△ABC周长的最小值．20．（9分）过点O（0，0）的圆C与直线y=2x﹣8相切于点P（4，0）．（1）求圆C的方程；（2）已知点B的坐标为（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值．21．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{c n}的通项公式为c n=2n，求数列{a n•c n}的前n项和S n；（Ⅲ）若数列{b n}满足，且b2=4．证明：数列{b n}是等差数列，并求出其通项公式．2014-2015学年浙江省杭州市第二中学高二（上）开学考数学模拟试卷答案一、选择题（40分）．C D．C3．（4分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的形状一定是（）=利用正弦定理化简得：=，即4．（4分）已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x=（）．C D．cosx=，，所以=﹣，结合可求=646．（4分）设a＞0，b＞0，若是3a和3b的等比中项，则的最小值为（）C乘以替换后利用基本不等式可求是7．（4分）设函数，则方程f（x）=x2+1的实数解的个数为（）8．（4分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）．C D．，，作出图象，根据图象可求出，，，共线时达到最值，最大值为[，=6，∴∴=610．（4分）已知点，过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为C D的可行域如下图示：二、填空题（21分）11．（3分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n（n∈N*），则a2=2．12．（3分）函数的最小值为1．解：∵≤，∴当时，13．（3分）直线（m﹣1）x+3y+m=0与直线x+（m+1）y+2=0平行，则实数m=﹣2．14．（3分）直线l：mx﹣y+2﹣m=0与圆C：x2+（y﹣1）2=5的位置关系是相交．）为圆心，半径等于15．（3分）设α是锐角，且，则cosα=．+）﹣，利用（=+==）﹣]×+×=故答案为：16．（3分）（2014•南昌模拟）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则=4．由题意建立直角坐标系，可得及，的坐标，而原式可化为（，（）=，）或（，，=+==，，）17．（3分）等比数列{a n}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a9a10﹣1＞0，a9a10﹣a9﹣a10+1＜0．给出下列结论：①0＜q＜1；②T10的值是T n中最大的；③使T n＞1成立的最大自然数n等于18．其中正确结论的序号是①③．三、解答题（39分，（9+9+9+12）18．（9分）已知函数f（x）=x2+ax+a+1（a∈R）．（Ⅰ）当a=5时，解不等式：f（x）＜0；（Ⅱ）若不等式f（x）＞0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．219．（9分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a2+b2+ab=c2．（Ⅰ）求角C的度数；（Ⅱ）若a+b=10，求△ABC周长的最小值．cosC=﹣﹣（．20．（9分）过点O（0，0）的圆C与直线y=2x﹣8相切于点P（4，0）．（1）求圆C的方程；（2）已知点B的坐标为（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值．垂直的直线，半径为的最小值是．21．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{c n}的通项公式为c n=2n，求数列{a n•c n}的前n项和S n；（Ⅲ）若数列{b n}满足，且b2=4．证明：数列{b n}是等差数列，并求出其通项公式．为公比的等比数列．∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（）∵，∴∴）∵，∴，，∴。

浙江省杭州市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合{}N 12A x x =∈-≤≤，{}2,1,0,1B =--，则A B = （）A ．{}2,1,0,1,2--B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．{}12．若函数()1f x +的定义域是{}10x x -<<，则函数()f x 的定义域为（）A ．{}01x x <<B ．{}21x x -<<-C ．{}10x x -<<D ．{}20x x -<<3．不等式20cx ax b ++>的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则函数2y ax bx c =+-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知()e e x x xf x a -=+是偶函数，则a =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．已知命题p ：0x ∃≥，111x x +<+，则（）A ．命题p 的否定为0x ∀≥，111x x +≥+，且p 是真命题B ．命题p 的否定为0x ∃≥，111x x +≥+，且p 是真命题C ．命题p 的否定为0x ∀≥，111x x +≥+，且p 是假命题D ．命题p 的否定为0x ∀<，111x x +≥+，p 是假命题6．已知函数2()32x a x f x ax x ⎧≤=⎨+>⎩，，是R 上的增．函数，则实数a 的取值范围为（）A ．1a >B ．13a <<C ．13a -≤≤D ．13a <£7．已知,,abc 为正数，且22a b c ++=，则14a b b c +++的最小值为（）A ．52B ．52C ．92D ．948．已知函数341()=41x x f x x -++，则不等式(21)()0f x f x -+<的解集为（）A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞C ．1(,)3+∞D ．1(,)3-∞二、多选题9．设,R a b ∈，若0a b ->，则下列结论正确的是（）A ．0b a ->B ．0b a +>C ．220a b ->D ．330a b +<10．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（）A ．三项比赛都参加的有2人B ．只参加100米比赛的有3人C ．只参加400米比赛的有3人D ．只参加1500米比赛的有3人11．设R x ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，如][1.51, 1.52⎡⎤=-=-⎣⎦，记{}[]x x x =-.则下列说法正确的有（）A ．R,Z x n ∀∈∈，都有[][]n x n x +=+B ．,x y ∀∈R ，都有[][][]xy x y ≥C ．*R,N x n ∀∈∈，都有[]x x n n ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．若存在实数x ，使得23[]1,[]2,[]3,...,[]n x x x x n ====同时成立，则正整数n 的最大值为4.三、填空题12．设集合(){}22,2,N,N A x y x y x y =+≤∈∈，则A 中元素的个数为13．如果2339x x --<，则x 的取值范围为.14．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12x x D ∈,当12x x <时，有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0;f =②1()()32x f f x =；③(1)()1f x f x -+=.则21((55f f +=四、解答题15．已知命题22:R,60p x x x a ∃∈-+=，当命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为A .(1)求集合A ；(2)设集合{}321B a m a m =-≤≤-，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16．已知函数()4(0)4x xa f x a =+≠(1)当1a =时，根据定义证明函数()f x 在(0,+∞）上单调递增.(2)若()f x 有最小值4，求a 的值.17．某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为7502m 的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m 的小路，中间,,A B C 三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中,B C 区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为m x ，鲜花种植的总面积为2m S .(1)用含有x 的代数式表示a ，并写出x 的取值范围；(2)当x 的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？18．设函数()222f x x tx =-+，其中R t ∈.(1)若1t =，（i ）当[0,3]x ∈时，求()f x 的最大值和最小值;（ii ）对任意的[]0,2x a ∈+，都有()5f x ≤，求实数a 的取值范围；(2)若对任意的12,[0,4]x x ∈，都有()()128f x f x -≤，求实数t 的取值范围.19．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2()4f x x x =-+.(1)求()f x 的解析式；(2)当()f x 的定义域为[,]a b （0a ）时，()f x 的值域为[,]a b ，求,a b 的取值.(3)是否存在实数,a b ，使得当()f x 的定义域为[,]a b 时，()f x 的值域为88[,b a，如果存在，求出,a b 的值；若不存在，请说明理由.。

浙江省杭州第二中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题B卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.【答案】AC10.【答案】BCD11.【答案】ABD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.13.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算直接表示各向量；（2）利用转化法可得向量数量积.【小问1详解】，；【小问2详解】由题意易知，则，，则．16.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的矩形面积和为1求出的值；（2）由每日人均业务量的平均值分别求出方案（1）和（2）的人均日收入；比较大小后再做选择；122DM a b c =--+ 12BE b c =+ 2()111222DM DE EF FM AB AB AF AA a b c =++=--++=--+ ()111122BE BA AF FE EE AB AF AB AF AA AF AA b c =+++=-++++=+=+ 2a b c === 2π1cos 22232a b a b ⎛⎫⋅=⨯=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭0a c ⋅= ()11222DM BE a b c b c ⎛⎫⋅=--+⋅+ ⎪⎝⎭ 2214222a b a c b b c b c c =-⋅-⋅--⋅+⋅+ 2214222a b a c b c =-⋅-⋅-+ ()2214222222=-⨯--⨯+⨯=a（3）用40除以400得到，该员工收入需要进入公司群体人员收入的前10%，即超过90%，分析90%是否在前5组频率和以及前6组频率和之间，设对应销为，由频率分布直方图的百分位数的公式得到对应的值.【小问1详解】∵，∴【小问2详解】每日人均业务量的平均值为：，方案（1）人均日收入为：元，方案（2）人均日收入为：元，∵248元>224元，所以选择方案（2）【小问3详解】∵，即设该销售员收入超过了90%的公司销售人员.由频率分布直方表可知：前5组的频率和为前6组的频率和为∵，设该销售的每日的平均业务量为，则，∴，又∵∴最小取82，故他每日的平均业务量至少应达82单.17.【解析】【分析】（1）设P (x,y )，由，得动点的轨迹方程；（2）利用圆心到直线的距离等于半径，求切线方程.【小问1详解】x x ()()0.005320.030.01535251a ⨯+++⨯-=0.02a =()300.005400.005500.02600.03700.02800.015900.0051062⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=100622224+⨯=()20062504248+-⨯=404000.1÷=()0.00520.020.030.02100.8⨯+++⨯=()0.00520.020.030.020.015100.95⨯++++⨯=0.80.90.95<<x ()750.0150.80.9x -⨯+>81.7x >N x *∈x 4PA PB ⋅=- P设P (x,y )，则，，由，得，所以曲线的标准方程为.【小问2详解】曲线是以为圆心，1为半径的圆，过点的直线若斜率不存在，直线方程这，满足与圆相切；过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即，有圆心到直线距离，解得，则方程为.过点且与曲线相切直线的方程为或.18.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，从而可证得结论；（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．（3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出线段上是存在点，使得平面平面，进而可求得的值．【小问1详解】证明：正方形与梯形所在的平面互相垂直，交线为，又，平面，所以平面，因为平面，所以；【小问2详解】的(1,2)PA x y =-- (3,6)PB x y =-- ()()()()13264PA PB x x y y ⋅=--+--=- ()()22241x y -+-=C ()()22241x y -+-=C ()2,4(1,2)A 1x =C (1,2)A ()21y k x -=-20kx y k -+-=1d 34k =3450x y -+=(1,2)A C 1x =3450x y -+=DE ⊥ABCD D DA x DC y DE z BDF CDE BDM BDF EC M BDM ⊥BDF EM ECADEF ABCD AD AD DE ⊥DE ⊂ADEF DE ⊥ABCD CD ⊂ABCD CD ED ⊥由（1）可得，，又，如图，以原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．设，则,0,，,1,，,0,，,2,，,0,，取平面的一个法向量，设平面的一个法向量,,，因为，则，令，则，所以,,．设平面与平面所成角的大小为，则．所以平面与平面【小问3详解】若与重合，则平面的一个法向量,由（2）知平面的一个法向量,,，则，则此时平面与平面不垂直．若与不重合，如图设，则,,，设平面的一个法向量,,，则，为AD DE ⊥CD DE ⊥AD CD ⊥D DA DC DE x y z D xyz -1AD =(0D 0)(1B 0)(1F 1)(0C 0)(0E 1)CDE (1,0,0)DA = BDF (n x = y )z ()()1,1,0,1,0,1DB DF == 00n DB x y y x z x n DF x z ⎧⋅=+==-⎧⎪⇒⎨⎨=-⋅=+=⎩⎪⎩ 1x =1y z ==-(1n = 1-1)-BDF CDE θcos cos ,DA n θ=== BDF CDE M C BDM ()00,0,1m = BDF (1n = 1-1)-010m n ⋅=-≠ BDF BDM M C (01)EM ECλλ=<<(0M 2λ1)λ-BDM 0(m x = 0y 0)z 00m BD m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，令，则，，所以，平面平面等价于，即，所以．所以，线段上存在点使平面平面，且．19.【解析】【分析】（1）根据题意列出方程，求得 ,即得答案；（2）确定，求出直线方程，联立椭圆方程求得，表示出直线的方程，进而求得坐标，结合直线斜率关系，可证明结论.【小问1详解】由题意可得 ,解得故椭圆E 的方程为．【小问2详解】证明：由（1）可知，，则直线的方程为联立方程组,整理得，解得或，则，设，直线的方程为，直线的方程为，设，的000002(1)0x y y z λλ+=⎧⎨+-=⎩01x =01y =-021z λλ=-21,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭BDM ⊥BDF 0m n ⋅=r r 21101λλ+-=-1[0,1]2λ=∈EC M ⊥BDFBDM 12EM EC =,a b ()()0,1,1,0A F AF 41,33B ⎛⎫-⎪⎝⎭,AP BP ,C D 2222121423144a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩2212x y +=()()0,1,1,0A F AF 1y x =-+22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩224400x x -=0x =43x =41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭()2,P t AP 112t y x -=+BP 31212t y x t +=--()()1122,,,C x y D x y联立方程组，整理得，可得，联立方程组，整理得，则，得从而．因为，，即，所以三点共线，所以直线经过点F ．2212112x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩()()2223410t t x t x -++-=2224421,2323t t t C t t t t ⎛⎫-+-++ ⎪-+-+⎝⎭221231212x y t y x t ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=--⎪⎩()()22229632422416160t t x t t x t t ++-++++=222416163963x t t t t +=++22244321t t x t t +=++22224421,321321t t t t D t t t t ⎛⎫+-- ⎪++++⎝⎭2222222210212123442121123CF t t t t t t t t k t t t t t t t -++--++---+===-+--++---+22222222210021321441211321DF t t y t t t t k t t x t t t t ------++===+-+--++CF DF k k =,,C D F CD。

杭州二中2015学年第一学期高二年级期中考试数学试卷命题：李 鸽 校对：金 迪 审核：徐存旭时间：100分钟注意：本试卷不得使用计算器参考公式： 球的表面积公式 S =4πR 2 球的体积公式 V =43πR 3 其中R 表示球的半径 锥体的体积公式V =13Sh 其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高柱体的体积公式 V=Sh其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式()1213V h S S =其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 不等式0322>++-x x 的解集是A.)1,3(-B. )3,1(-C. ),3()1,(+∞⋃--∞D. ),1()3,(+∞⋃--∞ 2.已知0,>ba ，且13=+b a ，则ab 的取值范围是A.),63[+∞ B. ]121,0( C. ]121,241( D. ]63,0( 3. 设m 为一条直线,βα,为两个不同的平面,则下列说法正确的是A ．若ββαα//,//,//m m 则B ．若,m αβα⊥⊥，则m β⊥C ．若ββαα⊥⊥m m 则,,//D ．若ββαα⊥⊥m m 则,//,4. 在等差数列}{n a 中，已知201=a ，前n 项和为n S ，且1510S S =，则n S 的最大值是 A ．110B ．120C ．130D ．1405. 若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则实数a 的取值范围为 A ．),523(+∞-B ．]1,523[-C ．(1,+∞)D ．)1,(--∞6.已知各棱长均为1的四面体ABCD 中， E 是AD 的中点，P ∈直线CE ，则|BP|＋|DP|的最小值为A.1＋63B.1＋63 C.1＋32 D.1＋327.若y x a y x +≤+2对+∈R y x ,恒成立，则实数a 的最小值是 A.2 B.3 C. 5 D. 28.设三个底面半径都为1的圆柱侧面两两相切，且它们的轴两两互相垂直，则与这三个圆柱侧面都相切的球的半径最小值等于 A. 12- B. 13- C. 25- D. 1二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.9. 已知圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的侧面面积=S .10.右图是某三棱锥的三视图，各个视图是全等的等腰直角三角形，且直 角边长为1，则这个三棱锥外接球的表面积是 .11.在等比数列{a n }中，各项均为正值，且4862142=+a a a a ,693=a a ,则=+84a a .12.设函数x x x f +-=11log )(21，则不等式)21()(log 21f x f ->的解集是 . 13.空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，则EF 与AB 所成角的大小为 . 14.对一切实数x ，二次函数c bx ax x f ++=2)(的值均为非负实数，则cba +的最小值是 .15.已知三棱锥BCD A -，DC DB DA ,,两两垂直，且90=∠+∠+∠CAD BAC DAB ，则二面角D BC A --的余弦值的最大值为 .杭州二中2015学年第一学期高二年级期中考试数学答题卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在题中的横线上．9． 10．11． 12．13. 14.15.三、解答题：本大题共4小题．共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）如图：已知四棱柱1111D CB A ABCD -的底面是菱形，该菱形的边长为1，60=∠ABC ，AC AA 平面⊥1.（1）设棱形ABCD 的对角线的交点为O ，求证： O A 1//平面C D B 11; （2）若四棱柱的体积23=V ，求C C 1与平面C D B 11所成角的正弦值.1B17.（本小题满分12分）（1）求关于x 的不等式)(012R a a x ax ∈>+--的解集. （2）求证：))(()(22222d c b a bd ac ++≤+，R d c b a ∈,,,.18.（本小题满足12分） 如图：已知正六边形ABCDEF 边长为1，把四边形CDEF 沿着FC 向上翻折成一个立体图形F E ABCD 11. （1）求证：A E FC 1⊥；（2）若1E B =时，求二面角C FB E --1的正切值.19.（本小题满足12分）数列{}n a 满足341=a ，2*11(N )n n n a a a n +=-+∈. （1）求证：n n a a >+1； （2）设201521111a a a m +++= ，求不超过m 的最大整数.杭州二中2015学年第一学期高二年级期中考试数学答案一．选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在题中的横线上．910． π311． 12． )2,21(13. 12512ππ或 14. -115.31三、解答题：本大题共4小题．共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分10分）如图：已知四棱锥1111D C B A ABCD -的底面是棱形，该棱形的边长为1，60=∠ABC ，AC AA 平面⊥1.（1）设棱形ABCD 的对角线的交点为O ，求证： O A 1//平面C D B 11;（2）若四棱柱的体积23=V ，求C C 1与平面C D B 11所成角的正弦值.（1）证明：连接1111,D B C A 交于点G，连接GC ，因为CO G A CO G A =11,//，于是四边形GCO A 1是平行四边形，故11BOG O A //1，又C D B OG 11平面⊂，故C D B O A 111//平面（2）解：设h AA =1，因为23sin =∠⋅⋅=ABC BC AB S 底，所以23==Sh V ，所以1=h . 因为1111C A D B ⊥，A A D B 111⊥，所以C A D B 111平面⊥所以C A C D B 111平面平面⊥，过GC H C ⊥1，于是C D B H C 111平面⊥所以CG C 1∠为所求角，且55sin 11==∠GC G C CG C .17.（本小题满分12分）（1）求关于x 的不等式R a a x ax ∈>+--,012的解集.解：若0<a ，解集为)1,11(-a；若0=a ，解集为)1,(-∞；若210<<a ，解集为),11()1,(+∞-⋃-∞a ；若21=a ，解集为),1()1,(+∞⋃-∞；若21>a ，解集为),1()11,(+∞⋃--∞a；（2）求证：))(()(22222d c b a bd ac ++≤+，其中d c b a ,,,都是实数.证明：0)(2))(()(2222222222≤--=--=++-+bc ad c b d a acbd d c b a bd ac 故))(()(22222d c b a bd ac ++≤+. 18.（本小题满足12分）如图：已知正六边形''''''F E D C B A ，边长为1，沿着''C F 向上翻折成一个立体图形ABCDEF. （1）求证：EA FC ⊥；F1B（2）若210=EB 时，求二面角E-FB-C 的正切值. （1）证明：过E 作FC EH ⊥，连接AH ，于是FC AH ⊥又H EH AH =⋂，于是AHE FC 平面⊥，又AEH EA 平面⊂，故EA FC ⊥.（2）解：连接HB ，计算可得：23=EH ， 2760cos 222=⋅-+=CB CH CB CH BH由210=EB ，故222EB EH BH =+，所以HB EH ⊥，又FC EH ⊥，H FC HB =⋂，所以ABCF EH 平面⊥ 过H 作FB SH ⊥，连接ES ，则ESH ∠为所求角. 在ESH ∆中，23,41==EH SH ，32tan ==∠HSEH ESH . 19.数列{}n a 满足143a =，2*11(N )n n n a a a n +=-+∈. （1）求证：n n a a >+1；（2）设122013111m a a a =+++，求不超过m 的最大整数. （1）因为1341>=a ，故1)1()1()1()()()(1222221112211>+-++-+-=+-++-+-=-----a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ，于是n n n n n n a a a a a a =->+-=+2121.（2）解：)1(11-=-+n n n a a a ，于是nn n n n a a a a a 111)1(1111--=-=-+所以111111---=+n n n a a a 于是113)1111()1111()1111(2014201420133221--=---++---+---=a a a a a a a m 当2≥n 时，31341)1(1->+-=+n n n n a a a a ，于是)1(3411->-+n n a a ，故F21)34(3120142014>+⋅>a ，所以11102014<-<a ，所以不超过m 的最大整数是2.。