2020-2021学年浙江省宁波市北仑中学1班学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共16小题，共80.0分）1.(2x+1)7的展开式中x2的系数是()A. 21B. 42C. 84D. 1682.下列求导数运算正确的是()A. (1x)′=x−2 B. (2x)′=2x ln2C. (ln2x)′=12x D. (sinπ6)′=cosπ63.根据如下样本数据：得到经验回归方程为ŷ=b̂x+â，则()A. â<0，b̂<0B. â>0，b̂>0C. â<0，b̂>0D. â>0，b̂<04.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排，甲乙不相邻的排列方法有()A. 12种B. 48种C. 72种D. 120种5.目前国家为进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策．假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个小孩的家庭，如果已经知道这个家庭有女孩，那么在此条件下该家庭也有男孩的概率是()A. 37B. 12C. 34D. 676.济南市为实现“节能减排，绿色出行”，自2018年起大力推广新能源出租车、网约车．截止目前，全市出租车已有38%换装为新能源汽车，网约车中更是有51%的车辆为新能源汽车．某人从泉城广场通过手机软件打车功能，同时呼叫出租车与网约车，该软件平台向附近42辆出租车和21辆网约车推送接单信息(假设平台呼叫范围内新能源车比例与全市区域相同，每位司机接单机会相同)，该乘客被新能源汽车接单的概率约为()A. 42.3%B. 44.5%C. 46.7%D. 50%7.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家数p ，使得p +2是素数．素数对(p,p +2)称为孪生素数对．从8个数对(3,5)，(5,7)，(7,9)，(9,11)，(11,13)，(13,15)，(15,17)，(17,19)中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为X ，则E(X)=( )A. 38B. 12C. 32D. 38. 已知函数f(x)的定义域为R ，f′(x)>1，f(1)=−1，则f(x)>x −2的解集为( )A. (−∞,1)B. (1,+∞)C. (−∞,−1)D. (−1,+∞)9. m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC. 若m//α，n ⊥m ，则n ⊥αD. 若m ⊥α，m ⊥n ，则n//α10. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB 与CD 的位置关系为( )A. 平行B. 相交成60°角C. 异面成60°角D. 异面且垂直11. 如图所示，△ABC 中，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗=23EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD 与BE 相交于点M ，且BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y 的值为( )A. 1114B. 87C. 57D. 131412. 已知A ，B 是圆O ：x 2+y 2=1上的两个动点，|AB|=√3，OC⃗⃗⃗⃗⃗ =3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 为线段AB 的中点，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 14B. 12C. 34D. 3213. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为√33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为4√3，则C 的方程为( )A. x 23+y 22=1 B. x 23+y 2=1C. x 212+y28=1 D. x 212+y24=1 14. 设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A. 3√34B. 9√38C. 6332D. 9415.直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90°，CA=CB=CC1=2，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则BM与AN所成的角的余弦值为()A. 110B. 25C. √3010D. √2216.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段B1C的中点，F是棱C1D1上的动点，若点P为线段BD1上的动点，则PE+PF的最小值为()A. 1+√22B. 3√22C. √62D. 5√26二、多选题（本大题共8小题，共40.0分）−x)6的展开式中，下列说法正确的是()17.在(1xA. 常数项是20B. 第4项的二项式系数最大C. 第3项是15x2D. 所有项的系数的和为018.目前有望战胜新冠病毒的有效策略之一就是疫苗的接种预防．装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀系数(简称：膨胀系数).某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X1服从正态分布N(4.4,0.09)，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X2服从正态分布N(4.7,0.01)，则下列选项正确的是()附：若随机变量X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.6827．A. 甲生产线硼硅玻璃膨胀系数范围在(4.1,4.7)的概率约为0.6827B. 甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中C. 若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃膨胀系数不能超过5.则乙生产线生产的硼硅玻璃符合标准的概率更大D. 乙生产线所产的砌硅玻璃膨胀系数小于4.5的概率与大于4.8的概率相等19.已知由样本数据(x i,y i)，i=1，2，3，4，5，6求得的经验回归方程为ŷ=2x+1，且x−=3.现发现一个样本数据(8,12)误差较大，去除该数据后重新求得的经验回归直线l的纵截距依然是1，则下列说法正确的是()A. 去除前变量x每增加1个单位，变量y一定增加2个单位B. 去除后剩余样本数据中x的平均数为2C. 去除后的经验回归方程为ŷ=2.5x+1D. 去除后相关系数r变大20.已知函数f(x)=lnx−ax，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2，则下列说法正确的是()A. x1lnx2=x2lnx1B. 2e<x1+x2<e2C. x1x2>e2D. 1lnx1+1lnx2>221.下列命题正确的是()A. 若两条平行直线中的一条直线与一个平面相交，则另一直线也与这个平面相交．B. 若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，则另一直线也与这个平面平行．C. 过空间任意一点，可作一个平面与异面直线a，b都平行．D. 若在空间内存在两条异面直线同时平行于平面α，β，则α//β．22.a，b，c分别为△ABC中三个内角A，B，C的对边，下列结论中正确的是()A. 若cosA=cosB，则△ABC为等腰三角形B. 若A>B，则sinA>sinBC. 若a=8，c=10，B=60°，则符合条件的△ABC有且仅有两个D. 若sin2A+sin2B<sin2C，则△ABC为钝角三角形23.如图，ABCD是棱长为a的正四面体，过△ACD的中心P作一个与直线AB，CD都平行的截面，则关于这个截面的说法中正确的是()A. 截面与侧面ABC的交线平行于侧面ABDB. 截面是一个三角形C. 截面是一个矩形D. 截面的面积为2a224. 若a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 均为单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =0，(a ⃗ −c ⃗ )⋅(b ⃗ −c ⃗ )≤0，则|a ⃗ +b ⃗ −c ⃗ |的值可能为( )A. √2−1B. 1C. √2D. 2三、单空题（本大题共7小题，共35.0分）25. 已知随机变量X 的分布如表，则D(X)=______．X 01Pa2a26. 为调查某企业年利润Y(单位：万元)和它的年研究费用x(单位：万元)的相关性，收集了5组成对数据(x,y)，如表所示： x 1 2 3 4 5 Y50607080100由上表中数据求得Y 关于x 的经验回归方程为y =12x +a ，据此计算出样本点(4,80)处的残差(残差=观测值−预测值)为______．27. 为庆祝中国共产党成立100周年，某学校举行文艺汇演．该校音乐组9名教师中3人只会器乐表演，5人只会声乐表演，1人既会器乐表演又会声乐表演，现从这9人中选出3人参加器乐表演，4人参加声乐表演，每人只能参加一种表演，共有______种不同的选法．(用数字作答) 28. 已知函数f(x)=e 2x ，g(x)=lnx+1x，若f(x)图象向下平移k(k >0)个单位后与g(x)的图象有交点，则k 的最小值为______．29. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a =2且(2+b)(sinA −sinB)=(c −b)sinC ，则△ABC 面积的最大值为 ． 30. 如图，在△ABC 中，点P 是AB 上的点，且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，且Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数t =______．31. 已知a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 是平面中的三个单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则|2c⃗ −a ⃗ |+|12c ⃗ −b ⃗ |的最小值是______．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分） 32. 过点M(1,1)作斜率为−1的直线与椭圆C ：x 2+y 2=1(a >b >0)相交于A ，B ，则五、解答题（本大题共12小题，共140.0分）33.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+1在x=1处有极值，其图象经过点(2,3)，且f′(0)=−1．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在x=−1处的切线方程．34.为了研究某种疾病的治愈率，某医院对100名患者中的一部分患者采用了外科疗法，另一部分患者采用了化学疗法，并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形图，如下：(1)根据图表完善以下关于治疗方法和治愈情况的2×2列联表：(2)依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与治疗方法有关．(如需计算Χ2，结果精确到0.001)附：Χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d))(a+c)(b+d)Χ2独立性检验中常用小概率值和相应的临界值35.某商场举办店庆活动，消费者凭借购物发票进行现场抽奖．抽奖盒中装有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同抽奖规则为：抽奖者一次从中摸出2个小球，若摸到2个红球就中奖，否则均为不中奖．小球用后放回盒子，下一位抽奖者继续抽奖．(1)求每一位抽奖者中奖的概率；(2)现有甲，乙、丙三人依次抽奖，用X表示中奖的人数，求X的分布列及均值．36.已知函数f(x)=e x[ax2−(3a+1)x+3a+2]．(1)当a=2时，求函数f(x)的极值；(2)当a<1时，讨论函数f(x)的单调性．37.2021年新高考数学试卷中多选题规定：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明在做多选题的第11题、第12题时通常有两种策略：策略A：为避免有选错的得0分，在四个选项中只选出一个自已最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做．这种策略每个题耗时约3分钟．策略B：争取将该问题得5分，选出自己认为正确的全部选项．这种策略每个题耗时约6分钟．某次数学考试临近，小明通过前期大量模拟训练得出了其各种策略下11题和12题的作答情况如下：第11题：如果采用策略A，选对一个选项的概率为0.8，采用策略B，部分选对的概率为0.5，全部选对的概率为0.4；第12题：如果采用策略A，选对一个选项的概率为0.7，采用策略B，部分选对的概率为0.6，全部选对的概率为0.3．如果这两题总用时超过10分钟，其他题目会因为时间紧张少得2分．假设小明作答两题的结果互不影响．(1)若小明同学此次考试中决定11题采用策略B、12题采用策略A，设此次考试他11题和12题总得分为X，求X的分布列；(2)小明考前设计了以下两种方案：方案1：11题采用策略B，12题采用策略A；方案2：11题和12题均采用策略B．如果你是小明的指导老师，从整张试卷尽可能得分更高的角度出发，根据小明的实际情况，你赞成他的第几种方案，并说明理由．38. 已知函数f(x)=lnx −ax +1．(1)若f(x)≤0恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求证：当n ∈N +时，1+12+13+⋅⋅⋅+1n +e >ln(n +1)+(1+1n )n 成立．39. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.设(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ． (1)求A ；(2)若√2a +b =2c ，求sin C ．40. 如图：在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是平行四边形，A(4,0),C(1,√3)，点M 是OA 的中点，点P 在线段BC 上运动(包括端点) (1)求u =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值． (2)是否存在实数λ，使(λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．41.如图，在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=π，OA⊥底面ABCD，OA=2，4M为OA的中点，N为BC的中点．(Ⅰ)证明：直线MN//平面OCD；(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小．42.四面体ABCD中，AC=8，BD=6，直线AC和BD所成的角为60°，平面α与四面体的棱AB，BC，CD，DA分别相交于点E，F，G，H，且四边形EFGH恰为平行四边形；(1)求证：直线AC//平面α；(2)当平面α变化时，求平行四边形EFGH的面积S的最大值．43. 如图，A ，B 是单位圆上的相异两定点(O 为圆心)，且∠AOB =θ(θ为锐角).点C 为单位圆上的动点，线段AC 交线段OB 于点M ．(1)求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (结果用θ表示)； (2)若θ=60°①求CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围； ②设OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<t <1)，记S△COM S△BMA=f(t)，求函数f(t)的值域．44. 已知椭圆T ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =35，过右焦点F 2且与x 轴垂直的直线被椭圆T 截得的线段长为325． (1)求椭圆T 的方程；(2)设A 为椭圆T 的左顶点，B ，C 是椭圆T 上的不同两点(与A 不重合)，直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1⋅k 2=−425，证明直线BC 过一个定点，并求出这个定点的坐标．答案和解析1.【答案】C【解析】解：(2x+1)7二项展开式的通项公式为T r+1=C7r⋅(2x)7−r⋅1r=C7r⋅27−r⋅x7−r，令7−r=2，解得r=5，所以x2的系数是C75⋅25=84．故选：C．利用二项展开式的通项公式求解即可．本题考查了二项式定理的应用，特定项的求解，二项展开式的通项公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：(1x )′=(x−1)′=−1x2，(ln2x)′=12x×2=1x，(sinπ6)′=0，故A、C、D错误．故选：B．利用基本初等函数的导数公式判断．本题考查基本初等函数的导数公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由表格可知，Y随着x的值增加而减小，故b̂<0，又当x=0时，Y应该大于6.5，故â>0．故选：D．通过表格中数据，分析Y随着x的值是增加还是减小，从而可判断b̂的情况，由x=0，即可判断â的情况．本题考查了线性回归方程的理解，解题的关键是正确理解b̂与â的含义，考查了逻辑推理能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①先将丙、丁、戊三人排好，有A33=6种排法，②排好后，有4个空位，将甲乙安排在空位中，有A24=12种排法，则甲乙不相邻的排列方法6×12=72种；故选：C．根据题意，利用插空法，先排除甲乙之外的3人，形成4个空，再把甲乙插入空位即可．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：随机选择一个有三个小孩的家庭，知道这个家庭有女孩，基本事件有：(女女女)，(女女男)，(女男女)，(男女女)，(女男男)，(男女男)，(男男女)，共7个，其中该家庭也有男孩包含的基本事件有：(女女男)，(女男女)，(男女女)，(女男男)，(男女男)，(男男女)，共6个，∴已经知道这个家庭有女孩的条件下该家庭也有男孩的概率是P=6．7故选：D．利用列举法能求出结果．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A≈0.423=42.3%．【解析】解：新能源汽车接单的概率约为0.38×42+0.51×2142+21故选：A．估计42辆出租车和21辆网约车中新能源汽车的数量，再计算概率．本题考查用样本估计总体，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：由题意可知，这8个数对中只有(3,5)，(5,7)，(11,13)，(17,19)是孪生素数对，则X 的可能取值为0，1，2，3， 故P(X =0)=C 43C 40C 83=114，P(X =1)=C 42C 41C 83=37， P(X =2)=C 41C 42C 83=37，P(X =3)=C 40C 43C 83=114，所以E(X)=0×114+1×37+2×37+3×114=32． 故选：C ．先求出随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，由数学期望的计算公式求解即可．本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：不等式f(x)>x −2等价于f(x)−x +2>0，构造函数F(x)=f(x)−x +2， 又F(1)=f(1)−1+2=0，不等式等价于F(x)>F(1)．因为F′(x)=f′(x)−1>0，所以F(x)在R 上单调递增，所以不等式的解为x >1． 故选：B ．构造函数F(x)=f(x)−x +2，将不等式转化为F(x)>F(1)，利用单调性解不等式． 本题考查利用导数判断函数的单调性，利用单调性解抽象不等式，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：由m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，知： 对于A ，若m//α，n//α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； 对于B ，若m ⊥α，n ⊂α，则由线面垂直的性质得m ⊥n ，故B 正确； 对于C ，若m//α，n ⊥m ，则n 与α相交、平行或n ⊂α，故C 错误； 对于D ，若m ⊥α，m ⊥n ，则n//α或n ⊂α，故D 错误． 故选：B ．对于A ，m 与n 相交、平行或异面；对于B ，由线面垂直的性质得m ⊥n ；对于C ，n 与α相交、平行或n ⊂α；对于D ，n//α或n ⊂α．本题考查命题真假的判断，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力等数学核心素养，是中档题．10.【答案】C【解析】解：如图，直线AB ，CD 异面． 因为CE//AB ，所以∠DCE 即为直线AB ，CD 所成的角， 因为△CDE 为等边三角形， 故∠DCE =60° 故选：C ．以CD 所在平面为底面，将正方体的平面展开图还原成直观图，因为CE//AB ，所以∠DCE 即为直线AB ，CD 所成的角，在△CDE 中求解即可．本题以图形的折叠为载体，考查平面图形向空间图形的转化，考查折叠问题、异面直线的判断及异面直线所成的角，考查空间想象能力和运算能力．11.【答案】C【解析】解：∵A ，M ，D 三点共线，可得：BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴x =12t ，y =1−t ，化为：2x +y =1．设BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =k(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =35AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =35(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 代入可得：BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=35k BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴x =35k ，y =25k ，可得：2y =3x ， 联立2x +y =1，2y =3x ， 解得x =27，y =37． ∴x +y =57． 故选：C ．A ，M ，D 三点共线，利用向量共线定理可得：BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合平面向量基本定理可得x =12t ，y =1−t ，消去t 化为：2x +y =1.设BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =k(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )，又AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =35AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =35(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，代入可得：BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =35k BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合平面向量基本定理可得：2y =3x ，解出x ，y ，即可得出．本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理、转化方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由题意得|OA|=1，|OB|=1，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 由余弦定理得cos <OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=12+12−(√3)22⋅1⋅1=−12，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1⋅1⋅cos <OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=−12， OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=14． 故选：A ．根据向量的运算几何意义用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，用向量数量积性质求解． 本题考查了向量运算的几何意义及运算规律，属于中档题．13.【答案】A【解析】 【分析】本题考查椭圆的定义与标准方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．利用△AF 1B 的周长为4√3，求出a =√3，根据离心率为√33，可得c =1，求出b ，即可得出椭圆的方程． 【解答】解：∵△AF 1B 的周长为4√3，且△AF 1B 的周长为|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=2a +2a =4a ， ∴4a =4√3， ∴a =√3， ∵离心率为√33，∴c a=√33，解得c =1，∴b =√a 2−c 2=√2， ∴椭圆C 的方程为x 23+y 22=1．故答案选：A ．14.【答案】D【解析】 【分析】本题考查抛物线中的面积问题，属于中档题．由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A ，B 两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y 的一元二次方程，由根与系数关系得到A ，B 两点纵坐标的和与积，把△OAB 的面积表示为两个小三角形AOF 与BOF 的面积和得答案． 【解答】解：由y 2=2px ，得2p =3，p =32，则F(34,0)， ∴过A ，B 的直线方程为y =√33(x −34)，即x =√3y +34， 联立{y 2=3xx =√3y +34, 得4y 2−12√3y −9=0，Δ>0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则y 1+y 2=3√3，y 1y 2=−94，∴S △OAB =S △OAF +S △OFB =12×34|y 1−y 2| =38√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =38×√(3√3)2+9=94． 故选：D ．15.【答案】C【解析】解：如图所示，建立空间直角坐标系，可得A(2,0，0)，B(0,2，0)，M(1,1，2)，N(1,0，2)．∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，2)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,2)，∴cos <AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−1+4√5×√6=√3010， 故选：C ．如图所示，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出异面直线所成的角．本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了空间几何体中距离和的计算问题，解题的关键是把空间问题转化为平面问题解答，是难题．连接BC 1，得出点P 、E 、F 在平面BC 1D 1中，问题转化为在平面内直线BD 1上取一点P ，求点P 到定点E 的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，利用平面直角坐标系，求出点E 关于直线BD 1对称的点的坐标即可． 【解答】解：连接BC 1，则BC 1∩B 1C =E ，点P 、E 、F 在平面BC 1D 1中，且BC 1⊥C 1D 1，C 1D 1=1，BC 1=√2，如图1所示；在Rt △BC 1D 1中，以C 1D 1为x 轴，C 1B 为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2所示；则D 1(1,0)，B(0,√2)，E(0,√22)；设点E 关于直线BD 1的对称点为E′， ∵BD 1的方程为x +√2=1①， ∴k EE′=−√2=√22， ∴直线EE′的方程为y =√22x +√22②，由①②组成方程组，解得{x =13y =2√23， 直线EE′与BD 1的交点M(13,2√23)； 所以对称点E′(23,5√26)， ∴PE +PF =PE′+PF ≥E′F =5√26． 故选：D ．17.【答案】BD【解析】解：(1x −x)6的二项展开式的通项公式为T r+!=C6r⋅(1x)6−r⋅(−x)r=C6r⋅x2r−6⋅(−1)r，对于A，当2r−6=0，即r=3时，常数项为T4=C63⋅(−1)3=−20，故选项A错误；对于B，第4项的二项式系数为C63是最大的，故选项B正确；对于C，第3项是T3=C62⋅x−2⋅(−1)2=15x−2，故选项C错误；对于D，令x=1，则(1x−x)6=(1−1)6=0，故所有项的系数的和为0，故选项D正确．故选：BD．利用二项式展开式的通项公式，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了二项式定理的应用，主要考查了所有项系数之和，二项展开式的二项式系数，特定项的求解，二项展开式的通项公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．18.【答案】AC【解析】解：对于A，由题意可知，μ1=4.4，σ1=0.3，μ2=4.7，σ2=0.1，所以P(4.3<x1<4.7)=P(μ1−σ1<x1<μ1+σ1)≈0.6827<7，故选项A正确；对于B，由于σ1>σ2，则甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更不集中，故选项B错误；对于C，P(x1≤5)=P(x1≤μ1+2σ1)=12+P(μ1<x1≤μ1+σ1)+P(μ1+σ1<x1≤μ1+2σ1)=0.84135+P(μ1+σ1<x1≤μ1+2σ1)，P(x2≤5)=P(x2≤μ2+2σ2)=12+P(μ2<x2≤μ2+σ2)+P(μ2+σ2<x2≤μ2+3σ2)=0.84135+P(μ2+σ2<x2≤μ2+3σ2)，所以乙生产线生产的硼硅玻璃符合标准的概率更大，故选项C正确；对于D，P(x2<4.5)=P(x2<μ2−2σ2)，P(x2>4.8)=P(x2>μ2+2σ2)，则P(x2<4.5)≠P(x2>4.8)，故选项D错误．故选：AC ．利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，解题的关键是掌握正态分布曲线的对称性，对正态分布N (μ，σ 2)中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ 2而不是σ，属于中档题．19.【答案】BCD【解析】解：当x −=3时，y −=2×3+1=7，因为∑66i=1x −=18,∑66i=1y −=42，所以去掉样本数据(8,12)的新数据中， x −′=∑x i 6i=1−85=2,y −′=∑y i 6i=1−125=6，设去除该数据后重新求得的回归直线l 为y =ax +1， 又2a +1=6，解得a =2.5，故y ̂=2.5x +1，对于A ，去除前变量x 每增加1个单位，变量y 大于增加2个单位，故选项A 错误； 对于B ，去除后剩余样本数据中x 的平均数为2，故选项B 正确； 对于C ，去除后的经验回归方程为y ̂=2.5x +1，故选项C 正确； 对于D ，去除了误差较大的样本数据，相关系数r 变大，故选项D 正确． 故选：BCD ．先求出去掉样本数据(8,12)的新数据的样本中心，从而求出新数据的回归方程，然后对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了线性回归方程的求解与应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．20.【答案】ACD【解析】解：因为f(x)有两个零点x 1，x 2，不妨设x 1<x 2， 所以lnx −ax =0在(0,+∞)上有两个根， 即a =lnx x在(0,+∞)上有两个根，令y =a ，g(x)=lnx x(x >0)，则y =a 与g(x)=lnx x(x >0)有两个交点， g′(x)=1x⋅x−lnx x 2=1−lnx x 2，当x >e 时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 当0<x <e 时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 所以g(x)≤g(e)=1e ， 所以0<a <1e ，0<x 1<e ，x 2>e ， 对于A ：根据题意可得lnx 1−ax 1=0，lnx 2−ax 2=0， 所以lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2，所以lnx 1lnx 2=ax1ax 2，即x 1lnx 2=x 2lnx 1，故A 正确； 对于B ：当a →0+时，x 2→+∞，此时x 1+x 2>e 2，所以B 错误， 对于C ，lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2，令t =x2x 1>1，则x 2=tx 1，所以lnx 1lnx 2=x1x 2⇒lnx 1lnx1+lnt=1t ⇒lnx 1=lntt−1， 所以lnx 2=ln(tx 1)=lnt +lnx 1=lnt +lntt−1=tlnt t−1，则lnx 1+lnx 2=(t+1)lnt t−1，下面证明lnx 1+lnx 2>2，即证(t+1)lnt t−1>2，即证lnt >2(t−1)t+1，即证lnt −2(t−1)t+1>0，令ℎ(x)=lnx −2(x−1)x+1,ℎ′(x)=(x−1)2x(x+1)2⩾0，所以函数ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，当x >1时，ℎ(x)>ℎ(1)=0， 所以lnt −2(t−1)t+1>0，所以lnx 1+lnx 2>2⇒x 1x 2>e 2，故C 正确．对于D ：不妨设x 1<x 2，则lnx 1−ax 1=0，lnx 2−ax 2=0， 所以lnx 2−lnx 1=a(x 2−x 1)， 要证1lnx 1+1lnx 2>2，只需证1x 1+1x 2>2a ，只需证x 1+x 22x1x 2>a ， 只需证：x 1+x 22x1x 2>lnx 2−lnx 1x 2−x 1，只需证：x 22−x 122x1x 2>ln x2x1，只需证：ln x 2x 1<12(x 2x 1−x1x 2)，令t =x2x 1>1，即证lnt <12(t −1t )，设φ(t)=lnt −12(t −1t )， 则φ′(t)=2t−t 2−12t 2<0，所以φ(t)在(1,+∞)上单调递减， 则φ(t)<φ(1)=0，即1lnx 1+1lnx 2>2，故D 正确；故选：ACD ．函数f(x)有两个零点x 1，x 2，所以0<a <1e ，0<x 1<e ，x 2>e ，再依次判断各个选项即可．本题考查极值点偏移，考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、最值，利用导数证明不等式，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于难题．21.【答案】AD【解析】解：对于A ，若两条平行直线中的一条直线与一个平面相交，则由平行线的性质和直线与平面相交的定义得另一直线也与这个平面相交，故A 正确； 对于B ，若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行， 则另一直线也与这个平面平行或在这个平面内，故B 错误；对于C ，当点在两条异面直线的一条上时，没有平面与异面直线a ，b 都平行，故C 错误；对于D，若在空间内存在两条异面直线同时平行于平面α，β，则由面面平行的判定定理得α//β，故D正确．故选：AD．对于A，由平行线的性质和直线与平面相交的定义得另一直线也与这个平面相交；对于B，另一直线也与这个平面平行或在这个平面内；对于C，当点在两条异面直线的一条上时，没有平面与异面直线a，b都平行；对于D，由面面平行的判定定理得α//β．本题考查命题真假的判断，涉及空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间思维能力等数学核心素养，是中档题．22.【答案】ABD【解析】解：对于A，∵cosA=cosB，又∵A，B∈(0,π)，y=cosx在(0,π)单调递减，∴A=B，即这个三角形是等腰三角形，故正确；对于B，三角形ABC中，若A>B，则a>b，则2RsinA>2RsinB，即sinA>sinB，故正确；对于C，由于a=8，c=10，B=60°，=84，利用余弦定理：b2=a2+c2−2accosB=64+100−2×8×10×12解得b=2√21，故△ABC有一解，故错误；对于D，若sin2A+sin2B<sin2C，根据正弦定理整理得：a2+b2<c2，<0，则△ABC是钝角三角形，故正确．所以cosC=a2+b2−c22ab故选：ABD．对于A，由已知利用余弦函数的单调性即可得解A=B，从而得解；对于B，由正弦定理即可检验得解；对于C，由余弦定理即可求解；对于D，利用正弦定理，余弦定理即可求解．本题考查三角形的形状判断，考查正弦定理，余弦定理及三角函数的性质，属于三角与向量的综合，属于中档题．23.【答案】ACD【解析】解：过P作HE//CD，过H，作HG//AB，交BC于G，过E，作EF//AB，交BD于F，连接GF，则平面EFGH就是所作的平面，此时，EFGH是矩形，所以C 正确；B不正确；截面与平面ABC的交线为GH，GH//EF，GH//侧面ABD，所以A正确；HE=23a，HG=13a，所以截面的面积为29a2，所以D正确；故选：ACD．画出截面图形，利用已知条件判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断，直线与平面的位置关系的应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．24.【答案】AB【解析】解：因为a⃗,b⃗ ,c⃗均为单位向量，且a⃗⋅b⃗ =0,(a⃗−c⃗ )⋅(b⃗ −c⃗ )≤0，所以a⃗⋅b⃗ −c⃗⋅(a⃗+b⃗ )+c⃗2≤0，所以c⃗⋅(a⃗+b⃗ )≥1，而|a⃗+b⃗ −c⃗|=√(a⃗+b⃗ −c⃗ )2=√a⃗2+b⃗ 2+c⃗2+2a⃗⋅b⃗ −2a⃗⋅c⃗−2b⃗ ⋅c⃗=√3−2c⃗⋅(a⃗+b⃗ )≤√3−2=1，所以选项C，D不正确．故选：AB．由a⃗，b⃗ ，c⃗均为单位向量，且a⃗⋅b⃗ =0，(a⃗−c⃗ )⋅(b⃗ −c⃗ )≤0，求得c⃗⋅(a⃗+b⃗ )≥1，再求|a⃗+b⃗ −c⃗|的最大值，即可得出结果．本题考查了平面向量的数量积与模长公式应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．25.【答案】29【解析】解：由随机变量X的分布列得：{0≤a≤10≤2a≤1a+2a=1，解得a=13，∴E(X)=0×13+1×23=23．D(X)=(0−23)2×13+(1−23)2×23=29．故答案为：29．利用随机变量的分布表列方程求出a ，再求出数学期望，由此能求出方差．本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．26.【答案】−4【解析】解：由表格中的数据可知，x −=1+2+3+4+55=3，y −=50+60+70+80+1005=72，所以12×3+a =72，解得a =36， 所以y =12x +36，当x =4时，y =4×12+36=84， 所以残差=观测值−预测值=80−84=−4． 故答案为：−4．先由表格中的数据，求出样本中心，代入回归方程，求出a 的值，然后求出x =4时，y 的值，由残差的计算公式求解即可．本题考查了线性回归方程的理解与应用，解题的关键是掌握线性回归方程必过样本中心，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．27.【答案】30【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①只会器乐表演的3人全部被选中，参加器乐表演，需要从剩下6人中选出4人参加声乐表演，有C 64=15种选法，②从只会器乐表演的3人选出2人，和既会器乐表演又会声乐表演的1人共同参加器乐表演，有C 32C 54=15种选法，则有15+15=30种选法， 故答案为：30．。
