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函数应用问题【高考地位】应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题，在近几年全国各地高考中经常出现。
数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化成相应的数学问题，或许正是这个原因让学生比较惧怕数学应用题。
在高考中要处理好函数应用题，学会数学建模分析的步骤和掌握数学建模的具体方法是关键.方法 解函数应用题的一般步骤万能模板 内 容使用场景 函数的实际应用问题解题模板第一步 审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步 建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步 解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步 还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步 反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.例1.已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件()025x <≤并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且()21108,(010)3{ 17557,(1025)x x R x x x x-<≤=-++<≤.⑴ 写出年利润()f x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；⑴ 当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入-年总成本）.【答案】(1)详见解析;(2) 9千件.【解析】第一步，审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；某公司的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件()025x <≤并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且()21108,(010)3{ 17557,(1025)x x R x x x x-<≤=-++<≤. 第二步，建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 当010x <≤时，第三步，解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步，还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步，反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.考点：1、函数的解析式及定义域；2、函数的单调性．【点评】(1)由年利润＝年销售收入-年总成本，结合()R x ，即可得到所求()f x 的解析式；(2)由()1的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果。
专题01 二次根式选填题压轴训练（时间：60分钟总分：120）班级姓名得分选择题解题策略：（1）注意审题。
把题目多读几遍，弄清这道题目求什么，已知什么，求、知之间有什么关系，把题目搞清楚了再动手答题。
（2）答题顺序不一定按题号进行。
可先从自己熟悉的题目答起，从有把握的题目入手，使自己尽快进入到解题状态，产生解题的激情和欲望，再解答陌生或不太熟悉的题目。
若有时间，再去拼那些把握不大或无从下手的题目。
这样也许能超水平发挥。
（3）数学选择题大约有70%的题目都是直接法，要注意对符号、概念、公式、定理及性质等的理解和使用，例如函数的性质、数列的性质就是常见题目。
（4）挖掘隐含条件，注意易错、易混点。
（5）方法多样，不择手段。
中考试题凸显能力，小题要小做，注意巧解，善于使用数形结合、特值（含特殊值、特殊位置、特殊图形）、排除、验证、转化、分析、估算、极限等方法，一旦思路清晰，就迅速作答。
不要在一两道小题上纠缠，杜绝小题大做，如果确实没有思路，也要坚定信心，“题可以不会，但是要做对”，即使是“蒙”，也有25%的正确率。
（6）控制时间。
一般不要超过40分钟，最好是25分钟左右完成选择题，争取又快又准，为后面的解答题留下充裕的时间，防止“超时失分”。
填空题解题策略：由于填空题和选择题有相似之处，所以有些解题策略是可以共用的，在此不再多讲，只针对不同的特征给几条建议：一是填空题绝大多数是计算型（尤其是推理计算型）和概念（或性质）判断性的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或合乎逻辑的推演和判断；二是作答的结果必须是数值准确，形式规范，例如集合形式的表示、函数表达式的完整等，结果稍有毛病便是零分；三是《考试说明》中对解答填空题提出的要求是“正确、合理、迅速”，因此，解答的基本策略是：快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，防止操之过急；全——答案要全，避免对而不全；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意。
(6)若求出2x －的范围，再求函数的最值，同样得分．1．已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性．解：(1)f(x)＝4cos ωxsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π4＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋ 2＝2sin ＋.因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，所以＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin ＋.若0≤x≤，则≤2x＋≤.当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减．类型二 学会审题[例2] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x ＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ＝，求cos 的值．审题路线图(1)条件：f x 图象上相邻两个最高点距离为π(2)条件：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝343．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(2b,1)，n ＝(2a －c ，cos C)，且m∥n.(1)若b2＝ac ，试判断△ABC 的形状；(2)求y ＝1－的值域．解：(1)由已知，m∥n，则2bcos C ＝2a －c ，由正弦定理，得2sin Bcos C ＝2sin(B ＋C)－sin C ，即2sin Bcos C ＝2sin Bcos C ＋2cos Bsin C －sin C ， 在△ABC 中，sin C≠0，因而2cos B ＝1，则B ＝.又b2＝ac ，b2＝a2＋c2－2accos B ，因而ac ＝a2＋c2－2accos ，即(a －c)2＝0，所以a ＝c ，△ABC 为等边三角形．(2)y ＝1－2cos 2A 1＋tan A＝1－2cos2A －sin2A1＋sin A cos A＝1－2cos A(cos A －sin A)＝sin 2A －cos 2A＝sin ，由已知条件B ＝知A∈.所以，2A －∈.因而所求函数的值域为(－1，]．4．已知函数f(x)＝2sinsin ，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)在△ABC 中，若A ＝，c ＝2，且锐角C 满足f ＝，求△ABC 的面积S.解：(1)由题意得，。
小升初数学专题第1讲典型应用题（一）和差倍、年龄、植树问题一、知识地图典型应用题2:3⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩和差类型,解题方法.和倍类型,解题方法.和差倍分问题差倍类型,解题方法.工具线段图关键1:年龄差不变关键年龄倍数关系变化年龄问题关键：可以转化为和差倍问题解决工具线段图植树和方阵问题─────二、基础知识（一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差，求这两个数。
方法①：（和－差）÷2＝较小数，和-较小数=较大数方法②：（和＋差）÷2＝较大数，和-较大数=较小数例如：两个数的和是15，差是5，求这两个数。
方法：（15-5）÷2＝5，（15+5）÷2＝10。
（二）和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系，求这两个数。
方法：和÷（倍数＋1）＝1倍数（较小数）1倍数（较小数）×倍数＝几倍数（较大数）或和－1倍数（较小数）＝几倍数（较大数）例如：两个数的和为50，大数是小数的4倍，求这两个数。
方法：50÷（4＋1）＝10 10×4＝40（三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数。
方法：差÷（倍数－1）＝1倍数（较小数）1倍数（较小数）×倍数＝几倍数（较大数）或和－1倍数（较小数）＝几倍数（较大数）例如：两个数的差为80，大数是小数的5倍，求这两个数。
方法：80÷（5－1）＝20 20×5＝100（四）年龄问题关键①：年龄差不变例如：今年爸爸比儿子大30岁，明年爸爸比儿子大几岁？答：还是30岁，爸爸长1岁，儿子也长1岁。
明年父子年龄差＝明年爸爸的年龄－明年儿子的年龄＝（今年爸爸的年龄＋1）－（今年儿子的年龄+1）＝今年爸爸的年龄＋1－今年儿子的年龄－1＝今年爸爸的年龄－今年儿子的年龄＝30（岁）关键②：年龄的倍数关系是变化的。
人教版五年级数学上册第 7 单元数学广角——植树问题一、仔细审题，填一填。
(每小题2分，共20分)1．在一条400 m长的公路一侧每隔8 m栽一棵树(两端都栽)，共有()个间隔，需要栽()棵树。
2．在一条全长1 km的街道一边安装路灯(两端都安装)，每隔50 m 安装一盏，一共要安装()盏路灯。
3．丽江小区两栋楼之间有一条30米长的小路，物业公司要在路的一旁栽一排树。
每隔6米栽一棵(两端都不栽)，一共要栽()棵。
4．滨江公园140 m的大桥两旁每隔20 m安装一盏路灯。
如果两端都要安装，则要安()盏灯，每两盏灯之间放一个垃圾箱，共需要()个垃圾箱。
5．把一根木头锯5段，每锯一次要2.5分钟，锯完5段要()分钟。
6．笔直的跑道一旁等距离地插了10面旗子，每相邻的两面旗子之间用一根绳子连起来，一共要准备()根绳子。
7．一条项链长55 cm，每隔5 cm有一颗水晶，这条项链共有()颗水晶。
8．挂钟3时敲3下，需要2秒，10时敲10下需要()秒。
9．学校体操队方阵最外一层共有64人，这个三层空心方阵共有()人。
10．一个正六边形每边放6盆花，至少放()盆花。
二、火眼金睛，判对错。
(对的在括号里画“√”，错的画“×”)(每小题1分，共5分)1．马路一边有30根电线杆，每两根电线杆中间放一个广告牌，一共可以放30个广告牌。
()2．封闭图形中的点数与间隔数之间的关系与植树问题中在一条路的一旁两端都栽的情况一样。
()3．一张桌子可以坐6人，3张这样的桌子拼起来可以坐18人。
()4．小东和小龙住同一单元，小东走楼梯的速度是小龙的3倍，小龙到第3层时，小东到第9层。
()5．将一根10米长的绳子平均剪成2米的小段，要剪4次。
()三、仔细推敲，选一选。
(将正确答案的序号填在括号里)(每小题1分，共8分)1．16路公共汽车行驶路线全长12 km，每隔2 km设一个停靠站，一共要设()个停靠站。
A．5B．6C．72．一辆客车从起点到终点一共要行36 km，如果每隔3 km停靠一次(起点不算)，那么到终点一共要停靠()次。
第3讲巧解算式谜（⼀）【专题精华】【教材深化】题1 在下⾯的空格内填上合适的数字，使算式成⽴。
6 8敏捷思维观察，抓住算式中各个数位上的数之间的关系和特征进⾏分析，找出关键性的空格作为解题的突破⼝。
可见，此题每个数位在作减法运算时都有退位，故从被减数的个位⼊⼿，解答⽐较容易。
全解从个位⼊⼿，想“？－9=8”，估算出是17；则被减数个位应填7；⽽⼗位被“借⼀”，想“14－？=6”，得减数⼗位为8；再从得数为两位数，可顺理可知被减数的千位与百位所组成的两位数与减数的百位数只能相差1，故此 6 8 拓展探究解答上题的基本步骤为：（1）审题1．在⽅框⾥填上合适的数。
2 8 5 6 23 1 9 9 3题2 在下⾯的算式中A 、B 、C 、D 表⽰不同的数字，相同的字母表⽰相同的数字，字母D 表⽰数字1时，B 表⽰什么数字？A B A B A － C B C D C A C 3敏捷思维已知D =1，则从被减数的⾼位⼊⼿求解⽐较⽅便。
全解由D =1，可以得出A =2,由A =2，可以得出B =0,(A 减C 不够减，向B 借位，B ⼜向A 借位，说明B =0)这样C =9。
算式为： 2 0 2 0 2 － 9 0 9 1 9 2 9 3第3讲巧解算式谜（⼀）算式谜是⼀些不完整的运算式。
需要我们根据蛛丝马迹，顺藤摸⽠，找回完整的式⼦。
求解这类问题时，要充分注意到数字的特征和运算性质，并常常要⼀⼀列举各种可能。
当情况⽐较多时，要善于抓已知信息最多的地⽅，分析算式中隐含的数量关系及数的性质，选择有特征的部分作为突破⼝。
在确定所求的数字时，可采⽤实验法。
为了减少实验的次数，常借助估值的⽅法，对某些数位上的数字进⾏合理的估计，逐步排除⼀些取值的可能，缩⼩所求数字的取值范围，经过很少的⼏次实验，得到准确答案。
本讲将侧重在“加减法算式迷”上介绍⼀些解决这类问题的基本⽅法。
所以，B表⽰数字0。
拓展探究利⽤减法竖式的性质，从已知条件以下各题，相同的汉字或字母表⽰相同的数字，不同的汉字代表不相同的数字，当它们代表什么数字时，算式成⽴。
第2讲基本初等函数、函数与方程[考情分析] 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型．考点一基本初等函数的图象与性质核心提炼指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两种函数图象的异同．例1(1)(2022·杭州模拟)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝a x与g(x) x的图象可能是()log＝1b(2)若e a＋πb≥e－b＋π－a，则下列结论一定成立的是()A．a＋b≤0 B．a－b>0C．a－b≤0 D．a＋b≥0规律方法(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围．(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．跟踪演练1(1)(2022·山东名校大联考)若a＝log32，b＝log52，c＝e0.2，则a，b，c的大小关系为()A．b<a<c B．c<a<bC．b<c<a D．a<b<c(2)(2022·邯郸模拟)不等式10x－6x－3x≥1的解集为________．考点二 函数的零点 核心提炼判断函数零点个数的方法(1)利用函数零点存在定理判断．(2)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性． 考向1 函数零点个数的判断例2 已知f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，则函数g (x )＝f (x )－log 5|x |的零点个数是( )A ．2B ．4C ．6D ．8考向2 求参数的值或范围例3 (2022·河北联考)函数f (x )＝e x 和g (x )＝kx 2的图象有三个不同交点，则k 的取值范围是________．规律方法 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法跟踪演练2 (1)(2022·合肥模拟)若f (x )为奇函数，且x 0是y ＝f (x )－2e x 的一个零点，则－x 0一定是下列哪个函数的零点( )A ．y ＝f (－x )e －x －2B ．y ＝f (x )e x ＋2C ．y ＝f (x )e x －2D ．y ＝f (－x )e x ＋2(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x <0，x ，x ≥0，若关于x 的方程f (x )＝a (x ＋1)有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．考点三 函数模型及其应用核心提炼解函数应用题的步骤(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义．例4 (1)(2022·西安模拟)2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中国空间站，安全返回地球．中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式Δv ＝v e ln m 0m 1，其中Δv 为火箭的速度增量，v e 为喷流相对于火箭的速度，m 0和m 1分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭v e 达到5公里/秒，m 0m 1从100提高到600，则速度增量Δv 增加的百分比约为( ) (参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)A ．15%B ．30%C ．35%D ．39%(2)(2022·福州模拟)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L ＝00GG L D ，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，L 0表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，G 0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下(不含0.05)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 3≈0.477 1)( )A ．11B ．22C ．227D ．481易错提醒 构建函数模型解决实际问题的失分点(1)不能选择相应变量得到函数模型．(2)构建的函数模型有误．(3)忽视函数模型中变量的实际意义．跟踪演练3 (1)(2022·荆州联考)“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为v 立方米，每天的进出水量为k 立方米．已知污染源以每天r 个单位污染河水，某一时段t (单位：天)河水污染质量指数为m (t )(每立方米河水所含的污染物)满足m (t )＝r k ＋⎝⎛⎭⎫m 0－r k e kt -v (m 0为初始质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln 10≈2.30)()A．1个月B．3个月C．半年D．1年(2)(2022·广东大联考)水果采摘后，如果不进行保鲜处理，其新鲜度会逐渐流失，某水果产地的技术人员采用一种新的保鲜技术后发现水果在采摘后的时间t(单位：小时)与失去的新鲜度y满足函数关系式：y＝220301,010100012,10100,20tt tt+⎧<⎪⎪⎨⎪⋅⎪⎩≤，≤≤为了保障水果在销售时的新鲜度不低于85%，从水果采摘到上市销售的时间间隔不能超过(参考数据：log23≈1.6)() A．20小时B．25小时C．28小时D．35小时。
人教版六年级数学下册期末总复习1．数与数的运算综合能力专题卷一、仔细推敲，选一选。
(每小题3分，共15分)1．下面各数去掉0后大小不变的是( )。
A ．3050B ．4.008C ．4.80D ．40.82．地球赤道周长约40076000米，下面说法正确的是()。
①横线上的数读作四千零七万六百。
②横线上的数只读一个零。
③横线上的数省略万位后面的尾数约是4008万。
④从左往右数，第一个“7”表示7个百。
A ．①和②B ．②和③C ．①和③D ．②和④3．a ×34＝b ÷34＝c ＝d ÷50%(a 、b 、c 、d 均为非零自然数)，下列排序正确的是( )。
A ．a >c >b >dB ．d >b >c >aC ．a >b >c >dD ．c >d >b >a4．a ＝2×2×3×7，b ＝2×2×3×5，a 和b 的最大公因数是()。
A ．2 B ．6C ．12D ．245．下列说法正确的是( )。
①a ÷b ＝0.6，a 是0.6的倍数。
②7.60和7.6的大小相同，计数单位也相同。
③两根1 m 长的铁丝，分别用去12和12m ，剩下的铁丝一样长。
④ 7与－7相差14。
A ．①和④B ．②和③C ．②和④D ．③和④二、认真审题，填一填。
(每空1分，共25分)1．福厦高速铁路北起福州站，南至漳州站，正线全长300.483千米，客运站点9个，设计速度每小时350千米。
横线上的数读作( )，保留一位小数约是( )。
2.27（ ）＝35＝( )%＝( )÷100＝( )折 3．把一根6米长的绳子平均分成5段，每段长( )米，每段是全长的( )。
4．在里填上“＞”“＜”或“＝”。
3.14×2.5 3.14 912÷1.29121928×11141114 0.8×100.8÷0.15.8的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，再加上( )个这样的分数单位就是最小的合数。
专题一 数学审题在高考这样十分紧张的考试中,对于平时已经进行了认真复习的同学来说, 审题决定成败,或者说,成也审题, 败也审题,注意审题是在高考中取得最佳成绩的关键。
怎样审题呢？1．审题的第一步就是弄清问题和熟悉问题.主要是弄清题目的已知条件和解题目标,这里面包括;1.有几个已知条件,能否把各个已知条件分开;2.解题的目标是什么?要求是什么?3. 是否需要画一个图,如果能画图,最好画一个图,并在图中标出必要的条件和数据,画图的过程是一个熟悉问题的过程,是一个对已知条件和解题目标进行再认识的过程.【例1】已知曲线31433y x =+，则过点(2,4)P 的切线方程是_________.一般同学在解题时,注意了审题,观察到点()4,2P 在曲线上,采取了下面的做法:,2x y ='所以,在点()4,2P 处切线的斜率为4,由点斜式直线方程得()244-=-x y ,即440x y --=.这个解法有没有问题?再仔细审题,题目是说求过点()4,2P 的切线方程,并没指出点P 是切点,我们用下面的解法再试一遍.设切点为()00,y x M ,则斜率为20x y =',切线方程为()020303431x x x x y -=--,把()4,2P 的坐标代入,解得1,200-==x x ,于是切线方程为440x y --=和20x y -+=.【例2】设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ= ,若OP AB PA PB ⋅≥⋅ ,则实数λ的取值范围是 A.112λ≤≤ B.11λ-≤≤C. 112λ≤≤+D. 11λ≤≤由题设条件，需要先求出向量OP ,,AB PA 和PB 的坐标， 由AP AB λ= 得,(1)(1,),OP OA OB λλλλ=-+=-()1,1AB OB OA =-=- ,(1)(1,1),PB AB AP AB λλλ=-=-=--(,)AP AB λλλ==- ，(),PA AB λλλ=-=-2(1,)(1,1)(,)(1,1)2410OP AB PA PB λλλλλλλλ⋅≥⋅⇔--≥---⇒-+≤解得，11λ≤≤+解到这里,可能有人根据上面的结果而选D,但是, D 是一个陷阱,因为,还有一个已知条件被忽略了,这个条件是“点P 是线段AB 上的一个动点,”正因为点P 是线段AB 上的一个动点,所以01λ≤≤,满足条件的实数λ的取值范围应是1122λ-≤≤+01λ≤≤的交集,即112λ-≤≤,故选B.可见，审题的第一步骤就是弄清问题的已知条件和解题目标，在弄清条件时，对题目一定要字斟句酌，解错这道题，就是因为在没有看清“求什么”的时候就仓促下笔.所以，熟悉问题是审题的重要步骤,在熟悉的过程中,要弄清已知条件和未知条件,仔细地重复这些条件,如果问题与图形有关,还应该画一张图,在图上标示已知条件.2．审题的第二步就是注意题目的隐含条件有些题目中有些条件给出的并不明显,需要对这些条件进行再加工,也有些条件虽然题目已经给出了,而解题者却没有把它作为条件来使用,从而使解题遇阻, 需要对这些条件进行再认识.【例3】 若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范围是A.（1，2）B.（2，+∞）C. [3，+∞)D.（3，+∞）由三角形三内角的度数成等差数列，可以立即得到B ∠的度数，60B ∠=︒。
设三角形的三个内角为,,;A B C A 为钝角,则A B C >>,设角,,A B C 的对边依次为,,a b c ,则sin sin a A m c C==，但是下一步，如何判断m 的范围，就不知如何做了.注意到,这里有一个隐含条件,即60B ∠=︒,90,A ∠>︒则30.C ∠<︒于是sin sin 2sin .sin sin 30a A A m A c C ==>>︒若使2s i n m A >对所有钝角A 恒成立,只需max (2sin )2.m A >= 故选B.【例4】设双曲线()222210x y a b a b -=<<的半焦距为c ，直线l 过()(),0,0,a b 两点，已知原点到直线l ，则双曲线的离心率为A .2 BC .D 注意条件0a b <<的应用，这时2222212c b e a a ==+>，列式计算可知选D .【例5】函数()b ax x x f ++=233有极值,又在其曲线上极大和极小的点分别为A B 、,若线段AB (不含端点)与曲线交于点()0,1,求b a ,的值.首先弄清已知条件,已知①一个含参数b a ,的三次函数,②函数有极值,③有极大和极小点B A ,,④线段AB (不含端点)与曲线交于点()0,1.解题目标是求b a ,的值.由()0632=+='ax x x f 得.2,0a x x -==()()b a a B b A +-34,2,,0.再由点()0,1M 在曲线上以及M B A ,,三点共线,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=.21,21.2,1b a b a这个结果是否正确?还是要注意题目的条件,即条件④中有一点容易被忽略,这就是点M 应在线段AB 的内部,因此应满足21,210-<-<<a a ,于是第二组解应舍去.或者说,若21-=a ,则点B 的坐标为()0,1与()0,1M 重合,这时候,M 成为线段AB 的端点,与题意不符.【例6】若直线1y kx =+与圆2240x y kx my +++-=交于,M N 两点,且,M N 关于直线0x y -=对称,若点(),P a b 在不等式组 0,0,20.x y kx my ≥⎧⎪≥⎨⎪++≥⎩确定的平面区域内,则点(),Q a b a b +-所在平面区域的面积是 .本题的隐含条件是如何根据题设确定k 和m 的值，关键在于抓住直线0x y -=是圆上两点,M N 的对称轴，这时就有直线0x y -=与直线1y kx =+垂直，从而1k =-，且直线0x y -=经过圆心,22k m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，于是 1.k m ==- 不等式组0,0,20.x y kx my ≥⎧⎪≥⎨⎪++≥⎩化为0,0, 2.x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩审题的第二个注意点是, 点(),P a b 与().Q a b a b +-的关系,其中(),P a b 满足不等式组,而().Q a b a b +-并不满足不等式组,因而需要设,,a b x a b y +=⎧⎨-=⎩解得,2.2x y a x y b +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩才能满足不等式组，即点坐标满足的不等式组为002x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩；可得面积为4. 【例7】函数()f x 在实数R 上可导，且满足(1)()0x f x '-≥，则必有A .(0)(2)2(1)f f f +<B .(0)(2)2(1)f f f +≤C .(0)(2)2(1)f f f +≥D .(0)(2)2(1)f f f +>注意()f x 可以是常数，考虑各答案之间的逻辑关系，D ⇒C ，B ⇒A ，故选C .3．审题的第三步就是弄清已知条件之间的相互关系以及已知条件与所求目标之间的相互联系。
当分清有几个已知条件之后,要分析这些已知条件之间有些什么联系,哪些条件结合可以得出新的结论;根据已知条件和解题目标,要思考“你是否知道一个可能用得上的定理？”，由已知条件可以推出哪些对解题目标有用的东西.【例8】已知向量a e ≠ ，|e |＝1，对任意 t ∈R ,恒有a te a e -≥- ，则A. a ⊥eB. a ⊥(a －e )C. ()e a e ⊥-D. (a ＋e )⊥(a －e )解这个题目时,如果,不仔细研究已知条件之间的关系,很容易采用下面的解法,即从不等式a te a e -≥- 的计算入手, 有222222ate a t e a e a e -⋅+≥-⋅+ , 即 22220t e at e a e -⋅+⋅-≥ , 因为该不等式对任意t ∈R 恒成立,则()224840,e a e a e ∆=⋅-⋅+≤ 因而 ()210.ea ⋅-≤ 于是 20e a e ⋅-= 所以 ()()0,e a e e a e ⋅-=⊥- .故选C.这是一个非常好的解法,但是,运算量还是大了一些.如果,认真思考已知条件, 向量ae ≠ ，且不等式a te a e -≥- 对任意实数t 都成立,可以从向量本身的意义来思考.如图,AB a = ,,AC e = 则CB a e =- ,设DB a te =- ,由题设,DB 恒不小于CB ,显然,仅当AC CB ⊥ 时,才能实现,因此,()e a e ⊥- ,选C.【例9】椭圆的中心是原点O,它的短轴长为22，相应于焦点F )0)(0,(>c c 的准线l 与x 轴相交于点A ，FA OF 2=，过点A 的直线与椭圆相交于Q P ,两点. a-e a-te e a D C B A E a-tea-te e a a-e C B A D（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0=⋅→→OQ OP ，求直线PQ 的方程；（3）设→→=AQ AP λ)1(>λ，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明→→-=FQ FM λ.首先研究已知条件之间的联系，由已知可设椭圆的方程为12222=+y a x ,准线l 的方程为ca x 2=,2222,a c b -==22a c c c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,可得26,a e ==椭圆的方程为22162x y +=.解决了第（1）问后，第（2）问，增加了一个已知条件：0=⋅→→OQ OP ，这一条件等价于02121=+y y x x ，于是可以利用韦达定理求解，进一步求出直线PQ 的方程。
第（3）问则是对审题的一个考验.这里有两点：第一，0=⋅→→OQ OP 是不是第（3）问的条件？有的考生就误认为它是第（3）问的条件，结果越作越错，其实，0=⋅→→OQ OP 只是第（3）问的条件，而不是第（2）问的条件；第二，如何理解→→=AQ AP λ和→→-=FQ FM λ，这两个式子有两层含意：（1）Q P A ,,三点共线，Q M F ,,三点共线，（2）与的长度之比等于λ，与的长度之比等于λ.有了这样的理解，第（3）问就不难解决了.4．审题的第四步就是思考所求解的题目与以前曾经做过的哪个题目相类似,即这个题目是否好像见过面?整体观察题目，想一想，“是否有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。
