江苏省响水中学高中数学 1-1-1任意角导学案(无答案)苏教版必修4

课题：§1.1.1 任意角总第____课时班级_______________姓名_______________【学习目标】1．使学生理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角。

2．能在0º到360º范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角。

3．能写出与任一已知角终边相同的角的集合。

【重点难点】学习重点：将0º到360º的角概念推广到任意角。

学习难点：终边相同的角用集合和符号语言正确表示出来。

【学习过程】Array一、自主学习与交流反馈问题1：若角α是锐角，则角α的的取值范围是____________；若角β是钝角，则角β的的取值范围是____________；周角的一半等于___________.手表的分针20分钟转过的角度等于_______°，40分钟转过________°，80分钟转过__________°.问题2：你知道体操或跳水比赛中“转体720°”的含义吗？问题3：如右图，点P是半径为R的圆O上一点，点P在圆O上运动，当点P从点A位置运动到点P位置时，∠AOP =α.（1）当α = 120°时，点P的位置为点P1，画出∠AOP1；（2）当α = 210°时，点P的位置为点P2，你能画出∠AOP2吗？（3）当α = 480°时，点P的位置为点P3，你能说出点P3与点P1的关系吗？二、知识建构与应用：阅读课本5-7页，回答下列问题：1．角的定义：一个角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置到另一个位置所形成的图形.射线的端点称为，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的和终边.2.角的分类：___________________________________叫做正角；___________________________________叫做负角；___________________________________叫做零角。

问题1、初中，我们已经学习了︒0到︒360的角，它是怎样定义的？问题2、体操，跳水中，有“转体︒720”，“翻腾两周半”这样的动作名称，那︒720是怎样的一个角？1、正角、负角、零角的概念2、象限角、轴线角3、终边相同角的集合练习1、作出角︒390 ，︒30，︒-330，︒750，这些角之间有何关系？结论：一般地，与角α终边相同角的集合为{}Z ∈+︒⋅=k k ,360|αββ例题剖析例1、在︒0到︒360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：（1）︒650 （2）︒-150 （3）'15990︒-例2、已知α与︒240角的终边相同，判断2α是第几象限角。

思考：（1）终边落在x 轴正半轴上的角的集合如何表示？终边落在x 轴上的角的集合如何表示？（2）终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？（3）若α是第三象限角，则2α是第几象限角？巩固练习1、下列命题中正确的是（ ）A 、第一象限角一定不是负角B 、小于︒90的角一定是锐角C 、钝角一定是第二象限角D 、第一象限角一定是锐角 2、分别作出下列各角的终边，并指出它们是第几象限角：（1）︒330； （2）︒-200； （3）︒945； （4）︒-6503、在︒0到︒360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：（1）︒-55； （2）'8395︒； （3）︒15634、试求出与下列各角终边相同的最小正角和最大负角：（1）︒1140； （2）︒1680； （3）︒-1290； （4）︒-15105、若α是第四象限角，试分别确定α-，α+︒180，α-︒180是第几象限角。

课堂小结正角、负角、零角的概念，象限角的概念；终边相同的角的表示方法。

课后训练班级：高一（ ）班 姓名__________一、基础题1、以下四个命题中，是真命题的是（ ）A 、小于︒90的角是锐角B 、第二象限角是钝角C 、锐角是第一象限角D 、负角不可能是第一象限角 2、设︒-=60α，则与角α终边相同的角可以表示为（ ） A 、)(36060Z ∈︒⋅+︒k kB 、)(360300Z ∈︒⋅+︒k kC 、)(36030Z ∈︒⋅+︒-k kD 、)(360120Z ∈︒⋅+︒k k3、若α是第三象限角，则α-是第 象限角，α-︒180是第 象限角。

1.2.1 任意角的三角函数1．三角函数的定义如图：P (x ，y )，OP ＝r ，一般地，对任意角α，我们规定：(1)比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝yr ；(2)比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝xr；(3)比值y x (x ≠0)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx.预习交流1三角函数值的大小与P 点位置的选取有关系吗？提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关．2．三角函数值在各象限的符号正弦函数值的符号与y 的符号相同，余弦函数值的符号与x 的符号相同．此符号规律可用口诀：“一全正、二正弦、三两切、四余弦”来记忆(只记函数值为正的情况，“一、二、三、四”指象限)．预习交流2 三角函数值在各象限的符号由什么来确定？提示：由三角函数的定义可知，三角函数值在各象限的符号由角α终边上任意一点P 的坐标x ，y 的正负来确定．3．有向线段与三角函数线(1)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段叫做有向线段．类似地，把规定了正方向的直线称为有向直线．若有向线段AB 在有向直线l 上或与有向直线l 平行，根据有向线段AB 与有向直线l 的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号．这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB .(2)三角函数线：如图，把有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．它们统称为三角函数线．当角α在不同象限时，其三角函数线见课本第13页图128.当角α的终边在x 轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角α的终边在y 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．预习交流3 正弦线、余弦线、正切线方向有何特点？提示：正弦线方向由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线方向由原点指向垂足；正切线方向由切点指向切线与α的终边(或反向延长线)的交点．预习交流4(1)角α终边上一点P (3，n )，且sin α＝45，则n ＝______；(2)若角α的终边过点(sin 30°，－cos 30°)，则sin α＝______；(3)若－π2＜α＜0，则点(tan α，cos α)位于第______象限．提示：(1)4 (2)－32(3)二一、利用定义求三角函数值已知角θ的终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m ，求cos θ与tan θ的值． 思路分析：此类问题的解答一般根据三角函数的定义求解．对于本题可由定义求出m 的值，再求cos θ与tan θ的值．解：由已知有，24m ＝m3＋m 2，得m ＝0，或m ＝±5.(1)当m ＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0；(2)当m ＝5时，cos θ＝－64，tan θ＝－153；(3)当m ＝－5时，cos θ＝－64，tan θ＝153.已知点P (5，a )是角α的终边上一点，且tan α＝－125，求sin α＋cos α的值．解：∵x ＝5，y ＝a ，∴tan α＝y x ＝a 5＝－125，∴a ＝－12，r ＝52＋(－12)2＝13.则sin α＝y r ＝－1213，cos α＝x r ＝513，sin α＋cos α＝－1213＋513＝－713.已知角的终边上一点，求该角的三角函数值，一般是先求出该点到原点的距离r ，再由三角函数的定义，求出三角函数值．若点的坐标有字母时，由于字母符号未知，所以点所在象限不确定，因此要根据情况进行分类讨论，避免漏解．二、三角函数值的符号的应用判断下列各式的符号：(1)tan 120°·sin 269°；(2)cos 4·tan ⎝⎛⎭⎫－23π4. 思路分析：此类问题的解决一是要弄清角的终边所在的象限，二是要熟记三角函数值在各象限的符号．解：(1)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0； ∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0， ∴tan 120°·sin 269°＞0.(2)∵π＜4＜3π2，∴4弧度角是第三象限角，∴cos 4＜0；∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角，∴tan ⎝⎛⎭⎫－23π4＞0，∴cos 4·tan ⎝⎛⎭⎫－23π4＜0.1．若角α的终边经过点P (－2，－1)，则①sin α·tan α＞0；②cos α·tan α＞0，③sin α·cos α＞0；④sin α·tan α＜0中成立的是__________(填序号)．答案：③④解析：∵P (－2，－1)是第三象限内的点，∴角α为第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，∴①②不正确，③④正确．2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，求角α的终边所在的象限． 解：方法一：∵P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0且cos α＜0.由tan α＜0，知α为第二或第四象限角，由cos α＜0，知α为第二或第三象限角，∴α的终边在第二象限．方法二：由P 为第三象限，知tan α＜0且cos α＜0.设角α终边上一点的坐标为(x ，y )，则由三角函数定义知，tan α＝y x ＜0，cos α＝xr ＜0，∴x ＜0且y ＞0.故α的终边在第二象限．三角函数值“符号看象限”：根据符号规律，结合具体函数及角的所在象限进行判断，如第二象限角，其正弦值为正，而余弦与正切值为负．由点所在象限求角所在象限时，关键是弄清已知点的坐标符号，以此判定点所在象限即知角的终边所在象限．三、作三角函数线作出3π4的正弦线、余弦线和正切线．思路分析：利用三角函数线的作法即可完成．解：在直角坐标系中作单位圆，如图所示．以x 轴正半轴为始边作3π4角，角的终边与单位圆交于点P .作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过单位圆与x 轴正方向的交点A 作x 轴的垂线与OP的反向延长线交于点T ，则sin 3π4＝MP ，cos 3π4＝OM ，tan 3π4＝AT ，即3π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边．解：所给函数是正弦函数，故作直线y ＝12交单位圆于点P ，Q ，连结OP ，OQ ，则射线OP ，OQ 即为角α的终边．作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此点作x 轴的垂线，得垂足，从而可得正弦线与余弦线．作正切线时，应从A (1,0)点引单位圆的切线，与角的终边(角α为第一或第四象限角时)或终边的反向延长线(角α为第二或第三象限角时)交于一点T ，即可得到正切线AT .三角函数线的主要作用是求函数定义域、值域、解三角不等式、比较两三角函数值的大小等．1．已知在△ABC 中，sin A ·cos B ＜0，则△ABC 的形状是__________． 答案：钝角三角形解析：在△ABC 中，由sin A ·cos B ＜0，可知sin A ＞0，cos B ＜0，故∠B 为钝角，即此三角形为钝角三角形．2．已知角α的终边经过点P (5,12)，则sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______.答案：1213 513 125解析：由x ＝5，y ＝12，得r ＝52＋122＝13.∴sin α＝y r ＝1213，cos α＝x r ＝513，tan α＝y x ＝125.3．已知cos θ·tan θ＜0，那么θ是第______或第______象限角． 答案：三 四 解析：由cos θ·tan θ＜0，知sin θ＜0，且θ的终边不在坐标轴上，由此知θ的终边在第三或第四象限．4．若600°角的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是__________． 答案：－4 3解析：在坐标系中把600°角的终边找到，看其在第几象限，再利用数形结合思想来求a 的值．因为600°＝360°＋240°，所以600°的终边与240°的终边重合，如图所示，设P (－4, a )，作PM ⊥x 轴于M ，由sin 240°＝a 16＋a 2＝－32，得a ＝－4 3.5．已知角θ的终边上一点P (5a,12a )，且a ≠0，180°＜θ＜270°，求角θ的三个三角函数值．解：因为180°＜θ＜270°，所以a ＜0，从而r ＝(5a )2＋(12a )2＝－13a ，所以sin θ＝y r ＝－1213，cos θ＝x r ＝－513，tan θ＝y x ＝125.。

高一数学必修4导学案第一章 三角函数1.1.1 任意角【学习目标】1． 了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念2． 正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角【自主学习】一、复习引入问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？______________________________________________________。

所学的角的范围是什么？______________________________________________________。

问题2：在体操、跳水中，有“转体0720”这样的动作名词，这里的“0720”，怎么刻画？______________________________________________________。

二、建构数学1．角的概念角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。

射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。

2．角的分类按__________方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。

如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。

这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。

【典型例题】1、度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到了任意大小对于α＝210°，β＝－150°，γ＝－660°，你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？例1 （1）钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？（2）若将钟表拨慢了10分钟，则时针和分针分别转了多少度？（3）如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？2、任意两个角的数量大小可以相加、相减，如 50°＋80°=130°，50°－80°=－30°，你能解释一下这两个式子的几何意义吗？3. 终边相同的角思考: （1）下列角分别是第几象限角？ 3001506060--- ，，，-660，，210，300，420，780，这当中一些角有什么共同特征？（2）具有相同终边的角彼此之间有什么关系？你能写出与060角终边相同的角的集合吗？成 。

1.1.2 任意角（2）一、课题：任意角（2）二、教学目标：1．熟练掌握象限角与非象限角的集合表示；2．会写出某个区间上角的集合。

三、教学重、难点：区间角的表示。

四、教学过程：（一）复习：1．角的分类：按旋转方向分；按终边所在位置分。

2．与角α同终边的角的集合S 表示。

3．练习：把下列各角写成360(0360)k αα⋅+≤< 的形式，并指出它们所在的象限或终边位置。

（1）135- ； （2）1110 ； （3）540- ．（答案）（1）135360225,-=-+ 第三象限角。

（2）1110336030=⋅+ ， 第一象限角。

（3）540(2)360180-=-⋅+ ，终边在x 轴非正半轴。

（二）新课讲解：1．轴线角的集合表示例1：写出终边在y 轴上的角的集合。

分析：（1）0 到360 的角落在y 轴上的有90,270 ；（2）与90,270 终边分别相同的角的集合为：{}{}{}{}12|90360,|902180,|270360,|90(21)180,S k k Z k k Z S k k Z k k Z ββββββββ==+⋅∈==+⋅∈==+⋅∈==++⋅∈（3）所有终边在y 轴上的角的集合就是1S 和2S 并集：12S S S = {}{}|902180,|270(21)180,k k Z k k Z ββββ==+⋅∈=++⋅∈{}|90180,n n Z ββ==+⋅∈ ． 拓展：（1）终边在x 轴线的角的集合怎么表示？ {}|180,S n n Z ββ==⋅∈ ； （2）所有轴线角的集合怎么表示？ {}|90,S n n Z ββ==⋅∈ ；（3）相对于轴线角的集合，象限角的集合怎么表示？ {}|90,P n n Z ββ=≠⋅∈ ． 提问：第一、二、三、四象限角的集合又怎么表示？ （略）例2：写出第一象限角的集合M ．分析：（1）在360 内第一象限角可表示为090α<< ；（2）与0,90 终边相同的角分别为0360,90360,()k k k Z +⋅+⋅∈ ；（3）第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合，我们表示为： {}|36090360,M k k k Z ββ=⋅<<+⋅∈ ．学生讨论，归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法：{}|90360180360,P k k k Z ββ=+⋅<<+⋅∈ ；{}|90360180360,N k k k Z ββ=+⋅<<+⋅∈ ；{}|270360360360,Q k k k Z ββ=+⋅<<+⋅∈ ．说明：区间角的集合的表示不唯一。

1.1.1 任意角1．任意角(1)一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边．(2)按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角．如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角．预习交流1终边与始边重合的角一定是零角吗？提示：不一定．如360°角，终边与始边重合，但不是零角． 2．象限角及终边相同的角 (1)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角．(2)终边相同的角：一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }．预习交流2(1)与220°角的终边相同的角组成的集合可表示为__________； (2)由第二象限角组成的集合可表示为__________． 提示：(1){α|α＝k ·360°＋220°，k ∈Z } (2){α|k ·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z }预习交流3第一象限角、小于90°的角、0°～90°的角、锐角这四种角有什么差别？提示：这四种角的范围用集合表示分别是：锐角的集合是{α|0°＜α＜90°}，0°～90°的角的集合是{α|0°≤α＜90°}，小于90°的角的集合是{α|α＜90°}，第一象限角的集合是{α|k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．所以锐角一定是第一象限角，而第一象限角不都是锐角，小于90°的角包括锐角、零角和负角．一、与角有关的概念判断下列说法是否正确，并说明理由：(1)集合P ＝{钝角}，集合Q ＝{第二象限角}，则有P ＝Q ； (2)角α和角2α的终边不可能相同；(3)若α是第二象限角，则2α一定是第四象限角；(4)设集合A ＝{射线OP }，集合B ＝{坐标平面内的角}，法则f ：以x 轴正半轴为角的始边，以OP 为角的终边，那么f ：OP ∈A →∠xOP ∈B 是一个映射；(5)不相等的角其终边位置必不相同．思路分析：解答本题首先要明确角的范围不再局限于0°～360°，其次要紧扣象限角、终边相同的角的概念．解：(1)不正确．实际上P ＝{α|90°＜α＜180°}，应有P Q . (2)不正确．如α＝0°时，α与2α终边相同．(3)不正确．由90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°，k ∈Z 知180°＋2k ·360°＜2α＜360°＋2k ·360°，k ∈Z ，故2α是第三或第四象限角，也可能终边在y 轴的负半轴上．(4)不正确．以x 轴正半轴为角的始边，以OP 为终边的∠xOP 不惟一． (5)不正确．不相等的角其终边位置也可能相同，如30°与390°.下列各命题：①终边相同的角一定相等； ②第一象限角都是锐角； ③锐角都是第一象限角； ④小于90°的角都是锐角． 其中正确命题的序号是______． 答案：③解析：－60°和300°是终边相同的角，但它们并不相等，所以①不正确；390°角是第一象限角，可它不是锐角，所以②不正确；－60°角是小于90°的角，可它不是锐角，所以④不正确．显然，锐角都是第一象限角．对推广后角的概念的理解：(1)紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看角． ①要明确旋转的方向； ②要明确旋转的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．(2)结合实际意义明确角的概念经过推广后，角的范围不再限于0°～360°，已包括正角、负角和零角．(3)正确理解正角、负角和零角的概念，既要注意始边位置和旋转量，又要注意旋转方向是逆时针、顺时针，还是没有转动．二、终边相同的角及象限角(1)在0°～360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，作出它们的终边，并指出它们是第几象限角：①－510°；②855°.(2)已知α是第一象限角，则2α，α2分别是第几象限角？解：(1)如图所示．由图可知：－510°角在第三象限，在0°～360°的范围内与210°角终边相同； 855°角在第二象限，在0°～360°的范围内与135°角终边相同． (2)∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°(k ∈Z )． ∴2k ·360°＜2α＜2k ·360°＋180°(k ∈Z )．∴2α是第一或第二象限角或终边落在y 轴正半轴上的角．∵α2的范围是k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°(k ∈Z )， ∴当k ＝2n (n ∈Z )即k 为偶数时，n ·360°＜α2＜n ·360°＋45°(n ∈Z )，∴α2为第一象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )即k 为奇数时，n ·360°＋180°＜α2＜n ·360°＋225°(n ∈Z )，∴α2为第三象限角．故α2是第一或第三象限角．1．若α是第三象限角，则α2所在的象限是__________．答案：第二或第四象限解析：由k ·360°＋180°＜α＜k ·360°＋270°(k ∈Z )，得k ·180°＋90°＜α2＜k ·180°＋135°(k ∈Z )，∴当k 为偶数时，α2为第二象限角；当k 为奇数时，α2为第四象限角．2．已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小正角是__________． 答案：240°解析：与α＝－3 000°终边相同的所有角为β＝k ·360°－3 000°，k ∈Z ，当k ＝9时，与α终边相同的最小正角为240°.判断一个角是第几象限角，首先要在平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合．在这个前提下，由角的终边所在象限来判断这个角是第几象限角．对于已知某角所在象限，求与该角有关的其他角所在象限问题，一般用不等式知识处理．注意数形结合思想的运用．三、区域角的表示(1)如图，写出终边落在阴影部分的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角． (2)在平面直角坐标系中，用阴影部分表示集合A ＝{α|k ·180°＋45°＜α≤k ·180°＋60°，k ∈Z }所表示的区域．思路分析：(1)先用终边相同的角的集合表示出边界，再用不等式表示出所求区域角． (2)作出45°，60°角的终边所在直线，角α的终边所在区域为一个“对顶角形”． 解：(1)225°角的终边与－135°角的终边相同，所以阴影部分角的集合为{x |120°＋k ·360°≤x ≤225°＋k ·360°，k ∈Z }．∵－950°12′＝129°48′－3×360°，120°＜129°48′＜225°， ∴－950°12′是该集合中的角．(2)作出45°角的终边所在直线(画虚线)，作出60°角的终边所在直线(画实线)，则集合A 所表示区域为如图阴影部分．如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是__________．答案：{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}解析：由题图可知，角－45°＋k·360°(k∈Z)的终边为射线OA，角30°＋90°＋k·360°＝120°＋k·360°(k∈Z)的终边为射线OB.∴阴影部分所表示的角的集合是{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}．区域角的表示主要有以下两种类型：(1)单个“扇形”区域．此时可先写终边落在边界上的角的集合，再从中选取一组恰当的角并注意利用逆时针旋转时角变大，定准两个角的大小关系，最后加上360°的整数倍，写出不等式，表示成集合的形式．(2)“对角形”区域，此时两个区域的边界互为反向延长线，与单个“扇形”区域的表示方法类似，但最后要加上180°的整数倍．1．将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为______．答案：120°解析：易知逆时针旋转所成的角为正角．2．与210°角的终边相同的角连同210°角在内组成的角的集合是__________．答案：{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}解析：由终边相同的角的集合得到．3．若α为锐角，则－α＋k·360°(k∈Z)为第______象限角．答案：四解析：∵α为锐角，∴α为第一象限角．∴－α为第四象限角，∴－α＋k·360°(k∈Z)为第四象限角．4．20°角的始边与x轴的正半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是______．答案：－700°解析：顺时针旋转2周为－720°，∴20°＋(－720°)＝－700°.5．在0°到360°的范围内，求出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：(1)2 012°；(2)－734°；(3)808°28′.解：(1)2 012°＝212°＋5×360°，则212°角即为所求的角．∵212°角是第三象限角，∴2 012°角是第三象限角．(2)－734°＝346°－3×360°，则346°角即为所求的角．∵346°角是第四象限角，∴－734°角是第四象限角．(3)808°28′＝88°28′＋2×360°，则88°28′角即为所求的角．∵88°28′角是第一象限角，∴808°28′角是第一象限角．。

1、回顾初中锐角的三角函数的定义2、问题：（1）怎样用坐标法定义锐角的三角函数？ （2）怎样用坐标法定义任意角的三角函数？3、三角函数的定义及其定义域：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是),(y x ，它与原点的距离是)0(22>+=y x r r 。

（1）比值_____叫做α的正弦，记作__________，即___________，定义域为__________。

（2）比值_____叫做α的余弦，记作__________，即___________，定义域为__________。

（3）比值_____叫做α的正切，记作__________，即___________，定义域为__________。

4、各象限内三角函数值的符号。

正弦：填入[ ]中；余弦：填入( )中；正切：填入{ }中 5、有向线段、有向线段的数量6、三角函数线表示三角函数值。

例题剖析例1、已知角α的终边经过点(2,3)，求α的正弦、余弦、正切。

[] ( ) [ ] ( ) [ ]( )[ ]( )xy O x例2、确定下列三角函数值的符号： （1）7cos12π （2）sin(465)-o （3）11tan 3π思考：根据单位圆中的三角函数线，探究：（1）正弦、余弦、正切函数的值域； （2）正弦、余弦函数在]2,0[π上的单调性；（3）正切函数在区间(－2π，2π)上的单调性。

例3、已知角α的始边为x 轴的正半轴，终边在直线y kx =上，若sin α=，且cos 0α<，试求实数k 的值。

巩固练习1、已知角α的终边经过点)4,3(-P ，则sin α=_______，cos α=_______，tan α=________。

2、已知角α终边经过点)12,(--x P ，且cos α=135，则x =_________。

3、设α是三角形一内角，在sin α，cos α，tan α，tan 2α中，有可能取负值的有_________。

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1．1.1 任意角作者：杨周萍，江苏省羊尖高级中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛二等奖．错误!设计思想当今世界随着知识经济的不断发展,对人的整体素质提出了前所未有的要求，尤其是对人的主动性、创造性、批判性思维的重视超过了以往任何时代．作为现代科学技术的基础和工具的数学，其修养是21世纪高科技时代人才必备的素养，调查表明年级越高，对数学学习感兴趣的学生越少,究其原因，大多是因为在数学学习中经历了太多的失败，逐步丧失学习信心．数学是抽象的，难学的，数学教育要通过数学学习活动本身来提高学习的兴趣就显得更为重要．所以在本课的设计中以理解学生、尊重学生为前提，从学生的原认知出发,以学生熟知的生活现象创设问题情境，导入新课，发动学生，营造和谐的师生关系和课堂氛围、为学生的智慧生成留下足够的空间．在教师的引导下，让学生学会用客观环境所提供的信息来加工自己的知识，完善自己的知识结构并在对问题不断地讨论和探索过程中自主地思考问题并提出问题、构建数学、应用数学、回顾反思所学，培养学生发现问题、研究问题、解决问题、应用反思的数学学习能力，学生在教师的引导下一旦投入活动，各个不同层次的学习者都会有发现和创新的机会和成果,有向同学、教师展示自己成果和才能的机会,能经常体验到数学学习的乐趣，从而增强学习数学的信心和兴趣，并进入良性循环，终身学习的欲望得以孕育、成长．让课堂教学真正成为学生终生学习的成长阶梯，真正“实现不同的人在数学学习中得到不同的发展”，特别是新课程所提出的对学生思维方法的培养，为学生进一步学习提供必要的数学准备．教学内容分析本课时教学内容为引言和1.1。

§1.1.1 任意角学习目标：⒈推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义．⒉了解任意角的概念，理解象限角、终边相同的角的概念．⒊掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法．教学重点：将角0360～范围的角推广到任意角．教学难点：角的概念的推广、终边相同的角的表示．教学方法：讲授．44-17/26-36教具准备：用《几何画板》演示任意角、终边相同的角、终边相同角的集合．教学过程：（I）新课引入：问题1.如果手表慢了5分钟应该如何校准？如果手表快了1小时15分钟应该如何校准呢？当时间校准后，分针旋转了多少度？(手表慢了5分钟应该将分针按逆时针方向旋转30 ；手表快了1.25小时应该将分针按顺时针方向旋转一周再加上90 ．)问题2.过去我们研究过0360～范围的角，但是现实中还有其它的角．你可以举出一些例子吗？(校准手表时，分针旋转的角度；体操运动中的“转体720 ”等．) 这些角会出现一些超出了0360～范围的角，这就需要我们将角的概念加以推广．本节课我们的任务就是将角的概念加以推广，得到任意角概念．如）如⒈任意角我们知道，角可以看成是平面内一条射线绕其端点旋转而成的图形．如右图，射线OA绕其端点按逆时针方向旋转到射线OB位置，就形成一个角α，射线OA、射线OB分别成为角α的始边和终边．但是射线OA绕其端点O的旋转会有不同的方向，因此要准确地描述这样的角就必须知道旋转量和旋转方向．我们规定．．：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．这样，零角的始边与终边重合．如果α是零角，那么 ＝0°.（用《几何画板》演示）问题3.你可以举出一些正角、负角的实例吗？这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角、零角.思考1：为什么逆时针方向旋转为正角, 顺时针旋转为负角?探究：正角、负角的引入是从正负数类比而来. 正角、负角是用来表示具有相反意义的旋转量的.逆时针为正, 顺时针为负是人为规定的,象正负数的规定一样,更多地是出于习惯.思考2：始边与终边重合的角一定是零角吗?探究：零角的始边与终边重合，如果α是零角，那么其始边与终边重合,但始边与终边重合的角不一不定是零度角,如α＝360°、720°、-360°等.思考3：角的终边旋转的圈数与角的大小有什么关系? 旋转圈数越多，角越大吗?探究：在角的定义里，射线绕端点旋转的圈数影响着角的大小.射线绕端点旋转的方向，若是逆时针方向旋转，则旋转圈数越多，角越大；若顺时针方向旋转，则旋转圈数越多，角越小.几点补充说明：①钟表的时针和分针一般均是顺时针旋转，因而它们其终边旋转所形成的角总是负角；②为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”.③角将平面分为三部分.即角的外部、角的内部、和角的两边及顶点.⒉象限角今后我们常在直角坐标系内讨论角．为了讨论问题方便，我们使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.例如，图⑴中的30 、390 、330- 都是第一象限角，图⑵中的300 、- 都是第四象限角，585 角是第三象限角．如果角的终边在坐标轴60上，就认为这个角不属于任一象限（有的书上把这种角称为象限界角）.练习:(课时训练P1例1)下列命题中,正确的是( )A.终边相同的角一定相等B.第一象限角都是锐角C.小于900的角都是锐角D.锐角都是第一象限角答案:D⒊终边相同的角观察：390︒，-330︒角，它们的终边都与30︒角的终边相同. 思考：还有哪些角与30︒角的终边相同?如何表示?探究：终边与30︒角终边相同的角可以表示如下:390︒=30︒+360︒ )1(=k-330︒=30︒-360︒ )1(-=k30︒=30︒+0×360︒ )0(=k1470︒=30︒+4×360︒ )4(=k-1770︒=30︒-5×360︒ )5(-=k结论: 与30︒角终边相同的角可以表示成30︒角与)(Z k k ∈个周角的和.与30 角终边相同的角都可以表示成30 的角与k 个()k Z ∈360 角的和，那么390 ，330- 的角分别可以写成30360+ 和30360- 的形式．反之，形如30360k +⋅ ()k Z ∈的角显然与32- 角终边相同．一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{|360,}S k k Z ββα==+⋅∈ ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.说明：在与角α终边相同的一般形式k ·360°＋α中,要注意： ①k ∈Z ; ② α是任意角 ;③0360⋅k 与α之间是“+”号，如0360⋅k -30°，应看成0360⋅k +(-30°)；④终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,终边相同的角有无限个,它们相差3600的整数倍.例1(教材P6例1)练习: (课时训练P1例2)(1)试写出所有终边与300角终边互为反向延长线的角的集合;(2)试写出所有与300角终边在同一直线上的角的集合.答案: (1) 00{|30(21)180,}x x k k Z =++⋅∈ ;(2) 00{|30180,}x x k k Z =+⋅∈ .(课时训练P1例3)思考2：如何用终边相同的角来表示各象限角?探究：要表示终边在各个象限内只需用不等式列出象限角终边所在的射线,用不等式表示即可得各象限角.在第一象限的角表示为{α|k ⋅360︒<α<k ⋅360︒+90︒，（k ∈Z ）}； 第二象限的角表示为{α|k ⋅360︒+90︒<α<k ⋅360︒+180︒，（k ∈Z ）}； 第三象限的角表示为{α|k ⋅360︒+180︒<α<k ⋅360︒+270︒，（k ∈Z ）}； 第四象限的角表示为{α|k ⋅360︒+270︒<α<k ⋅360︒+360︒，（k ∈Z ）}； 或{α|k ⋅360︒-90︒<α<k ⋅360︒，（k ∈Z ）}.例2. (课本P6例2)已知α与2400角的终边相同,判断2α是第几象限角.练习1. (课时训练P1练习1)若α是第四象限角,则α-是 ( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案: 作图可得答案A.2. 角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,则角α与角α+1800的终边关系为A.一定关于x 轴对称B.一定关于y 轴对称C.可能关于原点对称D.随α的变化可以有不同的对称性解析 画出角α与角α+1800的终边验证答案.对于A 、B,如300与2100的终边既不关于x 轴对称,也不关于y 轴对称;由于角α与角α+1800的终边互为反向延长线,故一定关于坐标原点对称;角α与角α+1800的终边除关于原点对称外,在一些特殊的情况下,变关于x 轴或y 轴对称.答案D.（Ⅲ）课后练习：课本7P 练习 1~ 5（Ⅳ）课时小结：⒈正角、负角是用射线绕端点的旋转方向定义的，零角是射线没有做任何旋转．一个角是第几象限角，关键是看这个角的终边落在第几象限．⒉终边相同的角的表示有两方面的内容：⑴与角α终边相同的角的集合为{|360,}S k k Z ββα==+⋅∈ ； ⑵在0°到360 内找与已知角α终边相同的角的方法是：用所给角除以360 ，所得的商为k ，余数为α (α必须为正数)，α即为所找的角．终边相同的角未必相等．（Ⅴ）课后作业：⒈课本10P 习题1.1 ⒈2⒉预习课本7P ，思考下列问题：⑴什么叫弧度制？1弧度的角是怎样定义的？⑵怎样计算一个角的弧度数？⑶怎样进行角度与弧度的换算？⑷角的集合与实数集之间有什么关系？板书设计：教学后记:。