【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题2 函数与导数检测 文

高三数学二轮复习训练 函数与导数活页第二讲 函数与导数训练活页1．(2011·广东)设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.2．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.3．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (3)的值为________．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x－2 (x ≤0)2ax －1 (x >0)(a 是常数且a >0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1；②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a >1；④对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2.其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)5．设a >1，函数y ＝|log a x |的定义域为[m ，n ] (m <n )，值域为[0,1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值为56，则实数a 的值为________．6．设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点，则m 的取值集合为____________．7．函数f (x )对一切实数x 都满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，并且方程f (x )＝0有三个实根，则这三个实根的和为________．8．(原创题)已知全集I ＝R ，若函数f (x )＝x 2－3x ＋2，集合M ＝{x |f (x )≤0}，N ＝{x |f ′(x )<0}，则M ∩(∁I N )＝__________.9．(2011·辽宁改编)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为________．10．已知曲线C ：y ＝2x 2，点A (0，－2)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要实现不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是____________．11．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )·g (x )<f (x )g ′(x )，f (x )＝a x·g (x )，(a >0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，在有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (n )g (n )(n ＝1,2，…10)中，任意取正整数k (1≤k ≤10)，则前k 项和大于1516的概率是______．12．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是____________．13．(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x(x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是______．14．(文)已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．（理）如图，直线y ＝1与曲线y ＝－x 2＋2所围图形的面积是________．14．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，过曲线y ＝f (x )上的点P (1，f (1))的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)若y ＝f (x )在x ＝－2时有极值，求f (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值；(3)若函数y ＝f (x )在区间[－2,1]上单调递增，求实数b 的取值范围．15.长方形物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为(0)v v >，雨速沿E 移动方向的分速度为()c c R ∈。

第3讲导数及其应用1．(2015·陕西）设f(x）＝x－sin x，则f（x）( ）A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数2．(2014·课标全国Ⅰ）已知函数f（x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0〉0，则a的取值范围是（）A．(2，＋∞）B．（－∞,－2)C．（1,＋∞）D．（－∞，－1）3．(2014·辽宁)当x∈[－2,1］时,不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（)A．［－5，－3］B．［－6，－9 8］C．[－6，－2] D．［－4,－3］4．（2013·安徽）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1,x2。

若f(x1）＝x1<x2,则关于x的方程3(f(x））2＋2af(x）＋b＝0的不同实根个数为( )A．3 B．4 C．5 D．61。

导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值最值是高考的常见题型.热点一导数的几何意义1．函数f(x)在x0处的导数是曲线f（x）在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′（x0)(x－x0）．2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．例1 （1)（2015·课标全国Ⅰ)已知函数f（x）＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1)）处的切线过点（2，7），则a＝____________.（2）(2015·泸州市质量诊断）设函数f（x）＝ax3＋3x，其图象在点（1,f(1）)处的切线l与直线x－6y－7＝0垂直，则直线l与坐标轴围成的三角形的面积为（)A．1 B．3 C．9 D．12思维升华(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线"与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线，必以点P为切点．（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．跟踪演练1 在平面直角坐标系xOy中,设A是曲线C1：y＝ax3＋1（a>0）与曲线C2：x2＋y2＝错误!的一个公共点,若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直,则实数a的值是________．热点二利用导数研究函数的单调性1．f′（x）〉0是f(x）为增函数的充分不必要条件，如函数f（x)＝x3在（－∞,＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.2．f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′（x）＝0时,则f(x）为常函数，函数不具有单调性．例2 (2015·重庆）设函数f（x）＝错误!（a∈R）．（1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x）在点（1，f(1）)处的切线方程；（2)若f（x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．思维升华利用导数研究函数单调性的一般步骤:（1）确定函数的定义域；(2)求导函数f′（x)；（3)①若求单调区间(或证明单调性），只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x）〉0或f′(x)<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′（x）≥0或f′(x）≤0在单调区间上恒成立问题来求解．跟踪演练2 （1）函数f(x）＝错误!x2－ln x的单调递减区间为( ) A．（－1,1］B．（0，1]C．[1，＋∞）D．（0,＋∞）(2)若函数f(x）＝－错误!x3＋错误!x2＋2ax在［错误!,＋∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是________．热点三利用导数求函数的极值、最值1．若在x0附近左侧f′（x)>0，右侧f′（x）〈0，则f（x0)为函数f(x）的极大值;若在x0附近左侧f′（x)〈0,右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f（x）的极小值．2．设函数y＝f(x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，则f（x）在［a，b］上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．例3 (2015·北京改编）设函数f（x)＝错误!－k ln x，k>0.（1）求f(x)的单调区间和极值；(2)当x∈［1，错误!]时,求f（x)的最小值．思维升华(1）求函数f(x)的极值，则先求方程f′（x）＝0的根，再检查f′(x）在方程根的左右函数值的符号．（2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′（x)＝0根的大小或存在情况来求解．（3)求函数f（x）在闭区间[a，b］的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a），f（b）与f（x）的各极值进行比较得到函数的最值．跟踪演练3 已知函数f（x）＝ln x＋ax－a2x2(a≥0)．(1）若x＝1是函数y＝f（x)的极值点，求a的值；(2）若f（x）〈0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．1．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为（）A．e B．－eC.错误!D．－错误!2．已知函数f(x）＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10,则错误!的值为( )A．－错误!B．－2C．－2或－错误!D．2或－错误!3．已知函数f（x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－a ln x在(1，2)上为增函数，则a的值等于________．4．已知函数f(x)＝x－错误!，g(x）＝x2－2ax＋4，若任意x1∈［0，1]，存在x2∈［1,2]，使f(x1)≥g（x2），则实数a的取值范围是__________．提醒:完成作业专题二第3讲二轮专题强化练专题二第3讲导数及其应用A组专题通关1。

第一部分 2016高考题题汇编导数1. 【2016高考山东理数】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）（A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）e x y = （D ）3y x =2.【2016年高考四川理数】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)3.【2016高考新课标2理数】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．4.【2016高考新课标3理数】已知()f x 为偶函数，当0x <错误!未找到引用源。

时，()ln()3f x x x =-+错误!未找到引用源。

，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________．5.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）已知函数错误!未找到引用源。

有两个零点. (I)求a 的取值范围；(II)设x 1,x 2是()f x 错误!未找到引用源。

的两个零点,证明：122x x +<.6.【2016高考山东理数】(本小题满分13分)已知()221()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性； （II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立.7.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. 设12,2a b ==. （1）求方程()2f x =的根;（2）若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（3）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。

第二部分大专题综合测1函数与导数时间 120分钟，满分 150 分。

一、选择题 (本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)mπ1．(文 )设会合 M ＝{ － 1} ，N＝ {1 ＋ cos4，log0.2(|m|＋ 1)} ，若 M? N，则会合 N 等于 () A．{2}B． { － 2,2}C．{0}D． { － 1,0}[答案] Dmπ[分析 ]因为M? N且1＋cos4≥0，log0.2(|m|＋1)<0，所以log0.2(|m|＋1)＝－1，可得|m|＋1＝ 5，故 m＝±4， N＝ { － 1,0} ．(理 )(2015 福·建理， 1) 若会合 A＝ {i ， i2， i3， i 4}(i是虚数单位 )，B＝ {1 ，－ 1} ，则 A∩B 等于()A．{ －1}B． {1}C．{1 ，－ 1}D． ?[答案 ]C[分析 ]考察： (1) 复数的观点； (2) 会合的运算．由已知得 A＝ {i ，－ 1，－ i,1} ，故 A∩B＝ {1 ，－ 1} ，应选 C.2． (文 )(2015 福·建理， 2)以下函数为奇函数的是()A ． y＝ x B． y＝ |sin x|C．y＝ cos x D． y＝ e x－ e－x[答案 ]D[分析 ]考察函数的奇偶性．函数 y＝ x是非奇非偶函数；y＝|sin x|和 y＝ cos x 是偶函数； y＝ e x－ e－x是奇函数，故选 D ．(理 )以下函数中，定义域是R 且为增函数的是()－x3A ． y＝ e B． y＝ xC．y＝ lnx D． y＝ |x|[答案 ]B[分析 ] A 为减函数， C 定义域为 (0，＋∞)，D 中函数在 (－∞， 0)上递减，在 (0，＋∞)上递加．3．(文 )已知 y ＝ f(x)为 R 上的连续可导函数，当x ≠0时， f ′(x)＋fx >0，则函数 g(x)＝x1f(x)＋ x 的零点个数为 ()A ． 1B ． 2C ．0D ．0或2[答案 ] C[分析 ]由条件知， f ′(x)＋ f x ＝ [xf x >0.x x令 h(x)＝ xf(x)，则当 x>0 时，h ′(x)>0，当 x<0 时，h ′(x)<0 ，∴h(x)在 (－ ∞，0)上单一递减，在(0 ，＋ ∞)上单一递加，且 h(0)＝ 0.，则 h(x) ≥0对随意实数恒成立．函数 g(x)的零点即为 y＝h(x)与 y ＝－ 1 的图象的交点个数，所以函数g( x)的零点个数为 0.(理 )(2014 浙·江理， 6) 已知函数 f(x)＝ x 3＋ ax 2＋ bx ＋ c ，且 0≤f(－ 1)＝ f(－2) ＝f(－ 3) ≤3，则()A ． c ≤3B ． 3<c ≤6C ．6< c ≤9D ． c>9[答案 ] C[分析 ]∵ f(－ 1)＝ f( －2)＝ f( －3)－ 1＋ a － b ＋c ＝－ 8＋ 4a － 2b ＋ c ， a ＝ 6，－1＋ a － b ＋ c ＝－ 27＋ 9a － 3b ＋c ， 解得b ＝11.∴ f(x)＝x 3＋ 6x 2＋11x ＋c ，又∵ 0<f(－ 1) ≤3，∴ 0< c －6≤3，∴ 6< c ≤9，选 C.4． (文 )(2015 浙·江理， 4)命题 “? n ∈ N * ， f( n)∈ N *且 f(n) ≤n ”的否认形式是 ()A ． ? n ∈ N*,f(n)?N *且 f(n)>nB ．? n ∈ N *, f(n)?N *或 f(n)>nC ．? n 0∈ N *, f(n 0)?N * 且 f(n 0)>n 0D ． ? n 0∈ N *, f(n 0)?N *或 f(n 0)>n 0[答案 ]D[分析 ] 全称命题的否认为特称命题，“≤”的否认为 “ >．”(理 )(2015 浙·江理， 6)设 A ， B 是有限集，定义： d( A ， B)＝ card(A ∪B)－ card(A ∩B)，其中 card(A)表示有限集 A 中元素的个数．命题①：对随意有限集A ，B ， “A ≠B ”是 “d(A ，B)>0 ”的充足必需条件；命题②：对随意有限集A ，B ，C ， d( A ， C) ≤d( A ， B)＋ d( B ， C)．A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不可立C ．命题①成立，命题②不可立D ．命题①不可立，命题②成立[答案]A[分析 ]考察会合的性质．命题①明显正确， 经过以下图亦可知 d(A ，C)表示的地区不大于 d(A ，B)＋ d(B ，C)的地区，故命题②也正确，应选 A.5． (文 )(2014 福·建理， 4)若函数 y ＝ log a x(a>0，且 a ≠ 1)的图象以下图，则以下函数图象正确的选项是 ( )[答案 ]B[分析 ] 由图可知 y ＝ log a x 图象过 (3,1)，∴ log a 3＝ 1，∴ a ＝ 3，∵ y ＝3 － x为减函数，∴清除 A ；∵ y ＝ (－ x)3 当 x>0 时， y<0，∴清除 C ；∵ y ＝ log 3(－ x)中，当 x ＝－ 3 时， y ＝1，∴清除 D ，∴选 B ．－ x(理 )函数 f(x)＝ 2e的图象大概是 ()2－ x[答案 ]B－ xx －[分析 ]f 2e 2 (x ≠ 2)，令 f ′(x)<0 ，得 x<1.故 f(x)的减区间是 (－ ∞， 1)，增′(x)＝－ x区间为 (1,2)，(2，＋ ∞)， f(x)在 x ＝ 1 处获得极小值，且极小值为2 f(1) ＝ >0 ，故清除 C 、D 两e项；当 x>2 时， f(x)<0，清除 A 项，应选 B 项．6． (2015 ·京海淀期末北 )设 a ＝ 0.23， b ＝ log 20.3， c ＝ 20.3，则 ( )A ． b<c<aB ． c<b<aC ．a<b<cD ． b<a<c[答案 ] D[分析 ]因为 0< a ＝ 0.23<1， b ＝ log 20.3<0 ， c ＝ 20.3>1，所以 b<a<c ，应选 D ．7． (文 )(2014 新·课标Ⅱ文， 11)若函数 f(x)＝ kx － lnx 在区间 (1，＋ ∞)上单一递加，则 k的取值范围是 ()A ．(－∞，－ 2]B ． (－ ∞，－ 1]C ．[2，＋ ∞)D ． [1，＋ ∞)[答案 ]D1[分析 ] 由条件知 f ′(x)＝ k － x ≥0在 (1，＋ ∞)上恒成立，∴ k ≥ 1. 把函数的单一性转变成恒成立问题是解决问题的重点． (理 )若函数 f(x)在 (0，＋ ∞)上可导，且知足 f(x)>xf ′(x)，则必定有 ()fx在 (0，＋ ∞)上为增函数A ．函数 F(x)＝xB ．函数 G(x)＝xf(x)在 (0，＋ ∞)上为增函数fxC ．函数 F(x)＝在 (0，＋ ∞)上为减函数D ．函数 G(x)＝ xf(x)在 (0，＋ ∞)上为减函数[答案 ] C[分析 ]f xxf x － f x<0 ，故 F(x)在 (0，＋ ∞)上为减函数．对于 F(x)＝x ，F ′(x)＝2xa在区间 [1， e]上的最小值为3，则实数 a 的值为 ()8． (文 )若函数 f(x)＝ lnx ＋ x 23A. 2 B ． eeC.2D ．非上述答案[答案 ] B[分析 ]f ′(x)＝ 1 － a2 x －a，＝ 2x x x令 f ′(x)＝ 0，则 x ＝ a ，3若a<1，则f(x)min＝f(1)＝ a ＝2>1 ，不合题意．a 3若 a>e ，则 f(x)min ＝ f(e)＝1＋ e ＝ 2，e则 a ＝ 2<e ，不合题意．3所以 1≤a ≤e，f(x)min ＝ f( a)＝ lna ＋ 1＝2，则 a ＝ e.(理 )(2014 新·课标Ⅱ理， 8)设曲线 y ＝ ax － ln( x ＋ 1)在点 (0,0)处的切线方程为 y ＝ 2x ，则 a＝()A ． 0B ． 1C ．2D ． 3[答案]D[分析 ]此题考察导数的基本运算及导数的几何意义．1令 f(x) ＝ax － ln( x ＋1)，∴ f ′(x)＝ a －.∴ f(0) ＝ 0，且 f ′(0)＝ 2.联立解得 a ＝ 3，应选 D ．9． (文 )(2015 北·京西城区二模 ) 设命题 p ：函数 f(x)＝ e x － 1在 R 上为增函数；命题 q ：函数 f(x)＝ cos(x ＋ π)为奇函数，则以下命题中真命题是 ()A ． p ∧ qB ． (?p)∨ qC ．(? p) ∧ (?q)D ． p ∧ (?q)[答案 ] D[分析 ]p 为真命题；∵ cos(x ＋ π)＝－ cosx ，∴ f(x)为偶函数，∴ q 为假命题．应选D ．(理 )(2015 杭·州市质检 )已知函数 f(x)(x ∈ R ) 是以 4 为周期的奇函数，当 x ∈ (0,2)时， f( x)＝ln( x 2－ x ＋ b)．若函数 f(x) 在区间 [ － 2,2] 上有 5 个零点，则实数 b 的取值范围是 ()A ．－ 1<b ≤1B ．154≤b ≤4515C ．－ 1<b<1 或 b ＝ 4D ． 4<b ≤1或 b ＝4[答案 ]D[分析 ]此题考察函数的性质，考察数形联合与转变思想，难度较大．由周期性 f(－ 2)＝f(－ 2＋4)＝ f(2) ，又由奇偶性可得 f(－ 2)＝－ f(2) ，∴－ f(2)＝ f(2)，∴ f(2)＝ 0， f( －2)＝ 0，又 f(0)＝ 0，故若函数在区间 [－ 2,2] 内存在 5 个零点，只需 x ∈ (0,2)时， f(x)＝ln( x 2－ x ＋ b)只有一个零点即可，即方程 x 2－ x ＋ b ＝1 在区间 (0,2)内只有一根，可转变成y＝b ， y ＝－ x 2＋ x ＋ 1 在 x ∈ (0,2)上只有一个交点，联合图形可得－1<b ≤1或 b ＝5，同时考虑4211定义域的限制，x ∈ (0,2)，x － x ＋b>0 恒成立得b>4，综上可得 b 的取值范围是 4<b ≤1或 b＝ 5，应选 D ．4[易错警告 ]此题易忽略函数f(x)＝ ln( x 2－ x ＋ b)在区间 (0,2)上存心义而错选 C.10．( 文 )(2015 东·北三省四市联考 )定义在 [0,1] 上，而且同时知足以下两个条件的函数f(x)称为 M 函数：①对随意的 x ∈[0,1] ，恒有 f(x) ≥0；②当 x 1≥0，x 2≥0， x 1＋ x 2≤1时，总有 f( x 1 ＋x 2) ≥f(x 1 2M 函数的是 ())＋ f(x )成立，则以下函数不是 A ． f(x)＝ x 2B ． f( x)＝ 2x － 1C ．f(x)＝ ln( x 2＋ 1)D ． f(x)＝x 2 ＋1[答案 ]D[分析 ]利用清除法求解． 函数 f(x)＝ x 2≥0，x ∈ [0,1] ，且 x 1，x 2∈[0,1] ，x 1＋ x 2≤1时，f( x 1＋ x 2)－ f(x 1) － f(x 2)＝( x 1＋ x 2)2－ x 21－ x 22＝ 2x 1x 2≥0，所以 f(x)＝ x 2 是 M 函数， A 选项正确；函数f(x)＝ 2x － 1≥0，x ∈ [0,1] ，且 x 1，x 2∈ [0,1] ，x 1＋ x 2≤1时， f( x 1＋ x 2)－ f(x 1)－ f(x 2)＝ 2x 1＋ x 2－ 2x 1－2x 2＋1＝ (2x 1－ 1)(2x 2 －1) ≥0，所以 f(x)＝ 2x －1 是 M 函数， B 选项正确；函数 f(x)＝ln( x 2＋x 1＋ x 2 2 122 1) ≥0，x ∈ [0,1] ，且 x 1， x 2∈ [0,1] ， x 1＋ x 2≤1时， x 1x 2≤(2 ) ≤ ，所以 [(x 1＋ x 2) ＋ 1]－ (x 1＋41)(x 22＋ 1)＝ x 1x 2(2 －x 1 x 2) ≥0，则 f(x 1＋ x 2)－ f(x 1)－ f( x 2)＝ ln[( x 1＋ x 2)2 ＋1] －ln( x 21＋ 1)－ ln( x 22 ＋ 1)＝lnx 1＋ x 22＋ 1≥0，所以2是 M 函数， C 选项正确；对于函数222f(x)＝ ln( x ＋ 1) f( x)＝ xx 1＋ x 2＋＋ 1， x 1＝ x 2＝12知足条件，此时 f(x 1＋ x 2)＝ f(1)＝ 2< f(x 1)＋ f(x 2)＝ 52，所以 f(x)＝ x 2＋ 1 不是 M函数， D 选项错误，应选 D ．(理 )(2015 福·州市质检 )若函数 f( x)知足： ， x ∈ [ － 1， 1] ，都有 |f(x － x? x 1 21)－ f(x 2)| ≤|x 1 2| 1＋ x ， x<0， )成立，则称 f(x)∈ Ψ.对于函数 g(x)＝ x 3－ x ， h(x)＝ 有 (cosx ，x ≥0A ． g(x)∈ Ψ且 h(x)∈ ΨB ． g(x)∈ Ψ且 h(x)?ΨC ．g(x)?Ψ且 h(x)∈ΨD ． g(x)?Ψ且 h(x)?Ψ[答案 ] C[分析 ]对于函数 g(x)＝ x 3－ x ，因为 g ′(x)＝ 3x 2－ 1，故 x ∈ [ －1,1] 时， g ′(x)∈ [ － 1,2]，即? x 1，x 2∈ [－1,1] ，使得 |g( x 1)－ g(x 2 )|>|x 1－ x 2|，故 g(x)?Ψ.在同向来角坐标系中分别作出 y ＝ h(x)， y ＝ x ， y ＝－ x 的图象以下图，察看可知?|h x 1 － h x 2 ≤1，x 1， x 2∈ [－ 1,1] ， |x 1－ x 2|即|h(x－ x2|，故 h(x)∈Ψ.综上所述，应选C.1 )－ h(x 2)| ≤|x 111． (文 )(2015 济·南模拟 )若起码存在一个x(x≥ 0)，使得对于x 的不等式2≤4－ |2x－m|成x立，则实数 m 的取值范围为 ()A ． [－ 4,5]B． [－ 5,5]C．[4,5]D． [－ 5,4] [答案 ]A[分析 ]此题考察函数的图象与性质、数形联合思想．起码存在一个x≥0，使得不等式m 1 2成立，即函数f(x)＝ |x－m12 |x－|≤2－ x2|与 g(x)＝2－x 222的图象存在横坐标是非负数的公共点．在同一坐标系下画出函数12与 y＝ |x|的图g( x)＝ 2－ x2象，联合图象可知将y＝ |x|的图象向左平移到经过点(0,2)这个过程中的相应曲线均知足题意，即－ 4≤m≤0；将 y＝ |x|的图象向左平移到直线m12相切的过程中的y＝－ x＋与抛物线y＝ 2－ x22相应曲线均知足题意，设相应的切点横坐标是x0，则有－ x0＝－ 1，x0＝ 1，切点坐标是 (1，3 )，2于是有3＝－ 1＋m，得 m＝5，所以0≤m≤5因.此知足题意的实数m 的取值范围是 [ － 4， 5]，22应选 A.(理 )(2015东·北三省四市联考 )若对于 ?x＋ y－ 2x－ y－ 2 x， y∈ [0，＋∞)，不等式 4ax≤e＋ e＋ 2恒成立，则实数 a 的最大值是 ()1A. 4B． 1C．2D．1 2[答案 ]D[分析 ]利用分别参数法求解．由题意可得x－ 2y－ y4ax≤e(e＋e) ＋2， y∈ [0，＋∞)恒成立，4ax－ 2y－y x－ 2所以x－ 2 ≤(e＋e )min＝2，则2ax≤e＋1，x∈[0，＋∞)恒成立，x＝0时明显成立，所以ex －2＋ 1x－2x－ 2e e＋ 1 2ax≤e＋ 1，x∈ (0，＋∞)恒成立，即2a≤(x) min在 x∈ (0，＋∞)上恒成立，令 f(x)＝x，x －2x－－ 1ex∈(0 ，＋∞)，则 f′(x)＝2， x∈(0，＋∞)，由 f′(x)＝ 0 得 x＝2，当 x∈ (0,2)时，xf′(x)<0，f(x)在 (0,2)上单一递减；当x∈ (2，＋∞)时， f′(x)>0， f(x)在(2 ，＋∞)上单一递加，所1a 的最大值是1以 f(x)min ＝ f(2) ＝ 1，则 2a ≤1， a ≤ ，所以实数，应选 D ．2212．(文 )(2015 四·川理， 9)假如函数 f(x)＝ 1 (m － 2)x 2＋ (n － 8)x ＋ 1(m ≥0，n ≥0)在区间 1， 222 上单一递减，那么mn 的最大值为 ()A ．16B ． 1881C ．25D ． 2[答案] B[分析 ]考察函数与不等式的综合应用．当 m ＝ 2 时，∵ f(x)＝ (n －8)x ＋1 在 [ 12， 2]上单一递减，∴ n<8，又 n ≥0，∴ mn ＝ 2n<16.当 m ≠2时，抛物线的对称轴为 x ＝－n －8.据题意，当 m>2 时，－n －8≥2即 2m ＋ n ≤ 12∵. 2m ·nm －2m －22m ＋ n≤6，∴ mn ≤ 18由. 2m ＝ n 且 2m ＋n ＝ 12 得 m ＝3，n ＝ 6.∴当 m ＝3，n ＝ 6 时， mn 取到≤ 2 最大值 18.当 m<2 时，抛物线张口向下，据题意得，－ n － 8 1 1m ，≤ ，即 m ＋2n ≤18∵.n ≤9－m － 2 2 2 1 21 2 ＋81<－ 1 2 ＋ 81 ＝ 16.综上可知 mn 的最大 ∵0≤m<2 ，n ≥0，∴ mn ≤9m － m ＝－(m － 9) 2(2－ 9) 2222值为 18.选 B ．(理 )(2015 新·课标Ⅰ理， 12)设函数 f(x)＝ e x(2x －1) －ax ＋ a ，此中 a<1 ，若存在独一的整数 x 0 使得 f(x 0)<0，则 a 的取值范围是 ()A. － 3 ， 1B ． － 3 ，32e2e 43 ， 33， 1C. 2e 4 D ． 2e[答案 ] D[分析 ]解法 1：设 g(x)＝ e x (2x －1)，h(x)＝ ax － a ，由题知存在独一的整数x 0，使得 (x 0，g(x 0))在直线 h( x)＝ ax － a 的下方．因为x1时， g ′(x)＜ 0，当xg ′(x)＝ e (2x ＋ 1)，所以当 x ＜－ 2＞－ 1时， g ′(x)＞ 0，所以当 x ＝－ 1时， [g(x)] min ＝－ 2e － 1，∵ f(1) ＝ e>0，222f ＝a － 1<0 ，，解得3∴f －3＋2a ≥0.2e ≤a ＜ 1，应选 D .＝－ e解法 2：∵ a<1 ，∴ f(0) ＝－ 1 ＋ a<0 ，∴ x 0＝ 0 是切合题意的独一的整数 x 0，进而f －，∴a ≥3，f，2e又 a<1，∴ 2e 3≤a<1 ，应选 D ．二、填空题 (本大题共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分，将正确答案填在题中横线上 )13．已知命 p ：? x ∈ R ， ax 2＋ 2x ＋ 1≤0若.命题 p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．[答案 ] (1，＋ ∞)[分析 ]依据原命题是假命题，则其否认是真命题，联合二次函数图象求解．命题p 的否认 ?p ： ? x ∈ R ， ax 2＋ 2x ＋ 1>0 是真命题，故a>0，解得 a>1.＝4－ 4a<0，14． (文 )若曲线 y ＝ x － 1在点 (m ，m －1)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，2 2则 m ＝ ________.[答案 ] 64[分析 ]∵ y ＝ x － 1，∴ y ′＝－ 1x － 3，∴切线的斜率为－ 1 m － 3，切线方程为 y － m － 1＝22 2 2221 33 11 31＝ 18，－ m －(x － m)，令 x ＝ 0，得 y ＝ m － 2，令 y ＝ 0，得 x ＝ 3m ，∵ m>0，∴×3m × m － 22222 2∴m 1＝8，∴ m ＝ 64.2(理 )已知函数1 31 2处的切线与 x 轴平行，若函数 f(x)的f(x)＝ax ＋ax － bx ＋ b － 1 在 x ＝ 132图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是 ________．[答案 ]( 3616， )5[分析 ]依题意得， f ′ (1)＝0，又 f ′(x)＝ ax 2＋ ax －b ，∴ b ＝ 2a ，∴ f ′(x)＝ ax 2＋ ax － 2a ＝ a(x ＋ 2)(x － 1)，令 f ′(x)＝ 0，得 x ＝－ 2 或 x ＝ 1， ①当 a ＝ 0 时，不合题意；②当 a>0 时，要使图象过四个象限，16f －＝ 3 a － 1>0，3 ， 6 )；只需联合 a>0，解得 a ∈(516 5f＝6a － 1<0 ，③当 a<0 时，要使图象过四个象限，16f －＝ 3 a － 1<0，a ；只需联合 a<0.可知不存在切合条件的实数5f＝6a － 1>0 ，36综上得， a 的取值范围是 (16， 5)．15． (文 )函数 f(x)＝ax 3 －2ax 2＋ (a ＋ 1)x － log 2(a 2－ 1)不存在极值点，则实数 a 的取值范围是 ________．[答案 ]1<a ≤3[分析 ]因为 a 2－ 1>0 ，∴ a>1 或 a<－ 1；f ′(x)＝ 3ax 2－ 4ax ＋ a ＋ 1， ∵函数 f(x)不存在极值点， ∴ f ′(x)＝ 0 不存在两不等实根，∴ ＝ 16a 2－4×3a(a ＋ 1)＝ 4a(a －3) ≤0，所以 0≤a ≤3，综上可知： 1<a ≤3.(理 )已知函数 f(x)＝ ax 3 ＋bx 2＋ cx ，其导函数 y ＝ f ′(x)的图象经过点 (1,0)， (2,0)，如图所示，则以下说法中不正确的选项是________．①当 x ＝3时函数获得极小值；2② f(x)有两个极值点；③当 x ＝2 时函数获得极小值；④当 x ＝1 时函数获得极大值．[答案 ] ①[分析 ]从图象上能够看到：当 x ∈ (0,1)时， f ′(x)>0 ；当 x ∈ (1,2)时， f ′(x)<0 ；当 x ∈ (2，＋∞)时， f ′(x)>0 ，所以 f(x)有两个极值点 1 和 2，且当 x ＝ 2 时函数获得极小值，当 x ＝ 1 时函数获得极大值．只有①不正确．16． (文 )(2015 长·沙市模拟 )若对于 x 的方程 x 4＋ ax 3＋ ax 2＋ ax ＋ 1＝ 0 有实根，则实数a的取值范围是 ________．2[答案 ] (－ ∞，－ 3]∪ [2，＋ ∞)[分析 ]利用分别参数法求解．因为对于x 的方程 x 4＋ ax 3＋ ax 2＋ ax ＋ 1＝ 0有实根，易2141x＋ 220，则－ a ＝ 3 x＋x，令 x ＋ 1＝ t ∈(－ ∞，－2]∪ [2，＋ ∞)，则－ a ＝t－ 2知实根不为 2＝，x＋ x ＋ x1xt ＋ 1x ＋ 1＋ xt 2－ 2t 2＋ 2t ＋ 2t 2－2t 2－ 2 2，即－ a ≤－t ∈ (－ ∞，－ 2]∪[2 ，＋ ∞)．因为 ( t ＋ 1) ＝′t ＋2≤－2 或≥>0，所以 t ＋ 1t ＋ 1 32 22 或－ a ≥ ，解得 a ≥2或 a ≤－ .33(理 )(2015 福·州市质检 )已知函数 f(x)＝ x ·sinx ，有以下四个结论： ①函数 f(x)的图象对于 y 轴对称；②存在常数 T>0，对随意的实数 x ，恒有 f(x ＋ T)＝ f(x)成立；③对于随意给定的正数M ，都存在实数 x 0，使得 |f(x 0 )| M ≥；④函数 f(x)的图象上起码存在三个点，使得该函数在这些点处的切线重合．此中正确结论的序号是 ________(请把全部正确结论的序号都填上)．[答案 ] ①③④[分析 ]因为函数的定义域为 R ，且 f(－ x)＝ (－ x) ·sin( － x)＝ xsinx ＝ f(x) ，故函数 f(x)＝xsinx 为偶函数，图象对于 y 轴对称，①正确；作出函数 y ＝xsinx 的图象以下图，察看可知，该函数没有周期性，②错误；因为当 x →∞， x ≠k π 时， |f(x)| →＋ ∞，故对于随意给定的正数 M ，都存在实数 x 0，使得 |f(x 0)| ≥M ，对于随意正数 M ，在同一坐标系中作出函数 y ＝ sinx与 y ＝MMx 的图象，易知当 x>0 时，总存在 x 0>0，使 sinx 0≥ >0，∴ x 0sinx 0≥M ，x 0∴ |x 0sinx 0| ≥M ，可知③正确；作出 y ＝ ±x 的图象以下图，察看可知，或由直线y ＝x 与π π曲线切于点 (2＋2k π， 2＋2k π)，k ∈ Z 知④正确．综上所述，正确命题的序号为①③④.三、解答题 (本大题共 6 个小题， 共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )2a ＋ k立} ，命题 q ： B ＝ { a|1<．2 <2}(1)若 k ＝ 1，求 A ∩(?R B)；(2)若 “非 p ”是 “非 q ”的充足不用要条件，务实数 k 的取值范围．2－ 16<0} ＝ { x|－ 2< a<2} ， B ＝ { a|2－ k<a<4－ k} ． [分析 ] 依题意，可得 A ＝ { a|4a (1)当 k ＝ 1 时，因为 B ＝ { a|1<a<3} ，则 ?R B ＝ { a|a ≤1或 a ≥ 3}，所以 A ∩(?R B)＝ { a|－ 2< a ≤ 1}．(2) 由 “非 p ”是 “非 q ”的充足不用要条件，可知q 是 p 的充足不用要条件．只需2－ k ≥－2，解得 2≤k ≤4.4－ k ≤2，所以实数 k 的取值范围是 [2,4] ．(理 )若会合 A 拥有以下性质：① 0∈A,1∈ A ；②若 x 、y ∈ A ，则 x － y ∈ A ，且 x ≠0时，1x ∈ A ，则称会合 A 是 “好集 ”．(1)分别判断会合 B ＝{ － 1,0,1} ，有理数集 Q 是不是 “好集 ”，并说明原由；(2)设会合 A 是 “好集 ”，求证：若 x 、 y ∈ A ，则 x ＋ y ∈A ；(3)对随意的一个 “好集 ”A ，分别判断下边命题的真假，并说明原由．命题 p ：若 x 、 y ∈A ，则必有 xy ∈ A ；命题 q ：若 x 、 y ∈A ，且 x ≠0，则必有 y∈ A.x[分析 ](1)会合 B 不是 “好集 ”．原由是：假定会合 以－ 1－ 1＝－ 2∈ B ．这与－ 2?B 矛盾．有理数集 Q 是 “好集 ”．因为 0∈ Q, 1∈ Q ，B 是 “好集 ”，因为－1∈ B,1∈ B ，所对随意的 x ， y ∈ Q ，有 x － y ∈ Q ，且 x ≠0时，1x ∈ Q .所以有理数集 Q 是“好集 ”．(2)证明：因为会合A 是 “好集 ”，所以 0∈A.若 x 、 y ∈A ，则 0－ y ∈ A ，即－ y ∈A.所以 x －(－y)∈ A ，即 x ＋ y ∈ A.(3)命题 p 、 q 均为真命题．原由以下：对随意一个 “好集 ”A ，任取 x 、 y ∈ A ，若 x 、 y 中有 0 或 1 时，明显 xy ∈ A.1 1下设 x 、y 均不为 0,1.由定义可知 x － 1、 x － 1 、 x ∈ A. 所以1 －1∈A ，即 1∈ A.x － 1 xx x －所以 x(x － 1)∈A.由 (2)可得 x(x － 1)＋ x ∈A ，即 x 2∈A.同理可得 y 2∈ A.若 x ＋ y ＝0 或 x ＋ y ＝1，则明显 ( x ＋y)2∈ A. 若 x ＋ y ≠0且 x ＋ y ≠1，则 (x ＋ y)2∈ A.所以 2xy ＝ (x ＋ y)2－ x 2－y 2∈ A.1所以 ∈ A.由 (2)可得 xy 1＝ 2xy 1＋ 2xy 1∈ A.所以 xy∈A.综上可知， xy∈ A，即命题p 为真命题．若 x， y∈A，且 x≠0，则1x∈ A.y1所以＝ y·∈A，即命题 q 为真命题．x x418． (此题满分12 分)(2015 四·川绵阳一诊 )已知函数 f(x)＝ 1－2a x＋a(a>0 且 a≠ 1)是定义在( －∞，＋∞)上的奇函数．(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的值域；(3)x－ 2 恒成立，务实数t 的取值范围．当 x∈ (0,1] 时， tf( x) ≥2[分析 ]解法1： (1) ∵ f(x)是定义在 (－∞，＋∞)上的奇函数，即f(－ x)＝－ f(x)恒成立，∴f(0)＝ 0.4即 1－2×a0＋a＝ 0，解得 a＝2.22x－ 1(2)由 (1) 知 f(x)＝ 1－2x＋1＝2x＋1，2x－ 1记 y＝ f(x)，即 y＝x，2＋ 11＋ y1＋ y∴ 2x＝，由 2x>0 知>0 ，1－ y1－ y∴－ 1<y<1，即 f(x)的值域为 (－ 1,1)．x－ 2即为t·2x－ tx(3)原不等式2x＋1－ 2.tf(x) ≥2≥2即 (2x)2－ (t ＋1) ·2x＋ t－ 2≤0.设 2x＝ u，∵ x∈(0,1] ，∴ u∈ (1,2] ．x∵ x∈ (0,1] 时， tf(x) ≥2－ 2 恒成立，∴u∈ (1,2] 时， u2－ (t ＋ 1) ·u＋ t－ 2≤0恒成立．u，12－ t＋＋ t－ 2≤0，∴∴22－ t＋解得 t≥0.u，＋ t－ 2≤0，解法 2： (1) 同解法 1.(2)由(1) 知 f(x)＝ 1－2，2x＋ 1而 2x>0，∴ 2x＋ 1>1，∴ 0< x2<2 ，2＋ 12∴－ 1<1－2x＋1<1 ，即－ 1<f(x)<1.∴ f(x)的值域为 (－ 1,1)．(3)∵ x ∈ (0,1] ，∴ 2x － 1>0 ，∴原式变成2x ＋ 1x 2－ 2x － 2t ≥ x·(2x － 2)＝x－ 12 － 12x －2＋x －－ 22 ＋ 1. ＝x＝ (2x－ 1)－ x2 － 12 － 1令 μ＝ 2x － 1，则 μ∈ (0,1] ，原式变成t ≥μ－ 2＋ 1.μ而 g(μ)＝ μ－2＋ 1 在 μ∈ (0,1] 时是增函数，μ∴当 μ＝ 1 时， g(μ)max ＝0 ，∴ t ≥0.19． (此题满分 12 分 )(文 )某开发商用9000 万元在市里购置一块土地，用于建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000 平方米．已知该写字楼第一层的建筑花费为每平方米 4000 元，从第二层开始，每一层的建筑花费比其下边一层每平方米增添100 元．(1)若该写字楼共 x 层，总开发花费为 y 万元，求函数 y ＝ f( x)的表达式； (总开发花费＝总建筑花费＋购地花费)(2)要使整幢写字楼每平方米的均匀开发花费最低，该写字楼应建为多少层？[ 分析 ] (1) 由已知，写字楼最下边一层的总建筑花费为4000 ×2000 ＝ 8000000( 元 ) ＝800(万元 )，从第二层开始，每层的建筑总花费比其下边一层多100 ×2000＝ 200000(元 )＝ 20(万元 )，写字楼从下到上各层的总建筑花费组成以 800 为首项， 20 为公差的等差数列，所以函数表达式为y ＝ f(x) ＝ 800x ＋x x －×20＋90002＝ 10x 2＋ 790x ＋ 9000(x ∈N * )．(2)由 (1) 知写字楼每平方米均匀开发花费为f xx 2＋ 790x ＋g(x)＝ 2000x ×10000＝ x＝ 50(x ＋900＋ 79)x900*得， x ＝30.g ′(x)＝50(1－ 2 )，由 g ′(x)＝ 0 及 x ∈Nx易知当 x ＝ 30 时， g(x)获得最小值．答：该写字楼建为 30 层时，每平方米均匀开发花费最低．(理 )经市场检查， 某旅行城市在过去的一个月内 (以 30 天计 )，旅行人数 f(t)( 万人 )与时间t(天 )的函数关系近似知足 f( t)＝ 4＋1t ，人均花费g( t)( 元)与时间 t(天 )的函数关系近似知足 g(t)＝ 115－ |t － 15|.(1)求该城市的旅行日利润w(t)(万元 )与时间 t(1 ≤t ≤ 30， t ∈N )的函数关系式；(2)求该城市旅行日利润的最小值(万元 )．[分析 ] (1)依题意得，1w(t)＝ f(t) ·g(t)＝ (4＋ t )(115－|t － 15|)．＋1t ＋，t<15 ，t ∈N * ，(2)因为 w( t)＝t1*－ tt ≤30， t ∈ N＋ t，125)＋ 401 ≥ 4×225＋ 401＝ 441， ①当 1≤t<15 时， w(t)＝ (4＋)( t ＋ 100)＝ 4(t ＋tt当且仅当 t ＝25，即 t ＝ 5 时取等号．t②当 15≤t ≤30时， w(t)＝1519＋ (130 － 4t)，可证 w(t)在 t ∈ [15,30] 上单一 (4＋ )(130 － t)＝ tt递减，所以当 t ＝ 30 时， w(t) 取最小值为 4031.3 因为 403 1<441 ，3所以该城市旅行日利润的最小值为4031万元．320． (此题满分 12 分)( 文 )已知函数2f(x) ＝x ＋2alnx.(1)若函数 f(x)的图象在 (2，f(2)) 处的切线斜率为1，务实数 a 的值；(2)求函数 f(x)的单一区间；2＋ f(x)在 [1,2] 上是减函数，务实数a 的取值范围．(3)若函数 g(x)＝ x2a ＝2x 2＋ 2a[分析 ] (1)f ′(x)＝ 2x ＋ xx.由已知 f ′(2)＝ 1，解得 a ＝－ 3.(2)函数 f(x)的定义域为 (0，＋ ∞)．①当 a ≥0时， f ′(x)>0 ， f(x)的单一递加区间为 (0，＋ ∞)；②当 a<0 时 f ′(x)＝ x ＋ －ax － － a .x当 x 变化时， f ′(x)， f(x)的变化状况以下：x(0， － a)－a ( － a ，＋ ∞)f ′(x)－＋f(x)极小值由上表可知，函数 f(x)的单一递减区间是(0， － a)；单一递加区间是 ( － a ，＋ ∞)．2 22 2a，(3)由 g(x)＝＋ x ＋ 2alnx ，得 g ′(x)＝－2＋ 2x ＋xxx由已知函数 g(x)为 [1,2] 上的单一减函数，则 g ′(x)≤0在 [1,2] 上恒成立，2 2a即－ 2＋ 2x ＋x ≤0在[1,2] 上恒成立．x1 2即 a ≤ － x 在 [1,2] 上恒成立． x121 1令 h(x)＝ x － x ， x ∈[1,2] ，则 h ′(x)＝－ x 2－ 2x ＝－ (x 2＋ 2x)<0，∴ h(x)在 [1,2] 上为减函数． h(x)min ＝ h(2)＝－ 7，27 ，故 a 的取值范围为 (－ ∞，－ 7∴ a ≤－ ] ．2 2(理 )设函数 f(x)＝ ln x ＋ (x － a)2， a ∈ R . (1)若 a ＝ 0，求函数 f(x)在 [1， e]上的最小值；(2)若函数 f(x)在 [ 1， 2]上存在单一递加区间，试务实数a 的取值范围．2 [分析 ](1)f(x)的定义域为 (0，＋ ∞)．1因为 f ′(x)＝ ＋ 2x>0，所以 f(x)在 [1， e]上是增函数，当 x ＝ 1 时， f(x)获得最小值 f(1)＝ 1.所以 f(x)在 [1， e]上的最小值为 1.12x 2－ 2ax ＋ 1(2)法一： f ′(x)＝ x ＋ 2(x －a)＝ x设 g(x)＝ 2x 2－ 2ax ＋1，依题意得，在区间[12， 2]上存在子区间使得不等式g( x)>0 成立．注意到抛物线g(x)＝ 2x 2－ 2ax ＋ 1 的图象张口向上，1所以只需 g(2)>0 ，或 g(2)>0 即可．由 g(2)>0 ，即 8－ 4a ＋1>0 ，得 a<94，由 g(1)>0，即1－ a ＋ 1>0，得 a<3.2229所以 a<4，9所以实数 a 的取值范围是 (－∞， )．412x 2－ 2ax ＋ 1法二： f ′(x)＝ x ＋ 2(x － a)＝x ，依题意得，在区间 [1， 2]上存在子区间使不等式2x 2－ 2ax ＋ 1>0 成立．2 又因为 x>0，所以 2a<(2 x ＋1)．x设 g(x)＝ 2x ＋1，所以 x2a 小于函数g(x) 在区间 [ 1， 2]的最大值．2又因为g ′(x)＝ 2－x12，由 g ′(x)＝ 2－ x 12>0，解得 x> 22；由 g ′(x)＝ 2－ 12x 2<0，解得 0<x< 2 .所以函数 g(x)在区间 (2 ， 2]上单一递加，在区间 [ 1 ，22 2 2 )上单一递减．1所以函数 g(x)在 x ＝ ，或 x ＝ 2 处获得最大值．91又 g(2)＝ 2， g(2) ＝ 3，所以 2a<9，即 a<9，2 49所以实数 a 的取值范围是 (－∞，4)．2x21． (此题满分 12 分)( 文 )(2015 新·课标Ⅰ文， 21)设函数 f(x)＝ e －aln x.(1)议论 f(x)的导函数f ′(x)零点的个数；2(2)证明：当a>0 时， f(x) ≥2a ＋ aln a .[分析 ] (1)f(x)的定义域为 (0，＋ ∞)，f ′(x)＝ 2e 2x－ax ( x ＞ 0)．当 a ≤0时，f ′(x)＞ 0，∴ y ＝f ′(x)没有零点；当 a ＞0 时，因为 y ＝ e 2x 单一递加，y ＝－ax 单一递加，所以f ′(x)在 (0，＋ ∞)单一递加．又 f ′(a)＞ 0，当 b 知足 0＜ b ＜ a 且 b ＜ 1时， f ′(b)＜ 0，故当 a ＞ 0 时， f ′(x)存在独一零点．44(2)由 (1) ，可设 f ′(x)在 (0，＋ ∞)的独一零点为x 0，当 x ∈ (0，x 0)时， f ′(x)＜0；当 x ∈ (x 0，＋ ∞)时， f ′(x)＞ 0.故 f(x) 在(0，x 0)上单一递减， 在 (x 0，＋∞)上单一递加， 所以当 x ＝ x 0 时，f(x)获得最小值，最小值为 f(x 0)．因为 2e2x 0 － a＝ 0，x 0 所以 f(x 0)＝ a ＋ 2ax 0＋ aln 2 22x 0a ≥2a ＋ aln .a2 故当 a ＞ 0 时， f(x) ≥2a ＋ aln a .(理 )(2015 新·课标Ⅱ文， 21)已知函数 f( x)＝ ln x ＋ a(1－ x)． (1)议论 f(x)的单一性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a － 2 时，求 a 的取值范围．[分析 ](1)f(x)的定义域为 (0，＋ ∞)， f ′(x)＝ 1－ a ，若 a ≤0，则 f ′(x)>0， f(x)在 (0，＋ ∞)，x单一递加； 若 a>0，则当 x ∈ 0， 1 时，f ′(x)>0，当 x ∈ 1，＋ ∞ 时，f ′(x)<0，所以 f(x)在 0， 1a aa 上单一递加，在1，＋ ∞ 上单一递减．a(2)由 (1) 知 a ≤0时 f(x)在 (0，＋ ∞)无最大值．当1处获得最大值，最大值a>0 时 f(x)在 x ＝ a为 f 1＝ ln 1 ＋ a 1－1＝－ ln a ＋ a － 1.所以 f1>2a － 2? ln a ＋ a － 1<0 ，令 g(a)＝ ln a ＋a －aaaa1.则 g(a)在 (0，＋ ∞)是增函数，且 g(1) ＝0，于是，当 0<a<1 时， g(a)<0，当 a>1 时， g(a)>0.所以 a 的取值范围是 (0,1)．22．(此题满分 12 分 )(文 )(2015 重·庆文， 19)已知函数 f(x) ＝ax 3＋x 2(a ∈R )在 x ＝－4处取3得极值．(1)确立 a 的值；(2)若 g(x)＝f(x)e x ，议论 g(x)的单一性．[分析 ](1)对 f(x)求导得 f ′(x)＝ 2f(x)在 x ＝－4处获得极值，所以 4 3ax ＋ 2x ，因为f ′(－ )3316416a8＝ 0，解得 a ＝ 1.＝0，即 3a ×＋ 2×(－ )＝ － 3 29 3 31 32 x3 2 x1 32 x1 3 5 2x1(2) 由 (1)得， g(x) ＝ 2x ＋ x e .故 g ′(x)＝ 2x ＋ 2x e ＋ 2x ＋ x e ＝ 2x＋ 2x ＋2x e ＝ 2x(x ＋ 1)(x ＋ 4)e x ，令 g ′(x)＝0，解得 x ＝ 0， x ＝－ 1 或 x ＝－ 4.当 x<－4 时， g ′(x)<0 ，故 g(x)为减函数；当－ 4<x<－1 时， g ′(x)>0，故 g(x)为增函数；当－ 1<x<0 时， g ′(x)<0 ，故 g(x)为减函数；当 x>0 时， g ′(x)>0 ，故 g(x)为增函数；综上知 g(x)在 (－ ∞，－ 4)和 (－ 1,0)内为减函数，在( －4，－ 1)和 (0，＋ ∞)内为增函数．(理 )已知函数 f(x)＝x ＋ 2 － a－2x ， (a>0) ． x ＋x ＋ 1(1)若函数 f(x)在 x ＝ 0 处获得极值，求a 的值；(2) 如图，设直线 x ＝－ 1， y ＝－ 2x ，将坐标平面分红Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个地区(不含边界) ，若函数 y ＝ f(x)的图象恰巧位于此中一个地区内，试判断其所在的地区，并求其对应的a 的取值范围．(3)试比较 20162015 与 20152016 的大小，并说明原由．[分析 ](1)∵ f(x)＝x ＋ 2－a－ 2xx ＋ x ＋ 1x ＋－x ＋x ＋a 2－ 2 ，∴ f ′(x)＝x ＋4＋x ＋∵ f(x)在 x ＝ 0 处获得极值，∴ f ′(0)＝ 1＋a － 2＝ 0， ∴ a ＝ 1.(经查验 a ＝1 切合题意 )(2)因为函数的定义域为 (－ 1，＋ ∞)，且当 x ＝ 0 时，f(0) ＝－ a<0，又直线 y ＝－ 2x 恰巧经过原点，所以函数 y ＝ f(x) 的图象应位于地区Ⅲ内，∵ x>－ 1，∴可得 f(x)<－ 2x ，即x ＋ 2< a ，x ＋x ＋ 1∵ x ＋ 1>0，∴ a>x ＋，x ＋ 1令 φ(x)＝x ＋ ，∴ φ′(x)＝1－x ＋ x ＋ 2，x ＋ 1令 φ′(x)＝ 0 得 x ＝ e － 1，∵ x>－1，∴ x ∈ (－ 1，e － 1)时， φ′(x)>0 ， φ(x)单一递加，x ∈ (e － 1，＋ ∞)时， φ′(x)<0 ，φ(x)单一递减． ∴ φ1，∴ a 的取值范围是： a>1max (x)＝ φ(e － 1)＝ee.(3)法 1：由 (2) 知函数 φ(x)＝x ＋ 在 x ∈ (e － 1，＋ ∞)时单一递减．x ＋ 1∴函数 p(x)＝ln x在 x ∈ (e ，＋ ∞)时单一递减，x∴x ＋lnx，∴ xln(x ＋ 1)<( x ＋ 1)lnx ，x ＋ 1 < x∴ ln(x ＋ 1)x <ln x (x ＋ 1)，即 (x ＋ 1)x <x (x ＋1)，∴令 x ＝2015， 201620152016<2015 .20152015－rrC 20152015 2015＋ 2015r ＝ 0法 2：2016＝＝20152016，2015201620152016 ∵ C r 2015<2015 r ，∴ C r 201520152015－r <20152015，2015 r 2015－rC 20152015r ＝∴2016201520151201120132＋2014＝ C 20152015 ＋ C 20152015＋⋯ ＋ C 2015201520152015＋<1，2015 2016∴ 2016 20152016<2015 .2015 20161法 3：201620152016＝ ()×2015 20152015∵ (2016 )2015＝ (1＋ 1 )2015＝ 1＋ 1＋ C 20152×( 1 )2＋ C 20153×( 1)3＋ ⋯ ＋ C 2015r(1)r ＋ ⋯20152015 2015 2015 2015＋C 20152015(1)2015<2 ＋ 1＋1＋⋯＋1<2＋ 1 ＋1＋⋯＋1<3，20152×1 2×3 －∴ 2016 20152016<1，∴ 20162015<20152016.2015反一、1．(文 )(2015 新· Ⅰ文， 1) 已知会合 A ＝ { x|x ＝3n ＋ 2，n ∈N } ，B ＝ {6,8,10,12,14} ， 会合 A ∩B 中元素的个数 ()A ． 5B ． 4C ．3D ． 2[答案 ] D[分析 ] 会合 A 的元素 首 2，公差 3 的等差数列，所以会合 A ＝ {2,5,8,11,14 ，⋯}，所以A ∩B ＝{8,14}，元素的个数2.(理 ) 会合1 x 1 1A ＝ { x|(2) <4} ，B ＝ { x|log3x>－ 1}，A ∩B 等于()A ． { x|x<－ 2}B ． { x|2<x<3}C ．{ x|x>3}D ． { x|x<－ 2 或2<x<3}[答案 ] B[分析 ]因A ＝ { x|x>2}，B ＝ { x|0<x<3} ，所以A ∩B ＝ { x|2<x<3} ．2．命题 p： ? a∈R，函数 f(x) ＝(x－1)a＋ 1 恒过定点 (2,2)；命题 q：?x0∈R，使 2x0≤ 0.则以下命题为真命题的是()A ． (?p) ∨q B． p∧ qC．(? p) ∧ (?q)D． (?p)∨ (?q)[答案 ]D[分析 ]p 为真命题， q 为假命题，故 D 项正确．1 x－log 3x 的零点，若 x0>m，则 f(x0)的值 () 3． (文 )已知 m 是函数 f(x)＝ ( )3A．等于 0B．大于 0C．小于 0D．符号不确立[答案 ]C[分析 ]1 x 1 x1x 在 (0，＋∞)上为减函数，又f(m)＝ 0，∴ x0>m ∵ f(x)＝ ()－ log3x＝ ( )＋ log333时，应有 f(x0)< f(m)，即 f(x0)<0，应选 C.(理 )(2015 天·津 )已知函数 f( x)＝2－ |x|， x≤2，x－函数 g(x)＝ 3－ f(2－ x)，则函数 y＝2，x＞ 2，f(x)－ g(x) 的零点个数为 ()A ． 2B． 3C．4D． 5[答案 ]A[分析 ]当 x<0 时， f(2－ x)＝ x2，g(x)＝ 3－ x2，此时函数 f(x)－ g(x)＝－ 1－ |x|＋ x2的小于零的零点为x＝－1＋5；2当 0≤x<2 时， f(2－ x)＝ 2－ |2－ x|＝ x， g(x)＝ 3－x，函数无零点；f(x)－ g(x)＝ 2－ |x|－ 3＋x＝－ 1当 x>2 时， f(2－x)＝ 2－ |2－ x|＝ 4－ x， g(x)＝ x－ 1，函数 f(x)－ g(x)＝ (x－ 2)2－ x＋ 1＝x2－5x＋ 5 大于 2 零点有一个，应选 A.4． (文 )已知函数 f( x)＝1， g(x)＝ lnx， x0是函数 h(x)＝ f(x)＋ g(x)的一个零点，若 x1∈1－ x(1， x0)， x2∈ (x0，＋∞)，则 ()A ． h(x1)<0 ，h(x2)<0B． h(x1)>0 ， h(x2)>0C．h(x1)>0 ，h(x2)<0D． h(x1)<0 ， h(x2)>0[答案 ]D[分析 ]1＋ lnx＝ 0，进而有 lnx＝1，此方程的解即为函数h(x)的零点．在令 h(x)＝1－x x－ 1同一坐标系中作出函数 g(x)＝ lnx 与 f(x)＝1的图象，以下图．x － 1由图象易知 1 >lnx 1，进而 ln x 1 － 1x 1－ 1 <0，x 1 － 1 故 lnx 1＋1，即 h(x 1)<0.同理 h(x 2)>0.<01－ x 1(理 )函数 f(x)＝ sin(3x)－ 1 x 3的图象最可能是 ()8[答案 ] A[分析 ]∵ f(－ x)＝ sin( －3x)－ 1 (－ x)3＝－ f( x)，∴函数 f(x)为奇函数，清除 B 项；又 f(2)8＝ s in6－1×23＝ sin6－ 1<0 ，故清除 C 、 D 两选项，应选 A.83x －b ，x ＜ 1， 5＝ 4，则 b ＝ ()5． (2015 山·东文， 10)设函数 f(x)＝ x，)若 f f 62x ≥ 1.A ． 1B ． 7831C.4D ． 2[答案 ] D[分析 ]考察分段函数与方程思想．55 5 55－ b ＜1，－ b ＝ － b ， 由 ))＝ 4 得 ，2或由 题 意 ， f()＝ 3× 2f(f( 566 62－b－ b ＝4，52－b ≥1，解得 b ＝ 1，应选 D ．2 5－ b ＝ 4， 226．设 f(x)是 R 上的奇函数，且 f( x)知足 f(x ＋ 1)＝ f(x － 1)，当－ 1≤x ≤0时， f(x)＝ x(1＋ x)，则 f(5)＝ ()211A. 2B ． 411C ．－ 4D ．－ 2[答案 ] B[分析 ]∵ f(x)知足 f( x ＋ 1)＝ f(x － 1)，5 1∴ f(x ＋ 2)＝ f(x)，∴ f(x)的周期为 2，∴ f(2)＝ f(2)， ∵ f(x)为奇函数，1 1 1 11，∴ f( )＝－ f(－ ) ＝ (1 － )＝ 2 2 2 2 4∴ f(5 )＝ 1，应选 B ． 2 47．函数 f(x)＝ x 3＋ ax 2＋ 3x － 9，已知 f(x)有两个极值点 x 1、 x 2，则 x 1·x 2 等于 () A ． 9 B ．－ 9 C ．1D ．－ 1[答案 ] C[分析 ]f ′(x)＝ 3x 2＋ 2ax ＋3，则 x 1·x 2＝ 1.1－ x ＋ln x 对随意 x ∈ [ 1， 2] 恒成立，则 a 的最大值为 ()8． (文 )已知 a ≤ x 2A ． 0B ． 1C ．2D ． 3[答案 ] A[分析 ]令 f(x)＝1－ xx － 11，1] 时，f ′(x)<0，当 x ∈ [1,2] 时，f ′(x)>0 ，＋ln x ，则 f ′(x)＝ 2 ，当 x ∈ [x x 2∴ f(x)在[ 1， 1]上单一递减，在 [1,2] 上单一递加，2∴ f(x)min ＝ f(1)＝ 0，∴ a ≤0，应选 A.(理 )若 f ′(x)＝ (x＋ a)(x－ 2)，f(0) ＝0，函数 f(x)在区间 [－2,0] 上不是单一函数，且当 x∈ [ －2,0] 时，不等式 f(x)<1a3－ 2a＋3 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ()6A ． (－ 3,1)B． (－ 1,3)C．(0,3)D． (0,1)[答案 ]D[分析 ]13a－ 2 2依题意得， f(x)＝x ＋2x － 2ax；3∵ f(x)在[ － 2,0]上不是单一函数，∴－a∈ (－ 2,0)，即 0<a<2，①在 (－ 2，－ a)上 f ′(x)>0 ，在 (－ a,0)上 f ′(x)<0，∴当x∈[ －2,0]时， [f( x)] max＝ f(－a)＝－13a2a－2132 1 3 a ＋2＋ 2a＝ a ＋ a ，由条件知6a 36＋a2<1a3－2a＋3，6∴a2＋ 2a－3<0 ，∴－ 3<a<1 ②由①②得， 0< a<1.9． (文 )函数 f(x)＝12－1的定义域为() 2x1A．(0，2)B． (2，＋∞)11 C．(0，2)∪ (2，＋∞)D． (0，2]∪ [2，＋∞) [答案 ]C[分析 ](log 2x)2－ 1>0， (log 2 x)2>1，∴log2x<－ 1 或 log 2x>1，∴0<x<1或 x>2. 2(理 )(2015 重·庆文， 3) 函数 f(x)＝ log 2(x2＋ 2x－ 3)的定义域是 ()A ． [－ 3,1]B． (－ 3,1)C．( －∞，－ 3]∪ [1，＋∞)D． (－∞，－ 3)∪(1，＋∞) [答案 ]D[分析 ]考察函数的定义域与一元二次不等式．由 x2＋ 2x－ 3>0? (x＋ 3)(x－ 1)>0 ，解得 x<－ 3 或 x>1 ；应选 D ．10．已知函数 f(x)＝lnx， x>0，则 f(x)>1 的解集为 () x＋2， x<0，A ． (－ 1,0)∪ (0， e)B． (－∞，－ 1)∪ (e，＋∞)。

♦专题二函数与导数第1讲函数的图象与性质热点精讲考向分析年份考点201120122013 2014 2015I II I II I n函数的定义域、值域及解析式13函数的图象及其应用12 911 函数的性质及其应用 3 16515 121駅2014新课标全国卷I，文5)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(C )⑷f(x)g(x)是偶函数(B) |f(x)|g(x)是奇函数(C)f(x) |g(x)| 是奇函数(D)|f(x)g(x)|是奇函数解析:f* (x)是奇函数，则F (-x) —f (x), g (x)是偶函数, 则g (-x)・g (x)则f (-x) g (-x) =-f (x) g (x),选项A错；If (-x) Ig(-x)-lf(x) |g(x),选项B错；f (-X)|g (-X)| =-f (x) | g (x) |,选项C正确；If (-x).g(-x) | = |f*(x)g(x) |,D错.故选C.Yf (x) =2sin 2— • sin x, x € [-兀，n],因此函数f (x)为奇函数,故可排除选项B, 2 当x€ [-TT ,O]时，sin x<0,因此f(x) <0,故可排除选项A. 0<x< -时，0<f (x) <1,排除 D.故选 C.2全国卷II •文⑴ 如图，长方形ABCD 的边AB=2, BC=1, 0是AB 的•点P 沿着边DC, CD 与DA 运动，记zTBOP=x.将动点P 到A, D两点距离之和匕P°辰鄴x°子裁x(0(D)解析:排除法求解.(A) (B)表X的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为(B )P 位于边 BC 上时，ZBOP^x, 0 < x V f ,则釜-tan x,所以 BP-tan x,AP- tan 2 x ，所以 F (x)-tan x+ >/4 + tan 2 x(0< x < 壬)，可见 y ・F (x)图象的变 47C57化不可能是一条直线或线段，排除A, C.当点P 位于边CD 上时，ZBOP-x, -<x< —，则4 4AP当点 P 位于边 AD 上时，ZBOP=x,——< x < 7T,则=tan(n-x) =-tan x,所以 AP=-tan x 4OA所以 BP->/4 + tan x ,所以 f (x)—tan x+>/4+ tan 、x (— < x < rr),根据函数的解析式 4 可排除D,故选B.点P 位于点C 时，x=壬，此时AP+BP=AC+BO1+亦，当点P 位于CD 的中点4BP+AP= >JBC 2 + CP 2 + yJAD 2 + DP 2时：,此时AP+BP-2 >/2 <1+>/5 ,故可排除C, D,当点P 位于点D 时 2A”BP ・AD+BD ・l+$ ,而在变化过程中不可能以直线的形式变化，故选B.解析:设(X, y)是函数y・F (x)图象上任意一点，它关于直线y—x的对称点为(-y, -x),由y=f (x)的图象与yTx"的图象关于直线y=-x对称，可知(-y, -x)在y=2xg的图象上，即-x=2_y+a,解得y=-log2 (~x) +a,所以f (-2) +f (-4) =-log22+a-log24+a=l,解得a=2,故选C.解析：由题意可知(-1, 4)在函数图象上, 即4=-a+2,所以a=-2.答案：-2(卩对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考査以基础知识为主，难度中等偏下.(2)函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容,对图象的考査主要有两个方面:一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题;对函数性质的考査,则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考査，既有具体函数也有抽象函数•常以选择题的形式出现在最后一题，且常与新定义问题相结合，难度较大.2.怎么办(1)应熟练掌握各种基本初等函数的图象及性质，加强函数性质的应用意识.(2)与分段函数有关的问题要明确自变量的取值范围，找准对应关系是解题的关键，同时要加强函数与方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用意识.文域、值域和对应关系•其中值域由函数的定义域和对应关系完全确定，因此定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数.温馨提示⑴ 映射三要素不要忘，集合A中元素不可余,B中元素可多余，可以多对一、不允许一对多.(2)求解与函数、导数有关的问题，如值域、单调区间、判断奇偶性，求极值、求最值等等，都必须注意定义域优先的原则.实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还要使实际问题有意义.(3)分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.Xi, X2,（X1 -X2）［f（X1） -f（X2）］ >0 «0） o f (x)在D上是增(减)函数;对于函数y=f(x)定义域内某一区间D上的任意x b X2,小上/ 色)Qf (x)在D上>0 (<0)是增(减)函数.不一£②奇偶性对于定义域(关于原点对称)内的任意X, f (x)+f (-X)=0of(X)是奇函数;对于定义域 (关于原点对称)内的任意x, f (x)-f (-x)=onf (x)是偶函数.③周期性设函数y=f (x),xeD.若T为f (x)的一个周期，则nT(n^0,nez)也是f (x)的周期.若对任意xWD都有f(x+a)=-f(x) (a^O),则f (x)是以2|a|为周期的函数.若对任意xeo都有f “士扁则f (”是以迪为周期的函数若对任意xWD都有f(x+a)=f(x+b) (aHb),则f(x)是以lb-a|为周期的函数.的图象关于点@，0)中心对称.关于直线XF对称.对于函数y二f(x)定义域内任意一个x的值，若f (a+x) =-f (b-x),则函数f (x) 的图象关于点中心对称•特别地，若f(a+x)=-f(a-x),则函数f (x)如郭福高数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)• 罪：x)是奇函数of (x)的图象关于原点对称;f (x)是偶函数Of(X)的图象关于池对称.③若函数尸f (x)的图象有两条对称轴XF和x=b(aHb),则f (x)是以2lb-a|为盾期的函数，特别地,若函数f(x)是偶函数，其图象又关于直线对称，则f(x)是以2|a|为周期的函数.④若函数y=f (x)的图象有一条对称轴x=a和一个对称中心(b, 0) (aHb),则f(x)是以4|b-a|为周期的函数.特别地，若函数f(x)是奇函数，其图象又关于直线x=a对称，则f(x)是以4|a|为周期的函数.⑤若函数尸f (x)的图象有两个对称中心(a, 0)和(b, 0) (aHb),则f (x)是以2山-al 为周期的函数.求函数单调区间时，易错误地在多个单调区间之间添加符号和“或”，它们之间-般用“，”隔开或者用“和”字连按. 判断函数的奇偶性时，要注意定义域必须关于原点对称.解析：(2)因为 l<log 34<2,所以 f (logs4) =f (l+log 34) =f (2+log 34) = 32',og '4 =36. 故选C.【例 1】(1) (2013 山东卷)函数 f(x) = >/l-2v +-4=(A) (-3, 0] (B) (-3, 1](0 (-oo,-3) U (-3, 0](D) (-oo,-3)U (-3, 1]的定义域为（）解析：(1)由 f(x)= Jl_2乂Jx + 3得:二囂心““故选A ・热点精讲函数的定义域、值域及解析式)求函数y=f (x)的定义域时，只要构建使解析式有意义的不等求解函数值时只要根据自变量的值与函数的对应关系代入求解即可，在分段函数中要根据自变量所在的区间选取函数解析式；求解函数值域的方法有:公式法、图象法、换元法、数形结合法、有界性法等,要做到具体问题具体分析，选取适当的求解方法.即答案：{x|^Wx<2 且xHl}_______ , f(x)的最小值是__________ .解析：因为f (-2)=4,f ⑷=-寸，所以f (f (-2)) =- |;x< 1 时，f (x)^=O,x>l 时, f (x) *0=2 \/6 -6,又2 >/6 -6<0,所以F (x)血=2 >/6 -6.答案:- ；2^6-62(A)①④(B)④①@@(C) ®@@® (D)③④带斫KD ①y ・x • sin x 是偶函数，其图象关于y 轴对称； W=X ・cos X 是奇函数，其图象关于原点成中心对称；@y=x • |cos x |是奇函数，且在y 轴右侧，图象位于x 轴上方； ④y=x ・2*是非奇非偶函数.根据以上分析从左到右图象对应的函数序号排序是①④②③•故选C.sin TLX .O < x <\,f’若a,b,c 互不相等，且1002015 匕兀 > 1，酚)二f (b)二f (c),则a+b+c 的取值范围是()(A) (1,2015) (B) (1,2016)由正弦曲线的对称性可知a+b=l,而1“<2015, 所以2<a+b+c<2016.所以选C.⑵(20己知函数f(x)二丿(C) (2, 2016) (D) [2, 2016]■识图.用图的技巧图：常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的有平移变换、伸缩⑵识图：从图象与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系.(3)用图：由函数图象确定函数性质及由方程根的存在情况求有关参数的取值范围等.解析：(1)由f (x)与g(x)都是偶函数，得F(x)g(x)是偶函数,可排除A, D;当0<x<l 时,f (x) <0, g (x) >0,排除B,故选C.答案：⑴C求解•根据绝对值的意在立角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示. 根据图象可知， 当OCkCl 或l<k<4时有两个交点. 答案：(2)(0, 1)U (1,4)(1) (2015赣州市十二县(市)联考)在实数集R 中定义一种运算“时 :beR, a*b为唯一确定的实数，且具有性质:1)*对任意 a^R, a*0=a; 2)对任意 a, beR, a*b=ab+ (a*0) + (b*0)•关于函数f(x) = (e x )*丄的性质，有如下说法：e①函数f(x)的最小值为3;②函数f (x)为偶函数； ③函数f (x)的单调递增区间为(-8, 0］・ 其中正确说法的序号为()义,yx+ l(x >< —1),—x —1(— 1 < X < 1).解析：⑵先去掉绝对值符号,在同一直角坐标系中作出函数的图象，数形结合其应用U 点三⑷①(B)①②(C)①®③(D)②③⑵(2014安徽卷)若函数f(x) (xGR)是周期为4的奇函数，且在［0, 2］上的解析式为则f啓)+班¥)=______________________________________________ ・I sin 7txJ < x <2, 4 6所以f (x)ou・3,故①正确；因为f 丄e A所以f (-x) =l+e+e"x=f (x),所以函数f (x)为偶函数，故②正确; e2x—] 因为& (x) =e x-e x=一，所以当T (x) > 0 时,x>0,e即函数f(x)的单调递增区间为[0, +8),故③错误.所以正确说法的序号为①②，故选B.答案:(1)B (2) 416⑵定义在R上的函数f (x)满足f(x+6)=f(x),当-3Wx<-l时,f(x)=-(x+2)2,当-lWx<3时,f (x) =x,则f(l)+f⑵十f⑶十・・・+f (2016)等于( )(A)336 (B)337 (C)338 (D)2016解析：⑴易知y= 71 +A-2与y=2x+—是偶函数,y=x+ —是奇函数，故选D.2' 兀(2)因为f (x+6) -f (x),所以函数F (x)的周期为6,因为f (1) -1, f (2) -2, F (3) =f (-3+6) -f (-3) —1, f (4) -f (-2+6) =f (-2) -0,f (5) -f (-1+6) -f (-1) —1, f (6) -f (0) »0,所以F (1) +f (2) +f (3) +...+f (2016) -336 [f (1) +f (2)+...+f (6) ] =336.故选A.函数性质的综合应用主要是指利用函数的单调性、奇偶性、相互转化来解决相对综合的问题.主要的解题思路：奇偶性(-x)与f(x)的关系；单调性主要转化方向是最值、方程与不等式的解;周期性主要转化方向是利用f (x) =f (x+a)把区间外的函数转化到区间内，并结合单调性和奇偶性解决相关问题.1 ] (2015福州市质量检测)函数f(x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析 以是()(A)f(x)=x+sin x(B)f(x)二竺^XIT37E(C)f (X )=XCOS X (D)f(x)=x(x -)(X-J ) 2 27T解析：因为将(一，0)代入A 选项不成立，所以排除A,由于B 选项的定义域为XH 20,所以排除B.由于D 选项中只有三个零点，所以排除D 选项.通过验算可得C 选 项的函数成立•故选C.(3-a}x — 3,x< 7, 解析：因为数列{&}是递增数列,f(x)=丿' ) {aj=f(n) (n€NXa x ^,x>7,所以1<X3且f (7) <f (8),所以7 (3-a) -3<a 2,解得a<-9,或a>2.故实数a 的取 值范围是(2, 3).答案：(2, 3)数列｛&｝满足选例(3-6F )X —3,x < 7, a x^,x>l,a n -f(n) (neN-),且&是递增数列,则实数a 的取值范围是。

华北电力大学附中 高考数学二轮温习专题精品训练：导数及其应用本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部份．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．11lim100-+→x x x 的值是( )A ．不存在B ．0C ．2D ．10【答案】D2．由直线1x =，x=2，曲线sin y x =及x 轴所围图形的面积为( )A ．πB ．sin 2sin1-C ．sin1(2cos11)-D ．21cos12cos 1+-【答案】D3．已知2()3'(1)f x x xf =+，则'(1)f 为( ) A ．-2 B ．-1C ．0D ．1【答案】B 4．若函数2()21f x x 的图象上一点(1,1)及临近一点(1,1)x y ∆∆，则yx∆∆=( ) A ． 4 B ．4xx ∆ C ． 42x x ∆ D ． 24()xx ∆∆【答案】C5．已知两定点A(-2,0)，B(1,0)，若是动点P 知足PB PA 2=， 则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( ) A ．π B ．8π C ．4π D ．9π【答案】C6．某汽车的路程函数是32212(10m/s )2s t gt g =-=，则当2t s =时，汽车的加速度是( )A ．14m/s 2B ．4m/s 2C ．10m/s 2D ．24m /s -【答案】A 7．已知点P 在曲线sin y x=上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ． 30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ． 3[,)4ππ 【答案】C8．x x x f cos )(2+=的导数为( )A．xx sin+B．xx sin-C．xx sin2+D．xx sin2-【答案】D9．由曲线2y x=，3y x=围城的封锁图形面积为( )A．112B．14C．13D．712【答案】A10．若是说某物体作直线运动的时间与距离知足()2()21s t t=-，则其在 1.2t=时的瞬时速度为( ) A．4B．4-C．4.8D．0.8【答案】D11．由直线,,033x x yππ=-==与曲线siny x=所围成的封锁图形的面积为( ) A．12B．1 C．32D．3【答案】B12．函数f(x)的概念域为开区间(a，b)，其导函数f’(x)在(a，b)内的图像如右图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．曲线33y x x=-+在点(1,3)处的切线方程为【答案】210x y-+=14．由曲线f(x)＝x与x轴及直线)0(>=mmx围成的图形面积为316，则m的值为．【答案】415．计算：1211x dx--=⎰____________．【答案】2π16．2cos()4x dxππ+=⎰ .【答案】0三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解承诺写出文字说明，证明进程或演算步骤)17．设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.(Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值； (Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点. 【答案】（Ⅰ）()'233fx x a =-,∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，∴()()()'203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩(Ⅱ）∵()()()'230f x x a a =-≠,当0a <时，()'0fx >，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，此时函数()f x 没有极值点.当0a >时，由()'0f x x =⇒=当(,x ∈-∞时，()'0fx >，函数()f x 单调递增，当(x ∈时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当)x ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，∴此时x =()f x的极大值点，x =()f x 的极小值点.18．设函数()()2()2ln 11f x x x =---． (Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间；(II ）若关于x 的方程()230f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）函数()f x 的概念域为()1,+∞， ∵()()221()2111x x f x x x x -⎡⎤'=--=-⎢⎥--⎣⎦，∵1x >，则使()0f x '>的x 的取值范围为()1,2， 故函数()f x 的单调递增区间为()1,2．(2）方式1：∵()()2()2ln 11f x x x =---，∴()2()3012ln 10f x x x a x a x +--=⇔++--=．令()()12ln 1g x x a x =++--， ∵23()111x g x x x -'=-=--，且1x >， 由()03()03g x x g x x ''>><<<得，得1．∴()g x 在区间[2,3]内单调递减，在区间[3,4]内单调递增，故2()30f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异实根 (2)0,(3)0,(4)0.g g g ≥⎧⎪⇔<⎨⎪≥⎩即30,42ln 20,52ln 30.a a a +≥⎧⎪+-<⎨⎪+-≥⎩解得：2ln352ln 24a -≤<-． 综上所述，a 的取值范围是[)2ln35,2ln 24--．方式2：∵()()2()2ln 11f x x x =---，∴()2()3012ln 10f x x x a x a x +--=⇔++--=．即()2ln 11a x x =---，令()()2ln 11h x x x =---， ∵23()111xh x x x -'=-=--，且1x >， 由()03,()03h x x h x x ''><<<>得1得．∴()h x 在区间[2,3]内单调递增，在区间[3,4]内单调递减． ∵()23h =-，()32ln 24h =-，()42ln35h =-， 又()()24h h <，故2()30f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异实根()()43h a h ⇔≤<．即2ln352ln 24a -≤<-．综上所述，a 的取值范围是[)2ln35,2ln 24--．19．如图，酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8 cm .上口宽6cm , 水以20 cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4 cm时，求水升高的瞬时转变率.【答案】解法一：设时刻t s时，杯中水的体积为Vcm3,水面半径为r cm, 水深为h cm.则3264331hhrVππ==])()(3)(3[643])[(64332233hhhhhhhhV∆+∆+∆=-∆+=∆ππ]))(())((3)(3[64322hthhthhthhtV∆∆∆+∆∆∆+∆∆=∆∆π记水升高的瞬时转变率为th'（即当t∆无穷趋近于0时，th∆∆无穷趋近于th'）从而有thh'•⨯=2364320，当h=4时，解得)/(83.2980scmht≈='π答：当水深为4 cm时，水升高的瞬时转变率为)/(980scmπ。

函数与导数测试一．选择题（共60分）1、已知222{|,,},{|2,,},M y y x x y R N x x y x y R M N ==∈=+=∈⋂则= ( D ） A ．{(1,1),(1,1)}-B ．∅C ．[0,1]D ．[0,2] 2．设函数f （x ）=log 2x 的反函数为y=g （x ）,若41)11(=-a g ，则a 等于 （ C ）A ．—2B ．21-C ．21D ．23。

设f （x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f （x ）＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1）＝ （ D ）A ．3B ．1C ．－1D ．－34.若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数,则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是 ( A ）A ．B ．C ．D ． 5．下列说法正确的是 ( D ) A ．命题：“已知函数(),(1)(1)f x f x f x +-若与均为奇函数,则()f x 为奇函数，”为真命题 B ．“1x >”是“||1x >”的必要不充分条件。

C ．若“p q 且”为假命题,则,p q 均为假命题.D ．命题2:",10"p x R x x ∃∈++<使得,则2:",10".p x R x x ⌝∀∈++≥均有6．设函数()()f x g x 、在[],a b 上可导,且()()''f x g x >,则当a x b <<时有（A ) A ．()()()()f x g a g x f a +>+B ．()()f x g x <C ．()()f x g x >D ．()()()()f xg b g x f b +>+7。

设点P 是3233+-=x x y 上的任一点，P 点处的切线倾斜角为α，则角α的取值范围为（ A )A 、),[),0[322πππ⋃B 、),[),0[652πππ⋃C 、),[32ππD 、),(652ππ 8.已知函数f (x +1)是定义在R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数x 1、x 2,不等式ab aoxoxoxo xy1212()[()()]0x x f x f x --<恒成立,则不等式f （1－x ）<0的解集为 （C ). A.(1，+∞) B.(0,+∞） C.(－∞，0） D 。

2016年高考数学文试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（2016年山东高考）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 （A ）sin y x =（B ）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】A2、（2016年四川高考）已知a 函数f(x)＝x 3－12x 的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D3、（2016年四川高考）设直线l 1，l 2分别是函数f(x)=图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B 则则△PAB 的面积的取值范围是(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】A4、（2016年全国I 卷高考）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C二、填空题1、（2016年天津高考）已知函数()(2+1),()xf x x e f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________. 【答案】32、（2016年全国III 卷高考）已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x ex --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________. 【答案】2y x =三、解答题1、（2016年北京高考）设函数()32.f x x ax bx c =+++（I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件. 解：（I ）由()32f x x ax bx c =+++，得()232f x x ax b '=++．因为()0f c =，()0f b '=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+． （II ）当4a b ==时，()3244f x x x x c =+++，所以()2384f x x x '=++．令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-． ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：所以，当0c >且32027c -<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点．（III ）当24120a b ∆=-<时，()2320f x x ax b '=++>，(),x ∈-∞+∞，此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 不可能有三个不同零点． 当24120a b ∆=-=时，()232f x x ax b '=++只有一个零点，记作0x ．当()0,x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x -∞上单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x +∞上单调递增． 所以()f x 不可能有三个不同零点．综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b ∆=->．故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．当4a b ==，0c =时，230a b ->，()()232442f x x x x x x =++=+只有两个不同零点， 所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件． 因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．2、（2016年江苏省高考）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. （1） 设a =2,b =12. ① 求方程()f x =2的根;②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值； （2）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值. 解：（1）因为12,2a b ==，所以()22x x f x -=+. ①方程()2f x =，即222xx-+=，亦即2(2)2210x x -⨯+=，所以2(21)0x-=，于是21x=，解得0x =. ②由条件知2222(2)22(22)2(())2xx x x f x f x --=+=+-=-.因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立，且()0f x >，所以2(())4()f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=，且2((0))44(0)f f +=， 所以4m ≤，故实数m 的最大值为4.（2）因为函数()()2g x f x =-只有1个零点，而00(0)(0)220g f a b =-=+-=， 所以0是函数()g x 的唯一零点.因为'()ln ln x xg x a a b b =+，又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>， 所以'()0g x =有唯一解0ln log ()ln b aax b=-. 令'()()h x g x =，则''22()(ln ln )(ln )(ln )xxxxh x a a b b a a b b =+=+，从而对任意x R ∈，'()0h x >，所以'()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数， 于是当0(,)x x ∈-∞，''0()()0g x g x <=；当0(,)x x ∈+∞时，''0()()0g x g x >=. 因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数，在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =. 若00x <，则0002x x <<，于是0()(0)02xg g <=， 又log 2log 2log 2(log 2)220a a a a g ab a =+->-=，且函数()g x 在以02x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断，所以在02x 和log 2a 之间存在()g x 的零点，记为1x . 因为01a <<，所以log 20a <，又02x <，所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾. 若00x >，同理可得，在02x和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点，矛盾.因此，00x =. 于是ln 1ln ab-=，故ln ln 0a b +=，所以1ab =.3、（2016年山东高考）设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间；(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 解析：(Ⅰ)由()'ln 22,f x x ax a =-+ 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞， 则()112'2ax g x a x x-=-=， 当0a ≤时，()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增； 当0a >时， 10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()'0g x <，函数()g x 单调递减. 所以当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞； 当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，()'10f =.①当0a ≤时，()'0f x <，()f x 单调递减. 所以当()0,1x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减. 当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增. 所以()f x 在x=1处取得极小值，不合题意. ②当102a <<时，112a >，由(Ⅰ)知()'f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增， 可得当当()0,1x ∈时，()'0f x <，11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >， 所以()f x 在(0,1)内单调递减，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增， 所以()f x 在x=1处取得极小值，不合题意.③当12a =时，即112a=时，()'f x 在(0,1)内单调递增，在 ()1,+∞内单调递减， 所以当()0,x ∈+∞时，()'0f x ≤， ()f x 单调递减，不合题意. ④当12a >时，即1012a << ，当1,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 单调递增, 当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 单调递减， 所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为12a >.4、（2016年四川高考）设函数f(x)=a x 2－a －lnx ，g(x)=1x －ee x ，其中a ∈R ，e=2.718…为自然对数的底数。