人教版八年级数学下册课件：18.2.21

(1)证明：∵AO＝OC, BO＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB＝∠OAD＋∠ADO， ∴∠OAD＝∠ADO，∴AO＝OD. ∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD， ∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．
(2)解：设∠AOB＝4x，∠ODC＝3x， 则∠OCD＝∠ODC＝3x. ∵∠DOC＋∠OCD＋∠CDO＝180°， ∴4x＋3x＋3x＝180°，解得x＝18°， ∴∠ODC＝3×18°＝54°， ∴∠ADO＝90°－∠ODC＝90°－54°＝36°.
（1）证明：方法一 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC. ∵CE＝BC，∴AD＝CE. 又∵AD∥CE，∴四边形ACED是平 行四边形． ∵AB＝AE，∴DC＝AE， ∴四边形ACED是矩形．
证明：方法二 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC. ∵CE＝BC，∴AD＝CE. 又∵AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形． ∵AB＝AE，BC＝CE， ∴AC⊥BE，∴∠ACE＝90°， ∴四边形ACED是矩形．
几何语言
∵四边形ABCD是平行四边形 且AC=BD ∴四边形ABCD是矩形
A
D
O
B
C
小试牛刀
1.如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是( C )
A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO
2.如图 ABCD 中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=
1 2
AC，OB=OD= 1

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3．下列命题中，假命题是( ) A．有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形 B．有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形 C．有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形 D．有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形 解析：有一组对角是直角且一组对边平行可得到两组对边平行或四个角均是直角，故四 边形是矩形；有一组对角是直角且一组对边相等可以得到其两组对边平行，四边形是矩 形；有两个内角是直角且一组对边平行的四边形可能是矩形，也可能是直角梯形；有两 个内角是直角且一组对边相等可以得到其两组对边相等，所以该四边形是矩形． 答案：C
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[学以致用] 如图所示，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，△AOB是等边三 角形，AB＝4 cm. (1)判断▱ABCD是否为矩形，说明你的理由； (2)求▱ABCD的面积．
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解析：(1)▱ABCD是矩形．理由如下： ∵△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝4 cm.∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AC＝2OA，BD＝2OB，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形． (2)由(1)知OA＝AB＝4 cm，AC＝2OA＝8 cm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝ 90°.在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝ AC2－AB2＝ 82－42＝4 3， ∴▱ABCD的面积是AB×BC＝4×4 3＝16 3 (cm2)．
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[核心素养] 1．数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4 位同学拟订的方案，其中正确的是( ) A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否为直角

18.2.1 矩形（第一课时）
从一般到特殊
? ?
从一般到特殊
?
学习目标
1．理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别和联系． 2．探索并证明矩形的性质，会用矩形性质解决相关问题． 3．探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 这一重要结论．
一、提出问题，形成概念
问题1 请用6根火柴拼一个平行四边形．
CB的延长线于点E．求证：∠EAB＝∠CAB ．
A
D
证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC与BD相等且互相平分．
O
∴ OA＝OB．
E
B
C
∴ ∠OAB＝∠OBA．
∴ ∠EAB＝∠OBA ．
∵ AE∥BD，
∴ ∠EAB＝∠CAB ．
三、运用性质，解决问题
例2 如图，四边形ABCD是矩形，AE∥BD ，且交
B
C
证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B＝90º，AD∥BC，∠A＝∠C，∠B＝∠D.
∴ ∠A＝180º-∠B＝90º.
∴ ∠C＝∠A＝90º，∠D＝∠B＝90º.
∴ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90º.
二、探究性质，深化认知 A
D
猜想2：矩形的对角线相等．
已知：四边形ABCD是矩形. 求证： AC＝BD.
例1 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∠AOB ＝60°，AB＝4，求矩形对角线的长．
A
D
O
B
C
三、运用性质，解决问题
例1 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∠AOB ＝60°，AB＝4，求矩形对角线的长．
解：∵ 四边形ABCD是矩形， A

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A
E B
P
O F
D
C
课堂小结
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
矩形
矩形的对边平行且相等； 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等且互相平分．
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直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 矩形是轴对称图形，连接对边中点的直线是它的两 条对称轴．
C
B
C
Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜 边AC有什么关系？一般地，这个结论对所有直角三角形 都成立吗？
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例1 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O， 且∠AOB=60°，AB=4 cm．求矩形对角线的长．
你还能得出哪些结论？
A
O B
D
C
例2 矩形ABCD中，P是AD上一动点，且PE⊥AC 于点E，PF⊥BD于点F．求证：PE+PF为定值．
八年级
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18.2.1 矩形（1）
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• 学习目标： 1．理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别 与联系； 2．探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简 单的问题； 3．探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半”这个定理． • 学习重点： 矩形区别于一般平行四边形的性质的探索、证明和应 用．
当独木桥前后运动时，四边形ABCD是什么形状？ 当独木桥最后停下时，四边形ABCD有什么特殊的变化？ 当独木桥静止时，四边形ABCD是什么图形？
有一个角是直角 A 的平行四边形叫做矩 形． 小学中学习过的 长方形是矩形吗？正 方形是矩形吗？
B
D
C 独木桥
作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形所有 的性质．此外，矩形还有哪些一般平行四边形没有的特 殊性质呢？ A B O C

证证明明猜想 猜想3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交 于点O ，AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形.
B
∴OA=OC.
O
又∵AC⊥BD,
A
C
∴BD是线段AC的垂直平分线.
D
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
E
B
C
思维提升 把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠
部分 ABCD的形状吗？
（书P58 练习3）
A
D
F
BE C
请补充完整的 证明过程
分析：易知四边形ABCD是平行四边形，只需证一组邻边
相等或对角线互相垂直即可. 由题意可知BC边上的高和CD边上的高相等， 然后通过证△ABE≌△ADF，即得AB=AD.
定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
知识要点
菱形的判定
文字语言
图形语言
符号语言
判定定 理1
判定 定理2
对角线互相垂直的 平行四边形是菱形
四边相等的四边形 是菱形
A O
D ∵□ABCD
AC⊥BD
B
C
∴四边形ABCD是菱形
AHale Waihona Puke D ∵AB=BC=CD=DA
B
C ∴四边形ABCD是菱形
A
定义法
一组邻边相等的平 行四边形是菱形
又∵EF=ED,
∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.
练3.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE ∥BD.
求证：四边形OCED是菱形

归纳 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有 性质，但平行四边形不一定是菱形.
活动探究
1.做一做:请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题： 问题1:菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称 轴？对称轴之间有什么位置关系？ 问题2:菱形中有哪些相等的线段？
2.发现菱形的性质：
菱形是轴对称图形，有两条对称轴(直线AC和直线 BD).
（2）AC⊥BD；
B
O
A
C
（3）∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
D
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD; ∴AB = BC = CD =AD.
（2）∵AB = AD,
∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形,
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11、人总是珍惜为得到。21.4.410:27:0 810:27 Apr-214 -Apr-21
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12、人乱于心，不宽余请。10:27:0810 :27:081 0:27Sunday, April 04, 2021
菱形四条边都相等(AB=BC=CD=AD). 菱形的对角线互相垂直(AC⊥BD)，且每条对角线平分
一组对角(∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD， ∠DAC=∠BAC，∠BDCA=∠BCA).
O
A
C
D
3.证明菱形性质: 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交
于点O. 求证:(1）AB = BC = CD =AD；
质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
菱形的特殊性质 对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每 条对角线平分一组对角.

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解 ： 当 四 边 形 EDD′F 为 菱 形 时 ， △A′DE 是 等 腰 三 角 形 ， △A′DE≌△EFC′.理由：∵△BCA 是直角三角形，∠ACB＝90°，AD＝
DB，∴CD＝DA＝DB，∴∠DAC＝∠DCA，∵A′C∥AC，∴∠DA′E＝
∠A ， ∠DEA′ ＝ ∠DCA ， ∴∠DA′E ＝ ∠DEA′ ， ∴DA′ ＝ DE ，
7．如图，AC、BD 是菱形 ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是( B ) A．△ABD 与△ABC 的周长相等 B．△ABD 与△ABC 的面积相等 C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍 D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
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8．如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝120°，AB＝4.
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第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形 第1课时 菱形的性质
灿若寒星
1．定义：四条边相等的四边形 叫做菱形．菱形是轴对称图形，它的对称 轴是 两条对角线所在的直线 . 2．性质：①菱形的四条边 相等 ；②菱形的对角线 互相垂直平分 ，并且 每条对角线 平分 一组对角． 3．菱形的面积等于两对角线长的乘积的 一半 .
解：∵四边形 ABCD 为菱形，∴AC⊥BD，OA＝12AC＝8cm，OD＝21BD＝ 6cm.∴AD＝ 62＋82＝10，∴C 菱形＝4AD＝40cm.由 S 菱形＝AB×DE＝12 ×AC×BD，即 10×DE＝12×16×12，∴DE＝9.6cm.
灿若寒星
5．如图，将一张直角三角形 ABC 纸片沿斜边 AB 上的中线 CD 剪开，得到 △ACD，再将△ACD 沿 DB 方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后 点 D′，未到达点 B 时，A′C′交 CD 于 E，D′C′交 CB 于点 F，连接 EF，当四边形 EDD′F 为菱形时，试探究△A′DE 的形状，并判断△A′DE 与△EFC′是否全等？请说明理由．

∴AD∥BC， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴BE＝DE.
(2)若AD＝8，AB＝4，求△BED的面积． 解：设DE＝x，则AE＝AD－DE＝8－x， 在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝DE＝x， ∴BE2＝AB2＋AE2，∴x2＝42＋(8－x)2， ∴x＝5， ∴△BED 的面积＝12DE•AB＝12×5×4＝10.
Байду номын сангаас
5．已知：如图，在矩形ABCD中，点M、N在边AD上，且AM＝DN，
求证：BN＝CM.
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴BA＝CD，∠A＝∠D．
∵AM＝DN，
∴AN＝DM.
在△ABN和△DCM中， AB＝DC，
∴△ABN≌△DCM(SAS)， ∴BN＝CM.
∠A＝∠D ， AN＝DM，
三级提升关 6．如图，将矩形ABCD沿直线BD折叠，使C点落在C′处，BC′交AD于 点E. (1)求证：BE＝DE； 证明：∵△BDC′是由△BDC沿直线BD折叠得到的， ∴∠1＝∠2， ∵四边形ABCD是矩形，
4.如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是高，如果ED＝5 cm，求HF的长.
解：由题意得：DE是△ABC的中位线，∴DE＝ 12AC.
∵HF是Rt△AHC的斜边AC的中线，
∴HF＝
1 2
AC.∴HF＝DE＝5
cm.
三级
5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E， DF⊥AC于点F.求证：AE＝DF. 证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O， ∴OA＝OC＝OB＝OD， ∵AE⊥BD，DF⊥AC，∴∠AEO＝∠DFO＝90°， 在△AOE和△DOF中，∠∠AAOEOE＝＝∠∠DDFOOF，，