2019年高考理科数学模拟试卷

2019年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．集合P={x|x2﹣9＜0}，Q={x∈Z|﹣1≤x≤3}，则P∩Q=（）A．{x|﹣3＜x≤3}B．{x|﹣1≤x＜3}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2}3．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣B．﹣7 C．D．74．若命题p：对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1＜0，则￢p为（）A．不存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0B．存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0C．对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1≥0D．存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥05．在等比数列{a n}中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣36．已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．7．函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（）A．φ=2kπ﹣，k∈Z B．φ=kπ﹣，k∈Z C．φ=2kπ﹣，k∈Z D．φ=kπ﹣，k∈Z8．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．9 B．121 C．130 D．170219．双曲线的离心率为2，则的最小值为（）A．B． C．2 D．110．5的展开式中，x5y2的系数为（）A．﹣90 B．﹣30 C．30 D．9011．已知不等式组表示平面区域D，现在往抛物线y=﹣x2+x+2与x 轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，有（）A．f（2﹣x1）≥f（2﹣x2）B．f（2﹣x1）=f（2﹣x2）C．f（2﹣x1）＜f（2﹣x2）D．f（2﹣x1）≤f（2﹣x2）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量(),0a t =r ，()1,3b =-r，若4a b ⋅=r r ，则2a b -=r r ． 14．若()52132x a x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为80，则a = ．15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且ABC ∆的外接圆半径为1，若6abc =，则ABC ∆的面积为 ．16．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，点4,2p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2p N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，射线,MO NO 分别交抛物线C 于异于点O 的点,A B ，若,,A B F 三点共线，则p = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 已知正项数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列，且12,9,a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18． 2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子500米的比赛规则，运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每滑行一圈都要依次经过4个直道与弯道的交接口()1,2,3,4k A k =.已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为34，摔倒的概率均为14.假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行，现在用X 表示一名顺利进入最后一圈的运动员在滑行结束后，在最后一圈顺利通过的交接口数.（1）求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3个交接口的概率； （2）求X 的分布列及数学期望()E X .19． 如图，在三棱锥P ABC -中，D 为棱PA 上的任意一点，,,F G H 分别为所在棱的中点.（1）证明：BD ∥平面FGH ；（2）若CF ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2AB =，45BAC ∠=︒，当二面角C GF H --的平面角为3π时，求棱PC 的长.20． 已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦距为2c ，且b =，圆()222:0O x y r r +=>与x 轴交于点,,M N P 为椭圆E 上的动点，2PM PN a +=，PMN ∆（1）求圆O 与椭圆E 的方程；（2）设圆O 的切线l 交椭圆E 于点,A B ，求AB 的取值范围.21． 已知函数()()326,f x x x ax b a b =-++∈R 的图象在与x 轴的交点处的切线方程为918y x =-. （1）求()f x 的解析式； （2）若()()212910kx x f x x k -<<+对()2,5x ∈恒成立，求k 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为3cos ρθ=. （1）求圆C 的参数方程；（2）设P 为圆C 上一动点，()5,0A ，若点P 到直线sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求ACP ∠的大小.23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()3121f x x x a =--++. （1）求不等式()f x a >的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n <，求a 的取值范围.2019年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）一、选择题1．复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面上对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：=，则复数在复平面上对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．集合P={x|x2﹣9＜0}，Q={x∈Z|﹣1≤x≤3}，则P∩Q=（）A．{x|﹣3＜x≤3}B．{x|﹣1≤x＜3}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合P中一元二次不等式的解集确定出集合P，取集合Q中解集的整数解确定出集合Q，然后找出既属于P又属于Q的元素即可确定出两集合的交集．【解答】解：由集合P中的不等式x2﹣9＜0，解得：﹣3＜x＜3，∴集合P={x|﹣3＜x＜3}；由集合Q中的解集﹣1≤x≤3，取整数为﹣1，0，1，2，3，∴集合Q={﹣1，0，1，2，3}，则P∩Q={﹣1，0，1，2}．故选D【点评】此题属于以不等式解集为平台，考查了交集的元素，是一道基础题，也是高考中常考的题型．3．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣B．﹣7 C．D．7【考点】两角和与差的正切函数；弦切互化．【分析】先根据cosα的值求出tanα的值，再由两角和与差的正切公式确定答案．【解答】解析：由cosα=﹣且α∈（）得tanα=﹣，∴tan（α+）==，故选C．【点评】本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．4．若命题p：对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1＜0，则￢p为（）A．不存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0B．存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0C．对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1≥0D．存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，去判断．【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定￢p为：存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0故选：D【点评】本题主要考查全称命题的否定，要求掌握全称命题的否定是特称命题．5．在等比数列{a n}中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【考点】等比关系的确定．【分析】由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列，即（s2+2）2=（S+2）（S3+2）1代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解方程即可求解【解答】解：由题意可得q≠1由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解可得q=3故选C．【点评】等比数列得前n项和公式的应用需要注意公式的选择，解题时要注意对公比q=1，q≠1的分类讨论，体现了公式应用的全面性．6．已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量的坐标运算求出；利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积；利用向量模的坐标公式求出两个向量的模；利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦．【解答】解：∵∴∴∵∴两个向量的夹角余弦为故选C【点评】本题考查向量的数量积公式，利用向量的数量积公式求向量的夹角余弦、考查向量模的坐标公式．7．函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（）A．φ=2kπ﹣，k∈Z B．φ=kπ﹣，k∈Z C．φ=2kπ﹣，k∈Z D．φ=kπ﹣，k∈Z【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先利用辅助角公式对函数化简可得，f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+），由函数的图象关于原点对称可知函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质可得，f（0）=0代入可得sin（φ）=0，从而可求答案．【解答】解：∵f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+）的图象关于原点对称∴函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质可得，f（0）=0∴sin（φ）=0∴φ=kπ∴φ=故选：D【点评】本题主要考查了利用辅助角公式把不同名的三角函数化为y=Asin（x+）的形式，进而研究函数的性质；还考查了奇函数的性质（若奇函数的定义域内有0，则f（0）=0）的应用，灵活应用性质可以简化运算，减少运算量．8．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．9 B．121 C．130 D．17021【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c的值，当c=16900时，不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，b=2，c=3满足条件c＜2016，a=2，b=9，c=11满足条件c＜2016，a=9，b=121，c=130满足条件c＜2016，a=121，b=16900，c=17021不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．故选：B．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．9．双曲线的离心率为2，则的最小值为（）A．B． C．2 D．1【考点】双曲线的简单性质；基本不等式．【分析】根据基本不等式，只要根据双曲线的离心率是2，求出的值即可．【解答】解：由于已知双曲线的离心率是2，故，解得，所以的最小值是．故选A．【点评】本题考查双曲线的性质及其方程．双曲线的离心率e和渐近线的斜率之间有关系，从这个关系可以得出双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大．10．（x2+3x﹣y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．﹣90 B．﹣30 C．30 D．90【考点】二项式系数的性质．=（﹣y）5﹣r（x2+3x）r，令5【分析】（x2+3x﹣y）5的展开式中通项公式：T r+1﹣r=2，解得r=3．展开（x2+3x）3，进而得出．=（﹣y）5﹣r（x2+3x）r，【解答】解：（x2+3x﹣y）5的展开式中通项公式：T r+1令5﹣r=2，解得r=3．∴（x2+3x）3=x6+3（x2）2•3x+3（x2）×（3x）2+（3x）3，∴x5y2的系数=×9=90．故选：D．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知不等式组表示平面区域D，现在往抛物线y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据积分的知识可得先求y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN，的面积，然后根据线性规划的知识作出平面区域D，并求面积，最后代入几何概率的计算公式可求．【解答】解：根据积分的知识可得，y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN，面积=等式组表示平面区域D即为△AOB，其面积为根据几何概率的计算公式可得P=故选：C【点评】本题主要考查了利用积分求解曲面的面积，还考查了几何概率的计算公式的应用，属于基础试题．12．定义在R上的函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，有（）A．f（2﹣x1）≥f（2﹣x2）B．f（2﹣x1）=f（2﹣x2）C．f（2﹣x1）＜f（2﹣x2）D ．f （2﹣x 1）≤f （2﹣x 2）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】①若函数f （x ）为常数，可得当|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|时，恒有f （2﹣x 1）=f （2﹣x 2）．②若f （x ）不是常数，可得y=f （x ）关于x=1对称．当x 1≥1，x 2≥1，则由|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|可得f （x 1）＞f （x 2）．当x 1＜1，x 2＜1时，同理可得f （x 1）＞f （x 2）．综合①②得出结论．【解答】解：①若f （x ）=c ，则f'（x ）=0，此时（x ﹣1）f'（x ）≤0和y=f （x +1）为偶函数都成立，此时当|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|时，恒有f （2﹣x 1）=f （2﹣x 2）．②若f （x ）不是常数，因为函数y=f （x +1）为偶函数，所以y=f （x +1）=f （﹣x +1）， 即函数y=f （x ）关于x=1对称，所以f （2﹣x 1）=f （x 1），f （2﹣x 2）=f （x 2）． 当x ＞1时，f'（x ）≤0，此时函数y=f （x ）单调递减，当x ＜1时，f'（x ）≥0，此时函数y=f （x ）单调递增．若x 1≥1，x 2≥1，则由|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|，得x 1﹣1＜x 2﹣1，即1≤x 1＜x 2，所以f （x 1）＞f （x 2）．同理若x 1＜1，x 2＜1，由|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|，得﹣（x 1﹣1）＜﹣（x 2﹣1），即x 2＜x 1＜1，所以f （x 1）＞f （x 2）．若x 1，x 2中一个大于1，一个小于1，不妨设x 1＜1，x 2≥1，则﹣（x 1﹣1）＜x 2﹣1， 可得1＜2﹣x 1＜x 2，所以f （2﹣x 1）＞f （x 2），即f （x 1）＞f （x 2）． 综上有f （x 1）＞f （x 2），即f （2﹣x 1）＞f （2﹣x 2）， 故选A ．【点评】本题主要考查函数的导数与函数的单调性的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题13．()2,6-- 14．-2 15．3216．2 三、解答题17．解：（1）因为数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列，所以212233a a -=， 则21318a a =+，又12,9,a a 成等比数列，所以()212113189a a a a =+=，解得13a =或19a =-，因为数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为正项数列，所以13a =.所以()3212133n n a n n =+-=-， 故()213n n a n =-⋅.（2）由（1）得()21333213n n S n =⨯+⨯++-⋅L ， 所以()23131333213n n S n +=⨯+⨯++-⋅L ，所以()231332333213n n n n S S n +⎡⎤-=+⨯+++--⋅⎣⎦L ，即()2133323221313n n n S n +-⨯-=+⨯--⋅-()1136123n n n ++=-+-⋅()12236n n +=-⋅-， 故()1133n n S n +=-⋅+.18．解：（1）由题意可知：3312744256P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.（2）X 的所有可能值为0,1,2,3,4.则()()31,2,3,44k P A k ==，且1234,,,A A A A 相互独立. 故()()1104P X P A ===，()()121P X P A A ==⋅=3134416⨯=，()()1232P X P A A A ==⋅⋅=23194464⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，()()12343P X P A A A A ==⋅⋅⋅=3312744256⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，()()12344P X P A A A A ==⋅⋅⋅=43814256⎛⎫=⎪⎝⎭.从而X 的分布列为所以()139********E X =⨯+⨯+⨯+278152534256256256⨯+⨯=.19．（1）证明：因为,G H 分别为,AC BC 的中点， 所以AB GH ∥，且GH ⊂平面FGH ，AB ⊄平面FGH ，所以AB ∥平面FGH .又因为,F G 分别为,PC AC 的中点，所以有GF AP ∥，FG ⊂平面FGH ， 且AP ⊄平面FGH ，所以AP ∥平面FGH . 又因为AP AB A =I ，所以平面ABP ∥平面FGH . 因为BD ⊂平面ABP ，所以BD ∥平面FGH .（2）解：在平面ABC 内过点C 作CM AB ∥，如图所示，以C 为原点，,,CB CM CF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C xyz -.由ABC ∆为等腰直角三角形知BG AC ⊥，又BG C F ⊥，AC CF C =I ，所以有BG ⊥平面PAC .设CF a =，则()2,0,0B ，()1,1,0G -，所以()1,1,0BG =--uuu r为平面PAC 的一个法向量.又()0,0,F a ，()1,0,0H ，所以()1,0,FH a =-uuu r ，()1,1,FG a =--uuu r，设(),,m x y z =u r 为平面FGH 的一个法向量，则有0m FH m FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r u r uu u r，即有0x az x y az -=⎧⎨--=⎩，所以可取(),0,1m a =u r .由1cos ,2m BG ==u r uu u r，得1a =，从而22a =. 所以棱PC 的长为2.20．解：（1）因为b =，所以2a c =.①因为2PM PN a +=，所以点,M N 为椭圆的焦点，所以，22214r c a ==. 设()00,P x y ，则0b x b -≤≤，所以0012PMN S r y a y ∆=⋅=， 当0y b =时，()max 12PMN S ab ∆== 由①，②解得2a =，所以b =1c =，所以圆O 的方程为221x y +=，椭圆E 的方程为22143x y +=. （2）①当直线l 的斜率不存在时，不妨取直线l 的方程为1x =，解得31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3AB =.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x kx m +，()22,B x kx m +.因为直线l1=，即221m k =+，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得()2224384120k x kmx m +++-=， ()224843k m ∆=+-=()248320k +>，122843kmx x k +=-+，212241243m x x k -=+.AB ===24k+=令2134t k =+，则214034t k <=≤+，所以AB =，403t <≤，所以AB =33AB <≤.综上，AB 的取值范围是⎛ ⎝⎦.21．解：（1）由9180x -=得2x =，∴切点为()2,0. ∵()2312f x x x a '=-+，∴()2129f a '=-=，∴21a =，又()282420f a b =-++=，∴26b =-，()3262126f x x x x =-+-. （2）由()9f x x k <+得()9k f x x >-=3262126x x x -+-，设()3261226g x x x x =-+-，()()2344g x x x '=-+=()2320x ->对()2,5x ∈恒成立，∴()g x 在()2,5上单调递增，∴()59k g ≥=.∵()()32612892f x x x x x =-+-+-=()()3292x x -+-，∴由()()21210kx x f x -<对()2,5x ∈恒成立得()129102x k x x x -<+-213212x x x -=+-对()2,5x ∈恒成立，设()()21321252x h x x x x -=+<<-，()()22213132x x h x x x -+'=-， 当25x <<时，213130x x -+<，∴()0h x '<，∴()h x 单调递减，∴()165105k h ≤=，即12k ≤. 综上，k 的取值范围为[]9,12.22．解：（1）∵3cos ρθ=，∴23cos ρρθ=，∴223x y x +=，即223924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴圆C 的参数方程为33cos ,223sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数）.（2）由（1）可设333cos ,sin 222P θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，[)0,2θπ∈，sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0y -+=， 则P到直线sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=3sin 23πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， ∴sin 03πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵[)0,2θπ∈，∴3πθ=或43π，故3ACP π∠=或23ACP π∠=. 23．解：（1）由()f x a >，得3121x x ->+， 不等式两边同时平方得，22961441x x x x -+>++， 即2510x x >，解得0x <或2x >.所以不等式()f x a >的解集为()(),02,-∞+∞U .（2）设()3121g x x x =--+=12,2115,2312,3x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，作出()g x 的图象，如图所示，因为()()020g g ==，()()()34213g g g <=<-=， 又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n <，所以()()30,40,f f <⎧⎪⎨≥⎪⎩即1020a a +<⎧⎨+≥⎩，故a 的取值范围为[)2,1--.。

2019年湖南省高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x=2n，n∈Z}，N={x|x=2n+1，n∈Z}，P={x|x=4n，n ∈Z}，则（）A．M=P B．P≠M C．N∩P≠∅D．M∩N≠∅2．复数（2+i）i的共轭复数的虚部是（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i3．若点P到直线y=3的距离比到点F（0，﹣2）的距离大1，则点P 的轨迹方程为（）A．y2=8x B．y2=﹣8x C．x2=8y D．x2=﹣8y4．已知数列{a n}满足：对于∀m，n∈N*，都有a n•a m=a n+m，且，那么a5=（）A． B． C．D．5．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x=3，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A ．8B ．17C ．29D ．836．若，则=（ ）A ．B ．C ．D ． 7．为响应“精确扶贫”号召，某企业计划每年用不超过100万元的资金购买单价分别为1500元/箱和3000元/箱的A 、B 两种药品捐献给贫困地区某医院，其中A 药品至少100箱，B 药品箱数不少于A 药品箱数．则该企业捐献给医院的两种药品总箱数最多可为（ ） A ．200 B ．350 C ．400 D ．5008．圆O 的半径为3，一条弦AB=4，P 为圆O 上任意一点，则•的取值范围为（ ）A ．[﹣16，0]B ．[0，16]C ．[﹣4，20]D ．[﹣20，4]9．设函数，则关于函数f （x ）有以下四个命题（ ）①∀x ∈R ，f （f （x ））=1；②∃x 0，y 0∈R ，f （x 0+y 0）=f （x 0）+f （y 0）；③函数f （x ）是偶函数；④函数f（x）是周期函数．其中真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．110．若函数f（x）=asinωx+bcosωx（0＜ω＜5，ab≠0）的图象的一条对称轴方程是，函数f'（x）的图象的一个对称中心是，则f（x）的最小正周期是（）A． B． C．πD．2π11．点P为棱长是的正方体ABCD﹣AB1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为（）A．πB．2πC．4πD．12．已知函数与g（x）=|x|+log2（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为5：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为12的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个数为．14．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器﹣﹣﹣﹣商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为．15．设F是双曲线的右焦点，若点F关于双曲线的一条渐近线的对称点P恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为．16．已知数列{a n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项．若，其中m为给定的正整数，则d的所有可能取值的和为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．某学校的平面示意图为如下图五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路（不考虑宽度）.，．（1）求道路BE的长度；（2）求生活区△ABE面积的最大值．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，CC1⊥底面ABC，AC=BC=CC1=2，D，E，F分别是棱AB，BC，B1C1的中点，G是棱BB1上的动点．（1）当为何值时，平面CDG⊥平面A1DE？（2）求平面AB1F与平面AD1E所成的锐二面角的余弦值．19．随着生活水平和消费观念的转变，“三品一标”（无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志）已成为不少人的选择，为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室，假设该品牌植物油每瓶含有机物A的概率为p（0＜p＜1），需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物A，若化验结果呈阳性则含A，呈阴性则不含A．若多瓶该种植物油检验时，可逐个抽样化验，也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验，仅当至少有一瓶油含有有机物A时混合油样呈阳性，若混合油样呈阳性，则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验．（1）若，试求3瓶该植物油混合油样呈阳性的概率；（2）现有4瓶该种植物油需要化验，有以下两种方案：方案一：均分成两组化验；方案二：混在一起化验；请问哪种方案更适合（即化验次数的期望值更小），并说明理由．20．已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆M：（x+1）2+y2=r2（0＜r＜1）．过椭圆C的上顶点A作圆M的两条切线分别与椭圆C相交于B，D两点（不同于点A），直线AB，AD的斜率分别为k1，k2．（1）求椭圆C的方程；（2）当r变化时，①求k1•k2的值；②试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=xe x﹣a（lnx+x）．（1）若函数f（x）恒有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x＞0，恒有不等式f（x）≥1成立．①求实数a的值；②证明：x2e x＞（x+2）lnx+2sinx．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2ρ2﹣ρ2cos2θ=12．若曲线C的左焦点F在直线l上，且直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求m的值并写出曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=2x﹣a，g（x）=x+2．（1）当a=1时，求不等式f（x）+f（﹣x）≤g（x）的解集；（2）求证：中至少有一个不小于．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x=2n，n∈Z}，N={x|x=2n+1，n∈Z}，P={x|x=4n，n ∈Z}，则（）A．M=P B．P≠M C．N∩P≠∅D．M∩N≠∅【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【分析】利用交集定义、集合相等的定义直接求解．【解答】解：∵集合M={x|x=2n，n∈Z}，N={x|x=2n+1，n∈Z}，P={x|x=4n，n∈Z}，∴M≠P，N∩P=∅，M∩N=∅，故选：B．2．复数（2+i）i的共轭复数的虚部是（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再求出其共轭复数得答案．【解答】解：∵（2+i）i=﹣1+2i，∴复数（2+i）i的共轭复数为﹣1﹣2i，其虚部为﹣2．故选：B．3．若点P到直线y=3的距离比到点F（0，﹣2）的距离大1，则点P 的轨迹方程为（）A．y2=8x B．y2=﹣8x C．x2=8y D．x2=﹣8y【考点】轨迹方程．【分析】由题意得，点P到直线y=1的距离和它到点（0，﹣1）的距离相等，故点P的轨迹是以点（0，﹣1）为焦点，以直线y=1为准线的抛物线，可得轨迹方程．【解答】解：∵点P到直线y=3的距离比到点F（0，﹣1）的距离大2，∴点P到直线y=1的距离和它到点（0，﹣1）的距离相等，故点P的轨迹是以点（0，﹣1）为焦点，以直线y=1为准线的抛物线，方程为x2=﹣4y．故选：D．4．已知数列{a n}满足：对于∀m，n∈N*，都有a n•a m=a n+m，且，那么a5=（）A． B． C．D．【考点】数列递推式．【分析】数列{a n}对任意的m，n∈N*满足a n•a m=a n+m，且，可得a2，a3，a4，a5．即可．【解答】解：∵数列{a n}满足：对于∀m，n∈N*，都有a n•a m=a n+m，且，∴a2=a1a1=，a3=a1•a2=．那么a4=a2•a2=．a5=a3•a2=．故选：A．5．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x=3，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A．8 B．17 C．29 D．83【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的x=3，n=2，当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，S=8，k=2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，S=29，k=3，满足退出循环的条件；故输出的S值为29，故选：C6．若，则=（）A．B．C． D．【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用诱导公式可求cos（α+）=，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵=cos（α+），∴=cos[2（α+）]=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=﹣．故选：D．7．为响应“精确扶贫”号召，某企业计划每年用不超过100万元的资金购买单价分别为1500元/箱和3000元/箱的A、B两种药品捐献给贫困地区某医院，其中A药品至少100箱，B药品箱数不少于A药品箱数．则该企业捐献给医院的两种药品总箱数最多可为（）A．200 B．350 C．400 D．500【考点】简单线性规划的应用．【分析】设A药品为x箱，B药品为y箱，该企业捐献给医院的两种药品总箱数为z=x+y，则x，y满足的关系式为，根据约束条件对目标函数的范围进行验证即可【解答】解：设A药品为x箱，B药品为y箱，该企业捐献给医院的两种药品总箱数为z=x+y，则x，y满足的关系式为，若x+y=500，又因为≥x，∴y≥250，则0.15x+0.3y=0.15+0.3y=75+0.15y＞100，不合题意．若x+y=400，又因为y≥x，∴y≥200，则0.15x+0.3y=0.15+0.3y=60+0.15y≥90，合题意．故选：C8．圆O的半径为3，一条弦AB=4，P为圆O上任意一点，则•的取值范围为（）A．[﹣16，0]B．[0，16]C．[﹣4，20]D．[﹣20，4]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，连接OA，OB．过点O作OC⊥AB，垂足为C．利用垂径定理可得BC=AB=2．可得cos∠OBA．利用向量的三角形法则，可得•==，代入数量积即可得出•的取值范围．【解答】解：如图所示，连接OA，OB．过点O作OC⊥AB，垂足为C．则BC=AB=2．∴cos∠OBA=．∴•===．==．∵cos∈[﹣1，1]，∴12cos﹣8∈[﹣20，4]．故选：D．9．设函数，则关于函数f（x）有以下四个命题（）①∀x∈R，f（f（x））=1；②∃x0，y0∈R，f（x0+y0）=f（x0）+f（y0）；③函数f（x）是偶函数；④函数f（x）是周期函数．其中真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由函数的值的求法、函数的性质逐一核对四个命题得答案．【解答】解：由，可得f（x）=0或1，则∀x∈R，f（f（x））=1，故①正确；当时，f（x0+y0）=f（x0）+f（y0），故②正确；∵x为有理数，则﹣x为有理数，x为无理数，则﹣x为无理数，∴函数f（x）是偶函数，故③正确；任何一个非0的有理数都是函数的周期，∴函数f（x）是周期函数，故④正确．∴真命题的个数是4个．故选：A．10．若函数f（x）=asinωx+bcosωx（0＜ω＜5，ab≠0）的图象的一条对称轴方程是，函数f'（x）的图象的一个对称中心是，则f（x）的最小正周期是（）A． B． C．πD．2π【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由题意可得f（0）=f（），由此得到a=b，再根据函数f′（x）的图象的一个对称中心是，求得ω的值，可得f（x）的最小正周期．【解答】解：∵函数f（x）=asinωx+bcosωx（0＜ω＜5，ab≠0）的图象的一条对称轴方程是，∴f（0）=f（），即b=asin（ω•）+bcos（ω•）=a，∴f（x）=asinωx+acosωx=a•sin（ωx+）．又函数f'′（x）=a•ω•cos（ωx+）的图象的一个对称中心是，∴a•ωcos（ω•+）=0，∴ω•+=kπ+，k∈Z，即ω=8k+2，故取ω=2，则f（x）的最小正周期是=π，故选：C．B1C1D1的内切球O球面上的11．点P为棱长是的正方体ABCD﹣A动点，点M为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为（）A．πB．2πC．4πD．【考点】轨迹方程．【分析】首先，求解其内切球的半径，然后，结合球面的性质求解点O到平面DCN的距离，然后，确定其周长．【解答】解：根据题意，该正方体的内切球半径为r=，由题意，取BB1的中点N，连接CN，则CN⊥BM，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴CN为DP在平面B1C1CB中的射影，∴点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线，B1C1D1的棱长为2，∵正方体ABCD﹣A∴O到过D，C，N的平面的距离为1，∴截面圆的半径为：=2，∴点P的轨迹周长为：2π×2=4π．故选：C．12．已知函数与g（x）=|x|+log2（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】令f（﹣x）=g（x）在（0，+∞）上有解，根据函数图象得出a的范围．【解答】解：f（x）关于y轴对称的函数为h（x）=f（﹣x）=x+2﹣x﹣（x＞0），令h（x）=g（x）得2﹣x﹣=log2（x+a）（x＞0），则方程2﹣x﹣=log2（x+a）在（0，+∞）上有解，作出y=2﹣x﹣与y=log2（x+a）的函数图象如图所示：当a≤0时，函数y=2﹣x﹣与y=log2（x+a）的函数图象在（0，+∞）上必有交点，符合题意；若a＞0，若两图象在（0，+∞）上有交点，则log2a，解得0，综上，a．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为5：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为12的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个数为48．【考点】分层抽样方法．【分析】设出B层中的个体数，根据条件中所给的B层中甲、乙都被抽到的概率值，写出甲和乙都被抽到的概率，使它等于，算出n 的值，由已知A和B之间的比值，得到总体中的个体数．【解答】解：设B层中有n个个体，∵B层中甲、乙都被抽到的概率为，∴=，∴n2﹣n﹣56=0，∴n=﹣7（舍去），n=8，∵总体分为A，B两层，其个体数之比为5：1，∴共有个体（5+1）×8=48，故答案为：48．14．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器﹣﹣﹣﹣商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由此构造关于x的方程，解得答案．【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：（5.4﹣1.6）•x×1+π•（）2×1.6=12.6，∵π=3．解得x=3，故答案为：3．15．设F是双曲线的右焦点，若点F关于双曲线的一条渐近线的对称点P恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），即有=﹣，且•n=•，解得m=，n=﹣，将F'（，﹣），即（，﹣），代入双曲线的方程可得﹣=1，化简可得﹣4=1，即有e2=5，解得e=．故答案为：16．已知数列{a n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项．若，其中m为给定的正整数，则d的所有可能取值的和为．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由公差d是的约数，得到d=2i•3j，（i，j=0，1，2，…，m），由此能求出d的所有可能取值之和．【解答】解：∵数列{a n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项，∴公差d是的约数，∴d=2i•3j，（i，j=0，1，2，…，m），∴d的所有可能取值之和为：=．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．某学校的平面示意图为如下图五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路（不考虑宽度）.，．（1）求道路BE的长度；（2）求生活区△ABE面积的最大值．【考点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）连接BD，在△BCD中，由余弦定理得：BD，在Rt△BDE 中，求解BE即可．（2）设∠ABE=α，在△ABE中，由正弦定理，求解AB，AE，表示S△，然后求解最大值．ABE【解答】解：（1）如图，连接BD，在△BCD中，由余弦定理得：，∴．∵BC=CD，∴，又，∴．在Rt△BDE中，所以．（2）设∠ABE=α，∵，∴．在△ABE中，由正弦定理，得，∴．∴=．∵，∴．∴当，即时，S△ABE取得最大值为，即生活区△ABE面积的最大值为．注：第（2）问也可用余弦定理和均值不等式求解．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，CC1⊥底面ABC，AC=BC=CC1=2，D，E，F分别是棱AB，BC，B1C1的中点，G是棱BB1上的动点．（1）当为何值时，平面CDG⊥平面A1DE？（2）求平面AB1F与平面AD1E所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）当G为BB1中点（即）时，平面CDG⊥平面A1DE．证明D，E，C1，A1四点共面．连接C1E交GC于H．证明CG⊥C1E．DE⊥CG，推出CG⊥平面A1DE，即可证明平面CDG⊥平面A1DE．（2）以C为原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面A1DE的法向量，平面A1BF的法向量，设平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角为θ，利用数量积求解即可．【解答】解：（1）当G为BB1中点（即）时，平面CDG⊥平面A1DE．证明如下：由于DE∥AC且，∴，故D，E，C1，A1四点共面．连接C1E交GC于H．在正方形CBB1C1中，，故∠CHE=90°，即CG⊥C1E．又A1C1⊥平面CBB1C1，CG⊂平面CBB1C1，所以DE⊥CG，又因为C1E∩DE=E，故CG⊥平面A1DE，从而平面CDG ⊥平面A1DE．（2）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，CC1⊥底面ABC，于是可以以C为原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．因为AC=BC=CC1=2，D，E，F分别是棱AB，BC，B1C1的中点，所以A1（2，0，2），D（1，1，0），E（0，1，0），B（0，2，0），F （0，1，2），G（0，2.1），=（﹣2，2，﹣2），=（﹣2，1，0）．由（1）知平面A1DE的法向量为=（0，2，1），设平面A1BF的法向量为=（x，y，z），则，即：，令x=1得，设平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角为θ，则cosθ===．19．随着生活水平和消费观念的转变，“三品一标”（无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志）已成为不少人的选择，为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室，假设该品牌植物油每瓶含有机物A的概率为p（0＜p＜1），需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物A，若化验结果呈阳性则含A，呈阴性则不含A．若多瓶该种植物油检验时，可逐个抽样化验，也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验，仅当至少有一瓶油含有有机物A时混合油样呈阳性，若混合油样呈阳性，则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验．（1）若，试求3瓶该植物油混合油样呈阳性的概率；（2）现有4瓶该种植物油需要化验，有以下两种方案：方案一：均分成两组化验；方案二：混在一起化验；请问哪种方案更适合（即化验次数的期望值更小），并说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）设X为3瓶该植物油中油样呈阳性的瓶数，利用相互对立事件的概率计算公式可得所求的概率为P（X≥1）=1﹣P（X=0）．（2）设q=1﹣p，则0＜q＜1．方案一：设所需化验的次数为Y，则Y的所有可能取值为2，4，6次，利用二项分布列的概率计算公式及其数学期望计算公式即可得出．方案二：设所需化验的次数为Z，则Z的所有可能取值为1，5次，P （Z=1）=q4，P（Z=5）=1﹣q4，E（Z）=1×q4+5×（1﹣q4）．进而得出数学期望．【解答】解：（1）设X为3瓶该植物油中油样呈阳性的瓶数，所求的概率为，所以3瓶该种植物油的混合油样呈阳性的概率为．（2）设q=1﹣p，则0＜q＜1．方案一：设所需化验的次数为Y，则Y的所有可能取值为2，4，6次，，．方案二：设所需化验的次数为Z，则Z的所有可能取值为1，5次，P （Z=1）=q4，P（Z=5）=1﹣q4，E（Z）=1×q4+5×（1﹣q4）=5﹣4q4．因为E（Y）﹣E（Z）=6﹣4q2﹣（5﹣4q4）=（2q2﹣1）2≥0，即E（Y）≥E（Z），所以方案二更适合．20．已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆M：（x+1）2+y2=r2（0＜r＜1）．过椭圆C的上顶点A作圆M的两条切线分别与椭圆C相交于B，D两点（不同于点A），直线AB，AD的斜率分别为k1，k2．（1）求椭圆C的方程；（2）当r变化时，①求k1•k2的值；②试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用已知条件求出a，b即可求解椭圆C的方程．（2）AB：y=k1x+1，则有，化简得，直线AD：y=k2x+1，同理有，推出k1，k2是方程（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0的两实根，故k1•k2=1．考虑到r→1时，D是椭圆的下顶点，B趋近于椭圆的上顶点，故BD若过定点，则猜想定点在y轴上．联立直线与椭圆方程，求出相关点的坐标，求出直线BD的方程，推出直线BD过定点．【解答】解：（1）由题设知，，，又a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1．故所求椭圆C的方程是．（2）AB：y=k1x+1，则有，化简得，对于直线AD：y=k2x+1，同理有，于是k1，k2是方程（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0的两实根，故k1•k2=1．考虑到r→1时，D是椭圆的下顶点，B趋近于椭圆的上顶点，故BD 若过定点，则猜想定点在y轴上．由，得，于是有．直线BD的斜率为，直线BD的方程为，令x=0，得，故直线BD过定点．21．已知函数f（x）=xe x﹣a（lnx+x）．（1）若函数f（x）恒有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x＞0，恒有不等式f（x）≥1成立．①求实数a的值；②证明：x2e x＞（x+2）lnx+2sinx．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题；不等式的证明．【分析】（1）利用导数的运算法则可得f′（x），对a分类讨论，当a ≤0时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增，舍去．当a＞0时，f'（x）=0有唯一解x=x0，此时，求出极值，进而得出答案．（2）①当a≤0时，不符合题意．当a＞0时，由（1）可知，f（x）=a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．令，上式即转化为lnt≥t﹣1，min利用导数研究其单调性极值即可得出．②由①可知x2e x﹣xlnx≥x2+x，因而只需证明：∀x＞0，恒有x2+x＞2lnx+2sinx．注意到前面已经证明：x﹣1≥lnx，因此只需证明：x2﹣x+2＞2sinx．对x分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．【解答】解：（1）f（x）=xe x﹣alnx﹣ax，x＞0，则．当a≤0时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增，故不可能存在两个零点，不符合题意；当a＞0时，f'（x）=0有唯一解x=x0，此时，则．注意到，因此．（2）①当a＜0时，f（x）单调递增，f（x）的值域为R，不符合题意；当a=0时，则，也不符合题意．当a＞0时，由（1）可知，f（x）min=a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．令，上式即转化为lnt≥t﹣1，设h（t）=lnt﹣t+1，则，因此h（t）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）max=h（1）=0，所以lnt≤t﹣1．因此，lnt=t﹣1⇒t=1，从而有．故满足条件的实数为a=1．②证明：由①可知x2e x﹣xlnx≥x2+x，因而只需证明：∀x＞0，恒有x2+x＞2lnx+2sinx．注意到前面已经证明：x﹣1≥lnx，因此只需证明：x2﹣x+2＞2sinx．当x＞1时，恒有2sinx≤2＜x2﹣x+2，且等号不能同时成立；当0＜x≤1时，设g（x）=x2﹣x+2﹣2sinx，则g'（x）=2x﹣1﹣2cosx，当x∈（0，1]时，g'（x）是单调递增函数，且，因而x∈（0，1]时恒有g'（x）＜0；从而x∈（0，1]时，g（x）单调递减，从而g（x）≥g（1）=2﹣2sin1＞0，即x2﹣x+2＞2sinx．故x2e x＞（x+2）lnx+2sinx．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2ρ2﹣ρ2cos2θ=12．若曲线C的左焦点F在直线l上，且直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求m的值并写出曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C的极坐标方程为2ρ2﹣ρ2cos2θ=12．利用互化公式可得曲线C的直角坐标方程，可得其左焦点，即可得出m．（2）直线l的参数方程为，与曲线C的方程联立，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程：x﹣y=m．曲线C的极坐标方程为2ρ2﹣ρ2cos2θ=12．可得曲线C的直角坐标方程：2（x2+y2）﹣（x2﹣y2）=12，∴曲线C的标准方程为，则其左焦点为，故，曲线C的方程．（2）直线l的参数方程为，与曲线C的方程联立，得t'2﹣2t'﹣2=0，则|FA|•|FB|=|t'1t'2|=2，第31页（共31页），故．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）=2x ﹣a ，g （x ）=x +2．（1）当a=1时，求不等式f （x ）+f （﹣x ）≤g （x ）的解集； （2）求证：中至少有一个不小于． 【考点】反证法的应用；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的意义，分类讨论，即可求不等式f （x ）+f （﹣x ）≤g （x ）的解集；（2）利用反证法证明即可．【解答】（1）解：当a=1时，|2x ﹣1|+|2x +1|≤x +2，无解；，解得；，解得．综上，不等式的解集为． （2）证明：若都小于， 则，前两式相加得与第三式矛盾．故中至少有一个不小于．。

2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)2019年北京市高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）A。

2B。

√2C。

1D。

2√22.在方程r=2cosθ+3sinθ（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）A。

(2.-7)B。

(3.1)C。

(1.5)D。

(2.1)3.设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=2(a2+a3)，则Sn=（）A。

5anB。

6anC。

7anD。

14an4.将函数y=sin2x的图象向左平移π/4个单位后得到函数y=g(x)的图象。

则函数g(x)的一个增区间是（）A。

(π/4.3π/4)B。

(3π/4.5π/4)C。

(5π/4.7π/4)D。

(7π/4.9π/4)5.使“a>b”成立的一个充分不必要条件是（）A。

a>b+1B。

a>b-1C。

a^2>b^2D。

a^3>b^36.下列函数：①y=-|x|；②y=(x-1)^3；③y=log2(x-1)；④y=-6.在x中，在(1.+∞)上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）A。

①④B。

②③C。

②④D。

①③④7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）A。

6B。

8C。

10D。

128.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A。

336B。

510C。

1326D。

3603二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.在(1-x)^5的展开式中，x^2的系数为______（用数字作答）。

答案：1010.已知向量a=(1.b)。

b=(-2.-1)，且向量a+b的模长为√10.则实数x=______。

2019年湖北省武汉二中高考理科数学全仿真试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∪B＝{x|x＜1} B．A∪B＝{x|x＞0} C．A∩B＝{x|0＜x＜1} D．A∩B＝{x|x＜0}2．（5分）设复数z1满足，z2＝a+i（a∈R），且|z1﹣z2|＝5，则a＝（）A．1 B．7 C．﹣1 D．1或73．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，，若 ， ，则数列{a n}的通项a n＝（）A．B．C．D．4．（5分）已知p：ln（x﹣1）＜0，q：x（x﹣2）≥0，则下列说法正确的是（）A．￢p是q的充分不必要条件B．q是￢p的充分不必要条件C．p是q的充分不必要条件D．对∀x∈R，￢p和￢q不可能同时成立5．（5分）若函数f（x），， ＞的最小值为f（2），则实数a的取值范围为（）A．a＜0 B．a＞0 C．a≤0 D．a≥06．（5分）已知a＞b＞0，且a+b＝1，x＝（）b，y＝log ab（），z＝log b，则x，y，z的大小关系是（）A．z＞x＞y B．x＞y＞z C．z＞y＞x D．x＞z＞y7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面三角形中，最大面积为（）A．B．6 C．D．8．（5分）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息．现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边．若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）过△ABC内一点M任作一条直线l，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若恒成立，则点M是△ABC的（）A．垂心B．重心C．外心D．内心10．（5分）已知函数f（x）＝2cos x，且函数y＝f（ωx）在，上单调递增，则正数ω的最大值为（）A．B．1 C．D．11．（5分）在直角坐标平面内，已知A（﹣2，0），B（2，0）以及动点C是△ABC的三个顶点，且sin A sin B ﹣2cos C＝0，则动点C的轨迹曲线Γ的离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x），， ＞，g（x）＝f（x）﹣ax，若g（x）有4个零点，则a的取值范围为（）A．（0，）B．（0，）C．（， ）D．（， ）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是“中华诗词”“社会主义核心价值观”“依法治国理念”“中国戏剧”“创新能力”．某参赛队从中任选2个主题作答，则“中华诗词”主题被该队选中的概率是．14．（5分）若在关于x的展开式中，常数项为4，则x2的系数是15．（5分）F1，F2分别是双曲线＞＞左右焦点，P是双曲线上一点，△PF1F2内切圆被渐近线所截得弦长不大于实半轴，且与y轴相切，则双曲线离心率取值范围是．16．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，D为BB1的中点，平面ADC1与平面ABC所成的锐二面角的正切值是，则四棱锥A﹣BCC1B1外接球的表面积为．三、解答题（第17-21题每题12分，第22、23题任选一题作答，计10分，共70分）17．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+C）＝4sin2．（1）求cos B；（2）若b＝2，△ABC面积为2，求a+c的值．18．依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示．试估计该河流在8月份水位的中位数；（I）以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率；（Ⅱ）该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由．19．如图，已知圆柱OO1，底面半径为1，高为2，ABCD是圆柱的一个轴截面，动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其路径最短时在侧面留下的曲线记为Γ：将轴截面ABCD绕着轴OO1，逆时针旋转θ（0＜θ＜π）角到A1B1C1D1位置，边B1C1与曲线Γ相交于点P．（1）当时，求证：直线D1B1⊥平面APB；（2）当时，求二面D﹣AB﹣P的余弦值．20．已知O为坐标原点，点 ， ， ， ， ， ，动点N满足，点P为线段NF1的中点．抛物线C：x2＝2my（m＞0）上点A的纵坐标为．（1）求动点P的轨迹曲线W的标准方程及抛物线C的标准方程；（2）若抛物线C的准线上一点Q满足OP⊥OQ，试判断是否为定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由．21．设函数f（x）＝e x﹣b（1+lnx）．（1）证明f（x）的图象过一个定点A，并求f（x）在点A处的切线方程；（2）已知b＞0，讨论f（x）的零点个数．22．以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立的极坐标系中，直线C1：ρsin（θ）；在平面直角坐标系xOy中，曲线C2：（φ为参数，a＞0）．（1）求直线C1的直角坐标方程和曲线C2的极坐标方程；（2）曲线C3的极坐标方程为（ρ＞0），且曲线C3分别交C1，C2于A，B两点，若|OB|＝4|OA|，求a的值．23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|ax﹣1|．（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若0＜a＜2，且对任意x∈R，恒成立，求a的最小值．2019年湖北省武汉二中高考数学全仿真试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．【解答】解：由2x＞1得x＞0，所以B＝{x|x＞0}．所以A∩B＝{x|0＜x＜1}．A∪B＝R，故选：C．2．【解答】解：由，得z14+5i，又z2＝a+i，∴z1﹣z2＝（4﹣a）+4i，再由|z1﹣z2|＝5，得（4﹣a）2+16＝25，解得a＝1或7．故选：D．3．【解答】解：由 ， ，可得：2，3﹣1＝2，∴数列是等比数列，首项为2，公比为2．∴2n．∴2n﹣1+2n﹣2+…+2+12n﹣1．∴a n．故选：B．4．【解答】解：已知p：ln（x﹣1）＜0，q：x（x﹣2）≥0，解得：p即为“1＜x＜2”，q即为“x≤0或x≥2”，则：￢p：x≤1或x≥2；￢q：0＜x＜2；由充要条件的定义可知答案B成立．故选：B．5．【解答】解：当x≤2时，f（x）＝2|x﹣2|＝22﹣x，单调递减，∴f（x）的最小值为f（2）＝1，当x＞2时，f（x）＝log2（x+a）单调递增，若满足题意，只需log2（x+a）≥1恒成立，即x+a≥2恒成立，∴a≥（2﹣x）min，∴a≥0，故选：D．6．【解答】解：∵a＞b＞0，a+b＝1，∴1＞a＞＞b＞0，∴1＜＜，∴x＝（）b＞（）0＝1，y＝log（ab）（）＝log（ab）1，z＝log b log b a＞﹣1．∴x＞z＞y．故选：D．7．【解答】解：根据题中所给的三视图，可得该几何体是底面边长为3的正方形的四棱锥，且高为2，从而可求得其四个侧面三角形面积分别为，，通过比较可得最大的面积为．故选：D．8．【解答】解：如图所示，设正方形的边长为2，其中的4个圆过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r，故BE＝O2E＝O2O＝r，∴BO2r，∵BO2+O2O＝BO BD，∴r+r，∴r，∴黑色部分面积S＝π（）2π，正方形的面积为1，∴在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为π，故选：A．9．【解答】解：本题采用特殊位置法较为简单．因为过△ABC内一点M任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则|AD|＝0，有．如图：则有直线AM经过BC的中点，同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，所以点M是△ABC的重心．故选：B．10．【解答】解：依题意，f（x）＝2cos x＝cos x•sin x，则f（ωx），又函数y＝f（ωx）在，上单调递增，∴，即0＜ω，∴2，即，则，得ω≤1．故选：B．11．【解答】解：∵sin A sin B﹣2cos C＝0，∴sin A sin B＝2cos C＝﹣2cos（A+B）＝﹣2（cos A cos B﹣sin A sin B），∴sin A sin B＝2cos A cos B，即tan A tan B＝2，∴k AC•k BC＝﹣2，设C（x，y），又A（﹣2，0），B（2，0），所以有（y≠0），整理得 ， ，∴a，c＝2，离心率为：故选：A．12．【解答】解：由题意，可知：①当x＝0时，g（0）＝f（0）﹣0＝0，∴x＝0为g（x）的1个零点．②当x≠0时，由题意，可得：a，， ＞，即：y＝a与y，， ＞有3个交点且交点的横坐标都不为0．可设h（x），x＞0，则h′（x），令h′（x）0，解得：x，则函数h（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）上单调递减．∴y，， ＞的大致图象如下：又∵h（），若y＝a与y，， ＞有3个交点且交点的横坐标不为0，则必有0＜a＜．故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）13．【解答】解：由于知识竞赛有五个板块，所以共有5种结果，某参赛队从中任选2个主题作答，选中的结果为2种，则“中华诗词”主题被选中的概率为P（A）．故答案为：14．【解答】解：由（1）8展开式的通项为T r+1（）r＝（﹣1）r x，所以关于x的展开式中常数项为（﹣1）0•a＝a＝4，所以关于x的展开式中x2项的系数为4•（﹣1）63•（﹣1）356，故答案为：﹣56．15．【解答】解：根据题意，不妨设P在第一象限，M，N，A分别为△PF1F2内切圆与△PF1F2三边的切点，如图所示：∵2a＝|PF1|﹣|PF2|＝（|PM|+|MF1|）﹣（|PN|+|NF2|）＝|MF1|﹣|NF2|＝|AF1|﹣|AF2|，∴A在双曲线上，故△PF1F2内切圆圆心为（a，a），半径为a，∴圆心到渐近线bx+ay＝0的距离是d∴弦长BC＝222a，依题得2a a，即．∴b﹣a c，∴b2≥（c+a）2，∵b2＝c2﹣a2，∴c2﹣4ac﹣8a2≥0，同时除以a2得e2﹣4e﹣8≥0∴e≥22，故答案为e∈[22，+∞）．16．【解答】解：如图，延长C1D与CB的延长线交于点M，连接AM．∵B1C1∥BC，D为BB1的中点，∴D也是C1M的中点，又取E是AC1的中点，∴AM∥DE．∵DE⊥平面ABB1A1，∴AM⊥平面ACC1A1．∴∠C1AC为平面AC1D与平面ABC所成二面角的平面角．∴tan∠C1AC，∴，又AC，则，又四棱锥A﹣BCC1B1外接球即为正三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球，其球心在底面ABC中心正上方的处，又底面外接圆的半径为2r，∴，∴四棱锥A﹣BCC1B1外接球的表面积4πR2＝19π，故答案为：19π．三、解答题（第17-21题每题12分，第22、23题任选一题作答，计10分，共70分）17．【解答】解：（1）由题设及A+B+C＝π，得：sin B＝4sin2，故sin B＝2（1﹣cos B）．上式两边平方，整理得：5cos2B﹣8cos B+3＝0，解得：cos B＝1（含去），cos B．（2）由cos B，得sin B，又S△ABC ac sin B＝2，则ac＝5．由余弦定理，b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（a+c）2﹣2ac（1+cos B）＝（a+c）2﹣16＝4．所以a+c＝2．18．【解答】解：频率分布直方图中6个小矩形的面积分别是0.1，0.25，0.3，0.2，0.1，0.05，设8月份的水位中位数为x，则35＜x＜40，∴0.1+0.25+（x﹣35）×0.06＝0.5，解得x＝37.5．∴8月份的水位中位数为37.5．（I）设该河流8月份水位小于40米为事件A1，水位在40米至50米为事件A2，水位大于50为事件A3，在P（A1）＝0.1+0.25+0.3＝0.65，P（A2）＝0.2+0.1＝0.3，P（A3）＝0.05．设发生小型灾害为事件B，由条形图可知：P（B|A1）＝0.1，P（B|A2）＝0.2，P（B|A3）＝0.6，∴P（A1B）＝P（A1）P（B|A1）＝0.065，P（A2B）＝P（A2）P（B|A2）＝0.06，P（A3B）＝P（A3）P（B|A3）＝0.03．∴P（B）＝P（A1B）+P（A2B）+P（A3B）＝0.155．（II）由（I）可知8月份该河流不发生灾害的概率为0.65×0.9+0.3×0.75+0.05×0＝0.81，发生1级灾害的概率为0.155，发生2级灾害的概率为1﹣0.81﹣0.155＝0.035．设第i种方案的企业利润为X i（i＝1，2，3），若选择方案一，则X1的取值可能为500，﹣100，﹣1000，∴P（X1＝500）＝0.81，P（X1＝﹣100）＝0.155，P（X1＝﹣1000）＝0.035．∴X1的分布列为：∴E（X1）＝500×0.81﹣100×0.155﹣1000×0.035＝354.5（万元）．若选择方案二，则X2的取值可能为460，﹣1040，且P（X2＝460）＝0.81+0.155＝0.965，P（X2＝﹣1040）＝0.035．X2的分布列为：∴E（X2）＝460×0.965﹣1040×0.035＝407.5（万元）．若选择方案三，则X3的可能取值为400，﹣200．X3的分布列为：∴E（X3）＝400×0.845﹣200×0.155＝307（万元）．∴E（X2）＞E（X1）＞E（X3），∴从利润考虑，该企业应选择第二种方案．19．【解答】证明：（1）方法一：当时，建立如图所示的空间直角坐标系，则有A（0，﹣1，0），B（0，1，0），P（﹣1，0，1），C1（﹣1，0，2），B1（﹣1，0，0），D1（1，0，2），（0，2，0），（﹣1，1，1）．设平面ABP的法向量为（x，y，z），则，可取x＝1，得（1，0，1），∵（﹣2，0，﹣2），∴∥．∴直线D1B1⊥平面APB．方法二：在正方形A1B1C1D1中，OP∥A1C1，D1B1⊥A1C1，∴OP⊥B1D1，AB⊥OO1，AB⊥A1B1，OO1∩A1B1＝O，∴AB⊥平面A1B1C1D1，又B1D1⊂平面A1B1C1D1，∴AB⊥BD，又OP⊥B1D1，AB∩OP＝O，AB，OP⊂平面APB，∴直线D1B1⊥平面APB．解：（2）当时，以AB所在直线为y轴，过点O与AB垂直的直线为x轴，OO1所在的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，A（0，﹣1，0），P（，，），B（0，1，0），（， ，），（0，2，0），设平面ABP的法向量为（x，y，z），则，取x＝2，得（2，0，3），又平面ABD的一个法向量为（1，0，0），则|cos＜，＞|，所以二面角D﹣AB﹣P的余弦值为．20．【解答】解：（1）由题知|PF2|，|PF1|；∴|PF1|+|PF2|2 ＞|F1F2|＝2，因此动点P的轨迹W是以F1，F2为焦点的椭圆，且2a＝2，2c＝2，∴b＝1，∴曲线W的标准方程为：y2＝1；又由题知：点A的纵坐标为，；∴， ， ，∴x A＝2；又∵点A（2，）在抛物线x2＝2my（m＞0）上，∴12＝2m，解得m；所以抛物线C的标准方程为y．（2）设P（x P，y P），则N（2x P，2y P），Q（t，）；由题知OP⊥OQ，∴，即；∴；由∵1，∴1，∴1；∴为定值，且定值为1．21．【解答】解：（1）由f（）＝e b（1+ln）＝e，则f（x）的图象经过定点A（，e），由f′（x）＝e x，可得切线的斜率为f′（）＝e be，可得f（x）在点A处的切线方程为y﹣e（e be）（x），即y＝（e be）x+e（1）+b；（2）f′（x）＝e x，令g（x）＝xe x﹣b，则g′（x）＝e x（x+1）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，由g（0）＝﹣b＜0，g（b）＝b（e b﹣1）＞0，可得存在唯一x1∈（0，b），使g（x1）＝x1e b＝0 且当0＜x＜x1时，g（x）＜0即f′（x）＜0；当x＞x1时，g（x）＞0即f′（x）＞0，可得f（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，+∞）上单调递增，可得f（x）min＝f（x1）＝e b（lnx1+1）＝e x1e（lnx1+1）＝x1e（lnx1﹣1），令h（x）lnx﹣1，则h（x）在（0，+∞）上递减，且h（1）＝0，①0＜x1＜1时，即b＝x1e∈（0，e）时，h（x1）＞h（1）＝0，可得f（x1）＞0，f（x）在（0，+∞）上无零点；②x1＝1时，即b＝e时，h（x1）＝0，即f（x1）＝0，f（x）在（0，+∞）上存在唯一零点x1；③1＜x1＜b时，即b＝x1e∈（e，+∞）时，h（x1）＜h（1）＝0，即f（x1）＜0，又f（）＝e＞0，令m（x）＝e x﹣2x（x＞e），则m′（x）＝e x﹣2＞0，m（x）在（e，+∞）上单增，则m（x）＞m（e）＝e e﹣2e＝e（e e﹣1﹣2）＞0，e x＞2x在（e，+∞）上恒成立，e b＞2b＞b＞x1，又f（e b）＝e b（lne b+1）＝e b（b+1）＞e2b﹣b（b+1），e b＞b，e b＞2b＞b+1，可得e2b＞b（b+1），即f（e b）＞0，f（x）在（，x1），（x1，e b）上各存在一个零点．综上所述，0＜b＜e时，f（x）无零点；b＝e时，f（x）有一个零点；b＞e时，f（x）有两个零点．22．【解答】解：（1）由ρsin（θ），得，即x+y＝1．由，消去参数φ得C2的普通方程：x2+（y﹣1）2＝a2．又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得C2的极坐标方程为：（ρcosθ）2+（ρsinθ﹣1）2＝a2．即C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2＝0；（2）曲线C3的直角坐标方程为y＝x（x＞0），由，得A（，）．|OA|，|OB|．即点B的极坐标为（，），代入ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2＝0，得a．23．【解答】解：（1）当a＝﹣1时，f（x）＝|2x+1|+|x+1|∴f（x）＞2等价于＞＞或＞或＜＞，解得：x＞0或＜，∴f（x）＞2的解集为{x|＜或x＞0}；（2）∵0＜a＜2，∴＞，2+a＞0，2﹣a＞0，则f（x）＝|2x+1|+|ax﹣1|，＜，，＞，∴函数f（x）在（∞，）上单调递减，在[，]上单调递增，在（，∞）上单调递增，∴当时，f（x）取得最小值，∵对∀x∈R，恒成立，∴，又∵a＞0，∴a2+2a﹣3≥0，解得a≥1（a≤﹣3不合题意），∴a的最小值为1．。

………外…………○…学校:_…………○…………装…………○…绝密★启用前广东省百校联考2019届高三高考模拟数学（理科）试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．若集合A ={x|3−2x <1}, B ={x|3x −2x 2≥0}，则A ∩B =（ ） A ． (1,2] B ． (1,94] C ． (1,32] D ． (1,+∞)2．已知复数z 满足(z +3)(1−i )=6−4i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数所对应的点在（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限 3．已知sinα+cosα=−75, 2sinα−cosα=−25，则cos2α=（ ） A ．725B ． −725C ．1625D ． −16254．如图1为某省2018年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误．．的是（ ）A ． 2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ． 2018年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高…○…………※※请※※不※○……全一致D ． 从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长5．在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c ，若C =π4, a =4, S △ABC =2，则2a+3c−b 2sinA+3sinC−sinB= （ ）A ． √5B ． 2√5C ． 2√7D ． 2√136．已知平面向量a ⃗,b ⃑ 满足|a |=2, |b ⃑ |=1，且(4a ⃗−b ⃑ )⋅(a ⃗+3b ⃑ )=2，则向量a ⃗, b ⃑ 的夹角θ为（ ）A ． π6 B ． π3 C ． π2 D ．2π37．为了得到y =−2cos2x 的图象，只需把函数y =√3sin2x −cos2x 的图象（ ）A ． 向左平移π3个单位长度 B ． 向右平移π3个单位长度C ． 向左平移π6个单位长度 D ． 向右平移π6个单位长度8．已知抛物线C 1: x 2=2py(y >0)的焦点为F 1，抛物线C 2:y 2=(4p +2)x 的焦点为F 2，点P(x 0,12)在C 1上，且|PF 1|=34，则直线F 1F 2的斜率为（ ）A ． −12B ． −14C ． −13D ． −159．如图，B 是AC 上一点，分别以AB, BC, AC 为直径作半圆．从B 作BD ⊥AC ，与半圆相交于D ．AC =6, BD =2√2，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（ ）A ． 29B ． 13C ． 49D ． 2310．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为（ ）……线…………○………………○…………装…………○…A ． √5B ． √6C ． √7D ． 2√2 11．已知双曲线x 2a−y 2b =1(a >0,b >0)的离心率为2，F 1, F 2分别是双曲线的左、右焦点，点M(−a,0)，N(0,b)，点P 为线段MN 上的动点，当PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 取得最小值和最大值时，△PF 1F 2的面积分别为S 1, S 2，则S1S 2=（ ）A ． 4B ． 8C ． 2√3D ． 4√312．已知函数f(x)=a x +e x −xlna (a >0, a ≠1)，对任意x 1, x 2∈[0,1]，不等式|f(x 2)−f(x 1)|≤a −2恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ． [12,e 2] B ． [e e ,+∞) C ． [12,+∞) D ． [e 2,e e ]第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．在(x+2x)4的展开式中，含x−2的项的系数是____________．14．已知实数x,y满足{y≥−13x+23,y≤−2x−1,y≤12x+4,则目标函数z=3x−y的最大值为____________．15．已知f(x), g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且g(0)=0，当x≥0时，f(x)−g(x)=x2+2x+2x+b（b为常数），则f(−1)+g(−1)=____________．16．在四面体A−BCD中，AB=AC=AD=BC=BD=2，若四面体A−BCD的外接球的体积V=8√23π，则CD=____________．三、解答题17．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S1=1，且对任意正整数n，都有S n+1n+1+n=S n+1−S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n2n，求数列{b n}的前n项和T n．18．某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A类（不参加课外阅读），B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表：……○…………装……学校:___________姓名：__…装…………○…………订…………○（2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X 为抽取的这3名女生中A 类人数和C 类人数差的绝对值，求X 的数学期望． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．19．如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，EF //AB ，BC ⊥FD ，过BC 的平面交棱FD 于P ，交棱FA 于Q ．（1）证明：PQ //平面ABCD ；（2）若CD ⊥BE, EF =EC, CD =2EF, BC =tEF ，求平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角的大小．20．已知F 为椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，点P(2,3)在C 上，且PF ⊥x 轴． （1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 交C 于A,B 两点，交直线x =8于点M ．判定直线PA, PM, PB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由． 21．设函数f(x)=xe x +a(1−e x )+1． （1）求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在(0,+∞)上存在零点，证明：a >2． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =5cosαy =5+5sinα（α为参数）．M 是曲线C 1上的动点，将线段OM 绕O 点顺时针旋转90°得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线C 2．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 1, C 2的极坐标方程；（2）在（1）的条件下，若射线θ=π3(ρ≥0)与曲线C 1, C 2分别交于A,B 两点（除极点外），且有定点T(4,0)，求△TAB 的面积．23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x +m |−|2x −2m | (m >0)．（1）当m =12时，求不等式f(x)≥12的解集；（2）对于任意的实数x ，存在实数t ，使得不等式f(x)+|t −3|<|t +4|成立，求实数m 的取值范围．参考答案1．C【解析】【分析】先化简集合，再根据集合交集的定义求解.【详解】因为A={x|x>1},B={x|0≤x≤32}，所以A∩B={x|1<x≤32}．故选C.【点睛】本题考查了集合的交集运算，A∩B可理解为：集合A和集合B中的所有相同的元素的集合. 一般步骤为：先明确集合，即化简集合，然后再根据集合的运算规则求解.2．D【解析】【分析】利用复数的乘除运算性质可求得z=2+i，从而可得z=2−i，根据复数的几何意义可得解.【详解】因为z=6−4i1−i −3=(6−4i)⋅(1+i)(1−i)⋅(1+i)−3=−4i2+2i+61−i2−3=2+i，所以z=2−i，其在复平面对应的点为(2,−1)，位于第四象限，故选D.【点睛】解答与复数有关的问题时，通常需要先把所给的复数化为a+bi （a，b∈R）的形式，再根据题意求解,复数z=a+bi（a,b∈R）在复平面的对应点坐标是（a，b）3．A【解析】【分析】联立两个等式得方程组，解得sina的值，再根据二倍角的余弦公式求解.【详解】因为{sinα+cosα=−752sinα−cosα=−25，所以sinα=−35，从而cos2α=1−2sin2α=725．故选A.【点睛】本题考查了根据二倍角的余弦公式求值，二倍角的余弦公式：cos2a=1−2sin2a= 2cos2a−1=cos2a−sin2a4．D【解析】【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可.【详解】对于选项A： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值为4397−2411=1986，接近2000万件，所以A是正确的；对于选项B： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月最高，所以B是正确的；对于选项C：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C是正确的；对于选项D，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D错误.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．B【解析】【分析】根据三角形的面积公式求得b的值，再根据余弦定理求得c的值，再根据正弦定理求解2a+3c−b2sinA+3sinC−sinB的值.【详解】C =π4, a =4, S △ABC =12absinC =12×4×b ×√22=2，得b =√2，又根据余弦定理得：c 2=a 2+b 2−2abcosC =10，即c =√10，所以2a+3c−b2sinA+3sinC−sinB =2R =csinC =2√5． 故选B. 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，正弦定理，余弦定理的应用,考查了运算求解能力 ;熟练掌握公式和定理是解答本题的关键.6．D 【解析】 【分析】展开(4a ⃗−b ⃑ )⋅(a ⃗+3b⃑ )，利用向量的数量积公式，解得cosθ=−12，进而求解θ的值. 【详解】因为(4a ⃗−b ⃑ )⋅(a ⃗+3b ⃑ )=4a ⃗2−3b ⃑ 2+11a ⃗⋅b ⃑ =2 ,已知 |a |=2, |b ⃑ |=1，解得a ⃗⋅b ⃑ =−1， 由a ⃗⋅b ⃑ =|a |⋅|b⃑ |cosθ=2cosθ=−1，得cosθ=−12，所以θ=2π3．故选D 【点睛】本题考查了平面向量的数量积以及向量的夹角，考查了运算求解能力；在解题时要注意两向量夹角的范围是[0,π].7．D 【解析】 【分析】逆用两角和的余弦公式，得y =√3sin2x −cos2x =−2cos [2(x +π6)]，再分析两个函数图象的变换. 【详解】因为y =√3sin 2x −cos 2x =−2cos (2x +π3)=−2cos [2(x +π6)] ，故选D.要得到函数y =−2cos2x ，只需将y =√3sin2x −cos2x 的图象向右平移π6个单位长度即可． 【点睛】本题考查了三角函数的图象与变换，考查了两角和的余弦公式的应用；解决三角函数图象的变换问题，首先要把变换前后的两个函数化为同名函数. 8．B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，求得p 的值，即可得抛物线C 1，C 2的标准方程，求得抛物线的焦点坐标后，再根据斜率公式求解. 【详解】因为|PF 1|=34，所以12+p 2=34，解得p =12. C 1:x 2=y, C 2:y 2=4x, F 1(0,14), F 2(1,0)，所以直线F 1F 2的斜率为140−1=−14．故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了抛物线的简单性质，涉及了直线的斜率公式；抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离；解题过程中注意焦点的位置. 9．C 【解析】 【分析】求得阴影部分的面积和最大的半圆的面积，再根据面积型几何概型的概率计算公式求解. 【详解】 连接AD,CD ，可知△ACD 是直角三角形，又BD ⊥AC ，所以BD 2=AB ⋅BC ，设AB =x(0<x <6)，则有8=x(6−x)，得x =2，所以AB =2, BC =4，由此可得图中阴影部分的面积等于π×322−(π×122+π×222)=2π，故概率P =2π12×9π=49．故选C【点睛】本题考查了与面积有关的几何概型的概率的求法，当试验结果所构成的区域可用面积表示，用面积比计算概率.涉及了初中学习的射影定理，也可通过证明相似，求解各线段的长. 10．C【解析】【分析】由三视图还原几何体，采用补形法补成长方体，可知最长的棱与最短的棱，再求异面直线所成角的正切值.【详解】如图，AB=√5,BD=1， CD=√2,将四面体补成长方体，则BC=√3,可知最长的棱为长方体的体对角线AC=2√2，最短的棱为BD=1，BD平行与CE，异面直线AC与BD所成的角为∠ACE，因为BE=CD=√2, 则AE=√7，因为BD=CE=1,且根=√7.据面面垂直和线面垂直的性质，可知CE⊥AE,所以tan∠ACE=AECE故选C.【点睛】本题综合考查了由三视图还原几何体，考查了求异面直线夹角，考查了面面垂直和线面垂直的性质，涉及了长方体的结构特征；把不规则的几何体补成规则几何体，把不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算求解.11．A【解析】【分析】根据离心率公式和双曲线方程的a ，b ，c 的关系，可知c =2a, b =√3a ，根据题意表示出点p (m,√3m +√3a)和m 的取值范围，利用平面向量数量积的坐标表示得关于m 的一元二次函数，问题转化为求在给定区间内二次函数的最大值与最小值，进而问题得解. 【详解】由e =ca =2，得c =2a, 则b =√3a ，故线段MN 所在直线的方程为y =√3(x +a)，又点P 在线段MN 上，可设P(m,√3m +√3a)，其中m ∈[−a,0]，由于F 1(−c,0), F 2(c,0)，即F 1(−2a,0), F 2(2a,0)，得PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2a −m,−√3m −√3a), PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2a −m,−√3m −√3a)，所以PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =4m 2+6ma −a 2=4(m +34a)2−134a 2．由于m ∈[−a,0]，可知当m =−34a 时，PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 取得最小值，此时y P =√34a ， 当m =0时，PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 取得最大值，此时y P =√3a ，则S 2S 1=√3a √34a=4．故选A.【点睛】本题考查了平面向量在解析几何中应用，涉及了双曲线的简单性质，平面向量的数量积表示，二次函数在给定区间的最值问题；关键是利用向量作为工具，通过运算脱去“向量外衣”，将曲线上的点的坐标之间的关系转化为函数问题，进而解决距离、夹角、最值等问题. 12．B 【解析】 【分析】先求导函数f ′(x)，经过分析a 的取值范围，可知f(x) )在x ∈[0,1]是单调递增的，则不等式恒成立就转化为函数在区间内f(x)max −f(x)min ≤a −2，进而解不等式，可得a 的取值范围. 【详解】因为f(x)=a x +e x −xlna ，所以f ′(x)=a x lna +e x −lna =(a x −1)lna +e x ． 当a >1时，对任意的x ∈[0,1]，a x −1≥0, lna >0，恒有f ′(x)>0； 当0<a <1时，a x −1≤0, lna <0，恒有f ′(x)>0， 所以f(x)在x ∈[0,1]是单调递增的．那么对任意的x 1, x 2∈[0,1]，不等式|f(x 2)−f(x 1)|≤a −2恒成立，只要f(x)max−f(x)min≤a−2，且a≥2，f(x)max=f(1)=a+e−lna，f(x)min=f(0)=1+1=2，所以a−2≥a+e−lna−2，即lna≥e, a≥e e．故选B.【点睛】本题考查了利用导数解决不等式的恒成立问题，涉及了求函数的导函数，导数与函数的单调性的关系，函数的最值等知识; 根据绝对值的意义，和函数的单调性，将含绝对值的不等式恒成立转化为函数最大值和最小值之间的差，是解决本题的基本思路.13．32【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出含x−2的项，进而可得其系数.【详解】T r+1=C4r x4−r(2x )r=C4r⋅2r x4−2r，令4−2r=−2，得r=3，所以含x−2的项的系数为C43⋅23=32 .故填:32.【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式，根据通项公式可求出对应项的系数.14．−4【解析】【分析】根据约束条件，画出可行域，再平移直线3x-y=0，确定取最大值时点的位置，进而求解.【详解】作可行域如图所示，由图可知，当z=3x−y过点B(−1,1)时，-z取得最小值4，则z取得最大值−4．故填：-4.【点睛】本题考查了线性规划求最值，解决这类问题一般要分三步：画出可行域、找出关键点、求出最值．线性规划求最值，通常利用“平移直线法”解决.15．−4【解析】【分析】根据函数的奇偶性，先求的b值，再代入x=1，求得f(1)−g(1)=4，进而求解f(−1)+g(−1)的值.【详解】由f(x)为定义在R上的奇函数可知f(0)=0，已知g(0)=0，所以f(0)−g(0)=20+b=0，得b=−1，所以f(1)−g(1)=4，于是f(−1)+g(−1)=−f(1)+g(1)=−[f(1)−g(1)]=−4．【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，涉及了函数求值的知识；注意解析式所对应的自变量区间. 16．2√2【解析】【分析】设CD的中点为M，AB的中点为N，连接MN,可知球心O在MN上，连接CN,DN,OA,OD,设CD=2x，根据勾股定理，得方程，进而问题得解.设CD的中点为M，AB的中点为N，连接MN,由题目中已知条件可知，MN分别为CD，AB的垂直平分线，故四面体A−BCD的外接球球心O在线段MN上，连接CN,DN,OA,OD，设四面体A−BCD的外接球半径为r，由V=43πr3=8√23π，得r=√2．设CD=2x，在Rt△OAN中，ON=2−AN2=√2−1=1，在Rt△ADN中，DN=√AD2−AN2=√3，在Rt△DMN中，MN=√DN2−DM2=√3−x2，所以OM=MN−ON=√3−x2−1，在Rt△ODM中，OM2=OD2−DM2，由(√3−x2−1)2=2−x2，解得x=√2，所以CD=2√2.故填：2√2【点睛】本题考查了几何体的外接球的有关问题，关键是确定球心在几何体中的位置，根据已知条件，结合几何体的半径和表面积或体积公式求解.17．（1）a n=2n−1 (n∈N∗)；（2）T n=3−2n+32n.【解析】【分析】(1)利用a n=S n−S n−1,(n≥2)结合已知条件，求得a n+1−a n=2，a2−a1=2，即可判断数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，进而求得数列{a n}的通项公式；（2）采用错位相减法求数列{b n}的前n项和T n.（1）由S n+1n+1+n=S n+1−S n=a n+1，可得S n+1+n(n+1)=(n+1)a n+1，当n≥2时，S n+n(n−1)=na n，两式相减，得a n+1+2n=(n+1)a n+1−na n，整理得a n+1−a n=2，在S n+1n+1+n=a n+1中，令n=2，得S22+1=a2，即1+a2+2=2a2，解得a2=3，∴a2−a1=2，所以数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n=1+2(n−1)=2n−1．（2）由（1）可得b n=a n2n =2n−12n，所以T n=12+322+523+⋯+2n−32n−1+2n−12n，①则12T n=122+323+524+⋯+2n−32n+2n−12n+1，②①−②，得12T n=12+222+223+224+⋯+22n−2n−12n+1，整理得12T n=32−22n−2n−12n+1=32−2n+32n+1，所以T n=3−2n+32n．【点睛】本题考查了求数列的通项公式和错位相减法求数列的和；已知S n−S n−1的形式的式子，通常与a n=S n−S n−1,(n≥2)联系起来求解.18．（1）4,2；（2）列联表见解析，没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；（3）5156.【解析】【分析】（1）设被抽取的20人中，男、女生人数分别为n1, n2；根据分层抽样的原理，求得n1, n2，进而求得x，y的值；（2）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论（3）X可能的取值为0，1，2，3，根据组合数公式和古典概型概率公式计算概率，再得出X的数学期望.【详解】（1）设抽取的20人中，男、女生人数分别为n 1, n 2，则{n 1=20×12002000=12n 2=20×8002000=8 , 所以x =12−5−3=4， y =8−3−3=2． （2）列联表如下：K 2的观测值k =20×(4×6−2×8)212×8×14×6=1063≈0.159<2.706，所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关． （3）X 的可能取值为0，1，2，3， 则P(X =0)=C 33+C 21C 31C 31C 83=1956，P(X =1)=C 32C 31+C 32C 21+C 21C 32+C 22C 31C 83=37，P(X =2)=C 22C 31+C 32C 31C 83=314，P(X =3)=C 33C 83=156，所以EX =0×1956+1×37+2×1314+3×156=5156． 【点睛】本题考查了分层抽样原理，独立性检验思想，离散型变量的均值；用K 2的值可以决定是否拒绝原来的统计假设H 0，若K 2值较大，就拒绝H 0，即拒绝事件A 与事件B 无关；换一种说法：计算随机变量的观测值k 越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大 19．（1）见解析； （2）π4. 【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定与性质定理，证明PQ //平面ABCD ；（2）根据线面垂直的判定与性质，知CD ⊥CE ，BC ⊥CE ，以C 为坐标原点，CD ⃑⃑⃑⃑⃑ , CB ⃑⃑⃑⃑⃑ , CE ⃑⃑⃑⃑⃑ 所在方向为x,y,z 轴正方向，建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的大小. 【详解】（1）证明：因为底面ABCD 为矩形，所以AD //BC ，又因为AD ⊂平面ADF ，BC ⊄平面ADF ，所以BC //平面ADF ，又因为BC ⊂平面BCPQ ，平面BCPQ ∩平面ADF =PQ ，所以BC //PQ ， 又因为PQ ⊄平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PQ //平面ABCD ． （2）解： ∵CD ⊥BE, CD ⊥CB, BE ∩CB =B ，∴CD ⊥平面BCE ， 又因为CE ⊂平面BCE ，所以CD ⊥CE ；因为BC ⊥CD, BC ⊥FD, CD ∩FD =D ，所以BC ⊥平面CDFE ，所以BC ⊥CE ，以C 为坐标原点，CD ⃑⃑⃑⃑⃑ , CB ⃑⃑⃑⃑⃑ , CE ⃑⃑⃑⃑⃑ 所在方向为x,y,z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系C −xyz ，设EF =CE =1，则A(2,t,0), D(2,0,0), F(1,0,1)，所以AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−t,0), AF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,−t,1), 设平面ADF 的一个法向量为n ⃑ =(x,y,z)，则{n ⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =−ty =0n ⃑ ⋅AF ⃑⃑⃑⃑⃑ =−x −ty +z =0 ，令x =1，得n ⃑ =(1,0,1),易知平面BCE 的一个法向量为m ⃑⃑ =(1,0,0)，设平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角为θ，则cosθ=|n ⃑ ⋅m ⃑⃑⃑ ||n ⃑ |⋅|m ⃑⃑⃑ |=√22， 所以θ=π4，故平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角为π4． 【点睛】本题考查了线面平行的证明，考查了空间向量法求二面角，求二面角的空间向量坐标法的一般步骤：建立空间直角坐标系，确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过两个法向量的夹角得出二面角的大小.另外需注意本题中所求的为锐二面角.20．（1）x216+y212=1；（2）见解析.【解析】【分析】（1）将点的坐标代入椭圆方程，结合椭圆方程中a,b,c的关系，求出a2，b2的值，进而求得椭圆标准方程；（2）联立椭圆方程和直线方程，利用一元二次方程的根与系数的关系，结合斜率公式，证得k1+k2=2k3，进而问题得证.【详解】（1）因为点P(2,3)在C上，且PF⊥x轴，所以c=2,由{4a2+9b2=1a2−b2=4，得{a2=16b2=12，故椭圆C的方程为x 216+y212=1．（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的的方程为y=k(x−2)，令x=8，得M的坐标为(8,6k)．由{x216+y212=1y=k(x−2)，得(4k2+3)x2−16k2x+16(k2−3)=0．设A(x1,y1), B(x2,y2)，则有x1+x2=16k24k2+3, x1x2=16(k2−3)4k2+3．①设直线PA, PM, PB的斜率分别为k1, k2, k3，从而k1=y1−3x1−2,k2=y2−3x2−2, k3=6k−38−2=k−12．因为直线AB的方程为y=k(x−2)，所以y1=k(x1−2), y2=k(x2−2)，所以k1+k2=y1−3x1−2+y2−3x2−2=y1x1−2+y2x2−2−3(1x1−2+1x2−2)=2k−3×x1+x2−4x1x2−2(x1+x2)+4．②把①代入②，得k1+k2=2k−3×16k24k2+3−416(k2−3)4k2+3−32k24k2+3+4=2k−1．又k 3=k −12，所以k 1+k 2=2k 3，故直线PA, PM, PB 的斜率成等差数列．【点睛】本题考查了过一点求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了等差数列的判断；涉及椭圆与直线的交点问题时，通常联立椭圆方程和直线方程，得一元二次方程，再根据根与系数的关系求解.21．（1）在(a −1,+∞)上是增函数，在(−∞,a −1)上是减函数； （2）a >2. 【解析】 【分析】（1）先确定函数的定义域，然后求f ′(x)，进而根据导数与函数单调性的关系，判断函数f(x) 的单调区间；（2）采用分离参数法，得a = x +x+1e x −1，根据f(x)在(0,+∞)上存在零点，可知a = x +x+1e x −1有解，构造g(x)=x +x+1e x −1，求导g ′(x)，知g ′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点，即零点k 满足g ′(k)=0，进而求得g(k) ∈(2,3)，再根据a = x +x+1e x −1有解，得证a >2 【详解】（1）解：函数f(x)的定义域为(−∞,+∞)，因为f(x)=xe x +a(1−e x )+1，所以f ′(x)=(x +1−a)e x ． 所以当x >a −1时，f ′(x)>0，f(x)在(a −1,+∞)上是增函数； 当x <a −1时，f ′(x)<0，f(x)在(−∞,a −1)上是减函数． 所以f(x)在(a −1,+∞)上是增函数，在(−∞,a −1)上是减函数． （2）证明：由题意可得，当x >0时，f(x)=0有解， 即a =xe x +1e x −1=x (e x −1)+x+1e x −1=x +x+1e x −1有解．令g(x)=x +x+1e x −1，则g ′(x)=−xe x −1(e x −1)2+1=e x (e x −x−2)(e x −1)2．设函数ℎ(x)=e x −x −2, ℎ′(x)=e x −1>0，所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增． 又ℎ(1)=e −3<0, ℎ(2)=e 2−4>0，所以ℎ(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点． 故g ′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点．设此零点为k ，则k ∈(1,2)． 当x ∈(0,k)时，g ′(x)<0；当x ∈(k,+∞)时，g ′(x)>0． 所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(k)．又由g′(k)=0，可得e k=k+2，所以g(k)=k+k+1e k−1=k+1∈(2,3)，因为a=g(x)在(0,+∞)上有解，所以a≥g(k)>2，即a>2．【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数证明不等式成立，考查了利用导数研究函数的零点问题，涉及了求函数导数，函数零点存在性定理的应用等知识；从哪里入手，怎样构造，如何构造适当的函数，是解决此类问题的关键一步. 22．（1）ρ=10sinθ，ρ=10cosθ(ρ≠0)；（2）15−5√3.【解析】【分析】（1）将曲线C1的参数方程转化为普通方程，然后由普通方程转化为极坐标方程；再用N 表示出M,根据点M在曲线C1上，采用相关点法，求轨迹C2的极坐标方程；（2）根据已知条件，求得S△TOA=15，S△TOB=5√3，通过S△TAB=S△TOA−S△TOB求解.【详解】（1）由题设，得C1的直角坐标方程为x2+(y−5)2=25，即x2+y2−10y=0，故C1的极坐标方程为ρ2−10ρsinθ=0，即ρ=10sinθ．设点N(ρ,θ)(ρ≠0)，则由已知得M(ρ,θ+π2)，代入C1的极坐标方程得ρ=10sin(θ+π2)，即ρ=10cosθ(ρ≠0)．（2）将θ=π3代入C1, C2的极坐标方程得A(5√3, π3), B(5,π3)，又因为T(4,0)，所以S△TOA=12|OA|⋅|OT|sinπ3=15，S△TOB=12|OB|⋅|OT|sinπ3=5√3，所以S△TAB=S△TOA−S△TOB=15−5√3．【点睛】本题考查了极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查了点的极坐标以及极坐标与直角坐标的关系，涉及了三角函数的诱导公式和三角形的面积公式，考查了推理论证能力、运算求解能力，以及化归与转化思想.23．（1）{x|13≤x≤1}；（2）(0,72).【解析】【分析】（1）去掉绝对值符号，得到分段函数，然后求解不等式的解集．（2）不等式f(x)+|t−3|<|t+4|⇔f(x)≤|t+4|−|t−3|，根据已知条件，结合绝对值不等式的几何意义，转化求解f(x)max≤g(t)max即可．【详解】因为m>0，所以f(x)=|x+m|−|2x−2m|={x−3m, x≤−m3x−m, −m<x<m −x+3m, x≥m．（1）当m=12时，f(x)={x−32, x≤−123x−12, −12<x<12,−x+32, x≥12所以由f(x)≥12，可得{x−32≥12,x≤−12或{3x−12≥12,−12<x<12或{−x+32≥12x≥12，解得13≤x<12或12≤x≤1，故原不等式的解集为{x|13≤x≤1}．（2）因为f(x)+|t−3|<|t+4|⇔f(x)≤|t+4|−|t−3|，令g(t)=|t+4|−|t−3|，则由题设可得f(x)max≤g(t)max，由f(x)={x−3m, x≤−m3x−m, −m<x<m−x+3m, x≥m，得f(x)max=f(m)=2m．因为||t+4|−|t−3||≤|(t+4)−(t−3)|=7，所以−7≤g(t)≤7．故g(t)max=7，从而2m<7，即m<72，又已知m>0，故实数m的取值范围是(0,72)．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值不等式的几何意义的应用；绝对值不等式问题中的求参数范围问题，一般思路是：借助绝对值的几何意义、零点分段法等，先求出相关函数的最值或值域，再根据题目要求求解.。

年高考数学模拟试题及答案解析最新2019 （理科版）)二高考理科数学模拟试题精编()试卷满分：150分(考试用时：120分钟注意事项：铅笔在答题卡上对应题目选1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各2题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷分．在每小题给出的四5分，共6012一、选择题(本大题共小题，每小题)个选项中，只有一项是符合题目要求的．||)(2 019i3－) ，则复数的共轭复数为1．复数z＝(＋i(i为虚数单位) ．B2＋iA．2－ii4＋D．C4－i．x2) N＝(x|2＞1}，则M∩|2．已知集合M＝{xx{＜1}，N＝＜1} ．{x|0＜xB ．A?x|x＜0} xD ．{ x|＜1}C．{yyyy－－) x(－xxyx3．若＞1，＞0，＋x的值为2＝2，则A.6B．－2D 2 C．．2或－21 / 2222yx，则其离的一条渐近线的倾斜角为30°＞0，b＞0)4．若双曲线－＝1(a22ba)心率的值为( 2 ．B2 A．23232D. C. 235．某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有()A．18种B．24种D ．48C．36种种6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A ．12B ．18C ．24D ．3003≤＋y －2x ???0≥y ＋33x －的解集记为D7．不等式组，有下面四个命题： ??0－2y ＋1≤xp ∶?(x ，y)∈D,2x ＋3y ≥－1；p ∶?(x ，y)∈D,2x －5y ≥－3；p ∶?(x ，321y －1122＋2y ≤1.y 其中的真命题是( x(≤；p ∶?x ，y)∈D ，)＋，y)∈D 43x2－A ．p ，p B ．p ，p C ．p ，p D ．p ，p 42223341x 的2x ；④y ＝·||cos ＝；③cos ＝；②sin ＝．现有四个函数：①8yxxyxxyxx 图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正2 / 22)(确的一组是D ．①④②③ B ．①④③② C ．③④②① A ．④①②③π个的图象向左平移φ＜π)＋3cos(2x ＋φ)(0sin(29．若将函数f(x)＝x ＋φ)＜ 4πππ????，，0－在))＝cos(x ＋单位长度，平移后的图象关于点φ对称，则函数g(x ???? 622????)( 上的最小值是2131D. C. B ．－ A ．－ 222210．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5,2，则输出的n等于()A．2 B．3 C．4 D．52＝8y与直线y＝2x－xC：2相交于A，B两点，点P是抛11．已知抛物线物线C上不同于A，B的一点，若直线PA，PB分别与直线y ＝2相交于点Q，→→的值是() R，O为坐标原点，则OR·OQA．20 B．16D．与点．C12 P的位置有关的一个实数3 / 221x＋，0)≤mx，若有且仅有两个整数使得)＝(3x＋1)ef(x＋12．已知函数f(x)(则实数m的取值范围是855????，－－，2 A. B.????2 3e2ee????851????，－，－－－4e D. C. ????23e2e2????第Ⅱ卷分．把答案填在题中横线分，共204小题，每小题5二、填空题(本大题共)上这次考试考生的分数服从名高三学生参加了一次数学考试，．某校1 000132，估计这次考试分数不超0.7．若分数在(70,110]N(90，σ内的概率为)正态分布．70的人数为________过ππ??＋xA，过点轴交于点A＜14)的图象与x)＝2sinx＜(－2x．若函数14f(??48??→→→OA(OBC两点，O为坐标原点，则与函数f(x)的图象交于B＋OC)·、＝的直线l________.是等腰直角三角形，其斜边，△ABCABC的体积为215．已知三棱锥D-的体积OAD的中点，则球D-ABC的外接球的球心O恰好是＝AC2，且三棱锥．为________，3BC＝2AB，点D＝16．已知等腰三角形ABC满足ABAC为BC边上一点且AD＝BD，则tan∠ADB的值为________．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知等差数列{a}的公差为2，前n项和为S，且nn4 / 22S，S，S成等比数列．412(1)求数列{a}的通项公式；n4n1n－，求数列{b－1)}的前n项和T. (2)令b＝(nnn aa1nn＋18．(本小题满分12分)在如图所示的多面体ABCDEF中，⊥平面为直角梯形，平面ABCDABCD为正方形，底面ABFE11.＝AB＝BF90°∥BF，∠EAB＝，ABFE，AE 2 ；DB⊥EC(1)求证：的余弦值．EF-B＝AB，求二面角C-若(2)AEX个等级，等级系数某产品按行业生产标准分成812．(本小题满分分)19A已知甲厂执行标准B.X≥3为标准A依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准，生产该产品，产品的零B/件；乙厂执行标准生产该产品，产品的零售价为6元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．售价为4元X的概率分布列如下所示：(1)已知甲厂产品的等级系数187 6 X510.10.4 b Pa的值；a，b(X)＝6，求的数学期望且XE11件，30X，从该厂生产的产品中随机抽取为分析乙厂产品的等级系数(2)2相应的等级系数组成一个样本，数据如下：85565333 4 363475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X的2数学期望；(3)在(1)，(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．5 / 22产品的等级系数的数学期望注：①产品的“性价比”＝；产品的零售价②“性价比”大的产品更具可购买性．22yx＝：＋在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E20．(本小题满分12分)22ba222与椭圆my＝kx＋b)，圆O的一条切线＞0)，圆O：xl＋y：＝r＜(0r＜＞1(ab 两点．A，BE相交于1的方E，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆＝－，r＝1时，若点A(1)当k 2 程；之间的等量关系，b，r，探究若以AB为直径的圆经过坐标原点Oa，(2) 并说明理由．12.ln x－－a)x)已知函数f(x)＝xa＋(1分21．(本小题满分12 2 )的单调性；(1)讨论f(x ；a－x)＜f(a＋x)f(aa(2)设＞0，证明：当0＜x＜时，x＋x??21′的两个零点，证明：x)f设x，x是f(＞0. (3)??212??题中任选一题作答．如果多做，22、23(二)选考题：共10分．请考生在第则按所做的第一题计分．4：坐标系与参数方程)选修4－分22．(本小题满分102?t1＋x＝2?(t为参数)：在平面直角坐标系下，直线l，以原点O为极点，2?ty＝2以x轴的非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方0.＝4cos ρ程为－θ(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的值．6 / 2223．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f(x)＝|x－a|，a∈R.(1)当a＝5时，解不等式f(x)≤3；(2)当a＝1时，若?x∈R，使得不等式f(x－1)＋f(2x)≤1－2m成立，求实数m的取值范围．7 / 22高考理科数学模拟试题精编(二)班级：___________姓名：__________得分：____________题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案请在答题区域内答题二、填空本大题小题，每小分，2分．把答案填在中横线)13.________14._____15._____16._______三、解答7分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.本小题满1)18.(本小题满分12分)9 / 22题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第2请考生在2题计分．作答时请写清题号)(二高考理科数学模拟试题精编i.2＋i＝2－i.∴z＝1解析：．选B.z＝|(33i|－i)i|＋i＝|1＋－2 019x＜M∩N ＝{x|0＝|－1＜x＜1}，N{x|x＞0}，选2．解析：B.依题意得M＝{xB. ＜1}，选xx＞0.∵x＋＞y0，∴x＞1,0＜x＜1－，则x选3．解析：C.∵x＞1，－－－yyyyyy x－，从而x(＝6，∴x－x)＝4＋＝·2＝2，∴x＋2xx ＋x8，即xx－－－－yyy22y2y2yyy2y C.2，故选＝－y3bbtan 30°，＝依题意可得双曲线的渐近线方程为y＝±＝，C.4．解析：选x aa3b3b124c 2C. e故＝，离心率为＝1＝＋＝＝，选??2aa33a3??2甲、乙都抢到红包，则没有抢到红包的有丙、丁、戊三种情选C.5．解析：A44．36(种)3况，故甲、乙都抢到红包的情况有×＝A22由三视图知，该几何体是一个长方体的一半再截去一个三棱C.解析：选6．111，故选＝242)(534×534＝锥后得到的，该几何体的体积V×××－×××－22310 / 22C.作出不等式组．解析：选C.7?0≤－32x＋y??0y＋3≥3x－－((0,3)，B表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A??0y≤＋1x －2??1x2x＋y＝3＝??＜－1)＋，由0p，因为2×(得－，即C(1,1)，对于1,0)1??1y＝0＝－x2y＋115×2×1－＋2x－5y3＝0得到C排除1，故p是假命题，A；对于p，将(1,1)代入21，pp是真命题，排除D；对于－5y＋3＝0上，故，说明点＋3＝0C(1,1)在2x321－31C.是假命题，排除B，故选p因为＝1＞，故3302－时，π③当x是奇函数；x＝是偶函数；y＝xsin x②y＝xcos 选8．解析：D.①是非2·0；④y＝x时，且当|cos ，∴π＜0y＝xx|是奇函数，x＞0y≥＝－＝yπcos πx.奇非偶函数，故图象对应的函数序号为①④②③)＋3cos(2φx＝xfD.解析：9．选∵()sin(2＋)＋xφ＝11 / 22ππ??2x＋φ＋，∴将函数f(x)2sin的图象向左平移个单位长度后，得到函数解??34??ππ????x＋＋φ＋2＝＝2sin 析式为y???? 43????ππ????2x＋φ＋，02cos∵该图象关于点对称中心在函数图象上，对称，的图象．????32????ππ??2×＋φ＋∴2cos ??32??πππ5π??π＋φ＋＝2cos＝0，解得π＋φ＋＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z.∵??3623??πππππππ??????x＋－，－，，x，∵x∈＋∈，∴0＜φ＜π，∴φ＝，∴g(x)＝cos??????3366266??????πππ11??????x＋，1－，上的最小值是在.故选＋)＝∴coscos(x∈φ)，则函数g(x??????62262??????D.51510．解析：选C.a＝5，b＝2，当n＝1时，a＝5＋＝，b＝4；当n ＝2221515454545135时，a＝＋＝，b＝8；当n＝3时，a＝＋＝，b＝16；当n＝4时，244488135135405＋＝，b＝32＝；且a＜b，则输出的n等于4. a81616xxx??????222021x，x，x，，Q(a,2)，R(b,解析：11．选A.设点P2)．，A由，B??????210888??????xxx212120－－2?，yx＝88882?＝Q三点共线得由P，A，x－16x＋16＝0，x＝16.得x?2－2xy＝110x＋xxx＋16xx＋xxx?x＋x?x?x＋221xxa－x－x?11012210201100＝，a＝＝＝，同理b＝，ab＝8xxx＋x＋x＋xx＋x21000011x?x＋x?x?x＋x?101202→→＝ab＋4＝20，故选A. ×＝·xx＝16，OROQ21xxx＋x＋201012 / 2212.解析：选B.由f(x)≤0得(3x＋1)e＋mx≤0，即mx≤－(3x＋1)e，设＋＋11xx g(x)＝mx，h(x)＝－(3x＋1)e，则h′(x)＝＋1x得0)＞，由h′(x]＋(3x＋1)e＝－(3x＋4)e－[3e＋＋＋11xx1x4x，即＜0(3x＋4)′＜，由h(x)＜0得－－(3x＋4)＞0，即x344取得极大值．在同一平面直)(xx＝－时，函数h＞－，故当33 角坐标系中作出的整数x))≤h(的大致图象如图所示，当m≥0时，满足g(xy＝h(x)，y ＝g(x)的整数解只有两个，则x)≤h(＜m0时，要使g(x)解超过两个，不满足条件；当5?－m≥???m2－h?2?≥g?－2?5e ≥－2e－51???＜需满足，即，即m，即－≤2e8??m3－?h?－3＜g?3?8e＜－?＜－m－2?3e28 ，－3e285??，－－B.即实数m的取值范围是，故选??3e2e??2因90对称．则考试成绩的正态曲线关于直线ξ＝．13解析：记考试成绩为ξ，1，所以这0.150.7)＝110)＝×(1－＞(110)＝0.7，所以Pξ≤70)＝P(ξ＜为P(70ξ≤2150.0.15×＝次考试分数不超过70的人数为1 000150答案：恰为(6,0)，而A6x＝，即A(6,0)0(＜∵－14．解析：2＜x14，∴fx)＝的解为→→→→→＝函数f(x)图象的一个对称中心，∴B2OC ＋)OA＝OA·、C关于A对称，∴(OBOA13 / 22→OA2|36＝72. |＝2×272答案：ABCO到平面如图，设球15.解析：O的半径为R，球心的距ABC 到平面的距离为d，则由O是AD的中点得，点D12的＝××2，记×2×d＝2，解得d＝3ACV2离等于d，所以V＝2ABCABCD-O-23，即Rt△OO′A中，OA＝OO′′A＋O⊥平面中点为O′，则OO′ABC.在222104404 10π.×πRπ＝10＝的体积＋R＝d1＝10，所以球OV＝32223331040 π答案：3＝BCAB得，，由3BC＝2AC16．解析：如图，设AB＝＝a，AD＝＝BDb32 a.中，由余弦定理得，在△ABC3??a23＋aa－??ACBC－＋AB22233??222＝cos∠ABC＝＝，3BCAB×2×32a×2a×36＝cos∠ABC－∴∠. ABC是锐角，则sin∠ABC＝123，得ABD×BDbcos∠×AB中，由余弦定理在△ABDAD＝＋BD－2AB ×2222323＝a＋b－2×a×b×，解得a＝b.223314 / 22aABbADADB得＝，解得sin∠解法一：由正弦定理＝，6ADBABDsin∠ADBsin∠sin∠3122ADB，tan ∠1－sin＞a，∴∠ADB∠为锐角，∴cos∠ADB＝ADB＝＝，又2b 222332.＝2ab－－ABb＋＋ADBD1222222sin，∴＝＝＝解法二：由余弦定理得，cos∠ADB32bBDAD×2222 ADB ＝，∠ADB＝1－cos∠2322. ∠ADB＝tan答案：222×14×317．解：(1)因为S＝a，S＝2a＋×2＝2a＋2，S＝4a＋×2＝1111214224a＋12，由题意，得(2a＋2)＝a(4a＋12)，解得a ＝1，所以a＝2n－1，n∈n121111N.(4分)*4n4n＝(－1)＝(－1)－1)＝((2)由题意，可知b－－－nnnn11?aa－1??2n＋1?2n＋1nn11????＋) .(7分??1112＋－2nn??1111????111????????＋＋＋1＋－＝为偶数时，T＋－…＋n当????????n53312n－32nn＋21n－12－????????2n1) 分＝1＝－；(91＋2n2n＋11111????111????????＋＋1＋＋＋…－－当n为奇数时，T＝＋????????n53312n－2n－2n2－3n1＋1????????15 / 222n＋21)分＝.(11＝1＋1n＋＋122n?2＋2n?为奇数，，n 2n＋1＋?－1?12n＋－1n?(或所以T＝T＝)(12分)?.n为偶数，?1＋2n18．解：(1)解法一：∵连接nn1n＋2n2AC，∵平面ABCD⊥平面ABFE，∠EAB＝90°，∴AE⊥AB，(1分) 又平面ABCD∩平面ABFE＝AB，∴AE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴AE⊥BD.(3分)∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，又AE∩AC＝A，∴BD⊥平面AEC，EC?平面AEC，故BD⊥EC.(6分)解法二：因为底面ABFE为直角梯形，AE∥BF，∠EAB＝90°，所以AE⊥AB，BF⊥AB.因为平面ABCD⊥平面ABFE，平面ABCD∩平面ABFE⊥BF⊥平面ABCD，所以，AB，所以AE⊥平面ABCDBF＝)分BC.(3轴建立如图所示的zy，，BC所在的直线分别为x，BA设AE ＝t，以，BF→DB，故0)(1，t,，，C(0,0,1)D(1,0,1)，E(0,0,0)1,0＝(－，空间直角坐标系，则B→→→，所01＝1－＝1)，－－EC，－，－－DB1)，－－＝(1t,，因为·＝(1,01)·1)EC(1t,).(6⊥以DBEC分16 / 22AEKB，则四边形作EK⊥BF，垂足为K(2)解法一：过E11.＝1，知KF＝＝为正方形，故EK＝BK＝1，由ABF2＝KF＝1，∠EAB因为AE＝AB＝1，∠＝90°，故EBEKF＝2，因为EK＝)＝EF2.(8分90°，故.(9EF90°，即BE⊥因为EB＋EF＝(2)＋＝(2)＝4＝BF，所以∠BEF22222)分，＋2＝1＝1＋?52?＝3，在Rt△中，CBFCF在Rt△CBE中，CE ＝22CF，＋(2)＝5因为CE＋EF＝(＝3)22222.EFCEF＝90°，即CE⊥所以∠) 分故∠CEB为所求二面角的平面角，(11626.(12的余弦值为BEFCBE中，cos∠CEBC＝＝，即二面角--在Rt△333)分→BCy是平面＝(0,0,1)BEF的一个法向量，设n＝(x，，解法二：由(1)可知11→CE，故FE(1,1,0)，又(0,2,0)＝是平面z)CEF的法向量，因为AEAB＝1，所以1→CF1)，－，1)(0,2，－．(8分) ＝(1,1＝→) (9＝y可得)y(＝·由CEn(1,1，－1)·x，，z＝0x＋－z0，分111111→，，得＝z0＝－y可得＝)，y，(，－＝CF·由n(0,21)·xz02z，令2y1＝1111111)＝n，故＝1x(1,1,2)的一个法向量，CEF为平面(10分117 / 22→6n·BC2→的余弦值为-EFB-，BC〉＝＝＝，即二面角C所以cos 〈n3→6×1||BC|n|·6.(12分) 319．解：(1)E(X)＝5×0.4＋6a ＋7b＋8×0.1＝6，1即6a＋7b＝3.2，①(1分)又由X的概率分布列得0.4＋a＋b＋0.1＝1，a＋b＝0.5，②(2分) 1由①②得a＝0.3，b＝0.2.(4分)(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X 3 4 5 6 7 820.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1f)分(5X用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数2的概率分布列如下： 3 4 5 X 6 7 820.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1P)(6分) ＋×＋×＝)(所以EX30.340.25分＝×＋0.1×＋×＋0.2×60.1780.14.8.(72) 4.8.(8的数学期望为即乙厂产品的等级系数X分2 (3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：6件，所以其性价比为，价格为6甲厂产品的等级系数的数学期望等于6/元6)1＝(9，分18 / 22所以其性价比为件，4元/乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4.8) ，(10分1.2＝4) 据此，乙厂的产品更具可购买性．(12分|m| 20．解：(1)∵直线l与圆Or相切，∴＝1k＋251.，解得|＝m由k＝－，r＝|12251)，(2y∵点A，B都在坐标轴的正半轴上，∴l：分＝－x＋225??5的E，b＝∴切线l与坐标轴的交点为，，∴椭圆(5，0)，∴a＝5，0??22??x4y22方程是＋＝1.(4分)55(2)设A(x，y)，B(x，y)．2121→→＝0，即xx＋yy＝0. ∵以AB为直径的圆经过点·O，∴OAOB1212?m＋y＝kx11?，l上，∴∵点A，B在直线?mkx＋y＝22∴(1＋k)xx＋mk(x＋x)＋m＝0.(*)(6分) 212122?m＋＝kxy??，消去y，得bx＋a(kx＋2kmx＋由m)－ab＝0，即(b＋yx22222222222?1＋＝?ba22ak)x＋2kmax＋(am－ab)＝0. 22222222－2kmaam－ab22222显然Δ＞0，x＋x＝，xx＝，(8分)2211b＋akb＋ak22222219 / 22代入(*)式，得am＋amk－ab－abk－2kma＋mb＋akm222222222222222222＝kab＋222kabab－m?a＋b?－22222222)分k＝0.(10a)－ab－b＝0，即m(a＋b22222222kb＋a222111.＝)，∴＋ab(1＋k，∴(1＋k)(a＋b)r＝r又由(1)，知m＝(1＋k) 2222222222rba222111)分＝.(12b，r满足＋故a，rab222．∞))的定义域为(0，＋．21解：(1)f(x?－a??x＋1x1－a?x－a?x＋?a2) .(2分a－＝＝(x)＝x＋1－由已知，得f′xxx )上单调递增．(0，＋∞0，此时f(x)在f若a≤0，则′(x)＞时，a；当x＞′(x)＜0x，得＝a.当0＜x＜a时，ff若a＞0，则由′(x)＝00.＞(x)f′) 分上单调递增．(4(a，＋∞)(此时fx)在(0，a)上单调递减，在)，则(a－xf)＝f(a＋x)－(2)证明：令g(x1 －＋x)ln(＋x)－aaaag(x)＝(＋x)＋(1－)(a221???－x?－alna???＋?1－aa－x?x?a－??22??＝2x－aln(a＋x)＋aln(a－x)．(6分)－2xaa2∴g′(x)＝2－－＝.x－aaa＋x－x2220 / 22在(0，a)上是减函数．)a时，g′(x＜0，∴g(x)当0＜x＜) (8分x)．时，f(a＋x)＜f(a－＜g而(0)＝0，∴g(x)＜g(0)＝0.故当0x＜a，从而0至多有一个零点，故a＞x(3)证明：由(1)可知，当a≤0时，函数f()) 分)＜0.(10x)的最小值为f(a)，且f(af(. x＜ax＜a＜x，∴0＜a－，则不妨设0＜x＜x0＜11122 )．(x)＝0＝f(xf由(2)，得f(2a－x)＝(a＋a－x)＜f2111xx＋21.ax从而＞2a－x，于是＞122??xx＋??21)(1)知，f′分＞0.(12由??2??) －1＝0，(2分22．解：(1)直线l的普通方程为x－y ，x4＝0－ρ4ρcos θ＝0，则x＋y－ρ由－4cos θ＝0，得222，y＝4即(x－2)＋22)＝4.(5分即曲线C的直角坐标方程为(x－2)＋y22????22，4＋(2)把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得＝t－1t????2222????)(8分t＝|t，，则|AB|－＝30，设方程t－2t3＝0的两根分别为tt即－2t －12212－4tt＝14.(10分?－t|＝t＋t?)22212123．解：(1)当a＝5时，原不等式等价于|x－5|≤3，即－3≤x－5≤3?2≤x≤8，所以解集为{x|2≤x≤8}．(4分)21 / 22(2)当a＝1时，f(x)＝|x－1|.1?，≤＋3，x－3x2??1 1|＝－2|＋|2x－|－x)＝f(x1)＋f(2x)＝xg令(，＜2＋1，＜xx2??，≥2－3，x3x作出其图象，如图所示，(6分)31)取得最小值分.(8x＝(时，gx)由图象，易知2213的取值m≤－，所以实数m－由题意，知≤12m?范围42为1??，－－∞).(10分??4??22 / 22。

2019年全国百所名校联盟高考模拟试卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数2i1iz =+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．3 B ．2 CD【答案】D2．已知集合{}220A x x x =∈-≥R ，{}2210B x x x =∈--=R ，则()A B =R I ð（ ）A ．∅B ．12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．{}1D ．1 12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，【答案】C3．已知椭圆2222:1y x E a b +=（0a b >>）经过点)A，()0 3B ，，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．23BC ．49D ．59【答案】A4．已知111 2 3 23α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，，，，，若()f x x α=为奇函数，且在()0 +∞，上单调递增，则实数α的值是（ ）A ．1-，3B ．13，3C ．1-，13，3D ．13，12，3【答案】B5．若l m ，为两条不同的直线，α为平面，且l α⊥，则“//m α”是“m l ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A6．已知()()*12nx n -∈N 展开式中3x 的系数为80-，则展开式中所有项的二项式系数之和为（ ）A ．64B ．32C ．1D ．1-【答案】B7．已知非零实数a ，b 满足a a b b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．33a b > B ．22a b >C ．11a b< D ．1122log log a b <【答案】A8．运行如图所示的程序框图，若输出的s 值为10-，则判断框内的条件应该是（ ） A ．3?k <B ．4?k <C ．5?k <D ．6?k <【答案】C9．若正项等比数列{}n a 满足()2*12n n n a a n +=∈N ，则65a a -的值是（ ） AB．-C ．2D．【答案】D10．如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（ ）A ．24B ．48C ．96D ．120【答案】C11．我国古代《九章算术》将上下两面为平行矩形的六面体称为刍童．如图所示为一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A．B ．40C．16+D．16+【答案】D12．已知函数()22f x x x a =---有零点1x ，2x ，函数()2(1)2g x x a x =-+-有零点3x ，4x ，且3142x x x x <<<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．924⎛⎫-- ⎪⎝⎭，B ．9 04⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．()20-，D ．()1 +∞，【答案】C第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若实数x ，y 满足条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最大值为___________．【答案】414．已知()OA =uu r，()0 2OB =u u u r ，，AC t AB =uuu r uu u r ，t ∈R ，当OC uuu r 最小时，t =___________． 【答案】3415．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若45A =︒，2sin sin 2sin b B c C a A -=，且ABC △的面积等于3，则b =___________． 【答案】316．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项的和为n S，若数列也是公差为d 的等差数列，则=n a ___________．【答案】1n a =-或1524n a n =-三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数()1πcos cos 223f x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 图象的对称轴方程； （2）将函数()f x 图象向右平移π4个单位，所得图象对应的函数为()g x ．当π0 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数()g x 的值域．【答案】（1）ππ32k x =+，k ∈Z ；（2）12⎡-⎢⎣⎦．【解析】（1）()1π11πcos cos 22cos 2sin 223426f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 令ππ2π62x k -=+，k ∈Z ，解得ππ32k x =+． ∴函数()f x 图象的对称轴方程为ππ32k x =+，k ∈Z ．…………………………5分 （2）易知()12πsin 223g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∵π0 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴2π2ππ2 333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，∴2πsin 213x ⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴()12π1sin 2232g x x ⎡⎛⎫=-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，即当π0 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()g x的值域为12⎡-⎢⎣⎦．…………………………12分 18．（本小题满分12分）2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行．4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行．为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：（1（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取12人参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动． （i ）问男、女学生各选取了多少人？（ii ）若从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的3人中女生人数为X ，写出X 的分布列，并求()E X ． 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【解析】（1）因为()22120602020207.5 6.63580408040K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关．………………………5分 （2）（i ）根据分层抽样方法得，男生31294⨯=人，女生11234⨯=人，所以选取的12人中，男生有9人，女生有3人．………………………8分 （ii ）由题意可知，X 的可能取值有0，1，2，3．()3093312C C 840220C P X ===，()2193312C C 1081220C P X ===，()1293312C C 272220C P X ===，()0393312C C 13220C P X ===，∴X 的分布列是：∴()8401232202202202204E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………12分19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE 中，平面ABD ⊥平面ABC ，ABAC ⊥，AE BD ⊥，12DE AC ∥＝，1AD BD ==． （1）求AB 的长；（2）已知24AC ≤≤，求点E 到平面BCD 的距离的最大值．EDCBA【答案】（1（2【解析】（1）∵平面ABD ⊥平面ABC ，且交线为AB ，而AC AB ⊥，∴AC ⊥平面ABD ． 又∵DE AC ∥，∴DE ⊥平面ABD ，从而DE BD ⊥． 注意到BD AE ⊥，且DE AE E =，∴BD ⊥平面ADE ，于是BD AD ⊥．而1AD BD ==，∴AB (5)分 （2）∵AD BD =，取AB 的中点为O ，∴DO AB ⊥． 又∵平面ABD ⊥平面ABC，∴DO ⊥平面ABC ．过O 作直线OY AC ∥，以点O 为坐标原点，直线OB ，OY ，OD分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示．记2AC a =，则12a ≤≤， 0 0A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 0 0B ⎫⎪⎪⎝⎭， 2 0C a ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，，0 0D ⎛ ⎝⎭，0E a ⎛- ⎝⎭，， ()0BC a=，， 0BD ⎛=- ⎝⎭． 令平面BCD 的一个法向量为()x y z =，，n ．由00BC BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得200ay⎧+=⎪⎨=⎪⎩．令x =，得1a=，n ． 又∵()0 0DE a =-，，，∴点E 到平面BCD 的距离||DE d ⋅==nn∵12a ≤≤，∴当2a =时，d 取得最大值，max d ．………………………12分20．（本小题满分12分）已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，以抛物线上一动点M 为圆心的圆经过点F ．若圆M 的面积最小值为π． （1）求p 的值；（2）当点M 的横坐标为1且位于第一象限时，过M 作抛物线的两条弦MA ，MB ，且满足AM F BM F ∠=∠．若直线AB 恰好与圆M 相切，求直线AB 的方程．【答案】（1）2；（2）3y x =-+-【解析】（1）由抛物线的性质知，当圆心M 位于抛物线的顶点时，圆M 的面积最小， 此时圆的半径为2p OF =，∴2ππ4P =，解得2p =．……………………4分（2）依题意得，点M 的坐标为()12，，圆M 的半径为2． 由()10F ，知，MF x ⊥轴．由AM F BM F ∠=∠知，弦MA ，MB 所在直线的倾斜角互补，∴0MA MB k k +=． 设MA k k =（0k ≠），则直线MA 的方程为()12y k x =-+，∴()121x y k=-+， 代入抛物线的方程得，()21421y y k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴24840y y k k -+-=，∴42A y k +=，42A y k=-． 将k 换成k -，得42B y k=--，∴22441444A B AB AB A B A B A B y y y y k x x y y y y --=====--+--．设直线AB 的方程为y x m =-+，即0x y m +-=． 由直线AB 与圆M 2=，解得3m =±经检验3m =+3m =+∴所求直线AB的方程为3y x =-+-……………………12分 21．（本小题满分12分）已知函数()21e 2x f x x ax =--有两个极值点1x ，2x （e 为自然对数的底数）．（1）求实数a 的取值范围； （2）求证：()()122f x f x +>． 【答案】（1）()1 +∞，；（2）见解析． 【解析】（1）∵()21e 2x f x x ax =--，∴()e x f x x a '=--．设()e x g x x a =--，则()e 1x g x '=-． 令()e 10x g x '=-=，解得0x =．∴当() 0x ∈-∞，时，()0g x '<；当()0x ∈+∞，时，()0g x '>． ∴()()min 01g x g a ==-．当1a ≤时，()()0g x f x '=≥，∴函数()f x 单调递增，没有极值点；当1a >时，()010g a =-<，且当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞． ∴当1a >时，()()e x g x f x x a '==--有两个零点12x x ，． 不妨设12x x <，则120x x <<．∴当函数()f x 有两个极值点时，a 的取值范围为()1 +∞，．…………………5分 （2）由（1）知，1x ，2x 为()0g x =的两个实数根，120x x <<，()g x 在() 0-∞，上单调递减． 下面先证120x x <-<，只需证()()210g x g x -<=．∵()222e 0x g x x a =--=，得22e x a x =-，∴()222222e e e 2x x x g x x a x ---=+-=-+．设()e e 2x x h x x -=-+，0x >， 则()1e 20ex xh x '=--+<，∴()h x 在()0 +∞，上单调递减， ∴()()00h x h <=，∴()()220h x g x =-<，∴120x x <-<． ∵函数()f x 在()1 0x ，上单调递减，∴()()12f x f x >-． ∴要证()()122f x f x +>，只需证()()222f x f x -+>，即证2222e e20x x x -+-->．设函数()2e e 2xxk x x -=+--，()0x ∈+∞，，则()e e 2x x k x x -'=--． 设()()e e 2x x x k x x ϕ-'==--，则()e e 20x x x ϕ-'=+->， ∴()x ϕ在()0+∞，上单调递增，∴()()00x ϕϕ>=，即()0k x '>． ∴()k x 在()0+∞，上单调递增，∴()()00k x k >=． ∴当()0x ∈+∞，时，2e e 20x x x -+-->，则2222e e 20x x x -+-->， ∴()()222f x f x -+>，∴()()122f x f x +>．………………………12分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为 ()()22215x y -+-=．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 及圆C 的极坐标方程；（2）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求cos AOB ∠的值． 【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）由直线l的参数方程11x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得，其普通方程为2y x =+， ∴直线l 的极坐标方程为sin cos 2ρθρθ=+． 又∵圆C 的方程为()()22215x y -+-=， 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得4cos 2sin ρθθ=+，∴圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+．……………………5分 （2）将直线l ：sin cos 2ρθρθ=+，与圆C ：4cos 2sin ρθθ=+联立，得()()4cos 2sin sin cos 2θθθθ+-=，整理得2sin cos 3cos θθθ=，∴π2θ=或tan 3θ=． 不妨记点A 对应的极角为π2，点B 对应的极角为θ，且tan =3θ．于是πcos cos sin 2AOB θθ⎛⎫∠=-== ⎪⎝⎭……………………10分23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()13f x x x =-+-． （1）解不等式()1f x x ≤+；（2）设函数()f x 的最小值为c ，实数a b ，满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a b a b +≥++．【答案】（1）[]1 5，；（2）见解析．【解析】（1）()1f x x ≤+，即131x x x -+-≤+． ①当1x <时，不等式可化为421x x -≤+，1x ≥． 又∵1x <，∴x ∈∅；②当13x ≤≤时，不等式可化为21x ≤+，1x ≥． 又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤．③当3x >时，不等式可化为241x x -≤+，5x ≤． 又∵3x >，∴35x <≤．综上所得，13x ≤≤或35x <≤，即15x ≤≤． ∴原不等式的解集为[]1 5，．…………………5分（2）由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=， ∴2c =，即2a b +=．令1a m +=，1b n +=，则1m >，1n >，1a m =-，1b n =-，4m n +=，()()2222211114441112m n a b m n a b m n m n mn m n --+=+=+++-=≥=+++⎛⎫ ⎪⎝⎭，当且仅当2m n ==时取等号， 原不等式得证．…………………10分2019年全国百所名校联盟高考模拟试卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（二）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南昌一模]已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部，则a =（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．12．[2019·梅州质检]已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B I 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．[2019·菏泽一模]已知向量()1,1=-a ，()2,3=-b ，且()m ⊥+a a b ，则m =（ ） A ．25B ．25-C ．0D ．154．[2019·台州期末]已知圆C ：()()22128x y -+-=，则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为（ ） A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=5．[2019·东北三校]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种6．[2019·汕尾质检]边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．π9B ．π3C ．π6D ．π187．[2019合肥质检]将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()g x 的周期是π2C ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是18．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．0B ．12C ．1D ．1-9．[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20︒︒-=︒（ ）A ．3B ．1C 3D ．210．[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且为偶函数．若()21f =-，则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．[]1,3C ．[]3,5D ．[]2,2-11．[2019·陕西联考]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．512．[2019·临川一中]若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>；②()()ln 0e f x x x =<<；③()cos f x x =；④()21f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·江门一模]已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC △的面积，若8a =，5b =，S =，则c =_________．14．[2019·景山中学]已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示不重合平面． ①若a αβ=I ，b α⊂，a b ⊥，则αβ⊥；②若a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，则αβ⊥； ③若αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥；④若a α⊥，b β⊥，a b ∥，则αβ∥．上述命题中，正确命题的序号是__________．15．[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）16．[2019·河南联考]若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ，则实数m =________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n S n a 与1n a +的等比中项，其中*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．18．（12分）[2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件，记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X ，求X 的分布列与数学期望．19．（12分）[2019·淄博模拟]如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，1AB =，3CD =，2AP =，23DP =，60PAD ∠=︒，AB ⊥平面PAD ，点M 在棱PC 上．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若直线PA ∥平面MBD ，求此时直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值．20．（12分）[2019·泰安期末]已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的线段长为2．（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且AFM OFN ∠=∠．证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）[2019·衡水中学]已知函数()23ln f x x ax x =+-，a ∈R ． （1）当13a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）令函数()()2x x f x ϕ'=，若函数()x ϕ的最小值为32-，求实数a 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·揭阳一模]以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a ∈R ，a 为常数）），过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足32x t =+，（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t ．求t 的值；若实数a ，b 满足2222a b t +=，求221112a b +++的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】∵()2i i i 1i 2i 2i 22a a a z -++===--的实部等于虚部，∴122a=-，即1a =-．故选C ． 2．【答案】A【解析】由题意，集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =， ∴{}8,14A B =I ，∴集合A B I 中元素的个数为2．故选A ． 3．【答案】A【解析】()()()1,12,312,31m m m m m +=-+-=--a b ，结合向量垂直判定，建立方程，可得12310m m --+=，解得25m =，故选A ． 4．【答案】B【解析】根据题意，圆C ：()()22128x y -+-=，P 的坐标为()3,0， 则有()()2231028-+-=，则P 在圆C 上，此时20113CP K -==--，则切线的斜率1k =， 则切线的方程为3y x =-，即30x y --=，故选B ． 5．【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11210C C 20⋅=，若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11310C C 30⋅=，∴共有203050+=种．故选B ． 6．【答案】A【解析】 侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，圆锥的高为1，底面半径为1， 俯视图是扇形，圆心角为2π3，几何体的体积为112ππ113239⨯⨯⨯⨯=．故选A ．7．【答案】C【解析】将函数()f x 横坐标缩短到原来的12后，得到()π2sin 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π12x =-时，π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故选项A 错误；周期2ππ2T ==，故选项B 错误； 当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,，∴函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故选项C 正确；∵函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()π16g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值，故选项D 错误．故选C ．8．【答案】A【解析】第一次循环，1k =，cos01S ==，112k =+=，4k >不成立； 第二次循环，2k =，π131cos 1322S =+=+=，213k =+=，4k >不成立； 第三次循环，3k =，32π31cos 12322S =+=-=，314k =+=，4k >不成立； 第四次循环，4k =，1cos π110S =+=-=，415k =+=，4k >成立， 退出循环，输出0S =，故选A ． 9．【答案】C 【解析】∵()2sin 6020cos702sin80cos70cos20cos20︒+︒︒-︒-︒=︒︒2sin 60cos202cos60sin 20cos70cos20︒︒+︒︒-︒=︒2sin 60cos20sin 20cos70cos20︒︒+︒-︒=︒2sin 60cos202sin 603cos20︒︒==︒=︒．故选C ．10．【答案】A【解析】∵函数()f x 为偶函数，∴()()312f x f -≥-=等价于()()32f x f -≥， ∵函数()f x 在[)0,+∞单调递减，∴32x -≤，232x -≤-≤，15x ≤≤，故选A ． 11．【答案】C【解析】()2,0F c ，直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线， 可得2F 到渐近线的距离为222F P b b a ==+，即有22OP c b a =-=，由OP 为12MF F △的中位线，可得122MF OP a ==，22MF b =，可得212MF MF a -=，即为222b a a -=，即2b a =，可得221145c b e a a==+=+=．故选C ．12．【答案】B【解析】由柯西不等式得：对任意实数1x ，1y ，2x ，2y ，2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立， （当且仅当1221x y x y =取等号）若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，使得OA u u u r，OB u u u r 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点： 对于①，方程()10kx x x x=+>，即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在； 对于②，，由图可知不存在；对于③，，由图可知存在；对于④，，由图可知存在，∴“柯西函数”的个数为2，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到1sin sin 2S ab C C =⨯⇒=∵三角形为锐角三角形，故得到角C 为π3，再由余弦定理得到222π1cos 7322a b c c ab+-==⇒=．故答案为7．14．【答案】②④【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确， 对于②，a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到αβ⊥， 又a α⊂，则αβ⊥，故正确，对于③，αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥或a b ∥，或相交，故不正确， 对于④，可以证明αβ∥，故正确． 故答案为②④． 15．【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视； 由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音， 故答案为影视配音． 16．【答案】12【解析】曲线eln y x =的导数为e'y x=，曲线2y mx =的导数为2y mx '=，由e2mx x =，0x >且0m >，得x =e 2⎫⎪⎪⎭，代入eln y x =得e 2=，解得12m =，故答案为12．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）n a n =；（2）见解析．【解析】（1）∵2n S 是n a 与1n a +的等比中项，∴()221n n n n n S a a a a =+=+， 当1n =时，21112a a a =+，∴11a =．当2n ≥时，22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=． 又0n a >，∴()112n n a a n --=≥，即数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴()()1111n a a n d n n =+-=+-=． （2）()()()1121111111n n n n b n n n n +++⎛⎫=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭，∴21232111111111122334212221n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L11121n =-<+． 18．【答案】（1）0.05；（2）见解析．【解析】（1）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ． 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =． ∴这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率为0.05．（2）从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复实验， ∴X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（1）得，区间[]45,75内的频率为0.30.20.10.6++=， 将频率视为概率得0.6p =．∵X 的所有可能取值为0，1，2，3，且()00330C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，()11231C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，()22132C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，()33033C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．∴X 的分布列为：X P0.0640.2880.4320.216X 服从二项分布(),B n p ，∴X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．19．【答案】（1）见解析；（2219565【解析】（1）∵AB ⊥平面PAD ，∴AB DP ⊥，又∵23DP=，2AP=，60PAD∠=︒，由sin sinPD PAPAD PDA=∠∠，可得1sin2PDA∠=，∴30PDA∠=︒，90APD∠=︒，即DP AP⊥，∵AB AP A=I，∴DP⊥平面PAB，∵DP⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD；（2）以点A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，如图所示，建立空间直角坐标系，其中()0,0,0A，()0,0,1B，()0,4,3C，()0,4,0D，)3,1,0P．从而()0,4,1BD=-u u u r，)3,1,0AP=u u u r，()3,3,3PC=-u u u r，设PM PCλ=u u u u r u u u r，从而得()33,31,3Mλλλ+，()33,31,31BMλλλ=+-u u u u r，设平面MBD的法向量为(),,x y z=n，若直线PA∥平面MBD，满足BMBDAP⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩u u u u ru u u ru u u rnnn，即)()()31313104030x y zy zx yλλλ-+++-=-=⎨+=，得14λ=，取()3,3,12=--n，且()3,1,1BP=-u u u r，直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于33122sin195651565BPBPθ⋅-+===⨯⋅u u u ru u u rnn20．【答案】（1）2212xy+=；（2）直线l过定点()2,0．【解析】（1）由题意可知，抛物线2C的准线方程为1x=，又椭圆1C2，∴点2⎛⎝⎭在椭圆上，∴221112a b+=，①又2cea==，∴222212a bea-==，∴222a b=，②，由①②联立，解得22a=，21b=，∴椭圆1C的标准方程为2212xy+=．（2）设直线:l y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222214220k x km m +++-=，()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22210k m -+>，∴122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，∵111FM y k x =+，221FN yk x =+，M 、N 都在x 轴上方，且AFM OFN ∠=∠，∴FM FN k k =-，∴121211y yx x =-++，即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++， 整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=，∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫⋅++-+= ⎪++⎝⎭，即22224444420km k k m km k m m ---++=，整理可得2m k =， ∴直线l 为()22y kx k k x =+=+，∴直线l 过定点()2,0． 21．【答案】（1）见解析；（2）56-．【解析】（1）13a =-时，()2ln f x x x x =--，则()()()221121x x x x f x x x +---'==， 令()'0f x =，解得12x =-或1x =，而0x >，故1x =，则当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在区间内递减， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在区间内递增． （2）由()23ln f x x ax x =+-，()123f x x a x'=+-， 则()()23223x x f x x ax x ϕ'==+-，故()2661x x ax ϕ'=+-， 又()()264610a ∆=-⨯⨯->，故方程()0x ϕ'=有2个不同的实根，不妨记为1x ，2x ，且12x x <， 又∵12106x x =-<，故120x x <<，当()20,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增， 故()()322222min 23x x x ax x ϕϕ==+-，①又()20x ϕ'=，∴2226610x ax +-=，即222166x a x -=，②将222166x a x -=代入式，得2222222222222233316112323622x x x x x x x x x x x -+⋅⋅-=+--=--， 由题意得3221322x x --=-，即322230x x +-=，即()()222212230x x x -++=，解得21x =， 将21x =代入式中，得56a =-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）222x y a -=，3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）；（2）2a =±，432． 【解析】（1）由22cos 2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=， ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为)321y x =-+， 由32x =得112y t =+，∴直线l 的参数方程为3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）． （2）将3212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入222x y a -=，得()()222231230t t a ++-=， 依题意知()()222231830a ∆⎡⎤=-->⎣⎦，则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、对应的参数，∵()21223t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得122t t ⋅=， ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即()2232a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±， ∵1212PA PB t t t t -=-=+，又()122231t t +=-， ∴432PA PB -=． 23．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，故当1x =-时，函数()f x 有最小值2，∴2t =． （2）由（1）可知22222a b +=，故22124a b +++=，∴2222222222212111112121121244b a a b a b a b a b +++++++⎛⎫+++=+⋅=≥ ⎪++++⎝⎭， 当且仅当22122a b +=+=，即21a =，20b =时等号成立，故221112a b +++的最小值为1．。