天津南开区2015届高三一模数学(文)试题WORD版含答案

天津市五区县2015年高三质量调查试卷（一）数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题（1~4）ACBC （5~8） DDBA 二、填空题 （9）3（10）83（11）116（12）(1,2)-（13）1()sin()26g x x π=+（14）1(,1)e或a =0 三、解答题（15）解：（I ）在[50,60)内的频数为8，则80.16n=，即50n =.…………………2分 210.0045010y =⨯=，0.10.040.0160.010.0040.03x =----=. ……6分 （II ）由（I ）知，在[80,90)之间的有5人，分别记为12345,,,,A A A A A ，[90,100]之间的2人，分别记为12,B B .……………………………8分从[80,100]中随机抽取2人的基本事件空间Ω={121314151112,,,,,A A A A A A A A A B A B ，232425212234353132454142515212,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ,}，共21个基本事件. ……………………………10分设事件A =“抽取的2名学生中至少有一人得分在[90,100]”，则A 所包含的基本事件为：1121314151122232425212,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B B B 共有11个，………12分所求事件的概率为1121P =.……………………………13分 （16）解：（I ）由正弦定理得2cos cos sin 2sin cos sin --=C A A CB B，…………2分 即cos sin 2cos sin 2sin cos sin cos -=-A B C B C B A B ，所以cos sin sin cos 2sin cos 2cos sin +=+A B A B C B C B ，sin()2sin()+=+A B C B ，…5分而A B C π++=，则sin 2sin =C A ，即sin 2sin =C A ，所以2=ca. ………………7分 （II ）因为2=c a 及2cos 3B =，所以222222272cos 5433b ac ac B a a a =+-=-⋅=，即b =，……………………………10分 因为在ABC ∆中2cos 3B =，则sin B =，由21sin 2∆===ABC S ac B a 求得2=a，所以6b =分 （17）解：（I ）∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，AB BC ⊥，CB ⊂平面ABCD ，平面ABCD 平面ABEF =AB ，∴CB ⊥平面ABEF .…………2分∵AF ⊂平面ABEF ，∴CB ⊥AF . 又∵AF BF ⊥，CB BF =B ，CB ⊂平面CBF ，BF ⊂平面CBF ， ∴AF ⊥平面CBF . …………4分（II ）设DF 的中点为N ，连接MN ，则MN ∥CD ，MN =12CD . 又∵AO ∥CD ，AO =12CD ，∴MN ∥AO ，MN =AO ，∴MNAO 为平行四边形，∴OM ∥AN ………6分又∵AN ⊂平面DAF ，OM ⊄平面DAF ，∴OM ∥平面DAF .…………8分 （III ）因为AF ⊥平面CBF ，ABEF 为梯形，且AB ⊥CB ，BF 是AB 在平面CBF 内的射影，故BF ⊥CB ，ABF ∠为二面角D BC F --的平面角，故ABF ∠=60.……9分又因为AB =2，所以1BF EF ==且BFE ∠=60，故BFE∆为等边三角形，取BF 的中点H ，连接EH ，MH ，由（I ）知CB ⊥平面ABEF ，CB ⊂平面CBF ，故平面CBF ⊥平面ABEF ，所以EH⊥平面CBF ，MH 为直线EM 在平面CBF 上的射影，所以EMH ∠为直线EM 与平面CBF 所成的角， …………11分在Rt EMH∆中，2EH =，1122MH BC ==，tan EH EMH MH∠==，故直线EM 与平面CBF 分 （18）解：（I ）设l 的方程为1(1)2-=-y k x，即22120-+-=kx y k ；………1分=，解得12=-k ，即:220+-=l x y (4)分令0=x ，得1=y ；令0=y ，得2=x ，即2,1a b ==，所以椭圆1C 的方程为2214x y +=.………7分 （II ）两椭圆的离心率相等，且2C 以1C 的长轴为短轴，则2C ：221416x y +=.……9分因为2OB OA =，即,,O A B 三点共线，而且直线AB 的斜率k 存在，其方程设为y kx =（0k ≠），并设1122(,),(,)A x y B x y ，将y kx =分别代入2214x y +=与221416x y +=可得，221222416,144x x k k ==++；………11分 又2OB OA =，所以22214x x =，解得21k =，1k =-或1k =，从而直线AB 的方程为y x =或y x =-.………13分（19）解：（I ）因为()[1(1ln )]ln f x a x a x '=-+=-，令()0f x '=，得1x =. …2分（1）当0a >时，令()0f x '>，得01x <<，()f x 单调递增；令()0f x '<，得1x >，()f x 单调递减.（2）当0a <时，令()0f x '>，得1x >，()f x 单调递增；令()0f x '<，得01x <<，()f x 单调递减. ………6分综上：0a >时，函数()f x 的单增区间为(0,1)，单减区间为(1,)+∞；0a <时，函数()f x 的单增区间为(1,)+∞，单减区间为(0,1). ………7分（II ）因为()1e (1)ln xf x a x x >---，0x >，所以1e ln x a x x->+恒成立. (9)分令1e ()ln x h x x x -=+，则2(1e )(1)()x x h x x--'=，因为0x >，1e 0x-<，所以01x <<时，()0h x '>，1x >时，()0h x '<.即函数()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减.故max ()(1)1e h x h ==-，只需要1e a >-. ………12分又因为0a ≠，所以实数a 的取值范围是(,0)(,)1e 0-+∞. ………14分（20）解：（I ）在4(21)1n n S n a =++（n *∈N ）中，令1n =有11431a a =+，解得11a =.………………………………2分当2n ≥时，有11(21)1(21)144n n n n n n a n a a S S --++-+=-=-， …………4分 整理得12123n n a n a n --=-，…………5分 从而1211212123312123251n n n n n a a a n n a a n a a a n n -----=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=---. ………7分 当1n =时，11a =符合21n a n =-，所求通项公式为21n a n =-. …8分（II ）由()1n n n n n b a a =+得1(21)()2n n b n =-.………………………………9分 则()()23111111135232122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由此得()()23411111111352321222222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减可得()231111111*********n n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()21111112222112212n n n ++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+-- ⎪⎝⎭-()1312322n n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭………………………………………………11分所以()13232nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.…………………………………………………………12分()()1111251112325230222222n n n nn n n T T n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=+-=+> ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以{n T }为递增数列，所以当1n =时，n T 最小，最小值为12. ………………14分。

2015年天津市南开中学高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂在答题卡上!）1．复数（其中i为虚数单位）的虚部等于（）A．﹣i B．﹣1 C．1 D．02．设集合A={x|x＞2}，若m=lne e（e为自然对数底），则（）A．∅∈A B．m∉A C．m∈A D．A⊆{x|x＞m}3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（）A．7 B．6 C．5 D．44．在等差数列{a n}中，若a2+a3=4，a4+a5=6，则a9+a10=（）A．9 B．10 C．11 D．125．“a＞3”是“函数f（x）=ax+3在（﹣1，2）上存在零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知向量=（3，﹣2），=（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（）A．B．C．8 D．247．在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②8．已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，如果双曲线上存在一点P，使得F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A．e＞B．1＜e＜C．e＞D．1＜e＜二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上!）9．公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8：15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为．10．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x•4y的最大值为．11．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于m．12．如图，P为圆O外一点，由P引圆O的切线PA与圆O切于A点，引圆O的割线PB与圆O交于C点．已知AB⊥AC，PA=2，PC=1，则圆O的面积为．13．已知，，点C在∠AOB内，∠AOC=45°，设，则= ．14．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．其中甲班有一个数据被污损．（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．16．已知函数（其中ω＞0）的周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象．求函数g（x）在上的单调区间．17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．18．已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+2+2=4a n+1﹣a n（n∈N*），且a1=1，a2=4．（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设b n=的前项n和为S n，求证：S n＜1．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，|AB|+|CD|=3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．20．已知函数f（x）=lnx+，g（x）=x﹣2m，其中m∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）对∀x∈[，1]，是否存在m∈（，1），使得f（x）＞g（x）+1成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设F（x）=f（x）g（x），当m∈（，1）时，若函数F（x）存在a，b，c三个零点，且a＜b＜c，求证：0＜a＜＜b＜1＜c．2015年天津市南开中学高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂在答题卡上!）1．复数（其中i为虚数单位）的虚部等于（）A．﹣i B．﹣1 C．1 D．0【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】两个复数的商的乘方，等于被除数的乘方，除以除数的乘方．【解答】解：由于，所以虚部为﹣1，故选 B．【点评】本题主要考查复数代数形式的混合运算，属于基础题．2．设集合A={x|x＞2}，若m=lne e（e为自然对数底），则（）A．∅∈A B．m∉A C．m∈A D．A⊆{x|x＞m}【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】先求出m的值，从而判断出m属于结合A．【解答】解：∵m=elne=e，∴m∈A，故选：C．【点评】本题考查了集合和运算的关系的判断，是一道基础题．3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（）A．7 B．6 C．5 D．4【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=2059时，不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，S=0满足条件S＜100，S=1，k=1满足条件S＜100，S=1+2=3，k=2满足条件S＜100，S=3+8=11，k=3满足条件S＜100，S=11+2048=2059，k=4不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为4．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查．4．在等差数列{a n}中，若a2+a3=4，a4+a5=6，则a9+a10=（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】设出此等差数列的公差为d，利用等差数列的通项公式化简已知的两等式，得到关于a1与d的方程组，求出方程组的解得到a1与d的值，然后再利用等差数列的通项公式化简所求的式子，将a1与d的值代入即可求出值．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a3=（a1+d）+（a1+2d）=2a1+3d=4①，a4+a5=（a1+3d）+（a1+4d）=2a1+7d=6②，∴②﹣①得：4d=2，解得：d=，把d=代入①，解得：a1=，则a9+a10=（a1+8d）+（a1+9d）=2a1+17d=2×+17×=11．故选C【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的通项公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．5．“a＞3”是“函数f（x）=ax+3在（﹣1，2）上存在零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据a＞3判断出：f（﹣1）=﹣a+3＜0、f（2）=2a+3＞0，得到充分性成立；再由函数的零点存在性定理列出不等式求出a的范围，可得到必要性不成立．【解答】解：①充分性：当a＞3时，f（﹣1）=﹣a+3＜0、f（2）=2a+3＞0，所以函数f（x）=ax+3在（﹣1，2）上存在零点”，成立；②因为函数f（x）=ax+3在（﹣1，2）上存在零点，所以f（﹣1）f（2）＜0，则（﹣a+3）（2a+3）＜0，即（a﹣3）（2a+3）＞0，解得a＞3或a＜，不成立，综上可得，“a＞3”是“函数f（x）=ax+3在（﹣1，2）上存在零点”是充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充要条件的判断，以及函数的零点存在性定理的应用，属于中档题．6．已知向量=（3，﹣2），=（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（）A．B．C．8 D．24【考点】基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】不等式的解法及应用；平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理可得2x+3y=3，再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【解答】解：∵，∴﹣2x﹣3（y﹣1）=0，化为2x+3y=3，∴+===8，当且仅当2x=3y=时取等号．∴+的最小值是8．故选：C．【点评】本题考查了向量共线定理、“乘1法”和基本不等式，属于中档题．7．在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②【考点】简单空间图形的三视图．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．【解答】解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．【点评】本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．8．已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，如果双曲线上存在一点P，使得F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A．e＞B．1＜e＜C．e＞D．1＜e＜【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】运用对称性，可得MF1=F1F2=2c，设直线PF1：y=（x+c），代入双曲线方程，得到x的二次方程，方程有两个异号实数根，则有3b2﹣a2＞0，再由a，b，c的关系，及离心率公式，即可得到范围．【解答】解：设点F2（c，0），由于F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，不妨设M在正半轴上，由对称性可得，MF1=F1F2=2c，则MO==c，∠MF1F2=60°，∠PF1F2=30°，设直线PF1：y=（x+c），代入双曲线方程，可得，（3b2﹣a2）x2﹣2ca2x﹣a2c2﹣3a2b2=0，则方程有两个异号实数根，则有3b2﹣a2＞0，即有3b2=3c2﹣3a2＞a2，即c＞a，则有e=＞．故选A．【点评】本题考查双曲线的性质和方程，考查对称性的运用，考查直线方程和双曲线方程，联立消去y，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题和易错题．二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上!）9．公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8：15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】由已知中公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8：15到达该站，我们可以分别求出所有基本事件对应的时间总长度和事件“他能等到公共汽车”对应的时间总长度，代入几何概型公式可得答案．【解答】解：∵公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，故所有基本事件对应的时间总长度LΩ=20某人8：15到达该站，记“他能等到公共汽车”为事件A则L A=5故P（A）=；故答案为．【点评】本题考查的知识点是几何概型，几何概型分长度类，面积类，角度类，体积类，解答的关键是根据已知计算出所有基本事件对应的几何量和满足条件的基本事件对应的几何量10．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x•4y的最大值为32 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由z=2x•4y得z=2x+2y，设m=x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用m的几何意义，即可得到结论．【解答】解：z=2x•4y得z=2x+2y，设m=x+2y，得y=﹣x+m，平移直线y=﹣x+m由图象可知当直线y=﹣x+m经过点A时，直线y=﹣x+m的截距最大，由，解得，即A（3，1），此时m最大为m=3+2=5，此时z最大为z=2x+2y=25=32，故答案为：32【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行以及指数函数的运算法则，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．11．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于120（﹣1）m．【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；解三角形．【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图，由图可知，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．故答案为：120（﹣1）．【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．12．如图，P为圆O外一点，由P引圆O的切线PA与圆O切于A点，引圆O的割线PB与圆O交于C点．已知AB⊥AC，PA=2，PC=1，则圆O的面积为．【考点】直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．【专题】计算题．【分析】利用切割线定理求出PB，推出BC，求出圆的半径，得到圆的面积．【解答】解：由题意可知PB经过圆的圆心，所以BC 是圆的直径，由切割线定理的可得PC•PB=PA2，所以PB=4，BC=3，所以圆的半径为：，所以圆O的面积为：．故答案为：．【点评】本题考查切割线定理与圆的面积的求法与应用，考查计算能力．13．已知，，点C在∠AOB内，∠AOC=45°，设，则= ．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】计算题．【分析】将向量沿与方向利用平行四边形原则进行分解，建立平面直角坐标系，便于计算．【解答】如图所示，建立直角坐标系．则=（1，0），=（0，），∴=m +n=（m， n），∴tan45°==1∴=．故选B【点评】对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量．14．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为（0，2）．【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，分别作出函数f（x）和y=a|x|的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，当a=0时，两个函数的交点有3个，不满足条件，当a＜0时，两个函数的交点最多有2个，不满足条件，当a＞时，当x≤0时，两个函数一定有2个交点，要使两个函数有4个交点，则只需要当x＞0时，两个函数有2个交点即可，当a≥2时，此时y=a|x|与f（x）有三个交点，∴要使y=a|x|与f（x）有4个交点，则0＜a＜2，故答案为：（0，2）【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．其中甲班有一个数据被污损．（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）设污损处的数据为a，根据甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；（Ⅱ）设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，列举出从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学的基本事件个数，及事件A包含的基本事件个数，进而可得身高为176cm的同学被抽中的概率．【解答】解：（Ⅰ）设污损处的数据，∵甲班同学身高平均数为170cm，∴=（158+162+163+168+168+170+171+179+a+182）=170 …解得a=179 所以污损处是9．…（Ⅱ）设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：{181，173}，{181，176}，{181，178}，{181，179}，{179，173}，{179，176}，{179，178}，{178，173}，{178，176}，{176，173}共10个基本事件，…而事件A含有4个基本事件，…∴P（A）==…【点评】本题考查的知识点是茎叶图，列举出计算基本事件及事件发生的概率，难度不大，属于基础题．16．已知函数（其中ω＞0）的周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象．求函数g（x）在上的单调区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式为 2sin（2ωx+）+，再根据它的周期为=π，求得ω 的值．（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）=2sin（4x﹣）．令2kπ﹣≤4x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，再根据x∈，可得函数的增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵函数=sin2ωx+2•﹣=2[sin2ωx+cos2ωx]=2sin（2ωx+），（其中ω＞0）的周期为=π，∴ω=1．（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度，可得函数y=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣）的图象．再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到函数y=g（x）=2sin（4x﹣）的图象．令2kπ﹣≤4x﹣≤2kπ+，k∈z，求得﹣≤x≤+．再根据x∈，可得函数的增区间为．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性和周期性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】空间角；空间向量及应用；立体几何．【分析】（Ⅰ）要证明EF∥平面PAB，可以先证明平面EFH∥平面PAB，而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理来证；（Ⅱ）（i）要证明平面PBC⊥平面ABCD，可用面面垂直的判定定理，即只需证PB⊥平面ABCD 即可；（ii）由（i）知，BD，BA，BP两两垂直，建立空间直角坐标系B﹣DAP，得到直线EF的方向向量与平面PBC法向量，其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H，∵底面ABCD是平行四边形，∴H为BD中点，∵E是棱AD的中点．∴在△ABD中，EH∥AB，又∵AB⊂平面PAB，EH⊄平面PAD，∴EH∥平面PAB．同理可证，FH∥平面PAB．又∵EH∩FH=H，∴平面EFH∥平面PAB，∵EF⊂平面EFH，∴EF∥平面PAB；（Ⅱ）（i）如图，连结PE，BE．∵BA=BD=，AD=2，PA=PD=，∴BE=1，PE=2．又∵E为AD的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD，∴∠PEB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，即∠PEB=60°，∴PB=．∵△PBD中，BD2+PB2=PD2，∴PB⊥BD，同理PB⊥BA，∴PB⊥平面ABD，∵PB⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面ABCD；（ii）由（i）知，PB⊥BD，PB⊥BA，∵BA=BD=，AD=2，∴BD⊥BA，∴BD，BA，BP两两垂直，以B为坐标原点，分别以BD，BA，BP为X，Y，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣DAP，则有A（0，，0），B（0，0，0），C（，﹣，0），D（，0，0），P（0，0，），∴=（，﹣，0），=（0，0，），设平面PBC的法向量为，∵，∴，令x=1，则y=1，z=0，故=（1，1，0），∵E，F分别是棱AD，PC的中点，∴E（，，0），F（，﹣，），∴=（0，，），∴===﹣，即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．【点评】本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及线面角大小的求法，要求熟练掌握相关的判定定理．18．已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+2+2=4a n+1﹣a n（n∈N*），且a1=1，a2=4．（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设b n=的前项n和为S n，求证：S n＜1．【考点】数列递推式；等差关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）通过已知条件，利用配方法推出等差数列的等差中项形式，判断数列是等差数列．（Ⅱ）求出数列{a n}的通项公式，然后利用裂项法求解S n，即可推出所证明的不等式．【解答】解：（Ⅰ）∵且a n＞0，∴，∴，∴是首项为，公差为的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∴…=．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的求和以及数列是等差数列的判定，考查计算能力以及转化思想的应用．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，|AB|+|CD|=3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率，以及，|AB|+|CD|=3．求出a、b，即可求椭圆的方程；（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，直接求出面积．②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），且设直线AB的方程为y=k （x﹣1），与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，求出AB，CD即可求解面积的表达式，通过基本不等式求出面积的最值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，则，∴，所以c=1．所以椭圆的方程为．（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知；②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），且设直线AB的方程为y=k（x﹣1），则直线CD的方程为．将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，所以．同理，．所以=，∵当且仅当k=±1时取等号∴综合①与②可知，【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，弦长公式的求法以及基本不等式的应用，是综合性比较强的题目．20．已知函数f（x）=lnx+，g（x）=x﹣2m，其中m∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）对∀x∈[，1]，是否存在m∈（，1），使得f（x）＞g（x）+1成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设F（x）=f（x）g（x），当m∈（，1）时，若函数F（x）存在a，b，c三个零点，且a＜b＜c，求证：0＜a＜＜b＜1＜c．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；证明题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）m=1时，f（x）=lnx+，x＞0；从而求导可得f′（x）=﹣=；从而由导数求极小值；（ II）令h（x）=f（x）﹣g（x）﹣1=lnx+﹣x+2m﹣1，x∈[，1]，m∈（，1），则h（x）＞0对x∈[，1]恒成立，求导h′（x）=﹣﹣1=，x∈[，1]，从而可判断h（x）在[，1]上单减．从而化为最值问题．（ III）化简F（x）=f（x）g（x）=（lnx+）（x﹣2m），易知x=2m为函数F（x）的一个零点，从而函数F（x）的最大的零点c＞1，再讨论f（x）lnx+的零点情况即可．【解答】解：（Ⅰ）m=1时，f（x）=lnx+，x＞0；∴f′（x）=﹣=；由f′（x）＞0，解得x＞；由f′（x）＜0，解得0＜x＜；∴f（x）在（0，）上单调递减，（，+∞）上单调递增．∴f极小值（x）=f（）=ln+1=1﹣ln2．（ II）令h（x）=f（x）﹣g（x）﹣1=lnx+﹣x+2m﹣1，x∈[，1]，m∈（，1），由题意，h（x）＞0对x∈[，1]恒成立，∵h′（x）=﹣﹣1=，x∈[，1]，∵m∈（，1），∴在二次函数y=﹣2x2+2x﹣m中，△=4﹣8m＜0，∴y=﹣2x2+2x﹣m＜0恒成立；∴h′（x）＜0对x∈[，1]恒成立，∴h（x）在[，1]上单减．∴h min（x）=h（1）=m﹣2＞0，即m＞．故存在m∈（，1），使f（x）＞g（x）+1对∀x∈[，1]恒成立．（ III）证明：F（x）=f（x）g（x）=（lnx+）（x﹣2m），易知x=2m为函数F（x）的一个零点，∵m＞，∴2m＞1，因此据题意知，函数F（x）的最大的零点c＞1，下面讨论f（x）lnx+的零点情况，∵f′（x）=﹣=；易知函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．由题知f（x）必有两个零点，∴f极小值（x）=f（）=ln+1＜0，解得0＜m＜，∴＜m＜，即me∈（，2）．∴f（1）=ln1+=＞0，f（）=﹣1+＜0．又f（e﹣10）=•e10﹣10＞0．∴0＜e﹣10＜a＜＜b＜1＜c．∴0＜a＜＜b＜1＜c．【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时利用了构造函数的方法，属于难题．。

2015届南开区高考一模考试试卷分析数学(文科、理科）陈文胜一、命题思路严格遵循天津市高考数学学科《考试说明》中所提出的考试性质、功能与测量目标来进行选材和命题。

（一）发挥模拟考试的检测功能1．试题平和，贴近考生试题设计突出了对基础知识，基本技能，基本方法的考查。

从各试卷的大部分题目的设计中可以看出以下几个特点：考查的内容是常见的；解题的思路是常规的；解题的方法是常用的。

（1）源于课本，重在主干在命题中，有一部分试题是由课本中的例题、习题和历年各省市的高考题或模拟题加工、改造、整合而成，是考生熟悉的题型，做到源于课本，重在主干。

（2）坡度平缓, 层次分明整个试卷安排具有层次性；在难题的设计上，通过分层设问，缓解了难度；体现了文理的差异。

2．充满数学思辨，深入考查数学思想数学考试大纲“数学考试的学科特点的第二个方面就是充满思辨性：这个特点源于数学的抽象性，系统性和逻辑性，数学不是知识性的学科，而是思维型的学科。

因此，数学试题靠机械记忆，只凭直觉和印象就可以作答的很少，为了正确解答，就要求考生具备一定的观察，分析和推断能力。

”如：文科对三角函数的考查，理科的选择题第7、8题、填空题第13、14题。

3．注重知识交汇，提高对思维能力的考查深度和广度数学高考考试大纲指出：“对能力的考查，强调‘以能力立意’，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料。

侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同的情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度，以及进一步学习的潜能。

”文科考查内容：150个知识点；理科考查内容：172个知识点．有的学生对各个知识点的学习都比较完整，但解决问题，特别是解决综合性问题的能力较差，原因在于其知识的整体系统的结构不合理，较低层次的知识点和能力元难以组成较高层次的功能系统，各知识点和能力元在系统中不能形成耦合和互补的关系，因而一旦解决问题受阻，就无法另辟蹊径。

2015年天津市南开区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i是虚数单位，复数＝（）A．﹣i B．iC．﹣﹣i D．﹣+i2．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝x﹣2y的最小值是（）A．0B．﹣6C．﹣8D．﹣123．（5分）设A，B为两个不相等的集合，条件p：x∉（A∩B），条件q：x∉（A ∪B），则p是q的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）如图，是一个几何体的三视图，其中主视图、左视图是直角边长为2的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则此几何体的表面积为（）A．8+4B．8+4C．D．8+2+2 5．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x﹣y＝0，它的一个焦点在抛物线y2＝﹣4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．4x2﹣12y2＝1B．4x2﹣y2＝1C．12x2﹣4y2＝1D．x2﹣4y2＝1 6．（5分）函数y＝log0.4（﹣x2+3x+4）的值域是（）A．（0，﹣2]B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]D．[2，+∞）7．（5分）已知函数f（x）＝sinωx﹣cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位得到函数y ＝g（x）的图象，则y＝g（x）是减函数的区间为（）A．（﹣，0）B．（﹣，）C．（0，）D．（，）8．（5分）已知函数f（x）＝|mx|﹣|x﹣1|（m＞0），若关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（）A．0＜m≤1B．≤m＜C．1＜m＜D．≤m＜2二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上．9．（5分）如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的学生人数为．10．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}中，a1，a2，a5依次成等比数列，则＝．11．（5分）如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S＝．12．（5分）过点（﹣2，6）作圆x2+（y﹣2）2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为．13．（5分）如图，圆O的割线P AB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心O．已知P A＝AB＝2，PO＝8．则BD的长为．14．（5分）已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，且＝λ，＝λ．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE的重心，则•＝．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步15．（13分）某高中从学生体能测试结果中随机抽取100名学生的测试结果，按体重（单位：kg）分组，得到的频率分布表如表所示．（Ⅰ）请求出频率分布表中①、②位置相应的数据；（Ⅱ）从第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进行第二次测试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二次测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，在6名学生中随机抽取2名学生由李老师进行测试，求第4组至少有一名学生被李老师测试的概率？频率分布表．16．（13分）在非等腰△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且a＝3，c＝4，C＝2A．（Ⅰ）求cos A及b的值；（Ⅱ）求cos（﹣2A）的值．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，PC＝AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角P﹣AC﹣E的余弦值；（Ⅲ）求直线P A与平面EAC所成角的正弦值．18．（13分）设数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝3a n，n∈N*．设S n为数列{b n}的前n 项和，已知b1≠0，2b n﹣b1＝S1•S n，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝b n•log3a n，求数列{c n}的前n项和T n．19．（14分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）与y轴的交点为A，B（点A 位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线F A的距离为b．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设b＝2，直线y＝kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM 与直线AN的交点G在定直线上．20．（14分）设函数f（x）＝（x﹣1）2+alnx，a∈R．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣1＝0垂直，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（x2）﹣ln2．2015年天津市南开区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i是虚数单位，复数＝（）A．﹣i B．iC．﹣﹣i D．﹣+i【解答】解：＝．故选：A．2．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝x﹣2y的最小值是（）A．0B．﹣6C．﹣8D．﹣12【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝x﹣2y为，由图可知，当直线过B时直线在y轴上的截距最大，z有最小值，等于0﹣2×4＝﹣8．故选：C．3．（5分）设A，B为两个不相等的集合，条件p：x∉（A∩B），条件q：x∉（A ∪B），则p是q的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当x∈A，且x∉（A∩B），满足x∈（A∪B），即充分性不成立，若x∉（A∪B，则x∉（A∩B），成立，即必要性成立，故p是q必要不充分条件，故选：C．4．（5分）如图，是一个几何体的三视图，其中主视图、左视图是直角边长为2的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则此几何体的表面积为（）A．8+4B．8+4C．D．8+2+2【解答】解：由已知的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面是边长为2的正方形，面积S＝4，棱锥的高为2，故棱锥的侧面有两个是直角边长为2的等腰直角三角形，有两个是三边长为2，2，2的三角形，故棱锥的表面积为：4+2×+2×＝8+4，故选：A．5．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x﹣y＝0，它的一个焦点在抛物线y2＝﹣4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．4x2﹣12y2＝1B．4x2﹣y2＝1C．12x2﹣4y2＝1D．x2﹣4y2＝1【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x﹣y＝0，∴a：b＝：1，∵双曲线的一个焦点在抛物线y2＝﹣4x的准线x＝1上，∴c＝1．c2＝a2+b2，解得：b2＝，a2＝∴此双曲线的方程为：x2﹣4y2＝1．故选：D．6．（5分）函数y＝log0.4（﹣x2+3x+4）的值域是（）A．（0，﹣2]B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]D．[2，+∞）【解答】解：；∴有；所以根据对数函数log0.4x的图象即可得到：＝﹣2；∴原函数的值域为[﹣2，+∞）．故选：B．7．（5分）已知函数f（x）＝sinωx﹣cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位得到函数y ＝g（x）的图象，则y＝g（x）是减函数的区间为（）A．（﹣，0）B．（﹣，）C．（0，）D．（，）【解答】解：∵函数f（x）＝sinωx﹣cosωx＝2sin（ωx﹣），又∵函数f（x）＝sinωx﹣cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于＝，故函数的最小正周期T＝π，又∵ω＞0，∴ω＝2，故f（x）＝2sin（2x﹣），将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位可得y＝g（x）＝2sin[2（x+）﹣]＝2sin2x的图象，令+2kπ≤2x≤+2kπ，即+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，故函数y＝g（x）的减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，当k＝0时，区间[，]为函数的一个单调递减区间，又∵（，）⊆[，]，故选：D．8．（5分）已知函数f（x）＝|mx|﹣|x﹣1|（m＞0），若关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（）A．0＜m≤1B．≤m＜C．1＜m＜D．≤m＜2【解答】解：f（x）＜0可化为|mx|＜|x﹣1|，作函数y＝|mx|与函数y＝|x﹣1|的图象如下，结合图象可知，关于x的不等式f（x）＜0的解集中的3个整数解为0，﹣1，﹣2；故只需使，解得，≤m＜；故选：B．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上．9．（5分）如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的学生人数为60．【解答】解：第2小组的频率为（1﹣0.0375×5﹣0.0125×5）×＝0.25；则抽取的学生人数为：＝60．故答案为：60．10．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}中，a1，a2，a5依次成等比数列，则＝9．【解答】解：∵a1，a2，a5成等比数列，∴a22＝a1•a5，即（a1+d）2＝a1（a1+4d），由d≠0，解得：2a1＝d，∴＝＝9．故答案为：9．11．（5分）如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S＝2500；．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i＝1，S＝0S＝1，i＝3不满足条件i＞99，S＝4，i＝5不满足条件i＞99，S＝9，i＝7不满足条件i＞99，S＝16，i＝9…不满足条件i＞99，S＝1+3+5+7+…+99，i＝101满足条件i＞99，退出循环，输出S＝1+3+5+7+…+99＝＝2500．故答案为：2500．12．（5分）过点（﹣2，6）作圆x2+（y﹣2）2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为x﹣2y+6＝0．【解答】解：圆x2+（y﹣2）2＝4的圆心为C（0，2），半径为2，以（﹣2，6）、C（0，2）为直径的圆的方程为（x+1）2+（y﹣4）2＝5，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程x﹣2y+6＝0，故答案为：x﹣2y+6＝0．13．（5分）如图，圆O的割线P AB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心O．已知P A＝AB＝2，PO＝8．则BD的长为2．【解答】解：设PC＝x，则利用割线定理可得2×4＝x（x+8﹣x+8﹣x），∴x＝4，连接OA，OB，AC，则∵A，C分别为PB，PO的中点，∴AC∥OB，∴∠1＝∠2，∵∠1＝LD，∴∠2＝∠D，∴∠AOB＝∠BOD，∴BD＝AB＝2．故答案为：2．14．（5分）已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，且＝λ，＝λ．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE的重心，则•＝0．【解答】解：连AO并延长交DE于G，如图，∵O是△ADE的重心，∴DG＝GE，∴，∴＝＝，又＝λ，＝λ，∴＝（），显然，，又＝＝（1﹣）﹣，＝＝﹣（+）＝﹣（+﹣）＝（）＝﹣+，∴2＝（1﹣）+，∵＝﹣，＝﹣＝（λ﹣1），∴＝[+（λ﹣2）]，又正三角形ABC的边长为2，∴||2＝||2＝4，∴，∴2＝[（1﹣）+]•[+（λ﹣2）]＝{（1﹣）2+[+（1﹣）（λ﹣2）+（λ﹣2）}＝＝＝＝0．（本题还可以用特殊值法或建立坐标系的方法来解决）三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步15．（13分）某高中从学生体能测试结果中随机抽取100名学生的测试结果，按体重（单位：kg）分组，得到的频率分布表如表所示．（Ⅰ）请求出频率分布表中①、②位置相应的数据；（Ⅱ）从第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进行第二次测试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二次测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，在6名学生中随机抽取2名学生由李老师进行测试，求第4组至少有一名学生被李老师测试的概率？频率分布表．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，第2组的频数为0.35×100＝35人，第3组的频数为＝，（Ⅱ）因为3，4，5组共有60名，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：×6＝3人，第4组：×6＝2人，第5组：×6＝1人，所以3，4，5组分别抽取3人，2人，1人，（Ⅲ）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第，5组的1位同学为C1，从六为同学中抽2为同学有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）共第4组至少有1位同学入选的有：（B1，B2），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，C1），（B2，C1）共9种情况，∴第4组至少有一名学生被李老师测试的概率＝．16．（13分）在非等腰△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且a＝3，c＝4，C＝2A．（Ⅰ）求cos A及b的值；（Ⅱ）求cos（﹣2A）的值．【解答】解：（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理＝＝，得＝，…（2分）因为C＝2A，所以＝，即＝，解得cos A＝．…（4分）在△ABC中，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，得b2﹣b+7＝0，解得b＝3，或b＝．因为a，b，c互不相等，所以b＝．…（7分）（Ⅱ）∵cos A＝，∴sin A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝2cos A2﹣1＝﹣，…（11分）∴cos（﹣2A）＝cos2A+sin2A＝．…（13分）17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，PC＝AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角P﹣AC﹣E的余弦值；（Ⅲ）求直线P A与平面EAC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC．∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝．∴AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC．又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC．∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC⊥平面PBC，∴AC⊥CP，AC⊥CE，∴∠PCE即为二面角P﹣AC﹣E的平面角．…（6分）∵PC＝AB＝2AD＝2CD＝2，∴在△PCB中，可得PE＝CE＝，∴cos∠PCE＝＝．…（9分）（Ⅲ）作PF⊥CE，F为垂足．由（Ⅰ）知平面EAC⊥平面PBC，∵平面平面EAC∩平面PBC＝CE，∴PF⊥平面EAC，连接AF，则∠P AF就是直线P A与平面EAC所成角．…（11分）由（Ⅱ）知CE＝，∴PF＝，∴sin∠P AF＝＝，即直线P A与平面EAC所成角的正弦值为．…（13分）18．（13分）设数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝3a n，n∈N*．设S n为数列{b n}的前n 项和，已知b1≠0，2b n﹣b1＝S1•S n，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝b n•log3a n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵a n+1＝3a n，∴{a n}是公比为3，首项a1＝1的等比数列，∴通项公式为a n＝3n﹣1．…（2分）∵2b n﹣b1＝S1•S n，∴当n＝1时，2b1﹣b1＝S1•S1，∵S1＝b1，b1≠0，∴b1＝1．…（4分）∴当n＞1时，b n＝S n﹣S n﹣1＝2b n﹣2b n﹣1，∴b n＝2b n﹣1，∴{b n}是公比为2，首项a1＝1的等比数列，∴通项公式为b n＝2n﹣1．…（7分）（Ⅱ）c n＝b n•log3a n＝2n﹣1log33n﹣1＝（n﹣1）2n﹣1，…（8分）T n＝0•20+1•21+2•22+…+（n﹣2）2n﹣2+（n﹣1）2n﹣1…①2T n＝0•21+1•22+2•23+…+（n﹣2）2n﹣1+（n﹣1）2n…②①﹣②得：﹣T n＝0•20+21+22+23+…+2n﹣1﹣（n﹣1）2n＝2n﹣2﹣（n﹣1）2n＝﹣2﹣（n﹣2）2n∴T n＝（n﹣2）2n+2．…（13分）19．（14分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）与y轴的交点为A，B（点A 位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线F A的距离为b．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设b＝2，直线y＝kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM 与直线AN的交点G在定直线上．【解答】解：（Ⅰ）设F的坐标为（﹣c，0），依题意有bc＝ab，∴椭圆C的离心率e＝＝．…（3分）（Ⅱ）若b＝2，由（Ⅰ）得a＝2，∴椭圆方程为．…（5分）联立方程组化简得：（2k2+1）x2+16kx+24＝0，由△＝32（2k2﹣3）＞0，解得：k2＞由韦达定理得：x M+x N＝…①，x M x N＝…②…（7分）设M（x M，kx M+4），N（x N，kx N+4），MB方程为：y＝x﹣2，…③NA方程为：y＝x+2，…④…（9分）由③④解得：y＝…（11分）＝＝＝1即y G＝1，∴直线BM与直线AN的交点G在定直线上．…（13分）20．（14分）设函数f（x）＝（x﹣1）2+alnx，a∈R．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣1＝0垂直，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（x2）﹣ln2．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2x﹣2+＝，∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣1＝0垂直，∴f′（1）＝a＝2．（Ⅱ）令g（x）＝2x2﹣2x+a，则△＝4﹣8a．①当△≤0，即a≥时，g（x）≥0，从而f x）≥0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当△＞0，即a＜时，g（x）＝0的两个根为x1＝，x2＝＞，当，即a≤0时，x1≤0，当0＜a＜时，x1＞0．故当a≤0时，函数f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增；当0＜a＜时，函数f（x）在（0，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．（Ⅲ）当函数f（x）有2个极值点时，0＜a＜，0＜＜1，此时x2＝∈（，1），且g（x2）＝0，即a＝﹣2+2x2，∴f（x2）＝+alnx2＝+（﹣2+2x2）lnx2，设h（x）＝（x﹣1）2+（﹣2x2+2x）lnx，其中x∈（，1），则h′（x）＝（﹣4x+2）lnx，由于x∈（，1）时，h′（x）＞0，故函数h（x）在（，1）单调递增，故h（x）＞h（）＝﹣ln2，∴f（x2）＞﹣ln2．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（天津卷，含解析）一、选择题(每小题5分,共40分) 1.已知全集{1,2,3,4,5,6}U,集合{2,3,5}A ,集合{1,3,4,6}B ,则集合A U B （）（ ）(A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5} 【答案】B 【解析】试题分析：{2,3,5}A ,{2,5}UB ,则A 2,5U B （）,故选B.考点：集合运算2.设变量,y x 满足约束条件2020280x x yx y ,则目标函数3y z x 的最大值为（ ）(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14 【答案】C考点：线性规划3.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出i 的值为（ ） (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5【答案】C 【解析】试题分析：由程序框图可知：2,8;3,S 5;4, 1.i S i i S ====== 故选C. 考点：程序框图. 4.设xR ,则“12x ”是“|2|1x ”的（ ）(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：由2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,可知“12x ”是“|2|1x ”的充分而不必要条件,故选A.考点：1.不等式；2. 充分条件与必要条件.5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b 的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆222y 3x 相切,则双曲线的方程为（ ）(A)221913x y (B) 221139x y (C)2213x y(D ) 2213y x【答案】D考点：圆与双曲线的性质.6. 如图,在圆O 中,M ,N 是弦AB 的三等分点,弦CD ,CE 分别经过点M ,N ,若CM =2,MD =4,CN =3,则线段NE 的长为（ ） (A)83 (B) 3 (C) 103 (D) 52【答案】A【解析】试题分析：由相交弦定理可18,33CM MD CM MD CN NE AB AB NE CN ⨯⨯=⨯=⨯⇒== 故选A. 考点：相交弦定理7. 已知定义在R上的函数||()21()xm f x m 为实数为偶函数,记0.5(log 3),af 2b (log 5),c(2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）(A) b c a (B) b c a (C) b a c (D) b c a【答案】B 【解析】试题分析：由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B. 考点：1.函数奇偶性；2.对数运算. 8. 已知函数22||,2()(2),2x xf x x x ,函数()3(2)g x f x ,则函数y ()()f x g x 的零点的个数为(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5 【答案】A考点：函数与方程.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. i 是虚数单位,计算12i2i-+ 的结果为 ． 【答案】-i 【解析】试题分析：()2i i 212i i 2i i 2i 2i 2i-+---===-+++.考点：复数运算.10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体积为 3m .【答案】8π3【解析】试题分析：该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2圆柱组合而成,所以该几何体的体积为318π2π1π2(m )33⨯⨯⨯+⨯= .考点：1.三视图；2.几何体的体积.11. 已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ． 【答案】3 【解析】试题分析：因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==. 考点：导数的运算法则.12. 已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值. 【答案】4 【解析】试题分析：()()()()22222222log log 211log log 2log 2log 164,244a b a b ab +⎛⎫⋅≤=== ⎪⎝⎭当2a b =时取等号,结合0,0,8,a b ab >>=可得4, 2.a b == 考点：基本不等式.13. 在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠= 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC == 则AE AF ⋅的值为 ． 【答案】2918【解析】试题分析：在等腰梯形ABCD 中,由AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=得12AD BC ⋅=,1AB AD ⋅=,12DC AB = ,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+ 22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点：平面向量的数量积. 14. 已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ．【答案】π【解析】试题分析：由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos 2sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭,所以2πππ.42ωω+=⇒= 考点：三角函数的性质.三、解答题：本大题共6小题,共80分.15. （本小题满分13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛. （I ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（II ）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为123456,,,,,A A A A A A ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.（i ）用所给编号列出所有可能的结果；（ii ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A 发生的概率. 【答案】（I ）3,1,2；（II ）（i ）见试题解析；（ii ）35【解析】 试题分析：（I ）由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2；（II ）（i ）一一列举,共15种；（ii ）符合条件的结果有9种,所以()93.155P A ==. 试题解析：（I ）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2；（II ）（i ）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为{}12,A A ,{}13,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}16,A A ,{}23,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}26,A A ,{}34,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共15种.（ii ）编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{}15,A A ,{}16,A A , {}25,A A ,{}26,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共9种,所以事件A 发生的概率()93.155P A == 考点：分层抽样与概率计算.16. （本小题满分13分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为315,12,cos ,4b c A -==-（I ）求a 和sin C 的值； （II ）求cos 26A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（I ）a =8,15sin 8C =；（II ）157316-. 【解析】考点：1.正弦定理、余弦定理及面积公式；2三角变换. 17. （本小题满分13分）如图,已知1AA ⊥平面ABC ,11,BB AAAB =AC =3,125,7BC AA ==,,127,BB = 点E ,F 分别是BC ,1AC 的中点. （I ）求证：EF 平面11A B BA ； （II ）求证：平面1AEA ⊥平面1BCB .（III ）求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小.【答案】（I ）见试题解析；（II ）见试题解析；（III ）30. 【解析】试题分析：（I ）要证明EF 平面11A B BA , 只需证明1EFBA 且EF ⊄ 平面11A B BA ；（II ）要证明平面1AEA ⊥平面1BCB ,可证明AE BC ⊥,1BB AE ⊥；（III ）取1B C 中点N,连接1A N ,则11A B N ∠ 就是直线11A B 与平面1BCB 所成角,Rt△11A NB 中,由11111sin ,2A N AB N A B ∠==得直线11A B 与平面1BCB 所成角为30.试题解析：（I ）证明：如图,连接1A B ,在△1A BC 中,因为E 和F 分别是BC ,1A C 的中点,所以1EF BA ,又因为EF ⊄ 平面11A B BA , 所以EF 平面11A B BA .（II ）因为AB =AC ,E 为BC 中点,所以AE BC ⊥,因为1AA ⊥平面ABC ,11,BB AA 所以1BB ⊥平面ABC ,从而1BB AE ⊥,又1BC BB B = ,所以AE ⊥平面1BCB ,又因为AE ⊂平面1AEA ,所以平面1AEA ⊥平面1BCB .考点：1.空间中线面位置关系的证明；2.直线与平面所成的角18. （本小题满分13分）已知n a 是各项均为正数的等比数列,nb 是等差数列,且112331,2a b b b a ,5237a b .（I ）求n a 和n b 的通项公式； （II ）设*,nn n c a b n N ,求数列n c 的前n 项和.【答案】（I ）12,n n a n -*=∈N ,21,n b n n *=-∈N ；（II ）()2323n n S n =-+【解析】试题分析：（I ）列出关于q 与d 的方程组,通过解方程组求出q ,d ,即可确定通项；（II ）用错位相减法求和.试题解析：（I ）设n a 的公比为q ,n b 的公差为d ,由题意0q > ,由已知,有24232,310,q d q d ⎧-=⎨-=⎩消去d 得42280,q q --= 解得2,2q d == ,所以n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N , n b 的通项公式为21,n b n n *=-∈N .（II ）由（I ）有()1212n n c n -=- ,设n c 的前n 项和为n S ,则()0121123252212,n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⨯ ()1232123252212,n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯两式相减得()()2312222122323,n n n n S n n -=++++--⨯=--⨯-所以()2323nn S n =-+ .考点：1.等差、等比数列的通项公式；2.错位相减法求和.19. （本小题满分14分） 已知椭圆22221(a b 0)x y a b 的上顶点为B ,左焦点为F ,离心率为5, （I ）求直线BF 的斜率；（II ）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ）,故点B 且垂直于BF 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ）直线PQ 与x 轴交于点M ,||=||PM MQ . （i ）求的值；（ii ）若75||sin =PM BQP ,求椭圆的方程. 【答案】（I ）2；（II ）（i ）78；（ii ）22 1.54x y += 【解析】 试题分析：（I ）先由5c a = 及222,a b c =+得5,2a c b c ==,直线BF 的斜率()020b b k c c -===--；（II ）先把直线BF ,BQ 的方程与椭圆方程联立,求出点P ,Q 横坐标,可得PM MQ λ=7.8M P P Q M Q x x x x x x -===-（ii ）先由75||sin =PM BQP 得=||sin BP PQ BQP =1555||sin 7PM BQP,由此求出c =1,故椭圆方程为221.54x y += 试题解析：（I ）(),0F c - ,由已知5c a =及222,a b c =+ 可得5,2a c b c == ,又因为()0,B b ,故直线BF 的斜率()020b bk c c-===-- .（II ）设点()()(),,,,,P P Q Q M M P x y Q x y M x y ,（i ）由（I ）可得椭圆方程为22221,54x y c c+= 直线BF 的方程为22y x c =+ ,两方程联立消去y 得2350,x cx += 解得53P cx =- .因为BQ BP ⊥,所以直线BQ 方程为122y x c =-+ ,与椭圆方程联立消去y 得221400x cx -= ,解得4021Q cx =.又因为PM MQλ= ,及0M x = 得7.8M P PQ MQ x x x x x x λ-===- （ii ）由（i ）得78PMMQ =,所以777815PM PM MQ ==++,即157PQ PM = ,又因为75||sin =9PM BQP ,所以=||sin BP PQ BQP =1555||sin 73PM BQP. 又因为4223P P y x c c =+=-, 所以22545502333c c BP c c ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,55551,c == 所以椭圆方程为221.54x y += 考点：直线与椭圆.20. （本小题满分14分）已知函数4()4,,f x x x x R（I ）求()f x 的单调性；（II ）设曲线()y f x 与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()yg x ,求证：对于任意的正实数x ,都有()()f x g x ;（III ）若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ，，且12x x ,求证：1321-43a x x . 【答案】（I ）()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞；（II ）见试题解析；（III ）见试题解析. 【解析】试题解析：（I ）由4()4f x x x ,可得3()44f x x ,当()0f x '> ,即1x < 时,函数()f x 单调递增；当()0f x '< ,即1x > 时,函数()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞.（II ）设()0,0P x ,则1304x = ,()012,f x '=- 曲线()y f x = 在点P 处的切线方程为()()00y f x x x '=- ,即()()()00g x f x x x '=-,令()()()F x f x g x =- 即()()()()0F x f x f x x x '=-- 则()()()0F x f x f x '''=-.由于3()44f x x 在(),-∞+∞ 单调递减,故()F x '在(),-∞+∞ 单调递减,又因为()00F x '=,所以当()0,x x ∈-∞时,()0F x '>,所以当()0,x x ∈+∞时,()0F x '<,所以()F x 在()0,x -∞单调递增,在()0,x +∞单调递减,所以对任意的实数x ,()()00F x F x ≤= ,对于任意的正实数x ,都有()()f x g x .考点：1.导数的几何意义；2.导数的应用.。

2015年天津市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:每题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(5分)(2015•天津)已知全集U=｛1，2，3,4，5，6}，集合A=｛2，3,5},集合B=｛1，3，4，6}，则集合A∩∁U B=(）A．{3} B．｛2，5} C．{1，4，6} D．｛2，3，5｝考点：交、并、补集的混合运算．专题: 集合．分析：求出集合B的补集，然后求解交集即可．解答：解：全集U=｛1，2，3，4,5，6}，集合B={1，3，4,6}，∁U B={2,5｝，又集合A={2,3，5｝，则集合A∩∁U B={2，5｝．故选：B．点评：本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查．2．(5分）（2015•天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为()A．7B．8C．9D．14考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分）．由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由,解得，即A（2，3)，代入目标函数z=3x+y得z=3×2+3=9．即目标函数z=3x+y的最大值为9．故选：C．点评:本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3．（5分)(2015•天津）阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序，则输出i的值为（)A．2B．3C．4D．5考点：循环结构．专题: 图表型；算法和程序框图．分析:模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值,当S=0时满足条件S≤1,退出循环，输出i的值为4．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=10,i=0i=1，S=9不满足条件S≤1，i=2,S=7不满足条件S≤1，i=3，S=4不满足条件S≤1，i=4,S=0满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．4．（5分）（2015•天津）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：求解:｜x﹣2|＜1，得出“1＜x＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可．解答:解:∵｜x﹣2|＜1，∴1＜x＜3，∵“1＜x＜2"∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的充分不必要条件．故选:A点评:本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．5．（5分)（2015•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0,b＞0)的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2)2+y2=3相切，则双曲线的方程为（)A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣y2=1D．x2﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析:由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得，求出a，b的关系，结合焦点为F(2，0），求出a，b的值，即可得到双曲线的方程．解答：解：双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，∵双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，∴,∴b=a，∵焦点为F(2，0），∴a2+b2=4，∴a=1，b=,∴双曲线的方程为x2﹣=1．故选：D．点评:本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出a,b的值，是解题的关键．6．（5分）(2015•天津）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD,CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4,CN=3，则线段NE的长为（）A．B．3C．D．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析:由相交弦定理求出AM,再利用相交弦定理求NE即可．解答:解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB,∴2×4=AM•2AM，∴AM=2,∴MN=NB=2，又CN•NE=AN•NB,∴3×NE=4×2，∴NE=．故选:A．点评:本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．7．(5分）（2015•天津）已知定义在R上的函数f（x）=2｜x﹣m|﹣1(m为实数）为偶函数，记a=f（log0。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1。

i 是虚数单位，复数ii 5225+-=（ ）．（A ）–i （B ）i (C)–2921–2920i （D ）–214+2110i【答案】A 【解析】试题分析：52(52252925(25)(25)29i i i i i ii i ----===-++-)(),故选A .考点:复数的四则运算. 2.已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-4004y y x y x ，，，则目标函数–2z x y =的最小值是（ ）． （A ）0 (B ）–6（C ）–8 （D ）–12【答案】D考点:简单线性规划的应用。

3。

设A,B 为两个不相等的集合，条件()p x A B ∉⋂：， 条件()q x A B ∉⋃：，则p 是q 的（ ）．（A ）充分不必要条件 (B ）充要条件(C)必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析:()p x A B ∉⋂：成立，可能x A ∈或x B ∈,即x A B ∈⋃，所以()q x A B ∉⋃：不成立;反之,()q x A B ∉⋃：成立，则x A ∉且x B ∉，所以()p x A B ∉⋂：成立，故选C .考点：1。

充要条件;2.集合的基本运算。

4。

如图,是一个几何体的三视图,其中主视图、左视图是直角边长为2的等腰直角三角形,俯视图为边长为2的正方形,则此几何体的表面积为（ ）．(A)8+42(B ）8+43（C ）662+ （D ）8+22+23【答案】A 【解析】试题分析:由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥P ABCD -，恰为棱长为2正方体的一角。

其表面积为2211222222222842,22S =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+=+选A 。

考点:1.三视图2.几何体的结构特征；3。

几何体的表面积。

天津市南开区2015届高三一模（文）试卷综述：试卷立足现行高中教材,在注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学核心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,无偏题、怪题,这对中学数学教学有很好的导向作用,让高三第一线的师生从满天飞舞的资料与题海中解脱出来,做到求真务实,抓纲务本.第 Ⅰ 卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）i 是虚数单位，复数ii5225+-=（ ）．A.–iB.iC.–2921–2920i D.–214+2110i 【知识点】复数代数形式的乘除运算．B4 【答案】A【解析】()()()()5225522925252529i i i ii i i i ----===-++-,故选A. 【思路点拨】利用复数的运算法则即可得出．（2）已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-4004y y x y x ，，，则目标函数z=x –2y 的最小值是（ ）．A.0B.–6C.–8D.–12【知识点】简单线性规划．E5 【答案】D【解析】由约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-4004y y x y x ，，作出可行域如图，联立，解得，即C（﹣4，4），化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过C时直线在y轴上的截距最大，z有最小值，等于﹣4﹣2×4=﹣12．故选：D．【思路点拨】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．（3）设A，B为两个不相等的集合，条件p：x A∩B)，条件q：x A∪B)，则p是q的（）．A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2【答案】C【解析】当x∈A，且x∉（A∩B），满足x∈（A∪B），即充分性不成立，若x∉（A∪B，则x∉（A∩B），成立，即必要性成立，故p是q必要不充分条件，故选：C 【思路点拨】根据集合关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．（4）如图，是一个几何体的三视图，其中主视图、左视图是直角边长为2的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则此几何体的表面积为（）．A.8+42B.8+43C.6D.8+22+23【知识点】由三视图求面积、体积．B4 【答案】A【解析】由已知的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面是边长为2的正方形，面积S=4，棱锥的高为2，故棱锥的侧面有两个是直角边长为2的等腰直角三角形，有两个是三边长为2，2，2的三角形，故棱锥的表面积为：4+2×+2×=8+4，故选：A ．【思路点拨】由已知的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积公式，可得答案．（5）已知双曲线ax 2–by 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程是x –3y=0，它的一个焦点在抛物线y 2=–4x 的准线上，则双曲线的方程为（ ）． A.4x 2–12y 2=1 B.4x 2–34y 2=1 C.12x 2–4y 2=1 D.34x 2–4y 2=1 【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．H6 【答案】B【解析】∵双曲线ax 2–by 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程是x –3y=0，，∵双曲线的一个焦点在抛物线y 2=–4x 的准线x=1上，∴c=1．联立111a bìï=ïíï+=ïî,解得1434a b ì=ïïíï=ïî．∴此双曲线的方程为4x 2–34y 2=1．故选B ．3=，再利用抛物线的准线x=1=c 及c 2=a 2+b 2即可得出．（6）函数y=log 0.4(–x 2+3x+4)的值域是（ ）．A.(0，–2]B.[–2，+∞)C.(–∞，–2]D.[2，+∞)【知识点】函数的值域．B1 【答案】B 【解析】；∴有；所以根据对数函数log 0.4x 的图象即可得到：=﹣2；∴原函数的值域为[﹣2，+∞）．故选B ．【思路点拨】先通过配方能够得到0，所以根据对数函数的图象即可得到，进行对数的运算从而求出原函数的值域．（7）已知函数f (x )=sin–3cos （＞0）的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数y=f (x )的图象向左平移6π个单位得到函数y=g (x )的图象，则y=g (x )是减函数的区间为（ ）．A.(–3π，0) B.(–4π，4π)C.(0，3π) D.(4π，3π)【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．B4 【答案】D【解析】∵函数f （x ）=sinωx ﹣cosωx=2sin （ωx ﹣），又∵函数f （x ）=sinωx ﹣cosωx （ω＞0）的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于=，故函数的最小正周期T=π，又∵ω＞0，∴ω=2，故f （x ）=2sin （2x ﹣）， 将函数y=f （x ）的图象向左平移个单位可得y=g （x ）=2sin[2（x+）﹣]=2sin2x 的图象，令+2kπ≤2x≤+2kπ，即+kπ≤x≤+kπ，k ∈Z ，故函数y=g （x ）的减区间为[+kπ，+kπ]，k ∈Z ，当k=0时，区间[，]为函数的一个单调递减区间， 又∵（，）⊆[，]，故选：D ．【思路点拨】由已知可求出函数f （x ）的解析式，进而根据函数图象的平移变换法则得到函数y=g （x ）的解析式，根据正弦函数的性质分析出函数的单调性后，比照四个答案即可得到结论．（8）已知函数f (x )=|mx |–|x –1|（m ＞0），若关于x 的不等式f (x )＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m 的取值范围为（ ）．A.0＜m ≤1B.34≤m ＜23C.1＜m ＜23D.23≤m ＜2【知识点】函数的零点与方程根的关系B4 【答案】B【解析】f （x ）＜0可化为|mx|＜|x ﹣1|，作函数y=|mx|与函数y=|x ﹣1|的图象如下，结合图象可知，关于x 的不等式f （x ）＜0的解集中的3个整数解为0，﹣1，﹣2； 故只需使，解得，≤m ＜；故选：B ．【思路点拨】f （x ）＜0可化为|mx|＜|x ﹣1|，作函数y=|mx|与函数y=|x ﹣1|的图象，由数形结合求解即可．第 Ⅱ 卷二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。

2015 年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（ 5 分）（ 2015?天津）已知全集U={1 ，2，3，4，5，6} ，集合 A={2 ，3，5} ，集合 B={1 ，3， 4， 6} ，则集合 A ∩?U B= （）A ．{ 3}B． {2，5}C．{ 1，4，6}D．{ 2，3，5}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合 B 的补集，然后求解交集即可．解答：解：全集 U={1 ，2，3，4，5，6} ，集合 B={1 ，3，4，6} ，?U B={2 ，5} ，又集合 A={2 ，3，5} ，则集合 A ∩?U B={2 ， 5} ．故选： B．点评：本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查．2．（ 5 分）（ 2015?天津）设变量x， y 满足约束条件则目标函数z=3x+y 的最大值为（）A ． 7B． 8C． 9D． 14考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+y 得 y= ﹣ 3x+z，平移直线 y= ﹣ 3x+z ，由图象可知当直线 y= ﹣ 3x+z 经过点 A 时，直线 y= ﹣3x+z 的截距最大，此时z 最大．由，解得，即A（2，3），代入目标函数z=3x+y 得 z=3×2+3=9 ．即目标函数z=3x+y 的最大值为9．故选： C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3．（5 分）（ 2015?天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A ．2B． 3C．4D．5考点：循环结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S 的值，当 S=0 时满足条件S≤1，退出循环，输出i 的值为 4．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=10 ， i=0i=1 ，S=9不满足条件S≤1，i=2 ， S=7不满足条件S≤1，i=3 ， S=4不满足条件S≤1，i=4 ， S=0满足条件S≤1，退出循环，输出i 的值为 4．故选： C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i ， S 的值是解题的关键，属于基础题．4．（ 5 分）（ 2015?天津）设 x ∈R ，则 “1＜ x ＜2”是 “|x ﹣2|＜ 1”的（ ） A ．充 分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件考点 ：充要条件． 专题 ：简易逻辑．分析：求解： |x ﹣2|＜ 1，得出 “1＜ x ＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可． 解答：解：∵|x ﹣ 2|＜ 1，∴1＜ x ＜ 3， ∵“1＜ x ＜ 2”∴根据充分必要条件的定义可得出： “1＜ x ＜ 2”是 “|x ﹣ 2|＜ 1”的充分不必要条件．故选： A点评：本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．5．（ 5 分）（ 2015?天津）已知双曲线﹣ =1（a ＞ 0，b ＞ 0）的一个焦点为F （ 2，0），且双曲线的渐近线与圆（ x ﹣ 22）2） +y =3 相切，则双曲线的方程为（A ．B ．C ． =1D ．﹣ =1﹣ ﹣ y 2x 2﹣=1=1考点 ：双曲线的简单性质．专题 ：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得，求出 a ， b 的关系，结合焦点为F （2， 0），求出 a ， b 的值，即可得到双曲线的方程．解答：解：双曲线的渐近线方程为bx ±ay=0 ，22∵双曲线的渐近线与圆（ x ﹣2） +y =3 相切，∴，∴b=a ，∵焦点为 F （ 2， 0），22∴a +b =4，∴a=1， b= ，∴双曲线的方程为 x 2﹣=1．故选： D ．点评：本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出 a ， b 的值，是解题的关键．6．（ 5 分）（ 2015?天津）如图，在圆 O 中， M 、N 是弦 AB 的三等分点，弦 CD ，CE 分别经过点 M ， N ，若 CM=2 ， MD=4 ， CN=3 ，则线段 NE 的长为（ ）A ．B ．3C ．D ．考点 ：与圆有关的比例线段． 专题 ：选作题；推理和证明． 分析：由相交弦定理求出AM ，再利用相交弦定理求NE 即可．解答：解：由相交弦定理可得CM ?MD=AM ?MB ，∴2×4=AM ?2AM ， ∴AM=2 ， ∴MN=NB=2 ，又 CN ?NE=AN ?NB ， ∴3×NE=4 ×2，∴NE= ．故选： A ．点评：本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．7．（ 5 分）（ 2015?天津）已知定义在 R 上的函数 f （ x ） =2|x ﹣m|﹣1（ m 为实数）为偶函数，记 a=f （ log 0.5 2）3）， b=f （ log 5）， c=f （ 2m ），则 a ，b ， c 的大小关系为（A ． a ＜b ＜ cB ． c ＜ a ＜bC ． a ＜ c ＜ bD ． c ＜ b ＜ a考点 ：对数函数图象与性质的综合应用；奇偶性与单调性的综合． 专题 ：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性得出f （ x ） =2|x|﹣ 1=，利用单调性求解即可．|x ﹣ m|解答：解：∵定义在 R 上的函数 f （ x ） =2﹣ 1（m 为实数）为偶函数，m=0 ，∵f（ x） =2 |x|﹣ 1=，∴f（ x）在（ 0， +∞）单调递增，∵a=f （ log0.53） =f （ log 23），b=f （ log 25）， c=f （ 2m） =f （ 0） =0，0＜ log 23＜ log25，∴c＜ a＜ b，故选： B点评：本题考查了对数函数的性质，函数的奇偶性，单调性，计算能力，属于中档题．8．（ 5 分）（ 2015?天津）已知函数 f（ x）=，函数 g（ x）=3 ﹣ f（2﹣ x），则函数 y=f （x）﹣ g（ x）的零点个数为（）A ． 2B． 3C． 4D． 5考点：根的存在性及根的个数判断．专题：开放型；函数的性质及应用．分析：求出函数 y=f （ x）﹣ g（ x）的表达式，构造函数h（x） =f（ x）+f（ 2﹣ x），作出函数h（ x）的图象，利用数形结合进行求解即可．解答：解：∵g（x） =3﹣ f （ 2﹣ x），∴y=f （ x）﹣ g（ x） =f （ x）﹣ 3+f （ 2﹣ x），由f（ x）﹣ 3+f （2﹣ x）=0 ，得 f （ x） +f （ 2﹣ x）=3，设 h（ x）=f （ x） +f （ 2﹣x），若 x≤0，则﹣ x≥0，2﹣ x≥2，则h（ x）=f （ x） +f （ 2﹣x） =2+x+x 2，若 x≤0，则﹣ x≥0，2﹣ x≥2，则h（ x）=f （ x） +f （ 2﹣x） =2+x+x 2，若 0≤x≤2，则﹣ 2≤x≤0， 0≤2﹣ x≤2，则h（ x）=f （ x） +f （ 2﹣x） =2﹣ x+2﹣ |2﹣ x|=2﹣ x+2 ﹣ 2+x=2 ，若 x＞ 2，﹣ x＜ 0，2﹣ x＜0，则h（ x）=f （ x） +f （ 2﹣x） =（ x﹣2）2+2﹣ |2﹣ x|=x2﹣ 5x+8 ．即 h（ x）=，作出函数h（ x）的图象如图：当 y=3 时，两个函数有 2 个交点，故函数 y=f （ x）﹣ g（ x）的零点个数为 2 个，故选： A．点评：本题主要考查函数零点个数的判断， 根据条件求出函数的解析式， 利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题：本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分．9．（ 5 分）（ 2015?天津） i 是虚数单位，计算的结果为﹣ i ．考点 ：复数代数形式的乘除运算． 专题 ：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的除法运算法则化简求解即可． 解答：解： i 是虚数单位，===﹣ i ．故答案为：﹣ i ．点评：本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查．10．（ 5 分）（ 2015?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位： m ），则该几何体的体积为m 3．考点 ：由三视图求面积、体积．专题 ：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为 2，圆锥底面圆的半径为1，高为 1；∴该几何体的体积为22V 几何体 =2× π?1 ×1+π?1 ?2=π．故答案为：π．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．x11．（ 5 分）（ 2015?天津）已知函数f（ x）=a lnx ， x∈（ 0，+∞），其中f （ x）的导函数，若f′（ 1） =3，则 a 的值为 3．考点：导数的乘法与除法法则．专题：导数的综合应用．分析：由题意求出 f'（ x），利用 f′（ 1）=3，求 a．解答：x x x，又解：因为 f（ x）=a lnx ，所以 f′（ x）=f（x）=lna?a lnx+a故答案为： 3．点评：本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键．a为实数， f′（ x）为f′（ 1）=3，所以 a=3；12．（ 5 分）（ 2015?天津）已知 a＞0， b＞0， ab=8，则当 a 的值为 4 时， log2a?log2（ 2b）取得最大值．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由条件可得a＞ 1，再利用基本不等式，求得当从而得出结论．解答：解：由题意可得当log2 a?log2（2b）最大时，故有 a＞ 1．再利用基本不等式可得log 2a?log 2（ 2b）a=4 时， log 2a?log 2（ 2b）取得最大值，log2a 和 log 2（2b）都是正数，≤===4，当且仅当 a=2b=4 时，取等号，即当 a=4 时， log2a?log2（ 2b）取得最大值，故答案为： 4．点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题．13．（5 分）（ 2015?天津）在等腰梯形ABCD 中，已知 AB ∥DC，AB=2 ，BC=1 ，∠ABC=60 °，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则?的值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可．解答：解：∵AB=2 ，BC=1 ，∠ABC=60 °，∴BG== ， CD=2 ﹣ 1=1 ，∠BCD=120 °，∵=，=，∴?=（+）?（ +）=（ +）?（ +）=?+?+? +?=2 ×1×cos60°+×2×1×cos0°+ ×1×1×cos60°+× ×1×1×cos120°=1+=，故答案为：点评：本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键．14．（5 分）（ 2015?天津）已知函数 f（ x） =sinωx+cosωx（ω＞ 0），x∈R，若函数f（ x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数 y=f（ x）的图象关于直线x= ω对称，则ω的值为．考点：由 y=Asin （ωx+ φ）的部分图象确定其解析式．专题：开放型；三角函数的图像与性质．分析：由两角和的正弦函数公式化简解析式可得 f （ x） =sin（ωx+），由 2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（ x）的单调递增区间，结合已知可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，从而解得k=0 ，又由ωx+=k π+，可解8得函数 f （ x）的对称轴为： x=2， k∈Z，结合已知可得：ω= ，从而可求ω的值．解答：解：∵f （ x） =sinωx+cosωx=sin（ωx+），∵函数 f（ x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞ 0∴2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+ ，k∈Z 可解得函数 f（ x）的单调递增区间为： [，] ， k∈Z，∴可得：﹣ω≥①，ω≤②， k∈Z ，∴可解得： k=0，又∵由ωx+=k π+，可解得函数 f （ x）的对称轴为： x=， k∈Z ，∴由函数 y=f （ x）的图象关于直线2，可解得：ω=．x= ω对称，可得：ω =故答案为：．点评：本题主要考查了由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定k 的值是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（ 13 分）（ 2015?天津）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27， 9， 18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员组队参加比赛．（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（Ⅱ）将抽取的 6 名运动员进行编号，编号分别为 A 1，A 2， A 3， A4， A 5， A 6，现从这 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛．（i ）用所给编号列出所有可能的结果；（ii ）设 A 为事件“编号为 A 5和 A 6的两名运动员中至少有 1 人被抽到”，求事件 A 发生的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意可得抽取比例，可得相应的人数；（Ⅱ）（ i）列举可得从 6 名运动员中随机抽取 2 名的所有结果共 15种；（ ii ）事件 A 包含上述9 个，由概率公式可得．解答：解：（Ⅰ）由题意可得抽取比例为=，27× =3， 9× =1 ，18× =2，∴应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、 2；（Ⅱ）（ i）从 6 名运动员中随机抽取 2 名的所有结果为：（A1，A 2），（ A 1，A 3），（ A 1，A 4），（ A 1，A 5），（ A 1，A 6），（A2，A 3），（ A 2，A 4），（ A 2，A 5），（ A 2，A 6），（ A 3，A 4），（A3，A 5），（ A 3，A 6），（ A 4，A 5），（ A 4，A 6）），（ A 5，A 6），共 15种；（ ii ）设 A 为事件“编号为 A5和 A6的两名运动员中至少有 1 人被抽到”，则事件 A 包含：（ A 1， A 5），（ A 1， A 6），（ A 2， A5），（ A 2，A 6），（A3，A 5），（ A 3，A 6），（ A 4，A 5），（ A 4，A 6）），（ A 5，A 6）共 9个基本事件，∴事件 A 发生的概率 P= =点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样，属基础题．16．（ 13 分）（2015?天津）在△ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为a，b，c，已知△ABC 的面积为 3， b﹣c=2， cosA= ﹣．（Ⅰ）求 a 和 sinC 的值；（Ⅱ）求 cos（ 2A+）的值．考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）通过三角形的面积以及已知条件求出b， c，利用正弦定理求解 sinC 的值；（Ⅱ）利用两角和的余弦函数化简cos（ 2A+），然后直接求解即可．解答：解：（Ⅰ）在三角形 ABC 中，由 cosA= ﹣，可得 sinA=，△ABC 的面积为 3，可得：，可得 bc=24，又 b﹣c=2，解得 b=6， c=4，由 a 2=b2+c2﹣2bccosA，可得 a=8，，解得 sinC=；（Ⅱ） cos（ 2A+） =cos2Acos ﹣sin2Asin==．点评：本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，咋地了一余弦定理的应用，考查计算能力．17．（ 13 分）（ 2015?天津）如图，已知AA 1⊥平面 ABC ， BB 1∥AA 1，AB=AC=3 ， BC=2，AA 1= ，BB 1=2，点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点．（Ⅰ）求证： EF∥平面 A 1B1BA ；（Ⅱ）求证：平面AEA 1⊥平面 BCB 1；（Ⅲ）求直线A 1B1与平面 BCB 1所成角的大小．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接 A 1B，易证 EF∥A1B ，由线面平行的判定定理可得；（Ⅱ）易证 AE ⊥BC ， BB 1⊥AE ，可证 AE ⊥平面 BCB 1，进而可得面面垂直；（Ⅲ）取 BB 1中点 M 和 B1C 中点 N，连接 A 1M ， A 1N ，NE ，易证∠A 1B1N 即为直线A 1B1与平面 BCB 1所成角，解三角形可得．解答：（Ⅰ）证明：连接 A 1B，在△A 1BC 中，∵E 和 F 分别是 BC 和 A 1C 的中点，∴EF∥A 1B，又∵A 1B ? 平面 A 1B1BA ， EF? 平面 A 1B1BA ，∴EF∥平面 A1B1BA ；（Ⅱ）证明：∵AB=AC ， E 为 BC 中点，∴AE ⊥BC，∵AA 1⊥平面 ABC ， BB 1∥AA 1，∴BB 1⊥平面 ABC ，∴BB 1⊥AE ，又∵BC ∩BB 1=B，∴AE ⊥平面 BCB 1，又∵AE ? 平面 AEA 1，∴平面 AEA 1⊥平面 BCB 1；（Ⅲ）取 BB1中点 M 和 B1C 中点 N，连接 A1M，A1N，NE，∵N 和 E 分别为 B 1C 和 BC 的中点，∴NE 平行且等于B1B，∴NE 平行且等于 A 1A ，∴四边形 A 1AEN 是平行四边形，∴A 1N 平行且等于 AE ，又∵AE ⊥平面 BCB 1，∴A 1N⊥平面 BCB 1，∴∠A 1B1N 即为直线 A 1B1与平面 BCB 1所成角，在△ABC 中，可得 AE=2 ，∴A 1N=AE=2 ，∵BM ∥AA 1，BM=AA 1，∴A 1M∥AB 且 A 1M=AB ，又由 AB ⊥BB 1，∴A 1M ⊥BB 1，在 RT△A 1MB 1中， A 1B1==4，在 RT△A 1NB 1中， sin∠A 1B1N==，∴∠A 1B 1N=30 °，即直线 A 1B 1 与平面 BCB 1 所成角的大小为30°点评：本题考查线面垂直与平行关系的证明，涉及直线与平面所成的角，属中档题．18．（ 13 分）（ 2015?天津）已知 {a n } 是各项均为正数的等比数列， {b n } 是等差数列， 且 a 1=b 1=1， b 2+b 3=2a 3， a 5﹣ 3b 2=7．（Ⅰ）求 {a n } 和 {b n } 的通项公式；（Ⅱ）设 c n =a n b n ，n ∈N *，求数列 {c n } 的前 n 项和．考点 ：等差数列与等比数列的综合． 专题 ：等差数列与等比数列．分析：（ Ⅰ）设出数列 {a n } 的公比和数列 {b n } 的公差，由题意列出关于 q ， d 的方程组，求解方程组得到 q ， d 的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（Ⅱ）由题意得到 ，然后利用错位相减法求得数列{c n } 的前 n项和．解答：解：（Ⅰ）设数列 {a n } 的公比为 q ，数列 {b n } 的公差为 d ，由题意， q ＞ 0，由已知有，消去 d 整理得： q 4﹣ 2q 2﹣ 8=0．∵q ＞ 0，解得 q=2 ，∴d=2，∴数列 {a n } 的通项公式为， n ∈N * ；数列 {b n } 的通项公式为 b n =2n ﹣ 1， n ∈N *．（Ⅱ）由（Ⅰ）有，设 {c n } 的前 n 项和为 S n ，则，，两式作差得：n+1 n=2 ﹣ 3﹣（ 2n ﹣ 1）×2 =﹣（ 2n ﹣3） ×2n﹣ 3．∴．点评：本题主要考查等差数列、 等比数列及其前 n 项和，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，是中档题．19．（ 14 分）（ 2015?天津）已知椭圆 + =1（ a ＞ b ＞ 0）的上顶点为 B ，左焦点为 F ，离心率为 ．（Ⅰ）求直线 BF 的斜率．（Ⅱ）设直线 BF 与椭圆交于点（Q 异于点 B ），直线 PQ 与（i ）求 λ的值．P （P 异于点 B ），过点 B 且垂直于 BP 的直线与椭圆交于点 Q y轴交于点 M ， |PM|= λ|MQ|．（ii ）若 |PM|sin ∠BQP=，求椭圆的方程．考点 ：直线与圆锥曲线的综合问题．专题 ：开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （Ⅰ）通过 e= 2 2 2、a =b +c 、 B （ 0， b ），计算即得结论； （Ⅱ）设点 P （ x P ，y P ）， Q （ x Q ， y Q ），M （ x M ，y M ）．（ i ）通过（ I ），联立直线 BF 与椭圆方程，利用韦达定理可得 x P =﹣ ，利用 BQ ⊥BP ，联立直线 BQ 与椭圆方程，通过韦达定理得 x Q = ，计算即得结论； （ ii ）通过= 可得 |PQ|= |PM|，利用|PM|sin ∠BQP= ，可得 |BP|=，通过 y P =2x P +2c= ﹣ c 计算可得 c=1，进而可得结论．解答：解：（Ⅰ）设左焦点 F （﹣ c ， 0），∵离心率 e=2 22，∴a=c ， b=2c ，， a =b +c又∵B （0， b ），∴直线 BF 的斜率 k= = =2；（Ⅱ）设点 P （ x P ， y P ）， Q （x Q ， y Q ）， M （ x M ， y M ）． （ i ）由（ I ）知 a= c ， b=2c ， k BF =2，∴椭圆方程为+=1，直线 BF 方程为 y=2x+2c ，联立直线 BF 与椭圆方程，消去 y 并整理得： 3x 2P，+5cx=0 ，解得 x =﹣∵BQ ⊥BP ，∴直线 BQ 的方程为： y= ﹣ x+2c ，联立直线 BQ 与椭圆方程，消去y 并整理得： 21x 2﹣ 40cx=0，解得 x Q =，又∵λ=，及 x M =0，∴λ= = = ；（ ii ）∵= ，∴ = = ，即 |PQ|= |PM|，又∵|PM|sin ∠BQP=，∴|BP|=|PQ|sin ∠BQP= |PM|sin ∠BQP=，又∵y P =2x P +2c= ﹣ c ，∴|BP|==c ，因此c= c ，即 c=1，∴椭圆的方程为：+ =1．点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质， 考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力，属于中档题．420．（ 14 分）（ 2015?天津）已知函数 f （ x ）=4x ﹣ x ，x ∈R ．（Ⅱ）设曲线 y=f （ x ）与 x 轴正半轴的交点为 P ，曲线在点 P 处的切线方程为 y=g （ x ），求证：对于任意的实数 x ，都有 f （x ） ≤g （ x ）；（Ⅲ）若方程 f （ x ）=a （ a 为实数） 有两个实数根 x 1，x 2，且 x 1＜ x 2，求证： x 2﹣ x 1≤﹣ +4．考点 ：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题 ：开放型；导数的综合应用．分析：（ Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性； （Ⅱ）设出点 p 的坐标，利用导数求出切线方程g （ x ） =f ′（ x 0）（ x ﹣ x 0），构造辅助函数 F （ x ） =f （ x ）﹣ g （ x ），利用导数得到对于任意实数 x ，有 F （x ） ≤F （x 0） =0，即对任意实数 x ，都有 f （ x ） ≤g （x ）； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，，求出方程 g （ x ）=a 的根，由 g （ x ）在（﹣ ∞， +∞）上单调递减，得到x 2≤x 2′．同理得到 x 1′≤x 1，则可证得．解答：（ Ⅰ）解：由 f （ x ） =4x ﹣ x 4，可得 f ′（x ） =4﹣4x 3．当 f ′（ x ）＞ 0，即 x ＜1 时，函数 f （ x ）单调递增；当 f′（ x）＜ 0，即 x＞1 时，函数 f （ x）单调递减．∴f（ x）的单调递增区间为（﹣∞，1），单调递减区间为（1， +∞）．（Ⅱ）证明：设点p 的坐标为（ x0， 0），则，f′（x0）=﹣12，曲线 y=f （x）在点 P 处的切线方程为 y=f ′（ x0）（ x﹣ x0），即 g（ x）=f ′（ x0）（ x﹣x0），令函数 F（ x） =f （ x）﹣ g（ x），即 F（ x） =f （ x）﹣ f′（x0）（ x﹣x0），则 F′（x） =f ′（ x）﹣ f ′（x0）．∵F′（ x0） =0，∴当 x∈（﹣∞， x0）时， F′（ x）＞ 0；当 x∈（ x0， +∞）时， F′（ x）＜0，∴F（ x）在（﹣∞， x0）上单调递增，在（ x0，+∞）上单调递减，∴对于任意实数x， F（ x）≤F（ x0） =0，即对任意实数 x，都有 f（ x）≤g（ x）；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ ）知，，设方程g（ x） =a 的根为 x2′，可得．∵g（ x）在（﹣∞， +∞）上单调递减，又由（Ⅱ）知 g（ x2）≥f（x2） =a=g（x2′），因此 x2≤x2′．类似地，设曲线 y=f （ x）在原点处的切线方程为y=h （ x），可得 h（ x） =4x ，对于任意的 x∈（﹣∞，+∞），有 f（ x）﹣ h（ x） =﹣x 4≤0，即 f （ x）≤h（ x）．设方程 h（ x） =a 的根为 x1′，可得，∵h（ x） =4x 在（﹣∞， +∞）上单调递增，且h（ x1′） =a=f （ x1）≤h（ x1），因此 x1′≤x1，由此可得．点评：本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识．考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题．。