上海市嘉定一中2020-2021学年高一下学期3月月考数学试题

2021年高一下学期3月段考数学试卷含解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1．等差数列{a n }中，若a 1+a 2=5，a 3+a 4=7，则a 5+a 6= ． 2．sin15°•cos15°= ．3．三个数1，a ，2成等比数列，则实数a= ．4．在△ABC 中，若sinA ：sinB ：sinC=2：3：4，则最大角的余弦值= ． 5．在等差数列{a n }中，前15项的和S 15=90，则a 8= ． 6．已知，，则= ．7．在△ABC 中，已知a 2tanB=b 2tanA ，则此三角形的形状为 三角形． 8．已知数列{a n }的前n 项和S n =3+2n ，则a n = ．9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2﹣b 2=bc ，sinC=2sinB ，则A= ．10．设等比数列a n 中，每项均是正数，且a 5a 6=81，则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10= ．11．已知cos α=，cos （α+β）=，α，β均为锐角，则cos β= ． 12．设公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n +1、S n 、S n +2成等差数列，则q= ． 13．已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且=，（n ∈N +）则+= ．14．在锐角△ABC 中，b=2，B=，sin2A +sin （A ﹣C ）﹣sinB=0，则△ABC 的面积为 ．二、解答题：15．已知数列{a n }为等差数列，且a 3=5，a 6=11． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若等比数列{b n }满足b 1=3，b 2=a 1+a 2+a 3，求数列{b n }的前n 项和S n ． 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a 2+b 2+ab=c 2． （1）求角C 的大小；（2）若c=2acosB ，b=2，求△ABC 的面积．17．在等差数列{a n }中，已知a 1=20，前n 项和为S n ，且S 6=S 15， （1）求{a n }的通项公式；（2）求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值； （3）求数列{|a n |}的前n 项和T n ．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且acosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列，（Ⅰ）求B 的值；（Ⅱ）求2sin 2A +cos （A ﹣C ）的范围．19．某地区森林原有木材存量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设a n 为n 年后该地区森林木材的存量， （1）写出a 1，a 2，a 3； （2）求a n 的表达式；（3）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于a ，如果b=，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：lg2=0.3）20．已知数列{a n }中，a 1=2，a 2=3，其前n 项和S n 满足S n +1+S n ﹣1=2S n +1，其中n ≥2，n ∈N *．（1）求证：数列{a n }为等差数列，并求其通项公式；（2）设b n =，T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n 的取值范围； （3）设c n =4n +（﹣1）n ﹣1λ•2an （λ为非零整数，n ∈N *），试确定λ的值，使得对任意n ∈N *，都有c n +1＞c n 成立．xx学年江苏省泰州市泰兴中学高一（下）3月段考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．等差数列{a n}中，若a1+a2=5，a3+a4=7，则a5+a6=9．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质可得：a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，即可得出．【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，∴a1+a2+a5+a6=2（a3+a4），∴5+a5+a6=2×7，解得a5+a6=9，故答案为：9．2．sin15°•cos15°=．【考点】二倍角的正弦．【分析】给原式乘以2后，利用二倍角的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，即可求出原式的值．【解答】解：sin15°•cos15°=×2sin15°•cos15°=sin30°=×=．故答案为：3．三个数1，a，2成等比数列，则实数a=±．【考点】等比数列的通项公式．【分析】直接利用等比中项的概念列式得答案．【解答】解：∵三个数1，a，2成等比数列，∴a2=1×2=2，则a=．故答案为：．4．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=2：3：4，则最大角的余弦值=﹣．【考点】余弦定理．【分析】根据题意结合正弦定理得a：b：c=2：3：4．设a=2k，b=3k，c=3k，利用余弦定理求出cosC之值，即得最大角的余弦值【解答】解：∵△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，∴根据正弦定理，得a：b：c=2：3：4，可得c为最大边，角C是最大角设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）∴cosC===﹣即最大角的余弦值为﹣故答案为：﹣5．在等差数列{a n}中，前15项的和S15=90，则a8=6．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【分析】由等差数列的前n和可得，由等差数列的性质可得a1+a15=2a8，代入可求a8【解答】解：由等差数列的前n和可得∴a8=6故答案为：66．已知，，则=﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】所求式子利用诱导公式化简，将sinα算出并求出tanα带入可求出值．【解答】∵∴sinα==﹣即tanα=∴tan（）==﹣故答案为：﹣7．在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则此三角形的形状为等腰或直角三角形．【考点】三角形的形状判断．【分析】根据同角三角函数的基本关系与正弦定理化简题中的等式，可得sinAcosA=sinBcosB，由二倍角的正弦公式算出sin2A=sin2B，再利用诱导公式得出A=B或A+B=，从而可得△ABC是等腰三角形或直角三角形．【解答】解：∵a2tanB=b2tanA，∴a2•=b2•．根据正弦定理，可得sin2A•=sin2B•，化简整理，得sinAcosA=sinBcosB，∴2sinAcosA=2sinBcosB，即sin2A=sin2B，又∵A、B∈（0，π），∴2A=2B或2A=π﹣2B，解得A=B或A+B=，因此可得△ABC是等腰三角形或直角三角形．故答案为：等腰或直角8．已知数列{a n}的前n项和S n=3+2n，则a n=．【考点】数列的函数特性．【分析】这是数列中的知S n求a n型题目，解决的办法是对n分n=1与n≥2两类讨论解决．【解答】解：∵S n=3+2n，∴当n=1时，S1=a1=3+2=5，=2n﹣1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1当n=1时，不符合n≥2时的表达式．∴a n=．故答案为：a n=．9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2﹣b 2=bc ，sinC=2sinB ，则A= 30° ．【考点】正弦定理．【分析】已知sinC=2sinB 利用正弦定理化简，代入第一个等式用b 表示出a ，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c 与a 代入求出cosA 的值，即可确定出A 的度数． 【解答】解：将sinC=2sinB 利用正弦定理化简得：c=2b ， 代入得a 2﹣b 2=bc=6b 2，即a 2=7b 2， ∴由余弦定理得：cosA===， ∵A 为三角形的内角， ∴A=30°． 故答案为：30°10．设等比数列a n 中，每项均是正数，且a 5a 6=81，则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10= 20 ． 【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列和对数的性质，结合题设条件导出log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=log 3（a 1•a 2•a 3…a 10）=log 3（a 5a 6）5，由此能够求出其结果．【解答】解：∵等比数列{a n }中，每项均是正数，且a 5a 6=81， ∴log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=log 3（a 1•a 2•a 3…a 10） =log 3（a 5a 6）5 =log 3320 =20．故答案：20．11．已知cos α=，cos （α+β）=，α，β均为锐角，则cos β= ． 【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin （α+β），sin α的值，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解． 【解答】解：∵α、β为锐角， ∴α+β∈（0，π），∵cos （α+β）=＞0，cos α=， ∴sin （α+β）==，sin α==，∴cos β=cos [（α+β）﹣α]=cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=×+×=． 故答案为：．12．设公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n +1、S n 、S n +2成等差数列，则q= ﹣2 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】通过记等比数列{a n }的通项为a n ，利用S n ﹣S n +1=S n +2﹣S n 即﹣a n •q=a n •q +a n •q 2，计算即得结论．【解答】解：记等比数列{a n }的通项为a n ， 则a n +1=a n •q ，a n +2=a n •q 2，又∵S n +1、S n 、S n +2成等差数列， ∴S n ﹣S n +1=S n +2﹣S n ， 即﹣a n •q=a n •q +a n •q 2，∴q2+2q=0，∴q=﹣2，故答案为：﹣2．13．已知S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，且=，（n∈N）则+=．+【考点】数列的求和．【分析】由等差数列的性质，知+==，由此能够求出结果．【解答】解：∵S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，），且=，（n∈N+∴+====．故答案为：．14．在锐角△ABC中，b=2，B=，sin2A+sin（A﹣C）﹣sinB=0，则△ABC的面积为．【考点】解三角形．【分析】根据三角形的内角和定理得到三个角之和为π，表示出B，代入已知的等式中，利用诱导公式化简，再利用二倍角的正弦函数公式及和差化积公式变形，提取2cosA，等式左边变为积的形式，根据两数之积为0，至少有一个为0，可得cosA=0或sinA=sinC，由cosA=0，根据A为三角形的内角，可得A为直角，但三角形为锐角三角形，矛盾，故舍去；由sinA=sinC，根据A和C都为锐角，可得A=C，又B为，可得三角形为等边三角形，且边长为2，进而求出等边三角形的面积即可．【解答】解：∵A+B+C=π，∴B=π﹣（A+C），∴sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），代入sin2A+sin（A﹣C）﹣sinB=0得：sin2A﹣[sin（A+C）﹣sin（A﹣C）]=0，变形得：2sinAcosA﹣2cosAsinC=0，即2cosA（sinA﹣sinC）=0，所以cosA=0或sinA=sinC，解得A=（又锐角△ABC，此情况不满足，舍去）或A=C，所以A=C，又B=，b=2，所以△ABC为边长为2的等边三角形，则△ABC的面积S=×22=．故答案为：二、解答题：15．已知数列{a n}为等差数列，且a3=5，a6=11．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若等比数列{b n}满足b1=3，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出．（2）利用等比数列的通项公式、求和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差d，∵a3=5，a6=11，∴，解得a1=1，d=2，a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1．（2）设等比数列{b n}的公比为q，∵b2=a1+a2+a3=9，b1=3，∴q=3，∴{b n}的前n项和为．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2+b2+ab=c2．（1）求角C的大小；（2）若c=2acosB，b=2，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用余弦定理即可得出．（2）利用余弦定理可得a=b，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）∵a2+b2+ab=c2．∴cosC===﹣．∵C∈（0，π），∴C=．（2）∵c=2acosB，b=2，∴c=2a×，∴a2=b2，即a=b=2，∴△ABC的面积S=absinC=×=．17．在等差数列{a n}中，已知a1=20，前n项和为S n，且S6=S15，（1）求{a n}的通项公式；（2）求当n取何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值；（3）求数列{|a n|}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据等差数列前n项和公式=，将a1=20，即可求得公差d，根据等差数列通项公式即可求得{a n}的通项公式；（2）根据二次函数图象对称确定，当n=11，a11=0，可知n=10或11时，S10=S11，S n取得最大值，根据等差数列前n项和公式，即可求得S n取得最大值；（3）由题意可知当n≤11时，a n≥0，求得T n，当n≥12时，a n＜0根据数列的性质，可知T n=2S11﹣（21n﹣n2）=n2﹣21n+220，即可求得数列{|a n|}的前n项和T n．【解答】解：（1）由题意可知：S6=S15，即=，∴2a6=3a1+5a15，∴2（a1+5d）=3a1+5（a1+14d），解得：d=﹣2，∴a n=20+（﹣2）（n﹣1）=22﹣2n，∴{a n}的通项公式a n=22﹣2n；（2）由题意可知，S6=S15，∴S n=f（n）的对称轴方程为：n==10.5，10.5∉N*，∴n=10或11时，S10=S11，∴a11=0，d＜0，∴S10=S11==110，S n最大值为110．（3）由题意可知：a11=0，∴当n≤11时，a n≥0，T n==21n﹣n2，当n≥12时，a n＜0，T n=2S11﹣（21n﹣n2）=n2﹣21n+220，∴．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，（Ⅰ）求B的值；（Ⅱ）求2sin2A+cos（A﹣C）的范围．【考点】正弦定理；等差数列；三角函数的定义域．【分析】（Ⅰ）根据等差数列的性质可知acosC+ccosA=2bcosB，利用正弦定理把边转化成角的正弦，化简整理得sinB=2sinBcosB，求得cosB，进而求得B．（Ⅱ）先利用二倍角公式对原式进行化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的单调性求得2sin2A+cos（A﹣C）的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，∴acosC+ccosA=2bcosB，由正弦定理得，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入得：2RsinAcosC+2RcosAsinC=4RsinBcosB，即：sin（A+C）=sinB，∴sinB=2sinBcosB，又在△ABC中，sinB≠0，∴，∵0＜B＜π，∴；（Ⅱ）∵，∴∴==，∵，∴∴2sin2A+cos（A﹣C）的范围是．19．某地区森林原有木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设a n为n年后该地区森林木材的存量，（1）写出a1，a2，a3；（2）求a n的表达式；（3）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于a，如果b=，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：lg2=0.3）【考点】数列递推式；对数的运算性质．【分析】（1）要求出a n的表达式，主要思路是求出前几项然后观察规律，从而推出得出a n 的表达式，求解即可（2）只需代入，化简后的指数式转化利用对数的运算即可顺利解答．【解答】解：（1）设第一年的森林的木材存量为a1，第n 年后的森林的木材存量为a n ， 则，，，所以．（2）当时，有得即， 所以，．答：经过8年后该地区就开始水土流失．20．已知数列{a n }中，a 1=2，a 2=3，其前n 项和S n 满足S n +1+S n ﹣1=2S n +1，其中n ≥2，n ∈N *．（1）求证：数列{a n }为等差数列，并求其通项公式；（2）设b n =，T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n 的取值范围； （3）设c n =4n +（﹣1）n ﹣1λ•2an （λ为非零整数，n ∈N *），试确定λ的值，使得对任意n ∈N *，都有c n +1＞c n 成立．【考点】数列与不等式的综合． 【分析】（1）通过变形为（S n +1﹣S n ）﹣（S n ﹣S n ﹣1）=1（n ≥2，n ∈N *）可知数列{a n }是以a 1=2为首项、公差为1的等差数列，进而可得结论； （2）通过a n =n +1，裂项可知b n =（﹣），并项相加即得结论；（3）通过a n =n +1化简可知（﹣1）n ﹣1λ＜2n ﹣1恒成立，分n 为奇数、偶数两种情况讨论即可． 【解答】（1）证明：依题意，（S n +1﹣S n ）﹣（S n ﹣S n ﹣1）=1（n ≥2，n ∈N *）， 即a n +1﹣a n =1（n ≥2，n ∈N *），且a 2﹣a 1=1， ∴数列{a n }是以a 1=2为首项、公差为1的等差数列， ∴数列{a n }的通项公式a n =n +1； （2）解：∵a n =n +1， ∴b n ==（﹣），∴T n =（1﹣+﹣+…+﹣+﹣） =（1+﹣﹣） =﹣，易知T （n ）=﹣随着n 的增大而增大， 且T （n ）=，T （1）=， ∴≤T （n ）＜； （3）解：∵a n =n +1， ∴，∵c n +1＞c n 恒成立， ∴恒成立，∴3•4n ﹣3λ•（﹣1）n ﹣12n +1＞0恒成立， ∴（﹣1）n ﹣1λ＜2n ﹣1恒成立，（ⅰ）当n 为奇数时，即λ＜2n ﹣1恒成立， 当且仅当n=1时，2n ﹣1有最小值为1， ∴λ＜1；（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞﹣2n﹣1恒成立，当且仅当n=2时，﹣2n﹣1有最大值﹣2，∴λ＞﹣2．即﹣2＜λ＜1，又λ为非零整数，∴λ=﹣1；综上所述，存在λ=﹣1，使得对任意n∈N*，都有b n＞b n．+1精品文档xx年10月24日36665 8F39 輹tP22824 5928 夨36750 8F8E 辎27373 6AED 櫭40769 9F41 齁34602 872A 蜪/33178 819A 膚31477 7AF5 竵实用文档。

一、填空题1．函数y _____． 【答案】{}|1x x ≥【分析】由函数的解析式和偶次根号下被开方数大于等于0，列出不等式求出x 即可． 【详解】解：若函数有意义，则， 10x -≥解得，1x ≥故函数的定义域为． {}|1x x ≥故答案为：．{}|1x x ≥2．已知，，则______．3sin 5α=-π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭cos α=【答案】##0.8 45【分析】利用同角三角函数关系式已知正弦求余弦值即可.【详解】因为，，3sin 5α=-π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭所以，4cos 5α===故答案为：. 453．在单位圆中，扇形的弧所对的圆心角为 ，则扇形的弧长为______； 60︒【答案】## π31π3【分析】将角度化为弧度，根据扇形的弧长公式，即可求得答案. 【详解】在单位圆中，扇形的弧所对的圆心角为,即弧度， 60︒π3故扇形的弧长为，ππ133⨯=故答案为：π34．函数（且）的图象恒过定点______． log 2a y x =+0a >1a ≠【答案】()1,2【分析】根据对数函数过定点求解. 【详解】解：由， log 2a y x =+令，得，1x =2y =所以函数（且）的图象恒过定点， log 2a y x =+0a >1a ≠()1,2故答案为：()1,25．是2的倍数，是6的倍数，则是的______条件． :x α:x βαβ【答案】必要非充分【分析】利用充要条件的定义判定即可.【详解】当时，满足是2的倍数,但不满足是6的倍数，充分性不成立； 4x =x x ∴若是6的倍数，则一定是2的倍数，必要性成立. x x ∴则是的必要非充分条件. αβ故答案为：必要非充分. 6．当时，的最小值为______． 1x >41x x +-【答案】5【分析】将所求代数式变形为，利用基本不等式即可求解. 441111x x x x +=-++--【详解】解：因为，所以， 1x >10x ->所以， 44111511x x x x +=-++≥=--当且仅当，即时等号成立，411x x -=-3x =所以的最小值为. 41x x +-5故答案为：.57．一元二次方程的两个实根为，则______． 230x x +-=12,x x 221221x x x x +=【答案】3【分析】利用韦达定理即可求解. 【详解】依题意，因为一元二次方程的两个实根为，230x x +-=12,x x 所以由韦达定理得：，， 12111x x +=-=-12331x x -==-所以.()()2212211212133x x x x x x x x +=+=-⨯-=故答案为：3.8．函数是偶函数，且定义域是，则______．()21f x ax bx =++[]6,2a a -a b +=【答案】2【分析】根据函数的奇偶性与定义域，列出方程组即可确定的值，进一步即可得到的值.,a b a b +【详解】是偶函数，且定义域是，()21f x ax bx =++ []6,2a a -且，则，()()f x f x ∴-=620a a -+=2a =又，()22()()11f x a x b x ax bx -=-+-+=++，故，2211ax bx ax bx ∴-+=++0b =.2a b ∴+=故答案为：2.9．定义在R 上的奇函数，当时，（k 为常数），则______．()f x 0x ≥()32xf x x k =++()1f -=【答案】-4【分析】由奇函数的性质，代入解析式求出的值，利用函数的奇偶性将转换成()00f =k ()1f -，然后直接代入解析式即可.()1f -【详解】是定义在R 上的奇函数，()f x ，解得，()100f k ∴=+=1k =-则当时，，0x ≥()321xf x x =+-.()()(321)411f f ∴--+-===--故答案为：-4.10．在锐角△ABC 中，角B 所对的边长b =6，△ABC 的面积为15，外接圆半径R =5，则△ABC 的周长为______.【答案】)61【分析】先由正弦定理得,进而得,由的面积可得，再由余弦定理求得，即sin B cos B ABC A ac a c +得周长.【详解】因为，外接圆半径，所以，6b =5R =63sin 2105b B R ===4cos 5B =因为的面积为15，所以，ABC A 1sin 152ac B =50ac =因为，22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--所以 224()22cos 361001002165a cb ac ac B +=++=++⨯=即)61a b c ++=故答案为：)61+11．高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例x ∈R []x x []y x =如：，.已知，则函数的值域为______.[]3.74-=-[]2.32=()12121x x f x +-=+()y f x ⎡⎤=⎣⎦【答案】{}1,0,1-【分析】先把函数分离常数，然后求分离常数后的取值范围，最后根据取值范围求()12121x x f x +-=+解.()y f x ⎡⎤=⎣⎦【详解】 ()()122132122233221212121x x x x x x x f x ++--⨯+-====-++++ 又， 133202110130122212121x xx x x >∴+>∴<<∴-<-<∴-<-<+++ 当时，所以的值域里有 312021x -<-<+32121x ⎡⎤∴-=-⎢⎥+⎣⎦()y f x ⎡⎤=⎣⎦1-当时，所以的值域里有 302121x ≤-<+32021x ⎡⎤∴-=⎢⎥+⎣⎦()y f x ⎡⎤=⎣⎦0当时，所以的值域里有 312221x ≤-<+32121x ⎡⎤∴-=⎢⎥+⎣⎦()y f x ⎡⎤=⎣⎦1所以的值域为 ()y f x ⎡⎤=⎣⎦{}1,0,1-故答案为：{}1,0,1-二、单选题12．已知是第四象限的角，则点在（ ）． α()tan ,cos P ααA ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【分析】根据题意，由所在象限可判断三角函数的符号，可得 ，可得答案． αtan 0,cos 0αα<>【详解】根据题意， 是第四象限角，则， αtan 0,cos 0αα<>则点在第二象限, ()tan ,cos P αα故选：．B 13．若，则等于 18log 9185b a ，==36log 45A ．B ． 2a ba ++2a ba+-C ．D ．2a ba+2a ba +【答案】B【分析】先化为，化再利用换底公式化简，解得185b =5531823log log 2log b ==+9318233log 2log 2log a ==+，最后利用换底公式求结果. 3322log 22log 5a ab a -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【详解】∵18b =5，∴，又，联立解得． 5531823log log 2log b ==+9318233log 2log 2log a ==+3322log 22log 5a a b a -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴．故选B ．9554533364923322log 2log log 22log22log 222ba b a a a a⨯⨯+++====-+-+⨯【点睛】本题考查换底公式，考查基本化简求解能力. 14．关于幂函数的图象，下列选项描述正确的是（ ） A ．幂函数的图象一定经过和 (0,0)(1,1)B ．幂函数的图象一定关于y 轴或原点对称 C ．幂函数的图象一定不经过第四象限D ．两个不同的幂函数的图象最多有两个公共点 【答案】C【分析】由幂函数的性质对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，函数的图象不经过点，所以A 不正确； 1y x=()0,0对于B ，是非奇非偶函数，所以B 不正确； 12y x =对于C ，对于幂函数，当时，一定成立， y x α=0x >0y >所以任何幂函数的图象都不经过第四象限，所以C 正确；对于D ，，则令，解得：或或， 3,y x y x ==3x x =0x =1x ==1x -所以幂函数和有三个交点，所以D 不正确. 3y x =y x =故选：C.15．已知定义域为的函数满足：①对任意，恒成立；②若R ()y f x =,R x y ∈()()()f x y f x f y +=⋅则.以下选项表述不正确的是（ ）x y ≠()()f x f y ≠A ．在上是严格增函数 B ．若，则()y f x =R (3)10f =(6)100f =C ．若，则 D ．函数的最小值为2(6)100f =1(3)10f -=()()()F x f x f x =+-【答案】A【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再举例判断A ；取值计算判断B ，C ；借助均值不()f x 等式求解判断D 作答.【详解】任意，恒成立，,R x y ∈()()()f x y f x f y +=⋅且，假设，则有，R a ∈0a ≠()0f a =(2)()()()0()f a f a a f a f a f a =+=⋅==显然，与“若则”矛盾，假设是错的，因此当且时，， 2a a ≠x y ≠()()f x f y ≠R a ∈0a ≠()0f a ≠取，有，则，于是得，，0,0x a y =≠=()()(0)f a f a f =⋅(0)1f =R x ∀∈()0f x ≠，，，R x ∀∈2()([()]0222x x x f x f f =+=>()()(0)1f x f x f ⋅-==对于A ，函数，，，1()()2xf x =,x y ∀∈R 111()()()()()()222x y x y f x y f x f y ++==⋅=⋅并且当时，，即函数满足给定条件，而此函数在上是严格减函数，x y ≠()()f x f y ≠1()()2xf x =R A 不正确；对于B ，，则，B 正确；(3)10f =(6)(3)(3)100f f f =⋅=对于C ，，则，而，有，又，因此(6)100f =(3)(3)100f f ⋅=(3)0f >(3)10f =(3)(3)1f f ×-=，C 正确； 1(3)10f -=对于D ，，，则有，()()1f x f x ⋅-=()0f x >()()()1F x f x f x =+-³=当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为2，D 正确. ()()1f x f x =-=0x =()()()F x f x f x =+-故选：A【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值即可.三、解答题16．已知全集为，集合. R {}|342=->A x x (1)求；A (2)已知集合，且，求实数的取值范围. {}01B xx m =≤≤+∣A B = R m【答案】(1)2|23⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭A x x (2) {}|1≥m m【分析】（1）根据补集的运算可得答案；（2）利用结合图形可得实数的取值范围.A B = R m 【详解】（1）因为或，{}{342|2=->=>A x x x x 23⎫<⎬⎭x 所以.2|23⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭A x x （2）因为，所以，解得. AB = R 12m +≥m 1≥实数的取值范围是.m {}|1≥mm17．已知为第二象限角，且求的值. αsin αsin()4sin2cos 21πααα+++【答案】【详解】试题分析：先对sin()4sin 2cos 21πααα+++根据为第二象限角，且，可计算出，然后代入代数式计算即可．试题解析：因为sin()4sin 2cos 21πααα+=++，又当为第二象限角，且时，所以，，所以sin()4sin 2cos 21πααα+++【解析】两角和差的正弦公式，二倍角公式．18．如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知Ox α()0ββαπ<<<,P Q 点的坐标为.P 34(,55-（1）求的值； 113sin()5sin()2tan()72cos()cos()2ππααπαπαα-+--+--+（2）若，求的值.2παβ=+2sin cos 2cos βββ-【答案】（1）；（2）.49301625-【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数基本关系式及诱导公式即可计算求解；（2）由题得，利用诱导公式可求，的值，即可求解．2πβα=-sin βcos β【详解】（1）由题得，，，3cos 5α=-4sin 5α=4tan 3α=-∴113sin()5sin()3sin 5cos 2tan()tan 72cos sin 2cos()cos()2ππααααπααπαααα-+-+-+=----+.43354495534330255⎛⎫⨯+⨯- ⎪⎝⎭=+=⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭（2）由题得，∴，，2πβα=-cos sin αβ-=sin cos αβ=∴，，3sin 5β=4cos 5β=∴.344162sin cos 2cos 2255525βββ-=⨯⨯-⨯=-19．某网红食品店近日研发出一款糕点，为给糕点合理定价，食品店进行了市场调研．调研发现，销售量（单位：斤）与定价x （单位：元/斤）满足如下函数关系：()t x 4500()10500,1550t x x x x=-++≤≤(1)为使销售量不小于150斤，求定价x 的取值范围；(2)试写出总销售额）y （单位：元）关于定价x 的函数表达式；并求总销售额的最大值，及此时定价x 的值．【答案】(1){}|1545x x ≤≤(2)定价为25元/斤时总销售额最大为10750元.【分析】（1）由题意销售量不小于150斤，即解不等式即得定价x 的取值范围； ()150t x ≥（2）由总销售额=定价销售量可得函数关系式，化简利用二次函数求最值即可得到总销售额的最⨯大值及此时定价x 的值.【详解】（1）因为量不小于150斤，所以， 4500()10500150t x x x=-++≥即，解得， 21035045000x x -++≥1045x -≤≤又因为，则， 1550x ≤≤{}|1545x x ≤≤故定价x 的取值范围. {}|1545x x ≤≤（2）总销售额=定价销售量 ⨯ 4500(10500),1550y x x x x=-++≤≤∴210(25)10750x =--+当时取得最大值，此时25x =y 210(2525)1075010750y =--+=即定价为25元/斤时总销售额最大为10750元.20．若两个函数和对任意都有，则称函数和()y f x =()y g x =[,]x a b ∈|()()|1f x g x -≤()y f x =在上是“密切”的．()y g x =[],a b (1)已知命题“函数和在上是“密切”的”，判断该命题的真假．若211()22f x x x =--+()1g x x =-+[]1,2该命题为真命题，请给予证明;若为假命题，请说明理由;(2)若函数和在上是“密切”的，求实数的取值范围；211()22f x x x =--+()1g x x =-+[,1]a a +a (3)已知常数，若函数与在上是“密切”的，求实数的取1m >()1()3xx F x m m -=-2()3x G x m =[]1,2m值范围．【答案】(1)假命题，理由见解析； (2)[1,0]-(3)【分析】（1）由题意可知，由一元二次函数的图像结合函数“密切”的定义判211()()22f xg x x -=+断即可；（2）由解出的取值范围，根据集合间的关系求解即可； |()()|1f x g x -≤x （3）由函数“密切”的定义结合对勾函数的单调性求解即可.【详解】（1）由可得211(),()122f x x xg x x =--+=-+，222111111()()(1)222222f xg x x x x x x -=-+--+=--=+由一元二次函数的图像可知，21151,222x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以，即， 21151222x ≤+≤51()()2f xg x ≤-≤故命题“函数和在上是“密切”的”是假命题.211()22f x x x =--+()1g x x =-+[]1,2（2）由（1）知，即，所以， 22111|()()|1222x f x g x x +-=+=≤21x ≤11x -≤≤所以，解得，故实数a 的取值范围为.111aa -≤⎧⎨+≤⎩10a -≤≤[1,0]-（3）因与在上是“密切”的， ()1()3xx F x m m -=-2()3x G x m =[1,2]所以在上恒成立，()12133x xx m m m ---≤[1,2]所以，即， ()113xx m m -+≤13x x m m+≤因为，，所以，且单调递增，只需即可， 1m >[1,2]x ∈1x m >x m 13xxm m +≤又因为对勾函数在上为增函数，所以当时，取最大值，1y t t =+[1,)+∞2x =1xx m m+所以，即， 2213m m+≤42310m m -+≤所以，解得， 223524m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭232m ≤-≤2m ≤≤所以222m ≤≤m ≤≤。

2020~2021学年下学期高一年级3月份月考数学试卷考生注意:1.本试题共分为Ⅰ、Ⅱ卷，共4页，时量120分钟，满分150分。

答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号，座位号填入相应位置内。

2.客观题请用2B 铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的签宇笔书写在答题卷上。

考试结束时，只交答题卷，试卷请妥善保管。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题，本大题共8个小题，每题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若()()1,2,1,0AC BC ==， 则AB 等于（ ）A.()22，B.()20，C.()0,2D.()0,2-2.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，.已知()22,21b c a b sinA ==-，则A 等于（ ） A.34π B.3π C.4π D.6π 3.已知向量()()()21212a b sin c cos αα==-=-，，，，，， 若()//a b c +，则tan α的值为（ ） A.2 B.12 C.12- D.2- 4.已知平面向量()(),21,1,a k b k R ==∈，，则2k =是a 与b 同向的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在ABC ∆中，152C cos BC AC ===，，则AB 等于（ ）A. D.6.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，， 已知1sin sin 4sin ,cos 4a A b B c C A -==-，则b c等于（ ）A.6B.5C.4D.37.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，，若cos c b A <，则ABC ∆为（ ） A 钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形8.在ABCD 中，o =60,4,3BAD AB AD ∠==，且=3CP PD ，则AP AB ⋅等于（ ）A.5B.6C.7D.10二、多项选择題.本大题共4个小题，毎题5分，共20分.在毎小题出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有逃错的得0分。

C2021年高一下学期第一次月考（3月）联考数学试题 含答案一、选择题（每题5分，共50分）1．化简得（ ）A ．B ．C ．D ．2在△ABC 中， ，则A 等于 （ ）A ．60°B ． 120°C ．30°D ． 150°3．向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，(a ＋b)⊥(2a －b)，则向量a 与b 的夹角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°4、已知中，，，，那么角等于（ ）A 、B 、C 、D 、5、如图所示，已知，，，，则下列等式中成立的是( )( A) (B)(C) (D)6. 若=--y C B A 三点共线，则)2,6(),2,5(),6,3(（ ）,A ．13B ．C ．9D ．7已知均为单位向量，它们的夹角为，那么（ ）A ．B ．C ．D ．8在中，=•===A b B co c 则，,cos s a 1a ,3（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB→| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( ) A. 等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形10如图BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点，且,若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则的值是（ ）A ．B ． C.． D ．O二、填空题（每题5分，共50分）11已知a =（-4，3），b =（-3，4），b 在a 方向上的投影是12已知向量a =（1，），则与a 反向的单位向量是13已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_________14.设的内角所对边的长分别为.若,则则角_____.15①设a ，b 是两个非零向量，若|a+b|=|a-b|，则a ·b=0 ②若c ⊥•-•=（（满足非零向量③在△ABC 中，若，则△ABC 是等腰三角形④在中，，边长a,c 分别为a=4,c=，则只有一解。

高一年级三月份月考卷一、填空题1.已知()3131x x f x -=+，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 2.若0a >，1a ≠，0x y >>，*n N ∈，则下列各式：（1）()log log na a x n x =； （2）()log log n n a a x x =；（3）1log log a a x x =-；（4）log log log a a a x x y y =；（51log a x n=； （6）log log a a x n =（7）log log n n a a x x =；（8）log log a x y x y x y x y-+=-+- 其中正确的是 .3.函数2log 23y x x =+-的定义域是 . 4.函数()13912x x f x +=+-的反函数()1f x -= .5.己知()22log ,(0,),(1,0]2(,1]x x x x x f x x ⎧∈+∞⎪=∈-⎨⎪-∈-∞-⎩，则(()()2f f f -= .6.已知,,x y z 都是大于1的正数，0m >，且log 24x m =，log 40y m =，log 12xyz m =，则log z m = .7.设正数,x y 满足222log (3)log log x y x y ++=+，则x y +的取值范围是 .8.如果函数()()2log 3a a f x x x =-+在区间[2,4]上是增函数，则实数a 的取值范围是 . 9.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若当(0,)x ∈+∞时，()lg f x x =，则不等式()0f x >的解集是 .10.不论a 为何值，函数(1)22x a y a =-⋅-的图像恒过一定点，这个定点的坐标是 . 11.设14log 7a =，145b =，则35log 28= .（用,a b 表示） 12.若函数25lg (2)(2)4y k x k x ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦的定义域为R ，则实数k 的取值范围是 . 13.已知函数()1x x a f b -=+（0,1b b >≠）的图像经过点(1,3)，函数1()(0)f x a x -+>的图像经过点(4,2)，则()1f x -= .14.若227log 333m x m +>对一切x R ∈恒成立，则实数m 的取值范围是 .15.定义在[2,2]-上的连续函数()f x 满足()()120182018f x f x -=，且在[0,2]上是增函数，若()[]24log log (2)f m f m <+成立，则实数m 的取值范围是 .二、选择题16.函数()2x xx e f e --=的反函数（ ） A.是奇函数，它的(0,)+∞上是减函数B.是偶函数，它的(0,)+∞上是减函数C.是奇函数，它的(0,)+∞上是增函数D.是偶函数，它的(0,)+∞上是增函数17.函数()213log 3y x ax =-+在[1,2]上有意义，则实数a 的取值范围是（ ）A.a <<B.72a <<C.732a <<D.3a <<18.若函数()()y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，且(]1,1x ∈-时，()f x x =，则函数()y f x =的图像与函数5log y x =的图像交点个数为（ ）A.2B.6C.8D.多于8三、解下列关于x 的方程19.22122123235x x x x ++⋅+⋅=20.()1331log 31log 323x x -⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭ 四、解答题21.若()3log 3m f x x x -=+，设其定义域上的区间[,]αβ（0βα>>）. （1）判断该函数的奇偶性，并证明；（2）当1m >时，判断函数在区间[,]αβ（0βα>>）上的单调性，并证明；（3）当01m <<时，若存在区间[,]αβ（0βα>>），使函数()f x 在该区间上的值域为[]log (1),log (1)m m m m βα--，求实数m 的取值范围.22.设()xf x a b =+同时满足条件()02f =和对任意x R ∈都有()()121f x f x +=-成立.（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()f x 的定义域为[2,2]-，且在定义域内()()g x f x =，求()1g x -；（3）求函数()()1y g x g x -=+的值域.23.已知a R ∈，函数()21log a x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程()2log [(4)25]0a x f x a --+-=的解集恰好有一个元素，求实数a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围.。

上海市2021学年高一数学下学期3月阶段测试题（含解析）一、填空题（每小题4分，共40分）1.已知点在角的终边上，且，则______________.【答案】【解析】【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，利用诱导公式化简，则可得结果．【详解】因为，则r13a，∴sinα，cosα，又,故答案为.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，涉及诱导公式及同角基本关系式的应用，属于基础题．2.求值：______________.【答案】1【解析】【分析】先利用同角基本关系将原式切化弦，再利用两角和的正弦公式，结合二倍角的正弦公式化简分子，进而再利用诱导公式变形，约分后即可得到结果．【详解】因为＝•）＝•＝•＝•＝1．故答案为：1.【点睛】本题考查了三角函数的化简求值问题，考查了两角和的正弦公式、同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键．3.已知，则的值为_______________.【答案】【解析】【分析】由下向上依次运算，1﹣csc2x＝﹣cot2x，11+tan2x，11﹣cos2x．【详解】原式代入得．故答案为.【点睛】本题考查了化简求值问题，考查了同角三角函数的基本关系及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．4.已知锐角是钝角的两个内角，且的终边过点，则是第______象限角.【答案】二【解析】【分析】由题意得，利用正弦函数的单调性及诱导公式可得结果.【详解】若△ABC为钝角三角形且为锐角，则，因此，则sin<sin（）＝cos，同理可得sin<sin（）＝cos，所以，，故P在第二象限，故答案为：二.【点睛】本题考查了三角形内角的关系，考查了正弦函数单调性的应用，考查了诱导公式的应用，属于中档题.5.在中，已知，给出以下四个论断：①②③④，其中正确的是 .【答案】②④【解析】试题分析：因为，整理得，所以不正确，，，，所以②正确，，③错，，，，故④正确，故答案为②④.考点：1、三角形内角和定理及诱导公式；2、两角和的正弦公式及同角三角函数之间的关系. 【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考察三角函数的有界性、三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式、同角三角函数关系以及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.6.已知，则____________.【答案】【解析】【分析】利用二倍角的三角函数公式，结合弦化切化简得，由，直接得出结果．【详解】∵分子、分母都除以cos2θ，∴得=，（）∵，∴所求=故答案为．【点睛】本题考查了二倍角的三角函数公式与同角三角函数基本关系的应用，考查了弦化切的方法，属于中档题．7.已知，，则__________．【答案】【解析】分析：先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果.详解：因为，，所以，因此点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.8.已知，且是关于的方程的两个根中较小的根，则的值为____________.【答案】【解析】【分析】由方程的两根之积为1和较小根为tanα得到方程较大的根为即cotα，然后根据两根之和等于﹣2secα列出等式，利用同角三角函数间的基本关系化简得到sinα的值，根据正弦函数的周期和特殊角的三角函数值求出α的值，代入到两根之中检验得到符合题意的值．【详解】∵tan是方程x2+2x sec+1＝0的较小根，且两根之积为1，∴方程的较大根是cot．∴tan+cot＝﹣2sec，即，且tan<cot,∴．又，解得或，又tan<cot，∴，故答案为.【点睛】本题考查了韦达定理的应用，考查了利用同角三角函数间的基本关系化简求值，易错点是容易忽视的范围及条件而导致没有取舍，属于中档题．9.在中，已知．则______．【答案】【解析】【详解】由三角万能公式得．解得或．又由、、为的三个内角知，，．故．因此，．10.在中，，则____________.【答案】【解析】【分析】根据余弦定理化简，得到；由题意，在BC上取D，使得BD＝AD，连接AD，找出A﹣B，设BD＝x，在△ADC中两次利用余弦定理将cos（A﹣B）及cos C表示出，分别求出x建立关于a，b的方程，化简变形后利用整体换元求出答案．【详解】由题意知，4cos C，∴由余弦定理得，4，化简可得＝2，则,又中不妨设a＞b，∴A＞B．在BC上取D，使得BD＝AD，连接AD，设BD＝x，则AD＝x，DC＝a﹣x，AC＝b，在△ADC中，cos∠DAC＝cos（A﹣B），由余弦定理得：（a﹣x）2＝x2+b2﹣2x•b•，即：(b﹣6a)x＝，解得：x＝．①又在△ADC中，由余弦定理还可得cos C，∴cos C，化简得x＝，②由①②可得，又＝2，联立可得=,即=,两边同时除以，得=+6，令，则12，解得t=或，又由题意，∴t=cos C=，故答案为：.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查了运算化简的技巧，考查利用几何图形解决问题的能力，属于难题．二、选择题（每小题4分，共16分）11.若角和角的终边关于轴对称，则下列等式恒成立的是（）A. B. C. D..【答案】A【解析】由角和角的终边关于轴对称得 ,所以, , , .选A.12.“”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分亦不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据两角和的正切公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】由（1+tanα）（1+tanβ）＝2得1+tanα+tanβ+tanαtanβ＝2，即tanα+tanβ＝1﹣tanαtanβ，∴1，∴．(k，不一定有“”；反之，“”不一定有“”，如=，，此时无意义；∴“”是“”的既不充分亦不必要条件．故选D．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，考查了两角和的正切公式，举反例说明命题不成立是解决此类题的常用方法，属于基础题．13.已知中，且，，则是（）A. 正三角形B. 直角三角形C. 正三角形或直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形【答案】A【解析】【分析】由tan A+tan B tan A tan B，推导出C＝60°，由，推导出A＝60°或90°，从而得到△ABC的形状．【详解】∵tan A+tan B tan A tan B，即tan A+tan B（1﹣tan A tan B），∴tan（A+B），又A与B都为三角形的内角，∴A+B＝120°，即C＝60°，∵，∴,∴2B＝60°或120°，则A=90°或60°.由题意知∴△ABC等边三角形．故选：A．【点睛】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用．14.设且则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由已知得，，去分母得，，所以，又因为，，所以，即，选考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式．三、解答题：15.如图，点是单位圆上的两点，点是圆与轴的正半轴的交点，将锐角的终边按逆时针方向旋转到.（1）若点的坐标为，求的值；（2）用表示，并求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知利用任意角的三角函数的定义可得，cos和sin的值，再利用二倍角公式求得sin2和cos2的值，可得的值．（2）由题意可得，|OC|＝|OB|＝1，∠COB＝，由余弦定理可得的解析式．根据∈（0，），利用余弦函数的定义域和值域求得|BC|的范围．【详解】（1）由已知，，∴，∴；（2）由单位圆可知：，由余弦定理得：，∵，∴，∴，∴，∴.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查了二倍角公式及余弦定理的应用，考查了余弦函数求值域的问题，属于中档题．16.在中，已知.（1）求周长的最大值；（2）若，求的面积.【答案】（1）6；（2）.【解析】【分析】（1）由余弦定理及已知条件可得：，利用基本不等式解得，从而可求周长的最大值．（2）由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得，分类讨论分别求出a，b的值，利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】（1）由余弦定理，得，于是得，当且仅当时，等号成立，∴，即周长的最大值为6；（2），⇒，或，①时，，此时，②时，由正弦定理，知，∵，∴，综上，的面积为.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题．17.（1）如图，点在线段上，直线外一点对线段的张角分别为，即.求证：.（2）在中，为线段上一点，，其中，试用表示线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式将表示出来，化简整理可得结论；（2）选用三角形的面积公式：可得，再利用正弦定理表示出整理可得BC.【详解】（1）等式两边同除，即得；（2）∵，∴.【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用，灵活选择三角形面积公式是解决本题的关键，属于基础题.- 11 -18.如图，边长为1的正方形中，分别为边上的点，且的周长为2.（1）求线段长度的最小值；（2）试探究是否为定值，若是，给出这个定值；若不是，说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据△CPQ周长为2，并且△CPQ是直角三角形，设∠CPQ＝θ，根据三角函数的定义，CP＝PQ cosθ，CQ＝PQ sinθ，因此可以表示出，求该函数的最小值即可；（2）利用解析法求解：分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设Q（x，1），P（1，y），利用两点间距离公式求出PQ，根据△CPQ周长为2，找出x，y的关系，求出∠PAQ的正切值，即可求得结果．【详解】（1）设∠CPQ＝θ，则CP＝PQ cosθ，CQ＝PQ sinθ（）∴∴（2）分别以AB，AD所在直线为x轴、y 轴建立平面直角坐标系，设Q（x，1），P（1，y ），设∠DAQ＝，∠PAB ＝∴，即xy+（x+y）＝1又tan＝x，tan＝y∴，∴- 12 -∴【点睛】本题考查三角函数的应用，特别求角的问题，转化为求角的某个三角函数值，体现了用数研究形的数学思想，考查运算能力和分析解决问题的能力，属于中档题．- 13 -。

2021年高一下学期3月月考数学试题含答案（时间：120分钟满分：150分）xx.3一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（）A. B. C. D.2．运行程序后输出A,B的结果是（）A. B. C. D.3．执行下面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A. B. C. D.4．对任意的实数k,直线与圆的位置关系一定是（）A.相离B. 相切C. 相交但直线不过圆心D. 相交且直线过圆心5．在100各零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00,01,02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个，则（）A.不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是B. ①②两种抽样法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，③并非如此C. ①③两种抽样法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，②并非如此D. 采取不同的方法，这100个零件中每个个体被抽到的概率不同6．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是，则该射手在一次射击中不够8环的概率为（）A. B. C. D.7．连续投掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于6的概率为（）A. B. C. D.8．已知地铁列车没10分钟（含在车站停车时间）一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是（）A. B. C. D.9．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方体中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为（）A. B. C. D. 无法计算10．有五组变量：①汽车的重量和汽车没消耗一升汽油所行驶的距离②平均日学习时间和平均学习成绩③某人每天的吸烟量和身体健康状况④圆的半径与面积⑤汽车的重量和每千米的耗油量其中两个变量成正相关的是（）A.②④⑤B. ②④C. ②⑤D.④⑤11．圆与圆的公切线有且仅有（）A. 1条B. 2条C.3条D. 4条12．设圆都和两坐标轴相切，且都过点，则两圆心的距离（）A. B. C. D.二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.某校对全校男女学生工1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生抽了95人，则该校的女生人数应是人.14在面积为S的内部任取一点P，则的面积大于的概率是.15．在相同的条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试，测得他们的最大速度如下：试判断选谁参加某项重大比赛更合适？.16.给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙没有射中目标”，③从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，“至少一个黑球”与“都是红球”④从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”其中属于互斥事件的是.（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题10分）画出计算的程序框图，要求框图必须含有循环结构.18.（本题12分）从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动.（1）求所选2人恰有一名男生的概率；（2）求所选2人中至少有一名女生的概率.19. （本题12分）某制造商生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个球的:分组频数频率10205020合计100（1）补充完成频率分布表（结果保留两位小数），并在上图中画出频率分布直方图；（2）若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00mm，试求这批乒乓球的直径误差不超过0.03mm的概率；（3）统计方法中，同一小组数据常用该组区间的中点值（例如区间的中点值是40.00）作为代表，据此估计这批乒乓球直径的平均值（结果保留两位小数）.20. （本题12分）有一个不透明的袋子，装有4个完全相同的小球，球上分别编有数字1,2,3,4. （1）若逐个不放回取球两次，求第一次取到球的的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的概率；（2）若先从袋中随机取一个球，该球的编号为a，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为b，求直线与圆有公共点的概率.21. （本题12分）某车间为了工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作出了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x（个） 2 3 4 5加工的时间y(（小时） 2.5 3 4 4.5（1）在给定的坐标系中，画出表中数据的散点图：（坐标系见答题纸）（2）求出关于的线性回归方程，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时？参考公式：22. （本题12分）已知圆C的方程为.（1）求过点且与圆C相切的直线的方程；（2）直线过点，且与圆C相交于A,B两点，若，求直线的方程；（3）圆C上有一动点，若Q为MN的中点，求点Q的轨迹方程.c24403 5F53 当24487 5FA7 徧_J29761 7441 瑁BQ n37267 9193 醓40477 9E1D 鸝。

2020-2021学年高一数学下学期3月月考试题 (II)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.空间四点A ，B ，C ，D 共面但不共线，那么这四点中( )A ．必有三点共线B ．必有三点不共线C ．至少有三点共线D ．不可能有三点共线2.已知两条直线a ，b ，两个平面α，β，则下列结论中正确的是（ ）A. 若a ⊂β，且α∥β，则a∥αB. 若b ⊂α，a∥b，则a∥αC. 若a∥β，α∥β，则a∥αD. 若b∥α，a∥b，则a∥α 3.下列说法中正确的是( )A.棱柱的侧面可以是三角形B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱C.所有的几何体的表面都能展成平面图形D.棱柱的各条棱都相等4.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中, ,,,?E F G H 分别为1111,,,AA AB BB B C 的中点,则异面直线EF 与GH 所成的角等于( ) A. 45 B. 60 C. 90 D.1205.如图所示，A 是平面BCD 外一点，E 、F 、G 分别是BD 、DC 、CA 的中点，设过这三点的平面为α，则在图中的6条直线AB 、AC 、AD 、BC 、CD 、DB 中，与平面α平行的直线有( ) A ． 0条 B ． 1条 C ． 2条 D ． 3条6.半径为R 的半圆卷成一个圆锥,圆锥的体积为( ) A.333R π B. 336R π C. 3324R π D. 316R π 7.如图为某空间几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A. 1242+B. 1882+C. 28D. 2082+5题图 4题图8. 数列{}n a 中， 1231,4a a ==，且()11112*,2n n nn N n a a a -++=∈≥，则10a 等于（ ） A. 17 B. 27 C. 14D. 49.设正方体的表面积为24,那么其外接球的体积是( ) A. 43π B. 83π C. 43π D. 323π10.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长都相等,其外接球的表面积是,则其侧棱长为( )A. B. C. D.11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( ) A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛12.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的厚度,则球的体积为( ) A.35003cm π B. 38663cm π C. 313723cm π D. 320483cm π二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.下列说法中正确的是_______(填序号)．①若直线a 不在平面α内，则a ∥α；②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α； ③若直线l 与平面α平行，则l 与α内任何一条直线都没有公共点；④平行于同一平面的两条直线可以相交．14．如图，在四棱锥S ­ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点E 是SA 上一点，当SE∶SA＝________时，SC∥平面EBD ． 15.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形12题图 11题图和边长为a 的正三角形,则它们的表面积之比为__________. 16.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第5行（3n ≥）从左向右的第3个数为______． 第n 行（3n ≥）从左向右的第3个数为______． 三、解答题 17．如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为的中点．证明：直线平面.18.如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AA 1，D 1C 1的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l .(1)画出l 的位置；(2)设l ∩A 1B 1＝P ，求PB 1的长．19.以正棱柱两个底面的内切圆面为底面的圆柱叫作正棱柱的内切圆柱,以正棱柱两个底面的外接圆面为底面的圆柱叫作正棱柱的外接圆柱. (1).求正三棱柱与它的外接圆柱的体积之比(2).若正三棱柱的高为6cm ,其内切圆柱的体积为324cm π,求该正三棱柱的底面边长.20.在四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD 是菱形，且AB ＝BC ＝2 3，∠ABC ＝120°，若异面直线A 1B 和AD 1所成的角为90°，求AA 1的长．21．等差数列{a n }的各项都是整数，首项a 1＝23，且前6项和是正数，而前7项之和为负数．(2)设S n 为其前n 项和，求使S n 最大的项数n 及相应的最大值S n .22.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n，数列{b n }满足：b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{b n }的通项公式b n ； (3)若c n ＝a n ·b nn，求数列{c n }的前n 项和T n .1-5 BABBC 6-10 CDCCB 11答案：B 解析：由l =1284r π⨯=, 得圆锥地面的半径1616π3r =≈ 所以米堆的体积2111256320πr 543499V h =⨯=⨯⨯=所以堆放的米有3201.62229÷≈斛, 12答案：A解析：设球的半径为,R cm 由題意知,球被正方体上面截得圆的半径为4cm ,球心到截面圆的距离为(2),R cm -则222(2)4,R R =-+解得5,R =所以球的体积为3345005()33cm ππ⨯=,故选A 13. ③④_ 14.15. 答案：2:117.如图，取OD 的中点P ，连接MP 、CP 。