逻辑联结词非

《4.3逻辑联结词“非”》知识清单高中北师大版选修1 1第一章常用逻辑用语§4逻辑联结词“且”“或”“非”之4.3逻辑联结词“非”知识清单一、“非”的基本概念1、定义就像我们平常说的“不是”这种感觉。

在逻辑里，“非”是一种对命题的否定操作。

比如说，有一个命题“今天是晴天”，那它的“非”命题就是“今天不是晴天”。

简单吧？这就是逻辑联结词“非”的基本作用，就是把一个命题的真假性给反过来。

用数学的话来说，如果我们有一个命题\（p\），那么它的“非”命题就记作\（＼neg p\）。

这就像是给\（p\）戴了一个“否定”的帽子。

2、实例理解我给你讲个事儿。

有一次我去参加一个抽奖活动。

规则是如果一个小球是红色的，那你就能得到大奖。

这里“小球是红色的”就是一个命题\（p\）。

可是我一看，小球不是红色的，这时候“小球不是红色的”就是\（＼neg p\）。

结果我就没得到大奖，好可惜啊。

不过通过这个事儿，是不是对“非”的概念理解得更清楚了呢？二、“非”与命题真假性的关系1、规则当原命题\（p\）为真时，那么\（＼neg p\）就为假。

就像刚刚说的那个抽奖，如果小球真的是红色的（＼（p\）为真），那说小球不是红色的（＼（＼neg p\））就是假的。

反过来，当原命题\（p\）为假时，＼（＼neg p\）就为真。

要是小球实际上不是红色的（＼（p\）为假），那说小球不是红色的（＼（＼neg p\））这个说法就是真的。

2、更多例子命题\（p\）：“这个数是偶数”，如果这个数真的是偶数，比如\（2\），那\（p\）是真的，＼（＼neg p\）：“这个数不是偶数”就是假的。

但如果这个数是\（3\），＼（p\）是假的，＼（＼neg p\）就是真的。

再比如命题\（p\）：“小明的身高超过180厘米”。

如果小明实际身高是185厘米，＼（p\）为真，＼（＼neg p\）：“小明的身高不超过180厘米”就是假的；要是小明身高是175厘米，＼（p\）为假，＼（＼neg p\）就是真的。

逻辑联结词“或”、“且”、“非”1．逻辑联结词“或”、“且”、“非”【或】一般地，用连接词“或”把命题和命题连接起来，就得到一个新命题，记作pⅤq，读作“p 或q”．规定：当p，q 两个命题中有一个命题是真命题时，pⅤq 是真命题；当p，q 两个命题都是假命题时，pⅤq 是假命题．例如：“2≤2”、“27 是 7 或 9 的倍数”等命题都是pⅤq 的命题．解题方法点拨：三个逻辑连接词“或”、“且”、“非”中，对于“或”的理解是难点．p 或q 表示两个简单命题至少有一个成立，它包括①p 真q 假②q 真p 假③p 真q 真，这一点可以结合两个集合的并集来理解．类似地，p或q 或r 表示三个简单命题至少有一个成立，同样我们可以结合三个集合的并集来理解．“正难则反”的转化思想在解题中的效果往往好于直接解答，有时起到比繁就简的作用．正确理解“或”，特别是与日常生活中的“或”的区别．命题方向：一般与集合、函数的定义域、函数的单调性联合命题，小题为主．【且】一般地，用连接词“且”把命题p 和命题q 连接起来，就得到一个新命题，记作p∧q 读作“p 且q”．规定：当p，q 都是真命题时，p∧q 是真命题；当p，q 两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q 是假命题．“且”作为逻辑连接词，与生活用语中“既…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”，“与”代替．例 1：将下列命题用“且”连接成新命题，并判断它们的真假：（1）p：正方形的四条边相等，q：正方形的四个角相等；（2）p：35 是 15 的倍数，q：35 是 7 的倍数；（3）p：三角形两条边的和大于第三边，q：三角形两条边的差小于第三边．解题方法点拨：：逻辑连接词“且”，p 且q 表示两个简单命题两个都成立，就是p 真并且q 真．一般解题中，注意两个命题必须去交集，不可以偏概全解答．命题方向：一般与集合、函数的定义域、函数的单调性联合命题，充要条件相结合，小题为主．【非】一般地，对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p，读作“非p”或“p 的否定．规定：若p 是真命题，则￢p 必是假命题；若p 是假命题，则￢p 必是真命题．“非p”形式复合命题的真假与p 的真假相反；“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：p ￢p真假假真解题方法点拨：注意逻辑连接词的理解及“￢p“新命题的正确表述和应用，“非”是否定的意思，必须是只否定结论．“p 或q”、“p 且q”的否定分别是“非p 且非q”和“非p 或非q”，“都”的否定是“不都”而不是“都不”．另外还有“等于”的否定是“不等于”，“大（小）于”的否定是“不大（小）于”，“所有”的否定是“某些”，“任意”的否定是“某个”，“至多有一个”的否定是“至少有两个”等等．必须注意与否命题的区别．命题方向：理解逻辑连接词“或”“且”“非”的含义，平时学习中，同学往往把非p 与否命题混为一谈，因此，高考或会考中，常常出现，但是多以小题的形式．。

1.3.3非(一)教学目标1.知识与技能目标：（1）掌握逻辑联结词“非”的含义（2）正确应用逻辑联结词“非”解决问题（3）掌握真值表并会应用真值表解决问题2．过程与方法目标：观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维能力中严密性品质的培养．3.情感态度价值目标：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．(二)教学重点与难点重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容.难点：1、正确理解命题“￢P”真假的规定和判定．2、简洁、准确地表述命题“￢P”.教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．（三）教学过程学生探究过程：1、思考、分析问题1：下列各组命题中的两个命题间有什么关系？（1）①35能被5整除；②35不能被5整除；（2）①方程x2+x+1=0有实数根。

②方程x2+x+1=0无实数根。

学生很容易看到，在每组命题中，命题②是命题①的否定。

2、归纳定义一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p读作“非p”或“p的否定”。

3、命题“￢p”与命题p的真假间的关系命题“￢p”与命题p的真假之间有什么联系？引导学生分析前面所举例子中命题p与命题￢p的真假性，概括出这两个命题的真假之间的关系的一般规律。

例如：在上面的例子中，第（1）组命题中，命题①是真命题，而命题②是假命题。

第（2）组命题中，命题①是假命题，而命题②是真命题。

由此可以看出，既然命题￢P是命题P的否定，那么￢P与P不能同时为真命题，也不能同时为假命题，也就是说，若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题，则￢p必是真命题；4、命题的否定与否命题的区别让学生思考：命题的否定与原命题的否命题有什么区别？命题的否定是否定命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定，因此在解题时应分请命题的条件和结论。

简单的逻辑联结词【要点梳理】要点一：逻辑联结词“且”一般地，用逻辑联结词“且”把命题p 和q 联结起来得到一个新命题，记作：p q ∧，读作：“p 且q ”． 规定：当p ，q 两命题有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题； 当p ，q 两命题都是真命题时，p q ∧是真命题． 要点诠释：p q ∧的真假判定的理解：1．与物理中的电路类比我们可以从串联电路理解联结词“且”的含义．若开关p ，q 的闭合与断开分别对应命题p ，q 的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p q ∧的真与假．2．与集合中的交集类比交集{|}A B x x A x B =∈∈I 且中的“且”与逻辑联结词的“且”含义一样，理解时可参考交集的概念． 要点二：逻辑联结词“或”一般地，用逻辑联结词“或”把命题p 和q 联结起来得到一个新命题，记作：p q ∨，读作：“p 或q ”． 规定：当p ，q 两命题有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题； 当p ，q 两命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 要点诠释：p q ∨的真假判定的理解：1．与物理中的电路类比我们可以从并联电路理解联结词“或”的含义．若开关p ，q 的闭合与断开对应命题的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题的p q ∨的真与假．2．与集合中的并集类比并集{|}A B x x A x B =∈∈U 或中的“或”与逻辑联结词的“或”含义一样，理解时可参考并集的概念． 3．“或”有三层含义，以“p 或q ”为例：qp（1）p 成立且q 不成立； （2）p 不成立但q 成立； （3）p 成立且q 也成立．要点三：逻辑联结词“非”一般地，对一个命题p 全盘否定得到一个新命题，记作：p ⌝，读作：“非p ”或“p 的否定”． 规定：当p 是真命题时，p ⌝必定是假命题； 当p 是假命题时，p ⌝必定是真命题． 要点诠释：1．逻辑联结词中的“非”相当于集合中补集的概念，谈到补集必然要说全集，谈论 “非”时也应该弄清这件事是在一个什么样的范围中研究．2．下面是一些常用词的否定：注意：“一定”的否定不是“一定不”． 3．否命题与命题的否定之间的区别：否命题是对原命题的条件和结论分别做否定后得到的命题（否定二次）；命题的否定是只对原命题的结论做否定（否定一次），即p ⌝．如：命题p ： 若1x =，则(1)(1)0x x -+=． 命题p 的否命题：若1x =/，则(1)(1)0x x -+=/． 命题p 的否定p ⌝：若1x =，则(1)(1)0x x -+=/． 4．“或”、“且”联结的命题的否定形式： “p 或q ”的否定⇔p ⌝且q ⌝； “p 且q ”的否定⇔p ⌝或q ⌝. 要点四：简单命题与复合命题 1. 定义：简单命题：不含逻辑联结词的命题叫简单命题．复合命题：由简单命题与逻辑联结词“或” “且” “非”构成的命题叫做复合命题． 2. 复合命题的构成形式： （1）p 或q ；记作：p q ∨； （2）p 且q ；记作：p q ∧；（3）非p （即命题p 的否定）；记作：p ⌝. 3.复合命题的真假判断要点诠释：1. 当p 、q 同时为假时，“p 或q ”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；2. 当p 、q 同时为真时，“p 且q ”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”；3. “非p ”与p 的真假相反．【典型例题】类型一：复合命题的构成例1．分别指出下列复合命题的形式及构成的简单命题． （1）李明是老师，赵山也是老师； （2）1是合数或质数； （3）他是运动员兼教练员.【思路分析】观察命题结构，判断其中是否还有“或” “且” “非”等联结词或相似含义的联结词，利用“或” “且” “非”的概念对复合命题进行结构分解. 【解析】（1）这个命题是“p 且q ”形式，其中p ：李明是老师，q ：赵山是老师． （2）这个命题是“p 或q ”形式，其中p ：1是合数， q ：1是质数． （3）这个命题是“p 且q ”形式，其中p ：他是运动员，q ：他是教练员．【总结升华】正确理解逻辑联结词“或”、 “且”、 “非”的含义是解题的关键．根据上述各复合命题中出现的逻辑联结词或语句的意义确定复合命题的形式．举一反三：【高清课堂：简单的逻辑联结词395484例1】 【变式1】将下列各组命题用“且”联结组成新命题： （1）p ： 平行四边形的对角线互相平分， q ：平行四边形的对角线相等； （2）p ： 集合A 是A B I 的子集， q ：集合A 是A B U 的子集； （3）p ： 211x +≥， q ：34>． 【答案】（1）p q ∧：平行四边形的对角线互相平分且相等； （2）p q ∧：集合A 是A I B 的子集，且是A U B 的子集； （3）p q ∧：211x +≥，且34>．【变式2】判断下列复合命题的形式，并写出构成其的简单命题 （1）1是奇数或偶数； （2）梯形不是平行四边形； （3）2是偶数也是质数． 【答案】（1）p 或q 的形式，其中p ：1是奇数， q ：1是偶数； （2）非p 的形式， 其中p ：梯形是平行四边形；（3）p 且q 的形式，其中p ：2是偶数， q ：2是质数．例2．判断下列命题中是否含有逻辑联结词“或” “且” “非”，若含有，请指出其中p q 、的基本命题． （1）正方形的对角线垂直相等； （2）2是4和6的约数；（3）不等式2560x x -+>的解为32x x ><或； （4）平行四边形的对角线不一定相等. 【解析】（1）是“p 且q ”形式的命题，其中p ：正方形的对角线互相垂直；q ：正方形的对角线相等． （2）是“p 且q ”形式的命题，其中p ：2是4的约数； q ：2是6的约数． （3）是简单命题，而不是用“或” “且” “非”联结的复合命题； （3）是“非p ”形式的命题，其中p ：平行四边形的对角线一定相等.【总结升华】对于用逻辑联结词“或” “且” “非”联结的新命题的结构特点不能仅从字面上看它是否含有“或”、“且”、“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题．举一反三：【变式】指出下列复合命题的结构，写出构成其的简单命题． (1) 菱形的对角线互相垂直平分；（3）6是12或18的约数． 【答案】（1）p 且q 的形式，其中p ：菱形的对角线互相垂直，q ：菱形对角线互相平分；（2）非p 的形式，其中p（3）p 或q 的形式，其中p ：6是12的约数，q ：6是18的约数． 类型二：复合命题真假的判定例3．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假． （1）8或6都是30的约数； （2）矩形的对角线互相垂直平分； （3）方程210x x ++=无实根.【思路点拨】将复合命题写成“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”的形式，并一一判断p ，q 的真假，再由真值表判断复合命题的真假.【解析】（1）“p 或q ”形式．其中p ：8是30的约数， q ：6是30的约数， ∵p 假q 真，∴该复合命题为真．（2）“p 且q ”形式．其中p ：矩形的对角线互相垂直，q ：矩形的对角线互相平分， ∵p 假q 真，∴该复合命题为假．（3）“非p ”形式．其中p ： 方程210x x ++=有实根，∵p 假，∴该复合命题为真．【总结升华】 先判断各简单命题的真假，再依据复合命题的构成形式写出复合命题，最后判断复合命题的真假．举一反三：【变式1】已知命题p 、q ，试写出p 或q 、p 且q 、非p 的形式的命题并判断真假． （1）p ：平行四边形的一组对边平行， q ：平行四边形的一组对边相等； （2）p ：2{1,3,5,7}∈， q ：2{2,4,6,8}∈； （3）p ：1{12}∈，， q ：{1}⊆{12}，； （4）p ：2{|1}x x ∅=<， q ：∅◊2{|1}x x <； （5）p ：34<， q ：34=． 【答案】（1） p 或q ：平行四边形的一组对边平行或相等（真命题）；p 且q ：平行四边形的一组对边平行且相等（真命题）； 非p ： 平行四边形的一组对边不平行（假命题）．（2） p 或q ：2{1,3,5,7}∈或2{2,4,6,8}∈，即2{1,2,3,4,5,6,7,8}∈（真命题）；p 且q ：2{1,3,5,7}∈且2{2,4,6,8}∈（假命题）； 非p ： 2{1,3,5,7}∈/（真命题）. （3） p 或q ：1{12}∈，或{1}⊆{12}，（真命题）； p 且q ：1{12}∈，且{1}⊆{12}，（真命题）； 非p ： 1{12}∈/，（假命题）. （4） p 或q ：2{|1}x x ∅=<或∅◊2{|1}x x <，即2{|1}x x ∅⊆< （真命题）；p 且q ：2{|1}x x ∅=<且∅◊2{|1}x x <（假命题）； 非p ： 2{|1}x x ∅=</（真命题）.（5） p 或q ：34<或34=，即34≤（真命题）；p 且q ：34<且34=（假命题）； 非p ： 34</，即34≥（假命题）． 【变式2】已知命题p ：33ß； q ：3＞4，则下列判断正确的是（ ） A ．p q ∨为真，p q ∧为真，p ⌝为假 B ．p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为真 C ．p q ∨为假，p q ∧为假，p ⌝为假 D ．p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为假 【答案】D【解析】 p ：33ß，是真命题， q ：3＞4是假命题，根据真值表：p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为假，所以选D ．【变式3】已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∨⌝D ．()()p q ⌝∧⌝ 【答案】C【变式2】以下判断中正确的是（ ）A ．命题p 是真命题时，命题“p q ∧”一定是真命题B ．命题“p q ∧”为真命题时，命题p 一定是真命题C ．命题“p q ∧”为假命题时，命题p 一定是假命题D ．命题p 是假命题时，命题“p q ∧”不一定是假命题 【答案】B例4. 如果命题“p 且q ”是假命题，“非p ”是真命题，那么 （ ） A .命题p 一定是真命题 B .命题q 一定是真命题 C .命题q 一定是假命题D .命题q 可以是真命题也可以是假命题【思路点拨】由“非p 是真命题”入手，可判断p 的真假性，再由“p 且q 是假命题”可知q 的真假. 【答案】D【解析】∵“非p ”是真命题， ∴p 是假命题，∵“p 且q ”是假命题，∴q 可以是真命题也可以是假命题， ∴选项为D.【总结升华】含逻辑联结词命题的真假情况，利用真值表逆向思考，从而推断出组成命题的真值情况，再进行判断.【变式】如果命题“()p q ⌝∨”为假命题，则（ ） A. p q ，均为假命题 B. p q ，均为真命题C. p q ，中至少有一个为真命题D. p q ，中至多有一个为真命题 【答案】C类型三：命题的否定与否命题例5．写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假． （1）p ：在整数范围内，a 、b 都是偶数，则a b +是偶数； （2）p ：若0x ß且0y ß，则0x y +ß． 【解析】(1) p ⌝：在整数范围内，a 、b 都是偶数，则a b +不是偶数（假命题）；p 的否命题是：在整数范围内，若a 、b 不都是偶数，则a b +不是偶数（假命题）； (2) p ⌝：若0x ≥且0y ≥，则0x y +<（假命题）； p 的否命题是：若0x <或0y <，则0x y +<（假命题）． 【总结升华】1. “0x ß且0y ß”的否定是“0x <或0y < ”；“a 、b 都是偶数”的否定为“a 、b 不都是偶数”.2. 命题的否定和否命题是不一样的．举一反三：【变式1】命题 “ABC ∆是直角三角形或等腰三角形”的否定是 ； 【答案】ABC ∆既不是直角三角形，也不是等腰三角形． 【变式2】写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假． （1）p ：若220x y +=，则x ，y 全为零； （2）p ：若3x =且5y =，则8x y +=． 【答案】(1) p 的否定：若220x y +=，则x ，y 不全为零 （假命题）；p 的否命题：若220x y +=/，则x ，y 不全为零 （真命题）； (2) p 的否定：若3x =且5y =，则8x y +=/ （假命题）； p 的否命题：若3x =/或5y =/，则8x y +=/ （假命题）． 【变式3】 “220x y +=/”是指 （填出符合条件的所有选项） A ．0x ≠且0y ≠ B ．0x ≠或0y ≠C ．x ，y 至少有一个不是0D ．x ，y 都不是0E ．x ，y 不都是0 【答案】B 、C 、E【解析】220x y +=/是指x ，y 不同时为零，即x ，y 至少有一个不是0，亦即x ，y 不都是0，0x ≠或0y ≠． 类型四：复合命题的应用例6．已知命题2560p x x +：－ß；命题04q x <<：．若p 是真命题，q 是假命题，求实数x 的取值范围．【解析】 由2560x x +－ß得x ≥3或x ≤2． ∵命题q 为假，∴x ≤0或x ≥4．则{x |x ≥3或x ≤2}∩{x |x ≤0或x ≥4}＝{x |x ≤0或x ≥4}． ∴满足条件的实数x 的范围为(－∞，0]∪[4，＋∞)．【总结升华】解答这类问题，应先由每个简单命题为真，确定参数的取值范围，再由复合命题的真值，得参数所满足的条件，进而确定参数的取值范围．举一反三：【变式】已知命题p ：方程210x +mx+＝有两个不等的负实数根；命题q ：方程244(2)10x +m x+－＝无实数根．若“p 或q ”为真命题，“p ⌝”为真命题，求m 的取值范围．【解析】∵方程210x +mx+＝有两个不等的负实数根， ∴2m >， ∵方程244(2)10x +m x+－＝无实数根，∴13m << 由条件可知，p 假q 真，。

《逻辑联结词“非”》导学案一、学习目标1、理解逻辑联结词“非”的含义。

2、能够正确写出一个命题的否定，并判断其真假。

3、掌握逻辑联结词“非”在简单逻辑推理中的应用。

二、重点难点1、重点（1）理解逻辑联结词“非”的概念。

（2）掌握命题的否定的写法及真假判断。

2、难点（1）对含有全称量词和存在量词的命题进行否定。

（2）逻辑联结词“非”在实际问题中的应用。

三、知识回顾在之前的学习中，我们已经了解了命题的概念以及简单的命题形式，如“若 p，则q”的充分条件和必要条件等。

同时，我们还学习了逻辑联结词“且”和“或”，它们能够将两个或多个命题组合成新的命题。

四、新课导入在日常生活中，我们常常会用到否定的表述。

比如，“今天不是晴天”“这部电影不好看”等等。

在数学的逻辑推理中，也有类似的否定表述，这就需要用到我们今天要学习的逻辑联结词“非”。

五、概念讲解1、逻辑联结词“非”的定义一般地，对命题 p 加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非p”。

2、命题“¬p”与命题 p 的真假关系当 p 为真时，¬p 为假；当 p 为假时，¬p 为真。

例如：命题 p：“三角形的内角和为180°”，这是一个真命题。

则命题¬p：“三角形的内角和不为180°”，这是一个假命题。

六、命题的否定1、简单命题的否定对于简单命题，直接否定其结论即可。

例如：命题 p：“2 是偶数”，¬p：“2 不是偶数”。

2、复合命题的否定（1）“p 且q”形式的命题的否定：¬（p 且 q) ＝ ¬p 或 ¬q例如：命题 p：“小明会唱歌”，命题 q：“小明会跳舞”，则命题“p 且q”：“小明会唱歌且会跳舞”，¬（p 且 q)：“小明不会唱歌或不会跳舞”。

（2）“p 或q”形式的命题的否定：¬（p 或 q) ＝ ¬p 且 ¬q例如：命题 p：“今天是星期一”，命题 q：“今天是星期二”，则命题“p 或q”：“今天是星期一或今天是星期二”，¬（p 或 q)：“今天不是星期一且今天不是星期二”。

1.3.3 非(not) 学习目标 1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“¬ p ”命题.2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.3.理解命题的否定与否命题的区别．知识点一 逻辑联结词“非”思考 观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？逻辑联结词“非”的含义是什么？(1)p ：5是25的算术平方根；q ：5不是25的算术平方根．(2)p ：y ＝tan x 是偶函数；q ：y ＝tan x 不是偶函数．答案 两组命题中，命题q 都是命题p 的否定．“非”与日常用语中的“非”含义一致，表示“否定”“不是”“问题的反面”等；也可以从集合的角度理解“非”：若命题p 对应集合A ，则¬ p 对应集合A 在全集U 中的补集∁U A . 梳理 (1)命题的否定：一般地，对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作¬ p ，读作“非p ”或p 的否定．(2)命题¬ p 的真假：若p 是真命题，则¬ p 必是假命题；若p 是假命题，则¬ p 必是真命题． 知识点二 “p ∧q ”与“p ∨q ”的否定1．对复合命题“p ∧q ”的否定，除将简单命题p 、q 否定外，还需将“且”变为“或”．对复合命题“p ∨q ”的否定，除将简单命题p 、q 否定外，还需将“或”变为“且”． 复合命题的真假，主要利用真值表来判断，其步骤如下：(1)确定复合命题的构成形式；(2)判断其中各简单命题的真假；(3)利用真值表判断复合命题的真假．2．语句“a ∈A 或a ∈B ”的否定形式是“a ∉A 且a ∉B ”，语句“a ∈A 且a ∈B ”的否定形式是“a ∉A 或a ∉B ”．对有些不含“且”“或”的命题进行否定，要注意准确把握该命题的含义，然后进行否定，如“1x >0”的含义是“1x 有意义且1x>0”，故其否定应为“1x 无意义或1x ≤0”，即“x ＝0或1x<0”． 知识点三 命题的否定与否命题思考 已知命题p ：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p 的否命题和命题p 的否定，并结合本题说明一个命题的否命题与其否定有何区别？答案命题p的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；命题p的否定：平行四边形的对角线不相等．命题的否命题与命题的否定有着本质的区别，命题的否定只否定命题的结论，不能否定命题的条件，而否命题是对原命题的条件和结论都否定．梳理(1)命题的否定：“非”命题是对原命题结论的否定，一个命题p经过使用逻辑联结词“非”，就构成一个新命题“非p”，称为命题的否定．①“非p”是否定命题p的结论，不否定命题p的条件，这也是“非p”与否命题的区别；②p与“非p”的真假必须相反；③“非p”必须包含p的所有对立面；④“非p”必须对p中的关键词进行否定．(2)否命题：一个命题的条件和结论是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题为互否命题，求一个命题的否命题时，要对原命题的条件和结论同时否定．类型一命题否定形式的构造例1写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)5≥3；(2)10是5的倍数且10是2的倍数；(3)长方体是棱柱．解(1)命题的否定：5<3.为假命题．(2)命题的否定：10不是5的倍数或10不是2的倍数．为假命题．(3)命题的否定：长方体不是棱柱．为假命题．反思与感悟命题p的否定，就是命题“非p”，记作¬p.若命题p为“若A，则B”的形式，则¬p为“若A，则¬B”的形式．跟踪训练1写出下列命题的否定形式，并判断真假．(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；(3)实数a、b、c，满足abc＝0，则a、b、c中至少有一个为0.解(1)面积相等的三角形不都是全等三角形．真命题．(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n不全为零．假命题．(3)实数a、b、c，满足abc＝0，则a、b、c三个数全不为0.假命题．类型二命题否定的真假的应用例2 已知命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若“p 或q ”与“¬ q ”同时为真命题，求实数a 的取值范围． 解 设方程x 2＋2ax ＋1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2>－2，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1≥0，－2a >－2，2－2a >0，解得a ≤－1. 命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，所以0≤a <4. 因为“p 或q ”与“¬ q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1. 故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．反思与感悟 解决此类问题的关键在于准确求出复合命题中各简单命题为真时参数的取值范围，再根据真值表和已知确定各简单命题的真命题情况即可求出结果．跟踪训练2 已知命题p ：对于任意的非零向量a ，b ，都有a ·b ≤|a |×|b |；命题q ：对于任意的非零实数x ，都有x ＋1x≥2.则下列命题：①p ∧q ，②p ∨q ，③p ∧(¬ q )，④(¬ p )∨q ，⑤(¬ p )∨(¬ q )，⑥(¬ p )∨(¬ q )中正确的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 对于任意的非零向量a ，b ，都有a ·b ≤|a ·b |＝|a |×|b ||cos 〈a ，b 〉|≤|a |×|b |，即命题p为真命题，故¬ p 为假命题；当x <0时，x ＋1x≤－2，即命题q 为假命题，故¬ q 为真命题．从而p ∨q 、p ∧(¬ q )、(¬ p )∨(¬ q )为真命题，p ∧q 、(¬ p )∨q 、(¬ p )∧(¬ q )为假命题，故选B.1．已知全集S ，A ⊆S ，B ⊆S ，若命题p ：2∈(A ∪B )，则命题“¬ p ”是( )A.2∉AB.2∈∁S BC.2∉A ∩BD.2∈(∁S A )∩(∁S B )答案 D解析 ∵p ：2∈(A ∪B )，∴¬ p ：2∉(A ∪B )，即2∉A 且2∉B ，∴2∈∁S A 且2∈∁S B ，故2∈(∁S A )∩(∁S B )．2．设命题p ：函数f (x )＝e x－1在R 上为增函数；命题q ：函数f (x )＝cos 2x 为奇函数．则下列命题中真命题是( )A ．p ∧qB ．(¬ p )∨qC ．(¬ p )∧(¬ q )D ．p ∧(¬ q )答案 D 解析 p 为真命题，q 为假命题，则¬ p 为假命题，¬ q 为真命题，所以p ∧q 为假命题，(¬ p )∨q 为假命题，(¬ p )∧(¬ q )为假命题，p ∧(¬ q )为真命题，故选D.3．已知命题p ：对于∀x ∈R ，恒有2x ＋2－x ≥2成立，命题q ：奇函数f (x )的图象必过原点．则下列结论正确的是( )A ．p ∧q 为真B ．(¬ p )∨q 为真C ．p ∧(¬ q )为真D ．¬ p 为真答案 C解析 由基本不等式可得，2x ＋2－x ≥2，当且仅当2x ＝2－x ，即x ＝0时，取等号，即对于x ∈R 恒有2x ＋2－x ≥2成立，故命题p 为真命题．奇函数f (x )只有当x ＝0有意义时，才有图象必过原点．如y ＝1x为奇函数，但不过原点．故命题q 为假命题，¬ q 为真命题．由复合命题的真假，可知，p ∧q 为假，(¬ p )∨q 为假，故选项A 、B 、D 都错误，只有C 选项正确．故选C.4．某网络机构公布某单位关于上网者使用网络浏览器A ，B 的信息：①316人使用A ；②478人使用B ；③104人同时使用A 和B ；④567人只使用A ，B 中的一种网络浏览器．则这条信息为________(填“真”或“假”)．答案 假解析 由①②③可知只使用一种网络浏览器的人数是212＋374＝586，这与④矛盾．5．写出“若x ＝2或x ＝3，则x 2－5x ＋6＝0”的逆命题、否命题、逆否命题及命题的否定，并判断其真假．解 逆命题：若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2或x ＝3，是真命题；否命题：若x ≠2且x ≠3，则x 2－5x ＋6≠0，是真命题；逆否命题：若x 2－5x ＋6≠0，则x ≠2且x ≠3，是真命题；命题的否定：若x ＝2或x ＝3，则x 2－5x ＋6≠0，是假命题．1．若原命题为“若A ，则B ”，则其否定为“若A ，则¬ B ”，条件不变，否定结论；其否命题为“若¬A，则¬B”，既要否定条件，又要否定结论．2．带有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的否定，应注意对逻辑联结词进行否定，即“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，“不是”的否定是“是”．3．“否命题”与命题的“否定”的区别：对命题的否定(即非p)只是否定命题的结论，而否命题(“若p则q”形式的命题)既否定条件又否定结论．否命题与原命题的真假无必然联系，而命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假．一、选择题1．已知命题p、q，“¬p为真”是“p∧q为假”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为¬p为真，所以p为假，那么p∧q为假，所以“¬p为真”是“p∧q为假”的充分条件；反过来，若“p∧q为假”，则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”，所以由“p∧q为假”不能推出¬p为真．综上可知，“¬p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．2．若p是真命题，q是假命题，则()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．¬p是真命题D．¬q是真命题答案 D解析因为p是真命题，q是假命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，¬p为假命题，¬q为真命题．故选D.3．命题“p∧q”与“p∨q”都是假命题，则下列判断正确的是()A．命题“¬p”与“¬q”真假不同B．命题“¬p”与“¬q”至多有一个是假命题C．命题“¬p”与“q”真假相同D．命题“(¬p)∧(¬q)”是真命题答案 D解析“p∧q”为假，则p与q中至少有一个为假，而“p∨q”为假，则p，q都为假，故¬p，¬q均为真．4．已知p：x2＋2x－3>0，q：5x－6>x2，则¬p是¬q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析 p ：{x |x >1或x <－3}，q ：{x |2<x <3}．则¬ p ：{x |－3≤x ≤1}，¬ q ：{x |x ≥3或x ≤2}．∴(¬ p )⇒(¬ q )且(¬ q ) (¬ p )．5．已知命题p ：存在x ∈R ，有sin x ＋cos x ＝2；命题q ：任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，有x >sin x ．则下列命题是真命题的是( )A ．p 且qB ．p 或(¬ q )C ．p 且(¬ q )D ．(¬ p )且q答案 D解析 由题意知命题p 是假命题，命题q 是真命题，所以(¬ p )且q 为真命题．6．若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }，则P 是¬ Q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 ∵Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }，∴¬ Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }，∴P ⇒¬ Q 但¬ Q P .7．命题p ：x ＝π是y ＝|sin x |的一条对称轴，q ：2π是y ＝|sin x |的最小正周期，下列命题：①p 或q ，②p 且q ，③非p ，④非q ，其中真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 C解析 由题意知p 真q 假，则①④为真命题．二、填空题8．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________．答案 [1,2)解析 x ∈[2,5]或x ∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，即x ∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，所以1≤x <2，即x ∈[1,2)．9．设p ：关于x 的不等式a x >1的解集为{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则a 的取值范围是________．答案 (0，12]∪[1，＋∞)解析 若p 真：A ＝{a |0<a <1}，若q 真：B ＝{a |a >12}，由题意，得p 与q 一真一假， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤0或a ≥1，a >12，即0<a ≤12或a ≥1. 10．命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为_____________，命题的否定为______________． 答案 若a ≥b ，则2a ≥2b 若a <b ，则2a ≥2b解析 命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为“若a ≥b ，则2a ≥2b ”，命题的否定为“若a <b ，则2a ≥2b ”．三、解答题11．写出下列命题的否定及否命题．(1)若m 2＋n 2＋x 2＋y 2＝0，则实数m ，n ，x ，y 全为零；(2)若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0.解 (1)命题的否定：若m 2＋n 2＋x 2＋y 2＝0，则实数m ，n ，x ，y 不全为零．否命题：若m 2＋n 2＋x 2＋y 2≠0，则实数m ，n ，x ，y 不全为零．(2)命题的否定：若xy ＝0，则x ≠0且y ≠0.否命题：若xy ≠0，则x ≠0且y ≠0.12．给定两个命题，命题p ：对任意实数x 都有ax 2>－ax －1恒成立，命题q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．解 若p 真：a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，即0≤a <4. 若q 真：(－1)2－4a ≥0，即a ≤14. ∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p ，q 中有且只有一个为真．若p 真q 假，则14<a <4； 若p 假q 真，则a <0.综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪(14，4)． 13．设命题p ：f (x )＝2x －m在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q ：x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，且不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意的实数a ∈[－1,1]恒成立，若(¬ p )且q 为真，试求实数m 的取值范围．解 对命题p ：x －m ≠0，又x ∈(1，＋∞)，故m ≤1，对命题q ：|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8，对a ∈[－1,1]有a 2＋8≤3，∴m 2＋5m －3≥3⇒m ≥1或m ≤－6. 若(¬ p )且q 为真，则p 假q 真， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1.。