高考数学真题分类解析总复习资料考点14 函数y=Asinwx+￠的图像及三角函数模型的简单应用

4.4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)， x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅 周期 频率 相位 初相2、用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：1．函数图像变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像；x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φy ＝A sin(ωx ＋φ)2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；3．由y ＝A sin ωx 的图像得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.[试一试]1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期、振幅、频率和初相分别为__________． 2．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．3．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为________．4．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )的图象过点(0，32)；②f (x )在[π12，2π3]上是减函数；③f (x )的一个对称中心是(5π12，0)；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的． 题型二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________.(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．类提通关：如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段． (1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．考点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质例3已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．考点四、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质的综合应用例4、如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图像，M ，N 是它与x 轴的两个交点，D ，C 分别为它的最高点和最低点，点F (0,1)是线段MD 的中点，MD ·MN ＝π218.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．课堂练习1．已知ω>0，函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωπx ＋π4的周期比振幅小1，则ω＝________. 2.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是________．3．函数f (x )＝cosπx2cos π(x －1)2的最小正周期为________． 4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________.4.4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用作业1．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值为________． 2．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是________．3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________．4．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_____________．5.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________．6．已知函数f (x )＝cos x ·cos(x －π3)．(1)求f (2π3)的值；(2)求使f (x )<14成立的x 的取值集合．7．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．8．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系： f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 9．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．第四节函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关念y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：1．函数图像变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像； 2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；3．由y ＝A sin ωx 的图像得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.[试一试]1．1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期、振幅、频率和初相分别为__________． 答案：π，2，1π，－π42．把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得函数的解析式为________．答案 y ＝－cos 2x解析 将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x ＋π6)；再将图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π2)＝－cos2x .3．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为________． 答案 6解析 由题意可知，nT ＝π3 (n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.4．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )的图象过点(0，32)；②f (x )在[π12，2π3]上是减函数；③f (x )的一个对称中心是(5π12，0)；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 答案 ①③解析 ∵周期为π，∴2πω＝π⇒ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f (23π)＝3sin(4π3＋φ)，则sin(4π3＋φ)＝1或－1.又φ∈(－π2，π2)，4π3＋φ∈(5π6，116π)，∴4π3＋φ＝3π2⇒φ＝π6， ∴f (x )＝3sin(2x ＋π6)．①：令x ＝0⇒f (x )＝32，正确．②：令2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋3π2，k ∈Z⇒k π＋π6<x <k π＋2π3，k ∈Z .令k ＝0⇒π6<x <2π3，即f (x )在(π6，23π)上单调递减，而在(π12，π6)上单调递增，错误．③：令x ＝5π12⇒f (x )＝3sin π＝0，正确．④：应平移π12个单位长度，错误.考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的． 解 (1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2(12sin ωx ＋32cos ωx )＝2sin(ωx ＋π3)，又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin(2x ＋π3)．∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表，并描点画出图象：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin X 0 1 0 －1 0 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 02－2(3)方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 方法二 将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上每一点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 考点二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________.(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________． 答案 (1)2 π3(2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 解析 (1)∵f (x )(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，∴T ＝2πω＝π，ω＝2.∵f (0)＝2sin φ＝3，即sin φ＝32(|φ|<π2)，∴φ＝π3. (2)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上， ∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 思维升华 根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最大值－最小值2；②k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最大值＋最小值2；③ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.类提通关：如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段． (1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．解 (1)由图象知A ＝3，以M ⎝⎛⎭⎫π3，0为第一个零点，N ⎝⎛⎭⎫5π6，0为第二个零点． 列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－2π3.∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. (2)f (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－2π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，则x ＝512π＋k π2 (k ∈Z )，∴f (x )的对称轴方程为x ＝512π＋k π2(k ∈Z )．[类题通法]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2； (2)求ω，确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图像与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： “第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.考点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质例3 (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 由－π2≤φ<π2得k ＝0所以φ＝π2－2π3＝－π6.综上，ω＝2，φ＝－π6.(2)由(1)知f (x )＝3sin(2x －π6)，当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤56π，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )最大＝3；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )最小＝－32.思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数； φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期性，其最小正周期为T ＝2πω.(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ(ω>0)的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得单调增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )得单调减区间．(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )来解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求得其对称中心．利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )来解，令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )得其对称轴．教师选例考点四、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质的综合应用例4、如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图像，M ，N 是它与x 轴的两个交点，D ，C 分别为它的最高点和最低点，点F (0,1)是线段MD 的中点，MD ·MN ＝π218.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．[解] (1)由已知F (0,1)是线段MD 的中点，可知A ＝2， ∵MD ·MN ＝T 4·T 2＝π218(T 为f (x )的最小正周期)，∴T ＝2π3，ω＝3，∴f (x )＝2sin(3x ＋φ)，设D 点的坐标为(x D,2)，则由已知得点M 的坐标为(－x D ，0)， ∴x D －(－x D )＝14T ＝14×2π3，则x D ＝π12，则点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－π12，0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－φ＝0. ∵0<φ<π2，∴φ＝π4，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (2)由2k π－π2≤3x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤3x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，得2k π3－π4≤x ≤2k π3＋π12(k ∈Z )， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π3－π4，2k π3＋π12(k ∈Z )． [类题通法]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期性，其最小周期为T ＝2πω.(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π，k ∈Z 得单调增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π，k ∈Z 得单调减区间．(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求得x .利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )得其对称轴．课堂练习1．已知ω>0，函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωπx ＋π4的周期比振幅小1，则ω＝________. 解析：依题意周期为2πωπ＝3－1＝2，所以ω＝1. 答案：12.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是________．解析：由图像可得A ＝2，由7π12－π3＝T 4，得T ＝π＝2πω，所以ω＝2，将点⎝⎛⎭⎫7π12，－2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)，得－2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×7π12＋φ，所以sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－1，所以7π6＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝2×32＝62.答案：623．函数f (x )＝cosπx 2cos π(x －1)2的最小正周期为________． 解析：因为f (x )＝cos πx 2cos π(x －1)2＝cos πx 2cos π2－πx 2＝sin πx 2cos πx 2＝12sin πx ，所以最小正周期为2ππ＝2.答案：24．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________.解析：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像可知：T2＝⎝⎛⎭⎫－π3－⎝⎛⎭⎫－23π＝π3， 则T ＝23π.∵T ＝2πω＝23π，∴ω＝3.答案：34.4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用作业1．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值为________． 答案 k π＋π4，k ∈Z解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z . 2．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是________． 答案 π，1解析 f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 所以最小正周期为π，振幅为1.3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________．答案 [k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z解析 由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×512π＋φ)＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2.∴取k ＝0，即得f (x )＝2sin(2x －π3)，其单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .4．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_____________．答案 (－∞，－2]∪[32，＋∞)解析 当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪[32，＋∞)．5.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________．答案34解析 取K ，L 中点N ，则MN ＝12， 因此A ＝12. 由T ＝2得ω＝π.∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π2， ∴f (x )＝12cos πx ， ∴f (16)＝12cos π6＝34. 6．已知函数f (x )＝cos x ·cos(x －π3)． (1)求f (2π3)的值； (2)求使f (x )<14成立的x 的取值集合． 解 (1)f (2π3)＝cos 2π3·cos π3＝－cos π3·cos π3＝－(12)2＝－14. (2)f (x )＝cos x cos(x －π3)＝cos x ·(12cos x ＋32sin x ) ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＝14(1＋cos 2x )＋34sin 2x ＝12cos(2x －π3)＋14. f (x )<14等价于12cos(2x －π3)＋14<14， 即cos(2x －π3)<0， 于是2k π＋π2<2x －π3<2k π＋3π2，k ∈Z . 解得k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z .故使f (x )<14成立的x 的取值集合为{x |k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z }． 7．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12. (1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解 方法一 (1)因为0<α<π2，sin α＝22， 所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×(22＋22)－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin(2x ＋π4)， 所以T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z . 方法二 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x＝22sin(2x ＋π4)． (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4， 从而f (α)＝22sin(2α＋π4)＝22sin 3π4＝12. (2)T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z . 8．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)． (1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？解 (1)因为f (t )＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t ) ＝10－2sin(π12t ＋π3)， 又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3， －1≤sin(π12t ＋π3)≤1. 当t ＝2时，sin(π12t ＋π3)＝1； 当t ＝14时，sin(π12t ＋π3)＝－1. 于是f (t )在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.(2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin(π12t ＋π3)， 故有10－2sin(π12t ＋π3)>11， 即sin(π12t ＋π3)<－12. 又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6， 即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．9．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2. (1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π6)， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2， 所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π6)． (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π3)的图象，所以g (x )＝sin(2x －π3)，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3， 所以g (x )∈[－32，1] 又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π2]上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1， 解得－32<k ≤32或k ＝－1，所以实数k 的取值范围是(－32，32]∪{－1}.。

知识点15 函数y=Asin （wx ϕ+）的图像及三角函数模型的简单应用一、选择题1. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ9）若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图象如图，则（ ）A.5B.4C.3D.2【解题指南】观察图象可知，0x 到40π+x 的图象为整个图象周期的一半. 【解析】选B.由图像可知，44200ππ=-+=x x T ，即22T p pw==,故4w =. 2. （2013·山东高考理科·Ｔ5）将函数y=sin （2x +ϕ）的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为（ ）A.43π B.4πC.0D.4π- 【解析】选B. 将函数y=sin （2x +ϕ）的图象沿x 轴向左平移8π个单位，得到函数sin[2()]sin(2)84y x x ππϕϕ=++=++，因为此时函数为偶函数，所以,42k k Z ππϕπ+=+∈，即,4k k Z πϕπ=+∈.3. （2013·四川高考理科·Ｔ5）函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）A.2,3π-B.2,6π-C.4,6π-D.4,3π【解题指南】本题考查的是,ωϕ对函数()2sin()f x x ωϕ=+图象的影响，需要重点关注的是周期与最大值点.【解析】选A ，根据图象可知3593()4123124T ππππ=--==，所以函数的周期为π，可得2ω=，根据图象过5(,2)12π代入解析式，结合22ππϕ-<<，可得3πϕ=-，故选A. 4. （2013·四川高考文科·Ｔ6）函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）A.2,3π- B.2,6π-C.4,6π-D.4,3π【解题指南】本题考查的是,ωϕ对函数()2sin()f x x ωϕ=+图象的影响，需要重点关注的是周期与最大（小）值点.【解析】选A ，根据图示可知1115621212122T ππππ=-==，所以函数的周期为π，可得2ω=，根据图象过5(,2)12π代入解析式，结合22ππϕ-<<，可得3πϕ=-，故选A. 5.（2013·福建高考文科·Ｔ9）将函数()()sin 222⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭f x x ππθθ()1的图像向右平移个单位长度>ϕϕ后得到函数()()(),,0g x f x g x P ϕ⎛ ⎝⎭的图像若的图像都经过点，则的值可以是（ ）A ．53π B ．56π C ．2π D ．6π【解题指南】平移问题上，图象和式子的区别对待，务必认识清楚，方能正确解题． 【解析】选B. ()f x 的图像向右平移ϕ个单位，()()sin 2g x x ϕθ=-+⎡⎤⎣⎦，由题()sin sin 2θθϕ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得3πθ=。

考点14 函数y=Asin （wx+ϕ）的图象及三角函数模型的简单应用一、选择题1.（2020·山东高考理科·Ｔ6）假设函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，那么ω=（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）23【思路点拨】由正弦函数图象，先求周期，再求ω 【精讲精析】选C.由解析式看出，图象过原点，因此34π=T ，34π=T ，342πωπ=，解得23=ω. 2.（2020·山东高考文科·Ｔ6）假设函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，那么ω=（ ） (A)23 (B)32(C) 2 (D)3 【思路点拨】由正弦函数图象，先求周期，再求ω. 【精讲精析】选B.由题意知,函数在3x π=处取得最大值1,因此1=sin3ωπ, 32,6,322k k k Z πωππω∴=+=+∈. 应选B. 3．（2020·陕西高考理科·T3）设函数()f x （x ∈R ）知足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，那么函数()y f x =的图象可能是（ ）【思路点拨】依照题意，确信函数()y f x =的性质，再判定哪个图象具有这些性质．【精讲精析】选B.由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，因此函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 中图象的最小正周期是4，不符合，选项B 的图象的最小正周期是2，符合，应选B ．4.（2020·天津高考文科·Ｔ7）已知函数f (x)2sin(x ),x R =ω-ϕ∈，其中0,,()>-<≤f x ωπϕπ若的最小正周期为6π，且当2=x π时，()f x 取得最大值，那么（ ）(A)()f x 在区间[2,0]π-上是增函数(B )()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数(C)()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数 (D)()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数【思路点拨】求出函数()f x 的解析式，再依照三角函数的性质判定. 【精讲精析】选A.由题意可得13，当3时，1f (x)2sin(x)33，当1x 2332，即5-22≤≤x ππ时函数是增函数，应选A.二、解答题5.（2020·福建卷理科·Ｔ16）已知等比数列{a n }的公比q=3，前3项和313.3S = （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）假设函数()sin(2)(0,0)=+><<f x A x A ϕϕπ在6x π=处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f （x ）的解析式.【思路点拨】（I ）由公比q 和3S 可求得{}n a 的首项1a 的值，依照1a 和q 的值写出{}n a 的通项公式； （II ）由{}n a 的通项公式取得3a 的值，从而确信A 的值，假设函数()f x 在6x π=时取到最大值，那么sin(2)16πϕ⨯+=，再给合0ϕπ<<确信ϕ值.【精讲精析】(I)由3133,3q S ==得31(13)13,133-=-a 解得11.3a = 因此123133.n n n a --⨯==（II ）由（I ）可知23,n n a -=因此33a =.因为函数()f x 的最大值为3，因此3A =. 因为当6x π=时()f x 取得最大值，因此sin(2) 1.6πϕ⨯+=因此2.32+=+k ππϕπ又0,ϕπ<<故.6πϕ=因此函数()f x 的解析式为()3sin(2)6f x x π=+.6.（2020·福建卷文科·Ｔ21）设函数f （θ）3cos θθ+，其中，角θ的极点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边通过点P （x,y ），且0θπ≤≤.（1）假设点P 的坐标为13(,)22，求f ()θ的值. （2）假设点P （x ，y ）为平面区域Ω：x+y 1x 1y 1≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩.上的一个动点，试确信角θ的取值范围，并求函数()f θ的最小值和最大值.【思路点拨】(1)由点P 坐标和三角函数的概念可求得sin θ和cos θ的具体值，代入()f θ得()f θ的值.（2）画出平面区域111x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，结合图形能够看出点P 横坐标的取值范围，从而可求得θ的取值范围，作为()f θ的概念域，将()f θ化为()sin()f A θωθϕ+＝的形式，然后利用三角函数的图象及性质求()f θ的值域.【精讲精析】（1）由点P 的坐标和三角函数的概念可得3sin 21cos 2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩θθ 于是31()3sin cos 3 2.22f θθθ=+=⨯+= （2）作出平面区域Ω（即三角形区域ABC ）如图，其中A （1,0），B （1,1），C （0,1）. 于是0.2πθ≤≤又()3sin cos 2sin().6f πθθθθ=+=+且2663πππθ≤+≤， 故当,62ππθ+=即3πθ=时，()f θ取得最大值，且最大值等于2；当66ππθ+=，即0θ=时，()f θ取得最小值，且最小值等于1.7.（2020·北京高考理科·T15）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（Ⅰ）求 ()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]64ππ-上最大值和最小值. 【思路点拨】先利用和角公式展开，再利用降幂公式、化一公式转化为正弦型函数，最后求周期及闭区间上的最值. 【精讲精析】（Ⅰ）因为()4cos sin()16f x x x π=+-314cos (sin cos )122x x x =+- 23sin 22cos 1x x =+-3sin 2cos 22sin(2)6x x x π=+=+， 因此()f x 的最小正周期为π. （Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，因此22663x πππ-≤+≤.于是，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当266x ππ+=-，即6x π=-时，()f x 取得最小值-1.。

全国卷历年高考三角函数真题归类分析
(含答案)
介绍
这份文档旨在对全国卷历年高考三角函数真题进行归类分析，
并提供相应的答案。

通过分析历年真题，可以帮助考生了解三角函
数的重要考点和解题技巧，为高考复提供指导。

归类分析
以下是对历年高考三角函数真题的归类分析：
三角函数的基本概念
- 考查正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义和性质。

- 考查角度与弧度的转换。

- 考查三角函数的图像和性质。

三角函数的性质和公式
- 考查三角函数的周期性和对称性。

- 考查三角函数之间的关系和性质，如和差化积、倍角公式等。

三角函数的应用
- 考查三角函数在几何中的应用，如求直角三角形的边长和角度、解三角形等。

- 考查三角函数在物理和工程问题中的应用，如力的分解、振动问题等。

答案
以下是对每个归类的真题的答案：
三角函数的基本概念
三角函数的性质和公式
三角函数的应用
结论
通过分析历年高考三角函数真题并掌握相关的解题技巧，考生可以在高考中更好地应对三角函数相关的考题。

这份文档提供了归类分析和相应答案，希望能够对考生的复习有所帮助。

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数学C单元三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数2．［2014·全国卷] 已知角α的终边经过点(－4，3）,则cos α＝( ）A.45B。

错误!C．－错误! D．－错误!2．D ［解析］根据题意，cos α＝错误!＝－错误!。

C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式18．，，［2014·福建卷］已知函数f（x)＝2cos x（sin x＋cos x)．(1)求f错误!的值;(2)求函数f（x)的最小正周期及单调递增区间．18．解:方法一:(1）f错误!＝2cos错误!错误!＝－2cos错误!错误!＝2.(2）因为f（x)＝2sin x cos x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝错误!sin错误!＋1，所以T＝错误!＝π，故函数f(x)的最小正周期为π.由2kπ－错误!≤2x＋错误!≤2kπ＋错误!，k∈Z,得kπ－错误!≤x≤kπ＋错误!，k∈Z。

所以f(x）的单调递增区间为错误!，k∈Z。

方法二：f(x)＝2sin x cos x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝错误!sin错误!＋1。

(1)f错误!＝错误!sin错误!＋1＝错误!sin错误!＋1＝2。

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考点14 函数y=Asin（xωϕ+）的图象及三角函数模型的简单应用一、选择题1.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T8)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )A.))(43,41(Zkkk∈+-ππ B. ))(432,412(Zkkk∈+-ππC))(43,41(Zkkk∈+- D. ))(432,412(Zkkk∈+-【解题指南】根据图象,利用五点法求出ω,φ的值,确定f(x)的解析式,求出f(x)的单调递减区间.【解析】选D.由五点作图知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+2345241πϕϖπϕϖ,,解得ω=π,4πϕ=，所以)4cos()(ππ+=xxf令zkkxk∈+<+<,242πππππ，解得432412+<<-kxk，zk∈，故单调递减区间为))(432,412(zkkk∈+-.2.(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T8)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )A.(k π−14,k π+34)(k ∈Z) B.(2k π−14,2k π+34)(k ∈Z) C.(k −14,k +34)(k ∈Z) D.(2k −14,2k +34)(k ∈Z)【解题指南】根据图象,利用五点法求出ω,φ的值,确定f(x)的解析式,求出f(x)的单调递减区间.【解析】选 D.由五点作图知,{14ω+φ=π2,54ω+φ=3π2,解得ω=π,φ=π4,所以f(x)=cos (πx +π4),令2k π<πx+π4<2k π+π,k ∈Z,解得2k-14<x<2k+34,k ∈Z,故单调递减区间为(2k −14,2k +34)(k ∈Z).3.(2015·山东高考理科·T3) 要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x=的图象A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位【解题指南】对于()sin y A x ωφ=+一类的图象的左右平移问题，一定要将函数变形为sin y A x φωω⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦再加以判断，即针对x 的变化了φω个单位（左加右减）.【解析】选B. 要得到sin 4()12sin 43y x x ππ⎛⎫=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎪⎝⎭⎦ 的图象，只需将sin 4y x =的图象向右平移12π个单位， 4.(2015·山东高考文科·T4) 要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x =的图象A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位【解题指南】对于()sin y A x ωφ=+一类的图象的左右平移问题，一定要将函数变形为sin y A x φωω⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦再加以判断，即针对x 的变化了φω个单位（左加右减）.【解析】选B. 要得到sin 4()12sin 43y x x ππ⎛⎫=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎪⎝⎭⎦ 的图象，只需将sin 4y x =的图象向右平移12π个单位， 5. (2015·陕西高考理科·T3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(π6x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 ( )A.5B.6C.8D.10【解题指南】本题考查由y=Asin(ωx+φ)+k 的部分图像确定函数的最大值,可得y max =3+k ,y min =k-3,整理可求最大值.【解析】选C.不妨设水深的最大值为M,由题意结合函数图像可得3+k=M ① k-3=2 ② 解之得M=8.6.（2015·安徽高考理科·T10）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）（A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<-（C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-【解题指南】求出函数f(x)的解析式，利用正弦函数的图像和性质进行判断。

考点14三角函数的图象与性质一、选择题1..(2020·全国卷Ⅲ文科·T12)已知函数f(x)=sin x+1sin,则()A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的图象关于直线x=π对称D.f(x)的图象关于直线x=π2对称【命题意图】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性,考查基本分析判断能力.【解析】选D.因为sin x可以为负,所以A错;因为sin x≠0,所以x≠kπ(k∈Z),因为f(-x)=-sin x-1sin=-f(x),所以f(x)关于原点对称;故B错;因为f(2π-x)=-sin x-1sin≠f(x),故C错,f(π-x)=sin x+1sin=f(x),所以f(x)关于直线x=π2对称,D对.2.(2020·浙江高考·T4)函数y=x cos x+sin x在区间[-π,π]的图像大致为()【命题意图】本题主要考查函数的图像与函数的奇偶性等基础知识,考查识图的能力,体现逻辑推理与直观想象等核心素养.【解析】选A.-x cos(-x)+sin(-x)=-x cos x-sin x,故y=x cos x+sin x为奇函数,排除C,D选项,当x=π时,y=-π,故选A.二、填空题3.(2020·全国卷Ⅲ理科·T16)关于函数f(x)=sin x+1sin有如下四个命题:①f(x)的图象关于y轴对称.②f(x)的图象关于原点对称.③f(x)的图象关于直线x=π2对称.④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是.【命题意图】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解,考查推理能力与计算能力.【解析】对于①,由sin x≠0可得函数的定义域为≠χ,∈Z,故定义域关于原点对称,由f(-x)=sin(-x)+1sin(-)=-sin x-1sin=-f(x),所以函数为奇函数,图像关于原点对称,①错②对.对于③,由于f(π-x)=sin(π-x)+1sin(π-)=sin x+1sin=f(x),所以f(x)关于x=π2对称,③对.对于④,令t=sin x,t∈[-1,0)∪(0,1],由对勾函数g(t)=t+1的性质,可知g(t)∈(-∞,-2]∪[2,+∞),所以f(x)无最小值,④错.答案:②③。

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考点14 函数y=Asin （wx+￠）的图像及三角函数模型的简单应用一、选择题1.（2011·山东高考理科·Ｔ6）若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= （A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）23【思路点拨】由正弦函数图象，先求周期，再求ω 【精讲精析】选C.由解析式看出，图象过原点，所以34π=T ，34π=T ，342πωπ=，解得23=ω 2.（2011·山东高考文科·Ｔ6）若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= (A)23 (B)32(C) 2 (D)3 【思路点拨】由正弦函数图象，先求周期，再求ω 【精讲精析】由题意知,函数在3x π=处取得最大值1,所以1=sin3ωπ, 32,6,322k k k Z πωππω∴=+=+∈. 故选B. 3．（2011·陕西高考理科·T3）设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，则()y f x =的图象可能是【思路点拨】根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．【精讲精析】选B 由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 中图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．4.（2011·天津高考文科·Ｔ7）已知函数()2sin(),f x x x R w j =+?，其中0,,()f x w p j p >-<?若的最小正周期为6π，且当2x p=时，()f x 取得最大值，则 （ ） A ．()f x 在区间[2,0]π-上是增函数 B ．()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C ．()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D ．()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数【思路点拨】求出函数()f x 的解析式，再根据三角函数的性质判断. 【精讲精析】选A,由题意可得13w=，当3p j =-，所以1f (x)2sin(x )33p =+，当1x 2332p p p-??，即5-22x pp＃时函数是增函数，故选A. 二、解答题5.（2011·福建卷理科·Ｔ16）(本小题满分13分)已知等比数列{a n }的公比q=3，前3项和313.3S = （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若函数()sin(2)(0,0)f x A x A p ϕϕπ=+><<<在6x π=处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f （x ）的解析式.【思路点拨】（1）由公比q 和3S 可求得{}n a 的首项1a 的值，根据1a 和q 的值写出{}n a 的通项公式； （2）由{}n a 的通项公式得到3a 的值，从而确定A 的值，若函数()f x 在6x π=时取到最大值，则sin(2)16πϕ⨯+=，再给合0ϕπ<<确定ϕ值.【精讲精析】(I)由3133,3q S ==得31(13)13,133-=-a ，解得11.3a = 所以123133.n n n a --⨯==（II ）由（1）可知23,n n a -=所以33a =.因为函数()f x 的最大值为3，所以3A =. 因为当6x π=时()f x 取得最大值，所以sin(2) 1.6πϕ⨯+=又0,ϕπ<<故.6πϕ=所以函数()f x 的解析式为()3sin(2)6f x x π=+6.（2011·福建卷文科·Ｔ21）设函数f （θ）cos θθ+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P （x,y ），且0θπ≤≤. （I ）若点P的坐标为1(2，求f ()θ的值； （II ）若点P （x ，y ）为平面区域Ω：x+y 1x 1y 1≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩.上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数()f θ的最小值和最大值.【思路点拨】(1)由点P 坐标和三角函数的定义可求得sin θ和cos θ的具体值，代入()f θ得()f θ的值；（2）画出平面区域111x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，结合图形可以看出点P 横坐标的取值范围，从而可求得θ的取值范围，作为()f θ的定义域，将()f θ化为()sin()f A θωθϕ+＝的形式，然后利用三角函数的图象及性质求()f θ的值域.【精讲精析】（1）由点P的坐标和三角函数的定义可得sin 1cos 2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩θθ于是1()cos 2.22f θθθ=+=+= （2）作出平面区域Ω（即三角形区域ABC ）如图，其中A （1,0），B （1,1），C （0,1）. 于是0.2πθ≤≤又()cos 2sin().6f πθθθθ=+=+且2663πππθ≤+≤， 故当,62ππθ+=即3πθ=时，()f θ取得最大值，且最大值等于2；当66ππθ+=，即0θ=时，()f θ取得最小值，且最小值等于1.7.（2011·北京高考理科·T15）(13分)已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（Ⅰ）求 ()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值. 【思路点拨】先利用和角公式展开，再利用降幂公式、化一公式转化为正弦型函数，最后求周期及闭区间上的最值.【精讲精析】（Ⅰ）因为()4cos sin()16f x x x π=+-14cos (sin cos )122x x x =+-222cos 1x x =+-2cos 22sin(2)6x x x π=+=+， 所以()f x 的最小正周期为π. （Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤.于是，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当266x ππ+=-，即6x π=-时，()f x 取得最小值-1.。

考点15函数y=Asin(wx+ )的图象及三角函数模型的简单应用16.(2023·新高考Ⅱ卷·T16)已知函数f (x )=sin (ωx+φ),如图,A ,B 是直线y=12与曲线f (x )的两个交点,若|AB|=π6,则f (π)=.【命题意图】本题设计了三角函数与直线的相交问题,通过对图象的分析,能够找到试题的本质,考查直观想象及数学运算的核心素养.【解题指导】设A x 1,12,B x 2,12,依题可得,x 2-x 1=π6,结合sin x=12的解可得,ω(x 2-x 1)=2π3,从而得到ω的值,再根据f 23π=0以及f (0)<0,即可得f (x )=sin 4x-23π,进而求得f (π).【解析】设A x 1,12,B x 2,12,由|AB|=π6可得x 2-x 1=π6,由sin x=12可知,x=π6+2k π或x=5π6+2k π,k ∈Z ,由题图可知,ωx 2+φ-(ωx 1+φ)=5π6-π6=2π3,即ω(x 2-x 1)=2π3,所以ω=4.因为f2π3=sin 8π3+φ=0,所以8π3+φ=2k π,即φ=-8π3+2k π,k ∈Z .所以f (x )=sin 4x-8π3+2k π=sin 4x-2π3,所以f (π)=sin 4π-2π3答案:【方法技巧】本题主要考查根据图象求出ω以及函数f (x )的解析式,从而解出,熟练掌握三角函数的有关性质以及特殊角的三角函数值是解题关键.6.(2023·全国乙卷·理科·T6)已知函数f (x )=sin (ωx+φ)在区间π6,2π3单调递增,直线x=π6和x=2π3为函数y=f (x )的图像的两条对称轴,则f -5π12=()A B .-12C .12D .【解析】选D .因为函数f (x )=sin (ωx+φ)在区间π6,2π3单调递增,所以 2=2π3-π6=π2,且ω>0,则T=π,ω=2π =2,当x=π6时,f (x )取得最小值,则2·π6+φ=2k π-π2,k ∈Z ,则φ=2kπ-5π6,k∈Z,不妨取k=0,则f(x)=sin2x-5π6,则f-5π12=sin-5π3=32.。

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考点函数（）的图象及三角函数模型
的简单应用
一、选择题
.(·全国卷Ⅰ高考理科·)已知函数()(ωφ)为()的零点为()图象
的对称轴,且()在上单调,则ω的最大值为()
【解析】选.由题意知:
则ω,其中∈.
∵()在上单调,
接下来用排除法.
若ω,φ,此时(),
()在上单调递增,在上单调递减,不满足()在上单调,
若ω,φ,此时(),满足()在上单调递减.
.(·全国卷Ⅱ理科·)若将函数的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为()
(∈)(∈)
(∈)(∈)
【解题指南】先求出平移之后图象对应的函数解析式,利用整体思想,类比正弦曲线,确定函数图象的对称轴.
【解析】选.平移后图象的解析式为,
令π∈,
得对称轴方程(∈).
.(·全国卷Ⅱ文科·)函数(ωφ)的部分图象如图所示,则()
【解题指南】观察函数图象,可以求出和周期,进而求出ω,再由关键点求出φ的值.
【解析】选.由题图知,,
故π,ω,
所以(φ).因为图象过点,
所以,则φπ(∈),
取,则φ,故.
.(·天津高考文科·)已知函数()ω(ω>)∈.若()在区间(ππ)内没有零点,则ω的取值范围是()。