第1讲 平行截割定理与相似三角形

1第1讲相似三角形的判定及有关性质1．平行线的截割定理(1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．(2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定与性质(1)(2)(3)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．3．直角三角形相似的判定定理与射影定理(1)(2)直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．考点一__平行线分线段成比例定理______________如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 在CA 上且AE ＝2CE ，AD ，BE 交于F ，求AF FD ，BFFE.[解] 取BE 的中点G ，连接DG ，在△BCE 中，D 、G 分别为BC 、BE 的中点， ∴DG ∥EC ， 且DG ＝12EC .又∵AE ＝2CE ，DG ∥EC ， ∴AF FD ＝EF FG ＝AE DG ＝AE 12EC ＝4， 又BG ＝GE ， ∴BF EF ＝BG ＋GF EF ＝GE ＋GF EF ＝2GF ＋EFEF＝2×14＋1＝32.[规律方法] 平行线截割定理的作用平行线截割定理一方面可以判定线段成比例；另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比．1.如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，求梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比．解：由CD ＝2，AB ＝4，EF ＝3，得EF ＝12(CD ＋AB )，所以EF 是梯形ABCD 的中位线，则梯形ABFE 与梯形EFCD 有相同的高，设为h ，则S 梯形ABFE ∶S 梯形EFCD ＝12(3＋4)h ∶12(2＋3)h＝7∶5.考点二__相似三角形的判定与性质______________如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，过点D 作AC 的平行线DE ，交BA 的延长线于点E .求证：(1)△ABC ≌△DCB ； (2)DE ·DC ＝AE ·BD .[证明] (1)∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴AC ＝BD .∵AB ＝DC ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△DCB . (2)∵△ABC ≌△DCB ，∴∠ACB ＝∠DBC ，∠ABC ＝∠DCB .∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ，∠EAD ＝∠ABC . ∴∠DAC ＝∠DBC ，∠EAD ＝∠DCB . ∵ED ∥AC ，∴∠EDA ＝∠DAC .∴∠EDA ＝∠DBC ，∴△ADE ∽△CBD . ∴DE ∶BD ＝AE ∶DC ，∴DE ·DC ＝AE ·BD .[规律方法] (1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．2. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，E 为AC 的中点，ED 、CB 的延长线交于一点F .求证：FD 2＝FB ·FC .证明：∵E 是Rt △ACD 斜边上的中点， ∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠1， ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A ，∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ，∴∠FBD ＝∠FDC ，∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC ，∴FB FD ＝FDFC，∴FD 2＝FB ·FC . 考点三__直角三角形射影定理__________________如图所示，AD 、BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直线FD 交BE于点G ，交AC 的延长线于点H ，求证：DF 2＝GF ·HF .[证明] ∵∠H ＋∠BAC ＝90°， ∠GBF ＋∠BAC ＝90°， ∴∠H ＝∠GBF .∵∠AFH ＝∠GFB ＝90°， ∴△AFH ∽△GFB ，∴HF BF ＝AFGF，∴AF ·BF ＝GF ·HF .∵在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ， ∴DF 2＝AF ·BF ， ∴DF 2＝GF ·HF .[规律方法] (1)在使用直角三角形射影定理时，要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．(2)证题时，要注意作垂线构造直角三角形，这是解直角三角形时常用的方法．3．如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 是∠ABC的角平分线，交AD 于点F ，求证：DF AF ＝AEEC.证明：∵BE 是∠ABC 的角平分线， ∴DF AF ＝BDAB，① AE EC ＝AB BC.② 在Rt △ABC 中，由射影定理知， AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝ABBC .③由①③得DF AF ＝ABBC，④由②④得DF AF ＝AEEC .1．如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，求BC 的长．解：⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 的中点，M 为BC 的中点． 又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm ，∴BC ＝2MC ＝24 cm. 2. (2015·湖南岳阳模拟)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：AE ·AB ＝AF ·AC .证明：∵AD ⊥BC ，∴△ADB 为直角三角形． 又∵DE ⊥AB ，由射影定理知，AD 2＝AE ·AB . 同理可得AD 2＝AF ·AC ， ∴AE ·AB ＝AF ·AC . 3. (2015·广东广州模拟)如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，求证：△ADQ ∽△QCP .证明：在正方形ABCD 中， ∵Q 是CD 的中点，∴ADQC＝2.∵BP PC ＝3，∴BCPC＝4. 又∵BC ＝2DQ ，∴DQPC ＝2.在△ADQ 和△QCP 中，AD QC ＝DQCP，且∠D ＝∠C ＝90°， ∴△ADQ ∽△QCP .4. 如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，EC ∥AD ，DE ∥BC ，若S △BEC ＝1，S △ADE＝3，求S △CDE 的值．解：∵EC ∥AD ，∴S △DCE ∶S △ADE ＝EC ∶AD ， ∵DE ∥BC ，∴S △BCE ∶S △CDE ＝BC ∶ED ，又因为∠ECB ＝∠DEC ＝∠ADE ，∠BEC ＝∠EAD ， ∴△BEC ∽△EAD ，∴EC ∶AD ＝BC ∶ED .∴S △DCE ∶S △ADE ＝S △BCE ∶S △CDE ，于是S △CDE ＝ 3.5. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 为AD 上一点，CF ∥AB ，BP 的延长线交AC 、CF 于E 、F 两点，求证：PB 2＝PE ·PF .证明：如图，连接PC .易证PC ＝PB ，∠ABP ＝∠ACP .∵CF ∥AB ， ∴∠F ＝∠ABP . 从而∠F ＝∠ACP .又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公共角，从而△CPE ∽△FPC ，∴CP FP ＝PEPC.∴PC 2＝PE ·PF .又PC ＝PB ， ∴PB 2＝PE ·PF .6．如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E .求证：AE ·BF ＝2DE ·AF .证明：取AC 的中点M ，连接DM 交CF 于点N .在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ， ∴DN ＝12BF .∵DN ∥AF ，∴△AFE ∽△DNE ， ∴AE AF ＝DE DN. 又∵DN ＝12BF ，∴AE AF ＝2DEBF ，即AE ·BF ＝2DE ·AF .)1. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E .试证明：(1)AB ·AC ＝BC ·AD ； (2)AD 3＝BC ·CF ·BE .证明：(1)在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD .∴AB ·AC ＝BC ·AD .(2)在Rt △ADB 中，DE ⊥AB ， 由射影定理可得BD 2＝BE ·AB ， 同理CD 2＝CF ·AC ， ∴BD 2·CD 2＝BE ·AB ·CF ·AC . 又在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ， ∴AD 2＝BD ·DC ，∴AD 4＝BE ·AB ·CF ·AC . 又AB ·AC ＝BC ·AD ， 即AD 3＝BC ·CF ·BE .2. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，DE ＝12CD ，BE 与AD交于点F .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BAF ＝∠BCD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠CEB ， ∴△ABF ∽△CEB .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF . ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2，S △DEF S △ABF ＝(DE AB)2. 又DE ＝12CD ＝12AB ，∴CE ＝DE ＋CD ＝DE ＋2DE ＝3DE . ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE)2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB )2＝14.∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8.∴S 四边形ABCD ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.3．已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．解：(1)证明：因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B ＝∠1.又因为AD ＝AC ，所以∠2＝∠ACB .所以△ABC ∽△FCD .(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M .因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ，所以S △ABC S △FCD ＝(BC CD)2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20.因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BD BM .因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，BD ＝12BC ＝5，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83. 4．如图，在梯形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，EF ∥AD ，假设EF 做上下平行移动．(1)若AE EB ＝12，求证：3EF ＝BC ＋2AD ；(2)若AE EB ＝23，试判断EF 与BC ，AD 之间的关系，并说明理由； (3)请你探究一般结论，即若AE EB ＝mn，那么你可以得到什么结论？解：过点A 作AH ∥CD 分别交EF ，BC 于点G ，H (图略)． (1)证明：因为AE EB ＝12，所以AE AB ＝13，又EG ∥BH ，所以EG BH ＝AE AB ＝13，即3EG ＝BH .又EG ＋GF ＝EG ＋AD ＝EF ，从而EF ＝13(BC －HC )＋AD ，所以EF ＝13BC ＋23AD ，即3EF ＝BC ＋2AD .(2)EF 与BC ，AD 的关系式为5EF ＝2BC ＋3AD ，理由和(1)类似．(3)因为AE EB ＝m n ，所以AE AB ＝m n ＋m .又EG ∥BH ，所以EG BH ＝AE AB ，即EG ＝mm ＋n BH .所以EF ＝EG ＋GF ＝EG ＋AD ＝m m ＋n (BC －AD )＋AD ，所以EF ＝m m ＋n BC ＋nm ＋n AD ，即(m ＋n )EF ＝mBC＋nAD .。

选修4－1几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质[基础知识深耕]一、平行截割定理1．平行线等分线段定理(1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．(3)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．【拓展延伸】常用结论：在计算与证明过程中，可以使用如下定理作为推理的依据：(1)平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例．(2)三角形的内角平分线分对边成两线段的长度比等于夹角两边长度的比．(3)经过梯形一腰中点而平行于底边的直线平分另一腰．(4)梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．(5)若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行．(6)斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．二、相似三角形的判定与性质1．相似三角形的判定(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．(3)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．定理3：三边对应成比例，两三角形相似．2．相似三角形的性质(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．【拓展延伸】三种判定三角形相似的思路(1)条件中若有一对角相等，可找另一对角相等或找夹这对角的两边成比例．(2)条件中若有两边的比相等，可找夹角相等或证明另外一组对应边的比等于已知两边的比．(3)条件中若有等腰三角形，可找顶角相等或找一对底角相等或两个三角形的底和腰的比对应相等．三、直角三角形的射影定理图1直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．如图1，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，则有CD2＝AD·BD，AC2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB .[基础能力提升]1．如图2所示，F 为▱ABCD 的边AD 延长线上的一点，DF ＝AD ，BF 分别交DC 、AC 于点G 、E ，EF ＝16，GF ＝12，则BE 的长为( )图2A ．6B ．8C ．12D ．15【解析】 由AF ∥BC 知，EF BE ＝AF BC＝2，∴BE ＝12EF ＝8.【答案】 B图32．如图3，在等边三角形ABC 中，E 为AB 的中点，点D 在AC 上，使得AD AC＝13，则有( )A ．△AED ∽△BEDB ．△AED ∽△CBDC ．△AED ∽△ABDD ．△BAD ∽△BCD【解析】 ∵∠A ＝∠C ，BC AE ＝CD AD＝2，∴△AED ∽△CBD .【答案】 B图43．如图4所示，D 、E 分别是△ABC的边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，且AD DB ＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是( )A.23B.25C.45D.49【解析】 ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，故S △ADE S △ABC＝49， ∴S △ADE S 四边形DBCE＝45. 【答案】C图54．如图5所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝2，BD ＝3，则AC ＝________.【解析】 由射影定理：CD 2＝AD ·DB ，∴AD ＝43，又AC 2＝AD ·AB ，∴AC ＝AD ·AB＝ 43×⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋3＝2133. 【答案】 21331．三个注意——应用平行截割定理应注意的问题(1)作出图形，观察图形及已知条件，寻找合适的比例关系；(2)如果题目中没有平行线，要注意添加辅助线，可添加的辅助线可能很多，要注意围绕特征式；(3)要注意“中间量”的运用与转化．2．三个作用——相似三角形判定定理的作用(1)可以判定两个三角形相似；(2)间接证明角相等，线段成比例；(3)为计算线段的长度及角的大小创造条件．第二节直线与圆的位置关系[基础知识深耕]一、与圆有关定理的进一步认识1．圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．圆心角定理及推论定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．3．圆内接四边形的性质与判定定理(1)圆内接四边形的性质定理①定理1：圆的内接四边形的对角互补．②定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)圆内接四边形的判定定理及推论①判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．4．圆的切线的性质及判定定理(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．5．弦切角定理定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．【方法技巧】判定圆的切线的方法以及切线定理的应用(1)判定切线通常有三种方法：①和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线．(2)已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理．二、与圆有关的比例线段【方法技巧】解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．[基础能力提升]1．给出下列命题①圆心角等于圆周角的2倍；②相等的圆周角所对的弧也相等；③等腰梯形一定有外接圆；④弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数；⑤在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝m∶n∶p∶q，则有m ＋p＝n＋q.其中错误的是()A．①②B．①②④C．③⑤D．①③⑤【解析】①错误，若弧不一样，则圆心角与圆周角的关系不确定．②错误，只有同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等．③正确，可以推出等腰梯形的对角互补，所以有外接圆．④错误，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，所夹的弧的度数等于该弧所对圆心角的度数，所以弦切角所夹弧的度数等于弦切角度数的2倍．⑤正确，圆内接四边形ABCD的对角互补．【答案】 B2．如图6所示，AB，AC是圆的两条弦，AD是圆的一条直径，且AD平分∠BAC，下列结论中不一定正确的是()图6A.AB＝DBB.BD＝CDC．BC⊥AD D．∠B＝∠C【解析】因为AD平分∠BAC，所以BD＝CD.又因为AD是直径，所以BC⊥AD，AB＝AC，所以∠B＝∠C，只有AB＝DB是不确定的．【答案】 A图73．如图7所示，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠BAD等于()A．32°B．81°C．99°D．109°【解析】由题意知EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB＝12(180°－46°)＝67°，∴∠BCD＝180°－∠BCE－∠DCF＝180°－67°－32°＝81°，∴∠BAD＝180°－81°＝99°.【答案】 C图84．如图8所示，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE ＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE 的长为________．【解析】设BE＝x，则FB＝2x，AF＝4x，由相交弦定理得DF·FC＝AF·FB，即2＝8x2，解得x＝12，再由切割线定理得CE2＝EB·EA＝12×72＝74，所以CE＝72.【答案】7 2三个注意(1)圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(可半径)或各向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．(3)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．第一节相似三角形的判定及有关性质考纲要求：1.了解平行线截割定理.2.理解相似三角形的定义和性质，会证明直角三角形的射影定理.3.掌握判定两个三角形相似的方法．[基础真题体验]考查角度[相似三角形的判定与性质]1．(2012·课标全国卷)如图1，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：图1(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.【解】(1)因为D，E分别为AB，AC的BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，所以∠BGD＝∠BDG.由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB，又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，所以△BCD∽△GBD.2．(2012·辽宁高考)如图2，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交⊙O 于点E .证明：图2(1)AC ·BD ＝AD ·AB ；(2)AC ＝AE .【证明】 (1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝AB BD ，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝AD BD ，即AE ·BD ＝AD ·AB .结合(1)的结论知，AC ＝AE .[命题规律预测]考向一 平行线分线段成比例定理[典例剖析]【例1】 如图3，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上一点，DE 交AC 于G ，交BC 于F .求证：(1)DG 2＝GE ·GF ；图3(2)CF CB ＝AB AE .【思路点拨】 (1)通过证明CG AG ＝DG GE ，CG AG ＝GF DG 得出结论．(2)通过证明DF DE ＝AB AE ，DF DE ＝CF CB 得出结论． 【证明】 (1)∵CD ∥AE ，∴DG GE ＝CG AG .又∵AD ∥CF ，∴GF DG ＝CG AG .∴DG GE ＝GF DG ，即DG 2＝GE ·GF .(2)∵BF ∥AD ，∴AB AE ＝DF DE .又∵CD ∥BE ，∴CF CB ＝DF DE .∴CF CB ＝AB AE .1．本例在证明过程中，首先将等积式转化为比例式，然后根据比例式的左、右两端的线段比寻找成比例的条件．2．平行线分线段成比例定理及推论一方面可以判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理及推论将两条线段的比转化为另外两条线段的比．[对点练习]如图4所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，且AB ＝2，AD ＝2，则AF ＝________.图4【解析】 ∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ，∵EF ∥CD ，∴AF AD ＝AE AC ，∴AD AB ＝AF AD，∴AF＝AD2AB ＝(2)22＝1.【答案】 1考向二相似三角形的判定与性质[典例剖析]【例2】如图5，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M.图5(1)求证：△EDM∽△FBM；(2)若DB＝9，求BM.【思路点拨】(1)先证明四边形CBED是平行四边形，再证明∠DEM＝∠BFM，进而证明△EDM∽△FBM.(2)由△EDM∽△FBM可得出比例关系，求出BM便可．【证明】(1)因为E是AB的中点，所以AB＝2EB，又因为AB＝2CD，所以CD＝BE.又AB∥CD，所以四边形CBED是平行四边形．所以CB ∥DE ，所以∠DEM ＝∠BFM ，∠EDM ＝∠FBM ， 所以△EDM ∽△FBM . (2)由(1)得DM BM ＝DEBF .又因为F 是BC 中点，所以DE ＝2BF ， 所以DM ＝2BM ， 所以BM ＝13DB ＝13×9＝3.1．证明相似三角形的一般思路 (1)先找两对内角对应相等；(2)若只有一角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；(3)若无对应角相等，就证三边对应成比例． 2．相似三角形性质的应用(1)若证明等积式，可化等积式为比例式，再根据相似三角形的性质求解．(2)相似三角形性质的应用可用来考查与相似三角形相关的元素，如两个三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的面积等．[对点练习]如图6，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，DE ∥CA ，且交BA 的延长线于E ，求证：ED ·CD ＝EA ·BD .图6【证明】 在梯形ABCD 中， ∵AB ＝DC ， ∴∠ABC ＝∠DCB .又BC ＝BC ，∴△ABC ≌△DCB . ∴∠BAC ＝∠BDC . ∵AC ∥ED ，AD ∥BC ，∴∠E ＝∠BAC ＝∠BDC ，∠EAD ＝∠ABC ＝∠DCB ， ∴△EAD ∽△DCB .∴EA DC ＝EDDB ，即ED ·CD ＝EA ·BD . 考向三 射影定理及其应用[典例剖析]【例3】 如图7所示，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E .试证明：图7(1)AB ·AC ＝BC ·AD ； (2)AD 3＝BC ·CF ·BE .【思路点拨】 (1)由△ABD ∽△CBA 可证，也可由等面积法证明． (2)应用射影定理证明．【证明】 (1)法一：由题意可知△ABD ∽△CBA ，得AB AD ＝BCAC ，即AB ·AC ＝BC ·AD .法二：∵S △ABC ＝12AB ·AC ，S △ABC ＝12BC ·AD ， ∴12AB ·AC ＝12BC ·AD ，即AB ·AC ＝BC ·AD . (2)在Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，故BD 2＝BE ·AB ，① 同理CD 2＝CF ·AC ，②又在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ，故AD 2＝BD ·DC ，③ ①×②得，BD 2·CD 2＝BE ·AB ·CF ·AC ，④ 由③④得，AD 4＝BE ·AB ·CF ·AC ， 结合(1)可知，AD 3＝BC ·CF ·BE .应用射影定理的注意事项：(1)应用直角三角形的射影定理解决问题时首先确定直角边及其射影．(2)应用射影定理时，应注意射影与直角边的对应关系，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分清比例中项．[对点练习]如图8所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于点F ，求证：DF AF ＝AE EC .图8【证明】 由三角形的内角平分线定理得， 在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ，① 在△ABC 中，AE EC ＝ABBC ，②在Rt △ABC 中，由射影定理知AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝AB BC.③由①③得DFAF ＝ABBC，④由②④得DFAF ＝AE EC.满分指导24与相似三角形相关的计算与证明问题[典例剖析]【典例】(10分)如图9，已知在△ABC中点D是BC的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；图9(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．【审题指导】【规范解答】 (1)∵DE ⊥BC ，D 是BC 边上的中点，∴EB ＝EC .∴∠B ＝∠ECD ，又AD ＝AC ， ∴∠ADC ＝∠ACD ，∴△ABC ∽△FCD . 4分(2)过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M ，∵△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ，∴S △ABCS △FCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BC CD 2＝4. 又∵S △FCD ＝5，∴S △ABC ＝20. 6分又S △ABC ＝12×BC ×AM ＝12×10×AM ＝20，解得AM ＝4. 又DE ∥AM ，∴DE AM ＝BDBM .∵DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ＝5＋52＝152， 9分 ∴DE 4＝5152，解得DE ＝83.【名师寄语】(1)从两三角形的边角关系入手求解三角形的相似问题．(2)涉及到相似三角形的面积时，常利用面积比与相似比的关系建立度量关系．(3)在解决平面几何问题时，当条件较分散时，可适当添加辅助线，使分散的条件适当集中．[对点练习]如图10，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF.图10(1)求证：EF∥BC.(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．【解】(1)因为CF平分∠ACB，所以∠ACF＝∠DCF.又因为DC＝AC，所以CF是△ACD的中线，所以点F是AD的中点．因为点E 是AB 的中点， 所以EF ∥BD ，即EF ∥BC .(2)由(1)知，EF ∥BD ，所以△AEF ∽△ABD ，所以S △AEFS △ABD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AB 2.又因为AE ＝12AB ，S △AEF ＝S △ABD －S 四边形BDFE ＝S △ABD －6， 所以S △ABD －6S △ABD＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，所以S △ABD ＝8，所以△ABD 的面积为8.1．如图11，已知a ∥b ∥c ，直线m ，n 分别与a ，b ，c 交于点A ，B ，C 和A ′，B ′，C ′，如果AB ＝BC ＝1，A ′B ′＝32，则B ′C ′＝________.图11【解析】 由平行线等分线段定理可直接得到答案． 【答案】 322．如图12，在△ABC 中，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，AN ，CM 交于点O ，那么△MON 与△AOC 面积的比是________．图12【解析】 ∵M ，N 分别是AB 、BC 中点，故MN 綊12AC ， ∴△MON ∽△COA ，∴S △MON S △AOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫MN AC 2＝14.【答案】 1∶43．如图13所示，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________.图13【解析】 由于∠ACD ＝∠AEB ＝90°，∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC ，∴AB AD ＝AEAC .又AC ＝4，AD ＝12，AB ＝6，∴AE ＝AB ·AC AD ＝6×412＝2.【答案】 24．如图14所示，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________.图14【解析】 连结DE 和BD ，依题知，EB ∥DC ，EB ＝DC ＝a2，∴EBCD 为矩形，∴DE ⊥AB ，又E 是AB 的中点，所以BD ＝AD ＝a ，∵E ，F 分别是AD ，AB 的中点，∴EF ＝12DB ＝12a .【答案】 a2课时提升练(六十九) 相似三角形的判定及有关性质 一、选择题1．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝4，BA ＝9，△ABC ∽△A ′B ′C ′，△A ′B ′C ′最短边为12，则它的最长边的长度为( )A ．16B ．18C ．27D ．24【解析】 因为△ABC ∽△A ′B ′C ′，AC ＝6，BC ＝4，BA ＝9，所以△A ′B ′C ′的最短边是B ′C ′，最长边是A ′B ′，BCB ′C ′＝BA B ′A ′，即412＝9B ′A ′，所以A ′B ′＝27.【答案】 C2．如图15所示，已知AB ∶BD ＝2∶3，且BC ∥DE ，则S △ABC ∶S 梯形BDEC 等于( )A ．4∶21B ．4∶25C ．2∶5D ．2∶3图15【解析】 ∵AB ∶BD ＝2∶3且BC ∥DE ，∴AB ∶AD ＝2∶5， ∴S △ABCS △ADE ＝425， ∴S △ABCS 梯形BDEC ＝421. 【答案】 A3．一个直角三角形两条直角边的比为1∶5，则它们在斜边上的射影比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶ 5D ．1∶5【解析】 如图，在Rt △ABC 中，BC ∶AC＝1∶5，作CD ⊥AB 于D .∴BC 2＝AB ·BD ，AC 2＝AB ·AD ， ∴BC 2AC 2＝AB ·BD AB ·AD ，∴BD AD ＝15.因此它们在斜边上的射影比为1∶5. 【答案】 D4．如图16所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF 等于( )A ．4B ．5C ．2D ．3图16【解析】 由DE ∥BC 得DE BC ＝AE AC ＝35，因为DE ＝6，所以BC ＝10.又因为DF ∥AC ，所以四边形DFCE 为平行四边形， 所以CF ＝DE ＝6，即BF ＝10－6＝4.故选A. 【答案】 A5．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝3∶2，则△ACD 与△CBD 的相似比为( )A ．2∶3B ．3∶2C ．9∶4 D.6∶3【解析】 如图Rt △ABC 中，由CD ⊥AB 及射影定理知，CD 2＝AD ·BD ，即CD AD ＝BDCD ，又∵∠ADC ＝∠BDC ＝90°， ∴△ACD ∽△CBD . ∵BD ∶AD ＝3∶2 ∴令BD ＝3t ，AD ＝2t ，即CD 2＝6t 2，即CD ＝6t ，∴AD CD ＝2t 6t＝63.故△ACD 与△CBD 的相似比为6∶3. 【答案】 D6．如图17，ED ∥FG ∥BC ，且DE 、FG 把△ABC 的面积分为相等的三部分，若BC ＝15，则FG 的长为( )A ．5 6B ．10C ．4 3D ．7.5图17【解析】 ∵DE 、FG 把△ABC 的面积分为相等的三部分∴S △AFG S △ABC＝23. ∵DE ∥FG ∥BC ，∴△AFG ∽△ABC . ∴S △AFG S △ABC＝23＝FG 2BC 2. ∴FG BC ＝23，又BC ＝15，∴FG ＝5 6.【答案】 A 二、填空题7．(2014·广东高考)如图18，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝________.图18【解析】 根据EB ＝2AE 求出两个相似三角形的对应边所成的比例，再利用相似三角形的性质求解．在平行四边形ABCD 中，因为EB ＝2AE ，所以AE AB ＝13＝AE CD ，故CDAE ＝3.因为AE ∥CD ，所以△AEF ∽△CDF ，所以S △CDF S △AEF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CD AE 2＝9.【答案】 98．(2013·陕西高考)如图19，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.图19【解析】 因为PE ∥BC ，所以∠C ＝∠PED .又因为∠C ＝∠A ，所以∠A ＝∠PED .又∠P ＝∠P ，所以△PDE ∽△PEA ，则PD PE ＝PEP A ，即PE 2＝PD ·P A ＝2×3＝6，故PE ＝ 6.【答案】69．如图20，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AD ＝4，sin ∠ACD ＝45，则CD ＝________，BC ＝________.图20【解析】 在Rt △ADC 中，AD ＝4，sin ∠ACD ＝AD AC ＝45，得AC ＝5，CD ＝AC 2－AD 2＝3，又由射影定理AC 2＝AD ·AB ，得AB ＝AC 2AD ＝254.∴BD ＝AB －AD ＝254－4＝94，由射影定理BC 2＝BD ·AB ＝94×254，∴BC ＝154. 【答案】 3 154三、解答题10．如图21所示，已知▱ABCD 中，G 是DC 延长线上一点，AG 分别交BD 和BC 于E ，F 两点，证明：AF ·AD ＝AG ·BF .图21【证明】 因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AB ∥DC ，AD ∥BC ， 又AB ∥CG ，所以△GCF ∽△ABF . 因为AD ∥CF ，所以△GCF ∽△GDA . 所以△ABF ∽△GDA ，所以AF AG ＝BFAD ，即AF ·AD ＝AG ·BF .11．如图22，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C .(1)求证：△ABF ∽△EAD .(2)若∠BAE ＝30°，AD ＝3，求BF 的长．图22【解】 (1)证明：∵AB ∥CD ， ∴∠BAF ＝∠AED . 又∵∠BFE ＝∠C ，∠BFE ＋∠BF A ＝∠C ＋∠EDA ， ∴∠BF A ＝∠ADE . ∴△ABF ∽△EAD .(2)∵∠BAE ＝30°，∴∠AEB ＝60°，∴ABAE ＝sin 60°， 由(1)知BF AD ＝AB AE ，∴BF ＝AB AE ·AD ＝332.12．如图23所示，AD 与BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB 于F ，直线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF ·HF .图23【证明】 在△AFH 与△GFB 中， 因为∠H ＋∠BAC ＝90°， ∠GBF ＋∠BAC ＝90°， 所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠GFB ＝90°， 所以△AFH ∽△GFB ，所以HF BF ＝AFGF ，故AF ·BF ＝GF ·HF . 因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ，由射影定理，得DF2＝AF·BF，故DF2＝GF·HF.第二节直线与圆的位置关系考纲要求：1.理解圆周角定理，理解圆的切线的判定和性质定理及弦切角定理.2.理解相交弦定理、割线定理、切割线定理.3.理解圆内接四边形的判定与性质定理．[基础真题体验]考查角度[四点共圆问题]1．(2011·课标全国卷)如图24，D，E分别为△ABC的边AB，图24AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC 的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．【解】(1)证明：连结DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD·AB＝mn ＝AE ·AC ，即AD AC ＝AEAB .又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB .因此∠ADE ＝∠ACB .所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12.故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC . 从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12×(12－2)＝5. 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2. 考查角度[圆周角及弦切角定理]2．(2013·课标全国卷Ⅰ)如图25，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .图25(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．【解】 (1)证明：如图，连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理，得∠ABE ＝∠BCE ， 而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，所以BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为圆的直径，∠DCE ＝90°. 由勾股定理可得DB ＝DC .(2)由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ， 故DG 是BC 边的中垂线，所以BG ＝32.。

相似三角形的判定及有关性质【学习目标】1. 了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理．2. 理解并掌握相似三角形的判定及性质。

【要点梳理】要点一、平行截割定理 1。

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他与这组平行线相交的直线上截得的线段也相等。

推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 2．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 如右图：l 1∥l 2∥l 3，则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．要点诠释：由上述定理可知：在证明有关比例线段时，辅助线往往作平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.要点二、相似三角形 1.定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。

要点诠释：关于相似三角形要注意以下几点：① 对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．② 顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③ 两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④ 全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．2．相似三角形的判定定理①两角对应相等的两个三角形相似。

②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

③三边对应成比例的两个三角形相似。

④平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 3．相似直角三角形的判定定理①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似． ②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

第1讲平行截割定理与相似三角形【2013年高考会这样考】考查相似三角形的判定和性质定理的应用及直角三角形的射影定理的应用．【复习指导】复习本讲时，只要掌握好教材上的内容，熟练教材上的习题即可达到高考的要求，该部分的复习以基础知识、基本方法为主，掌握好解决问题的基本技能即可.基础梳理1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理及其推论①定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．②推论：经过梯形一腰的中点而且平行于底边的直线平分另一腰．(2)平行截割定理及其推论①定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，截得的三角形与原三角形的对应边成比例．(3)三角形角平分线的性质三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比．(4)梯形的中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．2．相似三角形(1)相似三角形的判定①判定定理a．两角对应相等的两个三角形相似．b．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．c．三边对应成比例的两个三角形相似．②推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．③直角三角形相似的特殊判定斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．(2)相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．(3)直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．双基自测1．如图所示，已知a ∥b ∥c ，直线m 、n 分别与a 、b 、c 交于点A ，B ，C 和A ′，B ′，C ′，如果AB ＝BC ＝1，A ′B ′＝32，则B ′C ′＝________.解析 由平行线等分线段定理可直接得到答案．答案 322．如图所示，BD 、CE 是△ABC 的高，BD 、CE 交于F ，写出图中所有与△ACE 相似的三角形________．解析 由Rt △ACE 与Rt △FCD 和Rt △ABD 各共一个锐角，因而它们均相似，又易知∠BFE ＝∠A ，故Rt △ACE ∽Rt △FBE .答案 △FCD 、△FBE 、△ABD3．(2011·西安模拟)如图，在△ABC 中，M 、N 分别是AB 、BC 的中点，AN 、CM 交于点O ，那么△MON 与△AOC 面积的比是________．解析 ∵M 、N 分别是AB 、BC 中点，故MN 綉12AC ，∴△MON ∽△COA ，∴S △MON S △AOC ＝MN 2AC 2＝14.答案 1∶44．如图所示，已知DE ∥BC ，BF ∶EF ＝3∶2，则AC ∶AE ＝______，AD ∶DB ＝________.解析 ∵DE ∥BC ，∴AE AC ＝DE BC ＝EFBF .∵BF ∶EF ＝3∶2，∴AE AC ＝EF BF ＝23.∴AC ∶AE ＝3∶2.同理DE ∥BC ，得AB ∶AD ＝3∶2，即AB AD ＝32.∴AD AB ＝23，即AD AB －AD ＝23－2＝2. 即ADBD＝2.∴AD ∶BD ＝2∶1. 答案 3∶2 2∶15．(2010·广东)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E 、F 分别为线段AB 、AD 的中点，则EF ＝________.解析 连接DE 和BD ，依题知，EB ∥DC ，EB ＝DC ＝a2，∴EBCD 为平行四边形，∵CB ⊥AB ，∴DE ⊥AB ，又E 是AB 的中点，故AD ＝DB ＝a ，∵E ，F 分别是AD 、AB 的中点，∴EF ＝12DB ＝12a .答案 a 2考向一 平行截割定理的应用【例1】►(2011·广州测试(二))在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝5，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且EF ∥AD ，若AE EB ＝34，则EF 的长为________．[审题视点] 把梯形的两腰BA 、CD 分别延长交于一点，利用平行截割定理可求解．解析 如图所示，延长BA 、CD 交于点P ，∵AD ∥BC ，∴P A PB ＝AD BC ＝25，∴P A AB ＝23，又∵AE EB ＝34，∴AE AB ＝37，∴P A AE ＝149，∴P A PE ＝1423.∵AD ∥EF ，∴AD EF ＝P A PE ＝1423，又AD ＝2，∴EF ＝237.答案 237在解题时要注意添加辅助线．【训练1】 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧DE ∥BC ，EF ∥CD ，BC ＝3，DE ＝2⇒AE AC ＝AF AD ＝DE BC ＝23，又DF ＝1，故可解得AF ＝2，∴AD ＝3，又AD AB ＝23，∴AB ＝92. 答案 92考向二相似三角形的判定和性质的应用【例2】►已知，如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，点D 是垂足． 求证：BC 2＝2CD ·AC .[审题视点] 作AE ⊥BC ，证明△AEC 和△BDC 相似即可． 证明 过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，∴CE ＝BE ＝12BC ，由BD ⊥AC ，AE ⊥BC .又∴∠C ＝∠C ，∴△AEC ∽△BDC .∴EC DC ＝AC BC ，∴12BC CD ＝ACBC， 即BC 2＝2CD ·AC.判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点灵活选择判定定理．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．【训练2】 (2011·惠州调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.解析 因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，所以AE AC ＝DE BC ，即35＝6BC，所以BC ＝10.又DF ∥AC ，所以四边形DECF 是平行四边形，故BF ＝BC －FC ＝BC －DE ＝10－6＝4.答案 4考向三 直角三角形射影定理的应用【例3】►已知圆的直径AB ＝13，C 为圆上一点，过C 作CD ⊥AB 于D (AD ＞BD )，若CD ＝6，则AD ＝________.[审题视点] △ACB为直角三角形，可直接利用射影定理求解．解析 如图，连接AC ，CB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90° 设AD ＝x ，∵CD ⊥AB 于D ， ∴由射影定理得CD 2＝AD ·DB ，即62＝x (13－x )，∴x 2－13x ＋36＝0，解得x 1＝4，x 2＝9. ∵AD ＞BD ，∴AD ＝9. 答案9注意射影定理的应用条件．【训练3】 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶3.则△ACD 与△CBD 的相似比为________．解析 如图所示，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得：CD2＝AD·BD，又∵AD∶BD＝2∶3，令AD＝2x，BD＝3x(x＞0)，∴CD2＝6x2，∴CD＝6x.又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD.易知△ACD与△CBD的相似比为ADCD＝2x6x＝63.即相似比为6∶3.答案6∶3高考中几何证明选讲问题(一)从近两年新课标高考试题可以看出，高考主要以填空题的形式考查平行截割定理和相似三角形判定定理的应用，难度不大．【示例1】►(2011·陕西)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.【示例2】►(2011·广东)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．。

第1讲相似三角形的判定及有关性质[最|新考纲]了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．知识梳理1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例．②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理①两角对应相等的两个三角形相似．②两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似．③三边对应成比例的两个三角形相似．(2)相似三角形的性质定理①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．3．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．如图,在Rt△ABC中,CD是斜边上的高,那么有CD2＝AD·BD ,AC2＝AD·AB ,BC2＝BD·AB.诊断自测1.如图,a∥b∥c ,直线m ,n分别与a ,b ,c交于点A ,B ,C和A′ ,B′ ,C′ ,如果AB ＝BC ＝1 ,A ′B ′＝32 ,那么B ′C ′＝________.解析 由平行线等分线段定理可直接得到答案．答案 322.如图 ,△ABC ∽△AFE ,EF ＝8 ,且△ABC 与△AFE 的相似比是3∶2 ,那么BC 等于________．解析 ∵△ABC ∽△AFE ,∴BC EF ＝32.又EF ＝8 ,∴BC ＝12.答案 123. (2021·揭阳模拟)如图 ,BD ⊥AE ,∠C ＝90° ,AB ＝4 ,BC ＝2 ,AD ＝3 ,那么EC ＝________.解析 在Rt △ADB 中 ,DB ＝AB 2－AD 2＝7 ,依题意得 ,△ADB ∽△ACE ,∴DB EC ＝AD AC ,可得EC ＝DB ·AC AD ＝27.答案 274.如图 ,∠C ＝90° ,∠A ＝30° ,E 是AB 中点 ,DE ⊥AB 于E ,那么△ADE 与△ABC 的相似比是________．解析 ∵E 为AB 中点 ,∴AE AB ＝12 ,即AE ＝12AB ,在Rt △ABC 中 ,∠A ＝30° ,AC ＝32AB ,又∵Rt △AED ∽Rt △ACB ,∴相似比为AE AC ＝13. 故△ADE 与△ABC 的相似比为1∶ 3. 答案 1∶ 35. (2021·湛江模拟)如图 ,在△ABC 中 ,D 是AC 的中点 ,E 是BD 的中点 ,AE 交于BC 于F ,那么BF FC ＝________.解析 如图 ,过点D 作DG ∥AF ,交BC 于点G ,易得FG ＝GC ,又在△BDG 中 ,BE ＝DE ,即EF 为△BDG 的中位线 ,故BF ＝FG ,因此BF FC ＝12. 答案 12 考点一 平行截割定理的应用 【例1】 如图 ,在△ABC 中 ,DE ∥BC ,EF ∥CD ,假设BC ＝3 ,DE ＝2 ,DF ＝1 ,那么AB 的长为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ DE ∥BC EF ∥CD BC ＝3 DE ＝2⇒AE AC ＝AF AD ＝DE BC ＝23 ,又DF ＝1 , 故可解得AF ＝2 ,∴AD ＝3 ,又AD AB ＝23 ,∴AB ＝92.答案 92 规律方法 利用平行截割定理解决问题 ,特别注意被平行线所截的直线 ,找准成比例的线段 ,得到相应的比例式 ,有时需要进行适当的变形 ,从而得到最|终的结果．【训练1】 如图 ,在梯形ABCD 中 ,AB ∥CD ,AB ＝4 ,CD ＝2.E ,F 分别为AD ,BC 上的点 ,且EF ＝3 ,EF ∥AB ,那么梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________． 解析 如图 ,延长AD ,BC 交于一点O ,作OH ⊥AB 于点H .∴x x ＋h 1＝23 ,得x ＝2h 1 ,x ＋h 1x ＋h 1＋h 2＝34,得h 1＝h 2. ∴S 梯形ABFE ＝12×(3＋4)×h 2＝72h 2 ,S 梯形EFCD ＝12×(2＋3)×h 1＝52h 1 ,∴S 梯形ABFE ∶S 梯形EFCD ＝7∶5.答案 7∶5考点二相似三角形的判定及性质【例2】如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90° ,CD⊥AB ,E为AC的中点,ED、CB延长线交于一点F.求证：FD2＝FB·FC.证明∵E是Rt△ACD斜边中点,∴ED＝EA ,∴∠A＝∠1 ,∵∠1＝∠2 ,∴∠2＝∠A ,∵∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2 ,∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A,∴∠FBD＝∠FDC ,∵∠F是公共角,∴△FBD∽△FDC ,∴FBFD＝FDFC,∴FD2＝FB·FC.规律方法判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理,特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．【训练2】(2021·陕西卷)如图,AB与CD相交于点E ,过E作BC的平行线与AD 的延长线交于点P ,∠A＝∠C ,PD＝2DA＝2 ,那么PE＝________.解析∵PE∥BC ,∴∠C＝∠PED ,又∠C＝∠A ,那么有∠A＝∠PED ,又∠为公共角,所以△PDE∽△PEA ,PD PE＝PEP A,即PE2＝PD·P A＝2×3＝6 ,故PE＝ 6.答案 6考点三直角三角形射影定理及其应用【例3】如下图,AD、BE是△ABC的两条高,DF⊥AB,垂足为F,直线FD交BE于点G ,交AC的延长线于H ,求证：DF2＝GF·HF.证明∵∠H＋∠BAC＝90° ,∠GBF＋∠BAC＝90° ,∴∠H＝∠GBF.∵∠AFH＝∠GFB＝90° ,∴△AFH∽△GFB.∴HFBF＝AFGF,∴AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中 ,FD ⊥AB ,∴DF 2＝AF ·BF ,所以DF 2＝GF ·HF .规律方法 (1)在使用直角三角形射影定理时 ,要注意将 "乘积式〞转化为相似三角形中的 "比例式〞．(2)证题时 ,要注意作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用的方法．【训练3】 如图 ,在Rt △ABC 中 ,∠ACB ＝90° ,CD ⊥AB 于点D ,AD ＝4 ,sin ∠ACD ＝45 ,那么CD ＝______ ,BC ＝______.解析 在Rt △ADC 中 ,AD ＝4 ,sin ∠ACD ＝AD AC ＝45 ,得AC ＝5 ,CD ＝AC 2－AD 2＝3 ,又由射影定理AC 2＝AD ·AB ,得AB ＝AC 2AD ＝254. ∴BD ＝AB －AD ＝254－4＝94 ,由射影定理BC 2＝BD ·AB ＝94×254 ,∴BC ＝154.答案 3 154三角形相似与圆的交汇问题【典例】 如下图 ,⊙O 和⊙O ′相交于A ,B 两点 ,过A 作两圆的切线分别交两圆于C ,D 两点 ,连接DB 并延长交⊙O 于点E ,证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ；(2)AC ＝AE .[审题视点] (1)根据待证等式可将各边回归到△ACB ,△DAB 中 ,再证两三角形相似；(2)本问可先证明△EAD ∽△ABD ,再结合第(1)问结论得证．证明 (1)由AC 与⊙O ′相切于A ,得∠CAB ＝∠ADB ,同理∠ACB ＝∠DAB ,所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝AB BD ,即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ,得∠AED ＝∠BAD .又∠ADE ＝∠BDA ,得△EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝AD BD ,即AE ·BD ＝AD ·AB .综合(1)的结论知 ,AC ＝AE .[反思感悟] 1.易失分点：(1)证明此题第(2)问时 ,想不到证明△EAD ∽△ABD ,从而无法解答．(2)证明此题第(2)问时 ,没有应用第(1)问的结论从而无法证明结论成立．2．防范措施：(1)证明等积式成立 ,应先把它写成比例式 ,找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似 ,假设不相似 ,那么进行线段替换或等比替换．(2)在有多个结论的题目中 ,如果结论带有普遍性 ,已经证明的结论 ,可作为证明下一个结论成立的条件使用．【自主体验】(2021·江苏卷)如图 ,AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C ,AC 经过圆心O ,且BC ＝2OC .求证：AC ＝2AD证明 连接OD ,因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C ,所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ,所以Rt △ADO ∽Rt △ACB .所以AD AC ＝OD BC .又BC ＝2OC ＝2OD ,故AC ＝2AD .一、填空题1．如图 ,BD ,CE 是△ABC 的高 ,BD ,CE 交于F ,写出图中所有与△ACE 相似的三角形为________．解析 由Rt △ACE 与Rt △FCD 和Rt △ABD 各共一个锐角 ,因而它们均相似 ,又易知∠BFE ＝∠A ,故Rt △ACE ∽Rt △FBE .答案 △FCD 、△FBE 、△ABD2.(2021·西安模拟)如图 ,在△ABC 中 ,M ,N 分别是AB ,BC 的中点 ,AN ,CM 交于点O ,那么△MON 与△AOC 面积的比是________．解析 ∵M ,N 分别是AB 、BC 中点 ,故MN 綉12AC ,∴△MON ∽△COA ,∴S △MON S △AOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫MN AC 2＝14. 答案 1∶43.(2021·渭南模拟)如图 ,∠B ＝∠D ,AE ⊥BC ,∠ACD ＝90° ,且AB ＝6 ,AC ＝4 ,AD ＝12 ,那么AE ＝________.解析 由于∠ACD ＝∠AEB ＝90° ,∠B ＝∠D ,∴△ABE ∽△ADC ,∴AB AD ＝AE AC .又AC ＝4 ,AD ＝12 ,AB ＝6 ,∴AE ＝AB ·AC AD ＝6×412＝2.答案 24.(2021·佛山质检)如图 ,在直角梯形ABCD 中 ,DC ∥AB ,CB ⊥AB ,AB ＝AD ＝a ,CD ＝a 2 ,点E ,F 分别为线段AB ,AD 的中点 ,那么EF ＝________.解析 连接DE 和BD ,依题知 ,EB ∥DC ,EB ＝DC ＝a 2 ,CB ⊥AB ,∴EBCD 为矩形 ,∴DE ⊥AB ,又E 是AB 的中点 ,所以△ABD 为等腰三角形．故AD ＝DB ＝a ,∵E ,F分别是AD ,AB 的中点 ,∴EF ＝12DB ＝12a .答案 a 25．圆的直径AB ＝13 ,C 为圆上一点 ,过C 作CD ⊥AB 于D (AD ＞BD ) ,假设CD ＝6 ,那么AD ＝________.解析如图 ,连接AC ,CB ,∵AB 是⊙O 的直径 ,∴∠ACB ＝90°.设AD ＝x ,∵CD ⊥AB 于D ,∴由射影定理得CD 2＝AD ·DB ,即62＝x (13－x ) ,∴x 2－13x ＋36＝0 ,解得x 1＝4 ,x 2＝9.∵AD ＞BD ,∴AD ＝9.答案 96．(2021·广东卷)如图 ,在矩形ABCD 中 ,AB ＝ 3 ,BC ＝3 ,BE ⊥AC ,垂足为E ,那么ED ＝________.解析 在Rt △ABC 中 ,BC ＝3 ,AB ＝ 3 ,所以∠BAC ＝60°.因为BE ⊥AC ,AB ＝3 ,所以AE ＝32 ,在△EAD 中 ,∠EAD ＝30° ,AD ＝3 ,由余弦定理知 ,ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD ·cos ∠EAD ＝34＋9－2×32×3×32＝214 ,故ED ＝212. 答案2127. (2021·茂名模拟)如图 ,AB ∥EF ∥CD ,假设AB ＝4 ,CD ＝12 ,那么EF ＝________. 解析 ∵AB ∥CD ∥EF , ∴AB EF ＝BC CF ,BC BF ＝CD EF , ∴4EF ＝BC BC －BF ,BC BF ＝12EF, ∴4(BC －BF )＝12BF ,∴BC ＝4BF , ∴BC BF ＝4＝12EF ,∴EF ＝3.答案 38.如图 ,在梯形ABCD 中 ,AD ∥BC ,BD 与AC 相交于O ,过O 的直线分别交AB 、CD 于E 、F ,且EF ∥BC ,假设AD ＝12 ,BC ＝20 ,那么EF ＝________.解析 ∵EF ∥AD ∥BC ,∴△OAD ∽△OCB ,OA ∶OC ＝AD ∶BC ＝12∶20 ,△OAE ∽△CAB ,OE ∶BC ＝OA ∶CA ＝12∶32 ,∴EF ＝2×1232×20＝15.答案 159．(2021·广东卷)如图,圆O的半径为1 ,A ,B ,C是圆周上的三点,满足∠ABC＝30° ,过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P ,那么P A＝________.解析连接AO ,AC ,因为∠ABC＝30° ,所以∠CAP＝30° ,∠AOC＝60° ,△AOC为等边三角形,那么∠ACP＝120° ,∴∠APC＝30° ,∴△ACP为等腰三角形,且AC＝CP＝1 ,∴P A＝2×1×sin 60°＝ 3.答案 3二、解答题10.如图,圆上的弧AC＝BD,过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点,证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.证明(1)因为AC＝BD,所以∠ABC＝∠BCD.又因为EC与圆相切于点C ,故∠ACE＝∠ABC ,所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB ,∠EBC＝∠BCD ,所以△BDC∽△ECB ,故BCBE＝CDBC,即BC2＝BE·CD.11．(2021·辽宁卷)如图,AB为⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于E,AD垂直CD于D ,BC垂直CD于C ,EF垂直AB于F ,连接AE ,BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.证明(1)由直线CD与⊙O相切,得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径,得AE⊥EB ,从而∠EAB＋∠EBF＝π2；又EF⊥AB ,得∠FEB＋∠EBF＝π2.从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE ,EF⊥AB ,∠FEB＝∠CEB ,BE是公共边,得Rt△BCE≌Rt△BFE ,所以BC＝BF.同理可证Rt△ADE≌Rt△AFE ,得AD＝AF.又在Rt△AEB中,EF⊥AB ,故EF2＝AF·BF ,所以EF2＝AD·BC.12.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于点E ,求证：(1)△ABC≌△DCB；(2)DE·DC＝AE·BD.证明(1)∵四边形ABCD是等腰梯形,∴AC＝BD.∵AB＝DC ,BC＝CB ,∴△ABC≌△DCB.(2)∵△ABC≌△DCB.∴∠ACB＝∠DBC ,∠ABC＝∠DCB.∵AD∥BC ,∴∠DAC＝∠ACB ,∠EAD＝∠ABC.∴∠DAC＝∠DBC ,∠EAD＝∠DCB.∵ED∥AC ,∴∠EDA＝∠DAC.∴∠EDA＝∠DBC ,∴△ADE∽△CBD.∴DE∶BD＝AE∶CD.∴DE·DC＝AE·BD.。