相似三角形的性质 (2)教学设计

24.5相似三角形的性质（2）一、教学内容分析本课是相似三角形性质的第二课时，引导学生探索相似三角形的周长、面积分别具有的数量关系特征.二、教学目标1、掌握“相似三角形性质定理2和3”；2、经历相似三角形性质定理2、3的探索过程，体会类比思想，发展合情推理能力．三、教学重点及难点相似三角形的性质定理2、3及其应用.相似三角形性质定理2、3的发现与证明.三、教学过程设计（一）温故知新1、复习：上节课学习了相似三角形的什么性质？相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.2、思考：相似三角形的周长比和面积比与相似比之间有怎样的关系？已知：图1中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似．求：（2）与（1）的相似比＝_____ ，（2）与（1）的周长比＝_____;（2）与（1）的面积比＝_____;图1（3）与（1）的相似比＝_____;（3）与（1）的周长比＝_____;（3）与（1）的面积比＝_____.3．猜想：相似三角形的周长比等于______；相似三角形的面积比等于_________.4．证明猜想：已知：如图，△ABC ∽△A 1B 1C 1,且相似比是k .顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应. 求证：k A C C B B A CA BC AB =++++111111.于是得到 相似三角形的性质定理2：相似三角形周长比等于相似比.性质1和2可以概括为：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长比都等于相似比.已知：如图，△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比是k .顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应. 求证：2111k S S C B A ABC =∆∆.C1B1A1C BA C1B1A1C B A相似三角形的性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方.引导学生用几何语言表示出相似三角形性质定理.几何语言：ABC ∆∽111C B A ∆，⇒2111k S S C B A ABC =∆∆ ABC ∆∽111C B A ∆， ⇒k C C C B A ABC =∆∆111 （二）简单应用例1 已知：△ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的周长分别是48cm 和60cm ，且AB=12，B ′C ′=25，求BC 、A ′B ′．例2如图，△ABC 中，点D 点E 分别在AB 和AC 上，DE//BC,DE=6,BC=9,且16=∆ADE S .求的值ABC S ∆（三）、布置作业练习册的24.51,2,3全体学生4,5部分学生 课后反思周长比等于相似比掌握的比较好，但面积比等于相似比的平方这点上，学生往往会遗漏平方，所以一定要多加强练习，并指导学生如何更牢固的掌握概念。

团山中学数学导学案科目数学年级九年级授课人编号课题 3.4.2相似三角形的性质(2课主备人禹曼琼审核人自主探究学习目1、使学生了解相似三角形对应线段的比等于相似比；周长比等于相似比面积比等于相似比的平方。

2、能运用相似三角形的性质解决数学问题。

重相似三角形性质的证明与应用难相似三角形性质的推导过程自学检测如图，已知△ABC～△A B C'''，根据相似的定义，我们可以得出哪些结论？两个三角形除了对应边成比例、对应角相等以外，还能得出其它什么结论吗？1.相似三角形对应高的比等于。

2.相似三角形对应的角平分线的比等于。

3.相似三角形对应边上的中线的比等于。

4.相似三角形的面积比等于。

5.相似三角形的周长比等于。

6.两个相似三角形对应中线的比是1:2，那么它们的面积之比为。

质疑设疑提问合作交流一、自主探究：1、如图：△A B C'''～△ABC，相似比为k,分别作BC，B C''上的高AD，A D''，探究A DAD''的值与k的关系。

个性修改导入22-23设疑提问合作交流展示释疑探究交流：交流汇报：探究点拨：由△A B C'''～△ABC可得∠B=∠B'，结合∠ADB=∠A D B'''，可得△ABD～△A B D'''，从而有A DAD''=A BAB''=k由上述探究可得：相似三角形对应边上的高之比等于相似比。

思考：1.相似三角形对应的角平分线之比与相似比有什么关系呢？2.相似三角形对应边上的中线的比与相似比又有什么关系？3．若△ABC～△A´B´C´，相似比为k,那么它们的周长比是多少？面积比是多少？探究交流：交流汇报交流点拨：相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

沪科版数学九年级上册22.3《相似三角形的性质》教学设计2一. 教材分析《相似三角形的性质》是沪科版数学九年级上册第22章第3节的内容。

本节主要让学生掌握相似三角形的性质，并能够运用性质解决实际问题。

教材通过引入生活中的实例，引导学生发现相似三角形的性质，并通过大量的练习让学生熟练掌握。

本节内容是学生进一步学习几何的基础，对于培养学生的逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质，对于图形的变换也有了一定的了解。

但是，学生对于抽象的数学概念的理解仍然有所欠缺，需要通过具体的实例来帮助理解。

同时，学生的逻辑思维能力有所差异，需要通过适量的练习来巩固所学知识。

三. 教学目标1.了解相似三角形的性质，并能够运用性质解决实际问题。

2.培养学生的观察能力、动手能力以及逻辑思维能力。

3.提高学生运用数学解决生活问题的能力。

四. 教学重难点1.掌握相似三角形的性质。

2.能够运用相似三角形的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.实例导入：通过生活中的实例引入相似三角形的性质，让学生感受到数学与生活的紧密联系。

2.小组合作：学生在小组内讨论相似三角形的性质，培养学生的合作意识。

3.练习巩固：通过大量的练习让学生熟练掌握相似三角形的性质。

4.拓展应用：引导学生运用相似三角形的性质解决实际问题。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示生活中的实例以及练习题目。

2.练习题：准备相关的练习题目，以便让学生在课堂上进行练习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一个生活中的实例，如古建筑的设计，引导学生发现古建筑中的三角形与实际生活中的三角形相似。

让学生思考：为什么古建筑中的三角形与实际生活中的三角形相似？从而引入相似三角形的性质。

2.呈现（10分钟）引导学生观察相似三角形的性质，并通过PPT展示相关的性质。

让学生自己总结出相似三角形的性质，如对应边成比例，对应角相等。

3.操练（10分钟）让学生在小组内进行讨论，通过实际的例子来运用相似三角形的性质。

湘教版数学九年级上册3.4《相似三角形的判定与性质》教学设计2一. 教材分析湘教版数学九年级上册3.4《相似三角形的判定与性质》是九年级数学的重要内容，主要让学生掌握相似三角形的判定方法和性质。

本节内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念、三角形的分类、三角形的内角和定理等知识的基础上进行学习的，为后续学习相似多边形、三角函数等知识打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对于三角形的基本概念和性质有一定的了解。

但是，对于相似三角形的判定和性质的理解还需要加强，特别是对于一些具体的判定方法和性质的证明过程，需要通过实例进行讲解和练习。

三. 教学目标1.让学生掌握相似三角形的定义和性质。

2.让学生学会运用相似三角形的性质解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.相似三角形的定义和判定方法。

2.相似三角形的性质及其应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生自主探究相似三角形的定义和性质。

2.运用实例讲解法，让学生通过具体例子理解相似三角形的判定和性质。

3.采用小组合作学习法，让学生在小组内讨论和分享学习心得。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。

2.准备一些实际的例子，用于讲解和练习相似三角形的判定和性质。

3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际的例子，让学生观察和思考：这些图形有什么共同的特点？从而引导学生发现相似三角形的定义。

2.呈现（10分钟）讲解相似三角形的定义，并通过PPT展示相关的图片和例子，让学生理解和掌握相似三角形的定义。

3.操练（10分钟）让学生通过实际的例子，运用相似三角形的定义进行判定，并在小组内进行讨论和分享。

教师巡回指导，解答学生的问题。

4.巩固（10分钟）讲解相似三角形的性质，并通过PPT展示相关的图片和例子，让学生理解和掌握相似三角形的性质。

沪科版数学九年级上册22.3《相似三角形的性质》（第2课时）教学设计一. 教材分析《相似三角形的性质》是沪科版数学九年级上册第22章第3节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了相似三角形的概念和性质的基础上进行教学的。

通过本节课的学习，使学生能够熟练掌握相似三角形的性质，并能够运用性质解决一些实际问题。

教材通过实例引入相似三角形的性质，引导学生通过观察、归纳、推理等方法发现性质，并通过练习题进行巩固。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和推理能力，对于相似三角形的概念和性质已经有了一定的了解。

但学生在运用性质解决实际问题时，可能会出现理解不深刻、应用不灵活的情况。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、归纳、推理等方法发现和掌握相似三角形的性质，并能够灵活运用。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生能够熟练掌握相似三角形的性质，并能够运用性质解决一些实际问题。

2.过程与方法：通过观察、归纳、推理等方法，引导学生发现和掌握相似三角形的性质。

3.情感态度价值观：培养学生的团队协作意识，让学生在合作中发现问题、解决问题。

四. 教学重难点1.重点：相似三角形的性质。

2.难点：相似三角形的性质在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、归纳、推理等方法发现和掌握相似三角形的性质。

2.运用多媒体教学手段，展示实例和练习题，帮助学生更好地理解和运用性质。

3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作意识。

六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件和练习题。

2.准备黑板和粉笔，用于板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的相似图形，引导学生观察并思考：这些图形有什么共同的特点？从而引出相似三角形的性质。

2.呈现（10分钟）展示相似三角形的性质，引导学生通过观察、归纳、推理等方法发现性质。

在呈现过程中，教师引导学生对比、分析，帮助学生理解和记忆性质。

22.3相似三角形的性质第1课时相似三角形的性质(1)教学目标【知识与技能】理解并掌握相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)之间的关系,掌握定理的证明方法,并能灵活运用相似三角形的判定定理和性质,提高分析和推理能力.【过程与方法】在对性质定理的探究中,学生经历“观察—猜想—论证—归纳”的过程,培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度,并在其中体会类比的数学思想,培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质,提高分析问题和解决问题的能力.【情感、态度与价值观】1.在学习和探讨的过程中,体验特殊到一般的认识规律.2.通过学生之间的合作交流使学生体验到成功的喜悦,树立学好数学的自信心.重点难点【重点】相似三角形性质定理的探究及应用.【难点】综合应用相似三角形的性质与判定定理探索相似三角形中对应线段之间的关系.教学过程一、复习回顾师:相似三角形的判定方法有哪些?学生回答:师:相似三角形有哪些性质?生:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.师:三角形有哪些相关的线段?生:中线、高和角平分线.二、共同探究,获取新知教师多媒体课件出示:已知:如图,△ABC∽△A'B'C',它们的相似比为k,AD、A'D'是对应高.求证:==k.师:这个题目中已知了哪些条件?生:△ABC和△A'B'C'相似,这两个三角形的相似比是k,AD、A'D'分别是它们的高.师:我们要证明的是什么?生:它们的高的比等于它们对应边的比,等于这两个三角形的相似比.师:你是怎样证明的呢?学生思考,交流.生:证明△ABD和△A'B'D'相似,然后由相似三角形的对应边成比例得到=.师:你怎样证明△ABD和△A'B'D'相似呢?学生思考后回答:因为△ABC和△A'B'C'相似,由相似三角形的对应角相等,所以∠B=∠B',∠ADB=∠A'D'B'=90°.根据两角对应相等的两个三角形相似得到△ABD和△A'B'D'相似.师:很好!现在请大家写出证明过程,然后与课本上的对照,加以修正.学生写出证明过程.证明:∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B'.∵∠BDA=∠B'D'A'=90°,∴Rt△ABD∽Rt△A'B'D',∴==k.师:现在我请两位同学分别板演下面的两道练习题,其余同学在下面做.1.已知:如图,△ABC∽△A'B'C',它们的相似比为k,AD、A'D'是对应的中线.求证:==k.证明:∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B',==k.又∵AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线,∴BD=BC,B'D'=B'C',===k,∴△ABD和△A'B'D'相似(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似),∴==k.2.已知:如图,△ABC∽△A'B'C',它们的相似比为k,AD、A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线.求证:==k.证明:∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B',∠A=∠A'.又∵AD和A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线,∴∠BAD=∠BAC,∠B'A'D'=∠B'A'C',∠BAD=∠B'A'D',∴△BAD∽△B'A'D'(两角对应相等的两个三角形相似),∴==k.师:于是我们就得到了相似三角形的一个性质定理.教师板书:定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.三、例题讲解,应用新知【例1】如图,AD是△ABC的高,AD=h,点R在AC边上,点S在AB边上,SR⊥AD,垂足为E.当SR=BC时,求DE的长.如果SR=BC呢?解:∵SR⊥AD,BC⊥AD,∴SR∥BC,∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C,∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似),∴=(相似三角形对应高的比等于相似比),即=.当SR=BC时,得=,解得DE=h.当SR=BC时,得=,解得DE=h.【例2】如图,一块铁皮呈锐角三角形,它的边BC=80cm,高AD=60cm.要把它加工成矩形零件使矩形的长、宽之比为2∶1,并且矩形长的一边位于边BC上,另外两个顶点分别在边AB、AC上.求这个矩形零件的长与宽.师:请同学们思考一下这个问题.学生思考,计算,交流.师:我们要怎样用辅助线呢?教师找一生回答.生:加工成的矩形边SR在BC上,顶点P、Q分别在AB、AC上,把△ABC的高AD与PQ的交点记为E.教师作图.师:作出了辅助线后该怎么做呢?我们都已知了哪些条件?生:BC的长、AD的长和矩形零件的长、宽比.师:你打算怎样由这些条件求出这个零件的长和宽呢?生:因为PQ∥BC,所以△APQ和△ABC相似,然后根据相似三角形的对应边成正比例得到一个等量关系,设矩形零件的宽为xcm,长就为2xcm,代入那个等量关系式,就得到了关于x的一个方程,解方程即可求出x的值,即矩形的宽,然后根据长宽的比求出零件的长.师:很好!你的思路很清晰.现在请同学们写出求解过程.解:如图,矩形PQRS为加工后的矩形零件,边SR在边BC上,顶点P、Q分别在边AB、AC上,△ABC的高AD交PQ于点E.设PS为xcm,则PQ为2xcm.∵PQ∥BC.∴∠APQ=∠ABC,∠AQP=∠ACB,∴△APQ∽△ABC.∴=,即=.解方程,得x=24,2x=48.答:这个矩形零件的边长分别是48cm和24cm.四、课堂小结师:今天你又学习了什么内容?学生回答.教学反思在本节课的教学过程中,我先让学生回顾了相似三角形的性质即对应角相等,对应边成比例,为后面的证明做了铺垫.在已有知识的基础上用类比化归的思想去探究新知,让学生充分体会数学知识之间的内在联系,以此激发学生的学习兴趣,能够使整个课堂气氛由沉闷变得活跃,尤其是我让学生板演使学生有机会展示他们的学习所得,做到了将课堂回归给学生,学生的主体地位得到了很好的体现.此外,教师的肯定、赞扬和鼓励会使学生保持高昂的学习热情,使学生在探究性学习、创造性劳动中获得成功的体验.第2课时相似三角形的性质(2)教学目标【知识与技能】理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方,并能用来解决简单的问题.【过程与方法】探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方,体验化归思想.【情感、态度与价值观】经历探索相似三角形性质的过程,并在探究过程中发展学生积极的情感、态度与价值观,体验解决问题策略的多样性.重点难点【重点】理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方.【难点】探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方.教学过程一、复习引入1.回顾相似三角形的概念及判定方法.2.复习相似多边形的定义及相似多边形的对应边、对应角的性质.二、新课教授探究1:如果两个三角形相似,它们的周长之间是什么关系?如果是两个相似多边形呢?学生小组自由讨论、交流,达成共识.让学生回答结果,给出评价.设△ABC∽△A1B1C1,相似比为k,那么===k⇒AB=kA1B1,BC=kB1C1,CA=kC1A1⇒==k.由此我们可以得到:相似三角形的性质2:相似三角形周长的比等于相似比.用类似的方法,还可以得出:相似多边形的性质1:相似多边形周长的比等于相似比.探究2:(1)如图(1),△ABC∽△A1B1C1,相似比为k1,它们的对应高的比是多少?它们的面积比是多少?通过上节课的学习,我们得到了相似三角形的性质1:相似三角形对应高的比等于相似比.∴==k1.由上述结论,我们有:==.相似三角形的性质3:相似三角形面积的比等于相似比的平方.(2)如图(2),四边形ABCD相似于四边形A1B1C1D1,相似比为k2,它们的面积比是多少?分析:∵==,∴==.相似多边形的性质2:相似多边形面积的比等于相似比的平方.三、例题讲解【例1】如图,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,△ABC的周长是24,面积是12,求△DEF的周长和面积.解:△ABC和△DEF中,∵AB=2DE,AC=2DF,∴==.又∠A=∠D,∴△ABC∽△DEF,相似比为.∴△DEF的周长=×24=12,面积=()2×12=3.【例2】如图,△ABC的面积为25,直线DE平行于BC分别交AB、AC于点D、E.如果△ADE 的面积为9,求的值.解:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∴△ADE∽△ABC.∴==.解方程,得=.∴=.【例3】如图,将△ABC沿BC方向平移,△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半,BC=2,求△ABC平移的距离.解:根据题意,可知EG∥AB,∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A,∴△GEC∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似),∴=()2=(相似三角形的面积比等于相似比的平方),即=,∴EC2=2,∴EC=,∴BE=BC-EC=2-,即△ABC平移的距离为2-.四、巩固练习1.填空:(1)如果两个相似三角形对应边的比为3∶5,那么它们的相似比为,周长的比为,面积的比为;(2)如果两个相似三角形面积的比为3∶5,那么它们的相似比为,周长的比为;(3)连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于,面积比等于;(4)两个相似三角形对应的中线分别是6cm和18cm,若较大三角形的周长是42cm,面积是12cm2,则较小三角形的周长为cm,面积为cm2.【答案】(1)(2)(3)(4)142.如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2,这两个三角形相似吗?如果相似,求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比.【答案】相似;面积之比为4∶1.五、课堂小结相似三角形的性质:性质2.相似三角形周长的比等于相似比.即:如果△ABC∽△A'B'C',且相似比为k,那么=k.性质3.相似三角形面积的比等于相似比的平方.即:如果△ABC∽△A'B'C',且相似比为k,那么=()2=k2.相似多边形的性质1:相似多边形周长的比等于相似比.相似多边形的性质2:相似多边形面积的比等于相似比的平方.教学反思本节课主要是让学生理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方.通过探索相似多边形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方让学生体验化归思想,学会应用相似三角形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方来解决简单的问题.因此本课的教学设计突出了“相似比⇒相似三角形周长的比⇒相似多边形周长的比”,“相似比⇒相似三角形面积的比⇒相似多边形面积的比”等一系列从特殊到一般的过程,让学生深刻体验到有限数学归纳法的魅力.。

第16课时：相似三角形的性质(2) （教案）班级 姓名 学号【学习目标】1、运用类比的思想方法，通过实践探索得出相似三角形，对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比；2、会运用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决有关问题；3、 经历“操作—观察—探索—说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．【预学设计】全等三角形的对应边上的高相等，那么相似三角形的对应边上的高又有怎样的关系呢？【探索活动】活动一1、在探索“相似三角形面积的比等于相似比的平方”的过程中，我们发现了“相似三角形对应高的比等于相似比”.回顾一下：如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，AD 与A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的边BC 和B ′C ′边上的高，说明：D A AD ''＝k ．得到： ．2、三角形还有什么特殊的对应线段？（中线、角平分线）它们有何关系？那么相似三角形的对应中线、对应角平分线又有怎样的关系呢？（1）如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，AE 与A ′E ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的中线，说明：E A AE ''＝k ．得到： ．（2）如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，AF 与A ′F ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的角平分线，说明：F A AF ''＝k ．得到： ． 3、（选讲）思考：相似三角形的对应线段的比都等于相似比吗？ 如图：如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，点G 、G ′分别在BC 、B ′C ′上，且G B BG ''＝k ，说明：G A AG ''＝k ．于是，得到如下定理： .A B C D A ′ B ′ D ′ C ′ A B E A ′ B ′ C ′ E ′ A B C F A ′B ′C ′F ′ A A ′ BG B ′ C ′ G ′结论应用（1）两个相似三角形的相似比为2:3，它们的对应角平分线之比为_______，周长之比为_______，面积之比为_________；（2）若两个相似三角形面积之比为16:9，则它们的对应高之比为_____，对应中线之比为_____；（3）如图，点D 、E 分别在AC 、AB 上，∠ADE ＝∠B ，F 、G 分别是BC 、DE 的中点，设AD ＝3，AB ＝5，则AF AG 的值为 .活动二如图，AF 是△ABC 的高，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，DE 交AF 于点G.设DE ＝6，BC ＝10，AF ＝12，求点A 到DE 的距离.变式1：△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝12cm ，高AD ＝8cm ，要把它加工成正方形零件EFGH ，使正方形的一边HG 在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？变式2：有一块三角形铁片ABC ，BC ＝12cm ，高AD ＝8cm ，（1）若按图①设计方案把它加工成一块矩形铁片EFGH ，试问此矩形EFGH 是否存在最大值，若存在，求出此最大值，若不存在，试说明理由；（2）若按图①、②两种设计方案把它加工成一块矩形铁片EFGH ，且要求矩形的长是宽的2倍，为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些，请你通过计算判断图①、②两种设计方案哪个更好？A G E DBC F E F H G M C A BD A FE B H D G C M AF E C B H DG M 图① 图② A G D E B FC。

对知识的应用意识。

资源准备
教 学 过 程
学 生 学 案
一、复习
二、阅读教材P109～110，自学“例2”，完成下列内容：
(一)知识探究
相似三角形的周长比等于________，面积比等于__________．
(二)自学反馈
如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，AD ⊥BC 于D ，A ′D ′⊥B ′C ′于D ′.
(1)你能发现图中还有其他的相似三角形吗？
(2)△ABC 与△A ′B ′C ′中，C △ABC C △A ′B ′C ′＝________，S △ABC
S △A ′B ′C ′
＝________.
在运用相似三角形的性质时，要注意周长的比与面积的比之间的区别，不要混为一谈，另外面积的比等于相似比的平方，反过来相似比等于面积比的算术平方根．
教 师 导 案
课 堂 检 测
第一环节：复习回顾
第二环节：认识新知（二）
活动内容：
出示投影片2：
解:（1）∵△ABC ∽△C B A '''
∴B
A A
B ''=
C B BC ''=C A AC ''=2. （2）
2='''∆∆的周长的周长C B A ABC ∵B A AB ''=C B BC ''=C
A AC ''=2.。

6.5相似三角形的性质第2课时学习目标：1．运用类比的思想方法，通过实践探索得出：相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比；2．会运用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决有关问题；3．经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．学习重点：探索得出相似三角形，对应线段的比等于相似比． 学习难点：利用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决问题． 学习过程：复习回顾：如图，△ABC △△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′的相似比是2:3，则△ABC 与△A’B’C’的面积比是多少？你的依据是什么？回顾“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这个结论的探究过程，你有什么发现？如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是k ，AD 、A ′D ′是对应高．AA′B′BCC′D CBA D ’A′C′B′∵ ∵ABC ∵∵A'B'C'，∵∵B ＝∵____，∵AD ∵BC ，A ′D ′∵B ′C ′，∵∵ADB ＝∵______＝90°，∵∵ABD ∵∵_______，∵ ＝____，结论：相似三角形对应高的比等于___________．三角形中的特殊线段还有哪些？它们是否也具有类似的性质呢？你有何猜想？ 合作探究：问题一：△ABC ∽△A′B′C′，AD 和A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的中线，设相似比为k ，那么?''ADA D =结论：相似三角形对应中线的比等于___________． 问题二：12____12ABCA B C BC ADBC AD B C A D B C A D S S∆'''∆⋅==⋅=⋅''''''''⋅________=．AD ABA D AB =''''C′A′D′ B′ CABD△ABC ∽△A′B′C′，AD 和A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的角平分线，设相似比为k ，[来源:] 那么∵△ABC ∽△A′B′C′，∴∠BAC ＝∠_______，∠B ＝_________．∵AD 和A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的角平分线，11_______,'''________22BAD B A D ∴∠=∠∠=∠， ∴∠BAD ＝∠________，∴△ABD ∽△________，∴．结论：相似三角形对应角平分线的比等于___________．一般地，如果△ABC △△ A'B'C'，相似比为k ，点D 、D'分别在BC 、B'C'上，且 ，那么你能类比刚才的方法说理吗？总结：相似三角形对应_____________的比等于相似比． 例题分析：例1、如图，D 、E 分别在AC 、AB 上，∠ADE ＝∠B ，AF ⊥BC ，AG ⊥DE ，垂足分别是F 、G ，若AD ＝3，AB ＝5，求：（1）AGAF的值． （2） △ADE 与△ABC 的周长的比，面积的比．C′A′D′ B′CABD＝BDk B'D'练一练：1．两个相似三角形的相似比为2:3，它们的对应角平分线之比为_______，周长之比为_______，面积之比为_________2．若两个相似三角形面积之比为16:9，则它们的对高之比为_____，对应中线之比为_____3．如图，△ABC∽△DBA，D为BC上一点，E、F分别是AC、AD的中点，且AB＝28cm，BC＝36cm，则BE:BF＝________4．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝36cm，BC＝60cm，延长两腰BA，CD交于点O，OF⊥BC，交AD于E，EF＝32cm，求OF的长．拓展延伸：如图，△ABC是一块锐角三角形的余料，边长BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点在AB、AC上，这个正方形的零件的边长为多少？小结：课堂作业：课后练习：一、选择题1．如图是小孔成像原理的示意图，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是1 cm，则像CD到小孔O的距离为( )A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm2．如图，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂的端点A下降0．5 m时，长臂的端点B应升高( )A．0．5 m B．1 m C．8 m D．16 m3．如图，圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影．已知桌面的直径为1．2 m，桌面距离地面1 m．若灯泡距离地面3 m，则地面上阴影部分的面积为( )A．0．36πm2B．0．81m2C．2πm2 D．3．24m24．一张等腰三角形纸片，底边长15 cm，底边上的高长22．5 cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张二、填空题5．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36 cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为________cm．6．如图，电影胶片上每一个图片的规格为3．5 cm×3．5 cm，放映屏幕的规格为2 m×2 m，若放映机的光源S距胶片20 cm，那么光源S距屏幕________m时，放映的图像刚好布满整个屏幕．7．顺次连接三角形三边上的中点所构成的三角形的高与原三角形对应高的比为_______．8．如图，点M是△ABC内一点．过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形(图中阴影部分)的面积分别是4、9和49，则△ABC的面积是________．三、解答题9．如图，DE△BC，AG△BC于点G，交DE于点F．若AD=6，BD=4，AG=8，求AF的长．10．如图，火焰AC通过纸板EF上的一个小孔O射到屏幕上形成倒立的像，像的长度BD=2 cm，0．4=60 cm，OB=20 cm，求火焰AC的长．11．如图，在四边形ABCD中，AC平分△BAD，BC△AC，CD△AD，且AB=18，AC=12．(1)求AD的长．(2)若DE△AC，CF△AB，垂足分别为E、F，求DECF的值．12．有一块三角形铁片ABC，BC=12 cm．高AH=8 cm，按图(1)、(2)两种设计方案把它加工成一块矩形铁片DEFG，且要求矩形的长是宽的2倍，为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些．请你通过计算判断(1)、(2)两种设计方案哪个更好．参考答案1．B2．解：设长臂端点升高x米，则，△x=8．C 3．解：如图，根据常识桌面与地面平行，所以，△ADE∽△ABC，∴=，即=，解得BC=1.8，所以，地面上阴影部分的面积=π•（）2=0.81π平方米，B4．设剪的是第x张，则，x=6，故选C.5．16 6．8077．1：28．解：过M作BC平行线交AB、AC于D、E，过M作AC平行线交AB、BC于F、H，过M作AB平行线交AC、BC于I、G，△△1、△2的面积比为4：9，△1、△3的面积比为4：49，△它们边长比为2：3：7，又△四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形，△DM=BG，EM=CH，设DM为2x，△BC=（BG+GH+CH）=12x，△BC：DM=6：1，S△ABC：S△FDM=36：1，△S△ABC=4×36=144．9．10．AC=6 cm11．(1)AD=8 (2)23 DEDF=12．(1)种方案更好一些．设方案(1)中DE=x．根据题意，得．解得247x=，，面积为115249；设方案(2)中DE=2y．根据题意，得．解得y=3，面积为18．因为11521849>，所以(1)种方案更好一些（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。

相似三角形的性质和判定(二)
教学目标:
1.通过画图,知道两个角对应相等的两个三角形相似.
2.理解三角形相似的判定定理2,并能运用它识别两个三角形相似. 重 点: 三角形相似的判定定理2及其应用. 难 点: 三角形相似的判定定理2的应用 教学过程: (一)复习导入
三角形全等的判定方法有哪些?你能从三角形全等的判定定理ASA,AAS 中类似地联想三角形相似的判定方法吗? (二)探究新知
画一画,用量角器画出满足下列条件的三角形:
画一个△ABC,使∠A=30°画一个△ABC,使∠A=30°∠B=50° 画一个△ABC,使∠A=40°∠B=55°
归纳小结:三角形相似的判定定理2:两个角对应相等的三角形相似. (三)讲解例题
例1 已知:如图左,图右,
D E ∥BC . 求证:△ADE ∽△ABC
说明:此题的两个图形是相似三角形中的基本类型.
利用左图,学生独立证明,然后引导学生思考讨论图右,最后归纳得出如下结论:平等三角形一边的直线和其他两边和其他两边(
或两边
的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
(四) 应用新知
想一想,议一议:
1.任意两边等边三角形都相似吗?为什么?
2.任意两个等腰三角形都相似吗?为什么?
3.各有一个角是80°的两个等腰三角形相似吗?为什么?
4.课本P.76,练习题1,2题.
说一说:三角形相似的判定定理2的内容是什么?
做一做:如图已知D G∥EH∥FI∥BC,你能找出
图中所有的相似三角形吗?由此你能得到相似
三角形的什么性质?
布置作业。

2.2 相似三角形的性质一等奖创新教案27.2.2 相似三角形的性质一、教学目标（一）知识与技能：1、理解掌握相似三角形周长比、面积比与相似比之间的关系；掌握定理的证明方法.2、灵活运用相似三角形的判定和性质，提高分析，推理能力.（二）过程与方法：1、对性质定理的探究经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度.2、通过实际情境的创设和解决，使学生逐步掌握把实际问题转化为数学问题，复杂问题转化为简单问题的思想方法.3、通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力.（三）情感与态度：在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律；通过学生之间的交流合作，在合作中体验成功的喜悦，树立学习的自信心；通过对生活问题的解决，体会数学知识在实际中的广泛应用.二、教学重、难点1、教学重点：相似三角形性质定理的探索及应用.2、教学难点：综合应用相似三角形的性质与判定探索三角形中面积之间的关系.三、教学方法与手段探究式教学、小组合作学习、多媒体教学.四、教学过程（一）创设情境，导入新课问题1：对于相似三角形，我们已研究了它的定义与判定，根据已有的研究几何图形的经验，我们还需研究什么？可以从哪些角度来研究？师生活动：学生思考交流．追问1：相似三角形的性质主要是研究三角形几何量之间的关系，三角形有哪些几何量？师生活动：学生互相补充，列举出几何量．追问2：我们已经知道哪些有关几何量的性质？还能从哪些几何量方面提出哪些性质猜想？师生活动：学生回答相似三角形的对应角相等，对应边成比例，并写出性质猜想，如果学生列出性质猜想有难度，教师可再追问：全等三角形可以看作相似比为1的三角形，全等三角形对应高的比是多少？相似三角形呢？三角形的几何量呢？教师展示，并指出我们这堂课要研究的问题．设计意图：对几何图形的研究包括判定和性质两个方面，性质主要研究几何量的相互关系，这样设计体现了几何图形研究的基本套路，立足于学生的可持续发展．学生自己提出研究的问题，能激发学生研究的兴趣．合作交流，探究新知问题2：如图，△ABC∽△，相似比为，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？小组讨论，学生证明.设计意图：由相似三角形对应高的比等于相似比类比，得到对应中线、角平分线的比等于相似比，进而归纳出对应线段的比等于相似比．用利于学生归纳得出一般结论．相似三角形对应高的比，对应角分线的比与对应角平分线的比都等于相似比.一般地，我们有，相似三角形对应线段的比等于相似比.问题3：如果△ABC∽△，相似比为，它们的周长有什么关系？(△ABC∽△A′B′C __ ，相似比为k __ ，＝＝＝k __ ，AB＝kA′B′__ ，BC＝kB′C′__ ，CA＝kC′A′__ ，＝＝k __ ，结论：相似三角形周长的比等于相似比．)师生活动：教师提出问题，先让学生大胆猜想，再通过推理验证猜想的结论，在小组内与其他同学交流，归纳结论．教师让学生书写证明过程．教师引导学生推理验证结论(先由三角形相似得到对应边的比，再得周长的比的关系．)学生思考、分析、写出证明过程，小组交流．教师引导学生类比相似三角形得到相似多边形的性质“相似多边形周长的比等于相似比”．设计意图：求对应周长的比可以看作是相似三角形对应线段的比等于相似比的应用．问题4：如果△ABC∽△，相似比为，△ABC与△的面积比是多少？师生活动：（1）师生分析：我们已经知道相似三角形对应线段的比等于相似比，可将三角形的面积往对应线段上转化．由学生写出问题5的计算过程．(△ABC∽△A′B′C′，相似比为k __ ，它们的面积比是多少？分别作出△ABC和△A′B′C′的高和A′D′.∵∠ADB ＝∠A′D′B′＝90 °，又∠B＝∠B′.∴△ABD ∽△A′B′′.∴＝＝k.∴＝＝＝k2.结论：相似三角形面积比等于相似比的平方．)（3）教师板书：相似三角形面积的比等于相似比的平方．设计意图：在对相似三角形对应周长的比等于相似比的探究基础上，进一步运用转化的思想解决面积的比的问题，从一维到二维，让学生深入体会相似比的应用．运用新知，深化理解小试牛刀：如果两个相似三角形的对应高的比为2:3，那么对应角平分线的比是，对应边上的中线的比是 .2.△ABC 与△A'B'C' 的相似比为3 : 4，若BC 边上的高AD＝12 cm，则B'C' 边上的高A’D' ＝_______ .3.如果两个相似三角形的面积之比为2 : 7，较大三角形一边上的高为7，则较小三角形对应边上的高为______.4.两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm 和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm，面积是12 cm2，则较小三角形的周长cm，面积为cm2.问题5：例3如图1，在△ABC和△DEF中，，，，△ABC的边BC上的高是6，面积是，求△DEF的边EF上的高和面积．(ABCDEF图1)师生活动：师生一起分析△ABC和△DEF具有什么关系，相似三角形的对应高，对应面积有什么关系？设计意图：进一步巩固两三角形相似的判定方法，初步学会运用新知求三角形的对应线段的长度和面积．课堂练习，巩固提高(ABCDFE) 如图，△ABC 中，点D、E、F 分别在AB、AC、BC 上，且DE∥BC，EF∥AB. 当D 点为AB 中点时，求S四边形BFED : S△ABC 的值.反思小结，梳理新知本节课你有何收获？1、这节课我们学到了哪些知识？2、我们是用哪些方法获得这些知识的？3、通过本节课的学习，你有没有新的想法或发现？你觉得还有什么问题需要继续讨论吗？五、布置作业(FEDCBA图2)必做题：教科书第39页练习1，2，3题和学案目标检测.选做题：如图2，△ABC的面积为100，周长为80，，点D是AB上一点，，过点D作DE∥BC，交AC于E．（1）求△ADE的周长和面积；（2）过点E作EF∥AB，EF交BC于点F，求△EFC和四边形DBFE 的面积．设计意图：必做题对三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行了巩固运用．选做题难度有所加大，要让学生找相似三角形，再通过周长的比、面积的比与相似比的关系解决．板书设计(27.2.2相似三角形的性质相似三角形对应高的比，对应角分线的比与对应角平分线的比都等于相似比.相似三角形对应线段的比等于相似比.相似三角形面积比等于相似比的平方．)七、目标检测设计（一）选择题1．已知△ABC∽△DEF，且AB∶DE=1∶2，则BC的中线与EF 的中线之比为（）A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1设计意图：考查“相似三角形对应线段的比等于相似比”的运用．2．在△ABC和△DEF中，，，，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（）A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．４，6设计意图：结合三角形相似的判定，考查“相似三角形周长的比等于相似比”和“相似三角形面积的比等于相似比的平方”的运用．（二）填空题3．已知△ABC与△DEF相似且面积比为4∶25，则△ABC与△DEF 的相似比为．设计意图：考查“相似多边形面积的比等于相似比的平方”的运用．4．已知两个相似三角形周长比为1∶2，它们的面积和为25，则较大三角形面积为_________.设计意图：考查“相似三角形周长的比等于相似比”和“相似三角形面积的比等于相似比的平方”的运用．(ABCDEF（第5题）)（三）解答题5．如图，□ABCD中，点E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，已知BE∶AB=3∶2，S△BEF =4，求S△CDF ．设计意图：结合平行四边形的性质，考查“相似三角形面积的比等于相似比的平方”的运用．。

FC B A F C 'B 'A '许市中学九年级数学导学案 NO.课题：相似三角形的性质（2） 姓名： 使用日期 班 小组 组内编号 学习目标1.知道相似三角形的面积比（周长比）与相似比之间的关系，.2.能熟练运用相似三角形面积比与相似比之间的关系解决实际问题. 一、基础预习（一）学习内容 预习书本第87~88页的内容。

（二）预习要求与方法快速阅读教材，并用红笔标注重点，并记下自己的疑问。

（三）预习要点 1.若ABC D ∽A B C ⅱ?D ，那么ABC D 与A B C ⅱ?D 面积比与相似比有什么关系？请根据下列图形写出你的推理过程.小结：相似三角形面积比等于 .2．若ABC D∽A B C ⅱ?D ，那么ABC D 与A B C ⅱ?D 周长比与相似比有什么关系？请根据下列图形写出你的推理过程。

小结：相似三角形的周长比等于______________二、自学讨论 明确目标1.同质对子互相交流，交流预习疑难。

（2）2.四人小组进行组内小展示。

（4）3.课代表口头抽测。

（2） 三、课堂探究、1.如图所示，ABC D中，DE ∥BC ，DE 分别交边AB 、AC 于D 、E 两 点，若AD ∶AB 1:3，则ADE D与ABC D 的面积比为 .2.如果两个相似三角形的周长比为9∶4，则它们的面积比为 .3.若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为 （ ） A ．1：2 B ．1：4 C ．1：5 D ．1：164.一张比例尺为1：4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm ，面积是250cm2，则这个地区的实际周长 m ，面积是 2m ．ABCD E A B CA ′B ′C ′5.如图，在△ABC 中，已知DE ∥BC ，AD=5，DB=3，BC=10. 求：（1）DE 的长；（2）求△ADE 与四边形DBCE 的面积之比.6.如图，在△ABC 中，DE//BC ，若12AE EC =，试求△DOE 与△BOC 的周长比与面积比． 拓展应用7.如图，在□ABCD 中，点E 在边BC 上，BE ∶EC =1∶2，连接AE 交BD 于点F ，2BEF S 3cm D =.（1）求证：BEF D∽DAF D （2）求DAF S DABCDEBOED C BAFC B A F 'C 'B 'A '许市中学九年级数学教学案 NO.课题：相似三角形的性质（2）备课日期 教出时间 主备人： 使用人： 审核： 教学目标1.知道相似三角形的面积比（周长比）与相似比之间的关系，.2.能熟练运用相似三角形面积比与相似比之间的关系解决实际问题. 一、基础预习（一）学习内容 预习书本第87~88页的内容。