(完整版)相似三角形知识点梳理

【一】知识梳理 【1】比例①定义：四个量a ，b ，c,d 中，其中两个量的比等于另两个量的比，那么这四个量成比例 ②形式：a:b=c ：d,dcb a = ac=bd ③性质：基本性质：4，比例中项：bcc a = ab c =2【2】黄金分割定义：如图点C 是AB 上一点，若BC AB AC •=2，则点C 是AB 的黄金分割点，一条线段的黄金分割点有两个ACAC BC AB AB BC AB AB AC 618.0215382.0253618.0215≈-=≈-=≈-=注意：如图△ABC,∠A=36°，AB=AC ，这是一个黄金三角形，【3】平行线推比例ABAB BC 618.0215≈-=dcb a =注：比例式有顺序性的，比例线段没有负的，比例数有正有负1、可以把比例式与等积式互化.2、可以验证四个量是否成比例 上比全=上比全，下比全=下比全，上比下=上比下，左比右=左比右全比上=全比上,全比下=全比下 下比上=下比上【4】相似三角形1、相似三角形的判定①AA 相似：∵∠A=∠D, ∠B=∠E ∴△ABC ∽△DEF②‘S A S ’ E B EFBCDE AB ∠=∠=,∴△ABC ∽△DEF③‘S S S ’EFBCDF AC DE AB =∴△ABC ∽△DEF ④平行相似: ∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC2、相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等，对应边成比例②相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比 ③相似三角形的面积比等于相似比的平方3、相似三角形的常见图形‘A 型图' ‘ X 型图' ‘K 型图’‘母子图’ ‘一般母子图’ AC 2=AD •AB母子图中的射影定理AC 2=AD •AB BC 2=BD •AB CD 2=AD •BD【二】题型1、求线段的比【例题1】如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1， l 2， l 3于点A,B ，C ；直线DF 分别交l 1, l 2， l 3于点D ，E ，F ．AC 与DF 相较于点H ，且AH=2，HB=1，BC=5则EFDE的值为 【例题2】如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点,DE ∥BC,EF ∥AB ，且AD ∶DB = 3∶5，那么CF ∶CB 等于（1） （2）【例题3】如图，点D 是△ABC 的边AB 上一点，且AB=3AD ，点P 是△ABC 的外接圆上的一点，且∠ADP=∠ACB 则PB:PD=【例题4】如图，已知AD 为△ABC 的角平分线,DE ∥AB 交AC 于E, 如果AE EC＝23，那么AB AC＝（ ）A ．13B ．23C ．25D ．35(3） （4）【例题5】 已知32==d c ba ,则ba b a 4332-+=32=-a b a ，则ba=【例题6】如图，将矩形纸片ABCD （AD 〉DC ）的一角沿着过点D 的直线折叠，使点A 与BC 边上的点E 重合，折痕交AB 于点F.若BE:EC=m:n ，则AF:FB= 。

相似三角形知识点汇总重点、难点分析：1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。

一、重要定理（比例的有关性质）：二、有关知识点： 1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的判定定理：6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8. 相似三角形的传递性如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2反比性质：cda b = 更比性质：dbc a a c bd ==或 合比性质：ddc b b a ±=± ⇒=⇔=bc ad d c b a （比例基本定理）相似三角形判定的基本模型A字型 X字型反A字型反8字型母子型旋转型双垂直三垂直相似三角形判定的变化模型CB EDA。

初三数学《相似三角形》知识提纲一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：cda b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。

③ 比例中项:若c a b c a b cbb a ,,2是则即⋅==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:bc ad dcb a =⇔= 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 2. 合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=±3.等比：若……（若……）a b c d e f mn k b d f n =====++++≠0则…………a c e m b d f n a b mn k++++++++===4、黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即512AC BC AB AC -== 简记为：512-长短＝＝全长(三)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到=.=，= ，语言描述如下：=，=， =.nm b a =（4）上述结论也适合下列情况的图形：二：相似三角形： （一）：定义：1：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

相似三角形知识点
相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

相似三角形的性质：
相似三角形对应角相等，对应边成比例。

相似三角形周长的比等于相似比。

相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

相似三角形的判定方法：
两角对应相等，两三角形相似（AA）。

两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）。

三边对应成比例，两三角形相似（SSS）。

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

位似图形：位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点。

《相似三角形的性质》知识清单一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形对应边的比值叫做相似比。

二、相似三角形的性质1、对应角相等相似三角形的对应角相等，这是相似三角形的最基本性质之一。

也就是说，如果两个三角形相似，那么它们的三个角分别对应相等。

例如，若三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，那么∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C'。

2、对应边成比例相似三角形的对应边成比例。

如果三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，且相似比为 k，那么：AB ／ A'B' ＝ BC ／ B'C' ＝ AC ／ A'C' ＝ k3、对应高的比等于相似比相似三角形对应高的比等于相似比。

从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

设三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，相似比为 k，AD 和 A'D'分别是它们的高，则：AD ／ A'D' ＝ k4、对应中线的比等于相似比中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段。

相似三角形对应中线的比等于相似比。

若三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，相似比为 k，AE 和 A'E'分别是它们的中线，则：AE ／ A'E' ＝ k5、对应角平分线的比等于相似比角平分线是将一个角平分为两个相等角的射线。

相似三角形对应角平分线的比等于相似比。

假如三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，相似比为 k，AF 和 A'F'分别是它们的角平分线，则：AF ／ A'F' ＝ k6、周长的比等于相似比三角形的周长是三条边长度之和。

相似三角形知识点总结知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。

如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。

相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。

注意：（1）相似比是有顺序的。

（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。

（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1k知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。

（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。

（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。

知识点3、平行线分线段成比例定理1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。

2. 比例性质： ①基本性质：a b c d ad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c dd=⇒=③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知l1∥l2∥l3,A D l1B E l2C F l3可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C由DE ∥BC 可得：AC AEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.知识点4：相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点5：相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。

《相似三角形的性质》知识清单一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。

相似三角形对应边的比值称为相似比。

二、相似三角形的性质1、对应角相等相似三角形的对应角相等，这是相似三角形最基本的性质之一。

也就是说，如果两个三角形相似，那么它们对应的三个角的度数是完全一样的。

2、对应边成比例相似三角形的对应边成比例。

例如，若三角形 ABC 与三角形A'B'C'相似，相似比为 k，则有 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝ AC/A'C' ＝ k。

3、周长比等于相似比两个相似三角形的周长比等于它们的相似比。

设三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，相似比为 k，三角形 ABC 的周长为 L1，三角形A'B'C'的周长为 L2，则 L1/L2 ＝ k。

4、面积比等于相似比的平方相似三角形的面积比等于相似比的平方。

设三角形 ABC 与三角形A'B'C'相似，相似比为 k，三角形 ABC 的面积为 S1，三角形 A'B'C'的面积为 S2，则 S1/S2 ＝ k²。

5、对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

例如，在三角形 ABC 与三角形 A'B'C'中，AD 和 A'D'分别是 BC 和B'C'边上的高。

因为两个三角形相似，所以 AD/A'D' ＝相似比。

6、相似三角形的传递性如果三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，三角形 A'B'C'相似于三角形A'＇B'＇C'＇，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'＇B'＇C'＇。

《相似三角形》知识点归纳知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：adc b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即512AC BC AB AC == 简记为：51-长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n mf e d c b a ， 那么ban f d b m e c a =++++++++ ． 知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE =====或或或或等. 特别在三角形中：由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似． AA3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS5、判定定理4：直角三角形中，“HL ” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“HL ”FE D CB A E BD（3）射影定理：如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则 ∽ ＝＝＞ AD 2=BD ·DC ，∽ ＝＝＞ AB 2=BD ·BC ，∽ ＝＝＞ AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。

相似三角形-基本知识点+经典例题(完美打印版)知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)假如两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念（1）假如选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。

（2）在四条线段d c b a ,,,中，假如b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，假如说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =．②()a c a b c d b d ==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，假如b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 现在有2b ad =。

（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即12AC BC AB AC ==简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。

黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 差不多性质：注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =⇔=． （4）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=⇔=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． （5）等比性质：假如)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么ba n f db m ec a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）如此能够减少未知数的个数，这种方法是有关比例运算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：b a f d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ．知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 注： ①重要结论：平行于三角形的一边,同时和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：假如一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.B此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. ③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD ∥BE ∥CF, 可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 注：平行线分线段成比例定理的推论： 平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，假如在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。