2021年中考数学模拟试题汇编专题36：规律探索(含答案)

【九年级】2021年全国中考数学规律探索试题汇编山（2021•威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（?1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2021的坐标为（0，?2）．考点：中心对称；规律型：点的坐标．专题：规律型．分析：计算出前几次跳跃后，点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标，可得出规律，继而可求出点P2021的坐标．解答：解：点P1（2，0），P2（?2，2），P3（0，?2），P4（2，2），P5（?2，0），P6（0，0），P7（2，0），从而可得出6次一个循环，∵ =503…3，∴点P2021的坐标为（0，?2）．故答案为：（0，?2）．点评：本题考查了中心对称及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律．.（2021• 潍坊）当白色小正方形个数等于1,2，3…时，由白色小正方形和和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于_____________.（用表示，是正整数）（2021• 淄博）如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2021个格子中的整数是.－4abc6b－2…（2021•湖州）将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是85 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：先根据第一行的第一列与第二列相差2，往后分别相差3，4，5，6，7，第二行的第一列与第二列相差3，往后分别相差4，5，6，7，第三行的第一列与第二列相差4，往后分别相差5，6，7，8，由此得出第七行的第一列与第二列分别相差8，往后分别相，9，10，11，12，13，从而求出答案．解答：解：第一行的第一列与第二列差个2，第二列与第三列差个3，第三列与第四列差个4，…第六列与第七列差个7，第二行的第一列与第二列差个3，第二列与第三列差个4，第三列与第四列差个5，…第五列与第六列差个7，第三行的第一列与第二列差个4，第二列与第三列差个5，第三列与第四列差个6，第四列与第五列差个7，…第七行的第一列与第二列差个8，是30，第二列与第三列差个9，是39，第三列与第四列差个10，是49，第四列与第五列差个11，是60，第五列与第六列差个12，是72，第六列与第七列差个13，是85；故答案为：85．点评：此题考查了数字的变化类，这是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，解决本题的关键是得到每行中前一列与后一列的关系．（2021• 衢州）如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…….则四边形A2B2C2D2的周长是▲ ；四边形A2021B2021C2021D2021的周长是▲ .（2021• 台州）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是。

备战中考数学规律探索(满分100分，时间60分钟，请将答案写在对应表格里。

)序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案序号14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 /答案/一选择题（共25小题50分.）1.2014•山东威海如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4C4…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4…，则依此规律，点A2014的纵坐标为（）A．0B．﹣3×（）2013C．（2）2014D．3×（）20132.（2014•山东潍坊，）如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连)续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为(，，3，2，；3，，2，3，；…若2的位置记为（1，4），2的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（）A．（5，2）B．（5，3）C．（6，2）D．（6，5）4.（2014•十堰）根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的（）A．B．C．D．（2014•四川宜宾）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n﹣1 C．（2）n﹣1D．n（2014•四川内江，）如图，已知A1、A2、A3、…、A n、A n+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n A n+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、A n、A n+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、B n、B n+1，连接A1B2、B1A2、B2A3、…、A n B n+1、B n A n+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、P n．△A1B1P1、△A2B2P2、△A n B n P n的面积依次记为S1、S2、S3、…、S n，则S n为（）A．B．C．D．(2014·重庆)下列图形都是按照一定规律组成的，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是( )A．22 B．24 C．26 D．28 8．(2014·临沂)请你计算：(1－x)(1＋x)，(1－x)·(1＋x＋x2)，…，猜想(1－x)(1＋x＋x2＋…＋x n)的结果是( )A．1－x n＋1B．1＋x n＋1C．1－x n D．1＋x n9.下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，……，则第⑥个图形中棋子的颗数为( )A．51 B．70 C．76 D．81 10.(2014·烟台)将一组数3，6，3,23，15，…，310，按下面的方法进行排列：3，6，3，23，15；32，21，26，33，30； …若23的位置记为(1,4)，26的位置记为(2,3)，则这组数中最大的有理数的位置记为( ) A ．(5,2) B ．(5,3) C ．(6,2) D ．(6,5)11.(绵阳)把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：(1)，(3,5,7)，(9,11,13,15,17)，(19,21,23,25,27,29,31)，…，现用等式A M ＝(i ，j)表示正奇数M 是第i 组第j 个数(从左往右数)，如A 7＝(2,3)，则A 2 013＝( )A ．(45,77)B ．(45,39)C ．(32,46)D ．(32,23)12.如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝33x ＋1交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点A 1，A 2，A 3，…在x 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…在直线l 上，若△OB 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…均为等边三角形，则△A 5B 6A 6的周长为( )A ．24 3B ．48 3C ．96 3D ．192313.一列数a 1，a 2，a 3，…，其中a 1＝12，a n ＝11－a n －1(n 为不小于2的整数)，则a 100＝( )A. 12 B ．2 C ．－1 D ．－214.(2014·威海)如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OA 1C 1，Rt △OA 2C 2，Rt △OA 3C 3，Rt △OA 4C 4，…斜边都在坐标轴上，∠A 1OC 1＝∠A 2OC 2＝∠A 3OC 3＝∠A 4OC 4＝…＝30°.若点A 1的坐标为(3,0)，OA 1＝OC 2，OA 2＝OC 3，OA 3＝OC 4，…，则依此规律，点A 2 014的纵坐标为( )A ．0B ．－3×⎝⎛⎭⎪⎫332 2 013C ．(23)2 014D ．3×⎝⎛⎭⎪⎫233 2 01315.[2014·重庆] 如图，正方形ABCD 的顶点B ，C 在x 轴的正半轴上，反比例函数y ＝k x ()k ≠0在第一象限的图象经过顶点A(m ，2)和CD 边上的点E(n ，23)．过点E的直线l 交x 轴于点F ，交y 轴于点G(0，－2)，则点F 的坐标是( )A．(54，0) B．(74，0) C．(94，0) D．(114，0)16.（2014•赤峰）平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是A 200B 400C 800D 100017.(2014湖北武汉)观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，……，按此规律第5个图中共有点的个数是()A．31B．46C．51D．6618.19. 下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：11122-⎛⎫-+⎪⎝⎭；第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；第3个数：234511(1)(1)(1)(1) 11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；……第n个数：232111(1)(1)(1)111112342nn n-⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L．4=1+3 9=3+6 16=6+10 …那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（）A．第10个数B．第11个数C．第12个数D．第13个20.（河北省）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 …这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 …这样的数称为“正方形数”．从图7中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（）A．13 = 3+10 B．25 = 9+16C．36 = 15+21 D．49 = 18+3121.22.(2013年武汉)两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，……，那么六条直线最多有（）A．21个交点B．18个交点C．15个交点D．10个交点23.4、（2013•资阳）从所给出的四个选项中，选出适当的一个填入问号所在位置，使之呈现相同的特征（）A．B．C．D．24.（2013•烟台）将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是（）A．502 B．503 C．504 D．50525.（2013•德州）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．（1，4）B．（5，0）C．（6，4）D．（8，3）二填空题26 27 28 29 30 3132 33 34 35 36 3738 39 40 41 42 4344 45 46 47 48 49 50 26. （2013•恩施州）把奇数列成下表，根据表中数的排列规律，则上起第8行，左起第6列的数是给他换如粪土27.（2013•孝感）如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第6个五边形数是给他换如粪．28.（2013•绥化）如图所示，以O为端点画六条射线后OA，OB，OC，OD，OE，O后F，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线上．29.（2013•常德）小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：3﹣2=18+7﹣6﹣5=415+14+13﹣12﹣11﹣10=924+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17=16…根据以上规律可知第100行左起第一个数是．30.（2013年河北）如图12，一段抛物线：y＝－x(x－3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；……如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m =_________．31.（2013年潍坊市）当白色小正方形个数n等于1,2，3…时，由白色小正方形和和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于_____________.（用n表示，n是正整数）32.（2013山西，）一组按规律排列的式子：ａ２，43a，65a,87a,….则第n个式子是________ 33.（2013达州）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC 和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度。

中考规律探索1以下为全部整理类型;规律探索共两套试题;供参考学习使用一．选择题1．观察下列等式：31＝3;32＝9;33＝27;34＝81;35＝243;36＝729;37＝2187… 解答下列问题：3＋32＋33＋34…＋32013的末位数字是 A ．0 B ．1 C ．3 D ．72. 把所有正奇数从小到大排列;并按如下规律分组：1;3;5;7;9;11;13;15;17;19;21;23;25;27;29;31;…;现用等式A M =i;j 表示正奇数M 是第i 组第j 个数从左往右数;如A 7=2;3;则A 2013= A ．45;77 B ．45;39 C ．32;46 D ．32;233.下表中的数字是按一定规律填写的;表中a 的值应是 ．4.下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成;其中第1个图形的面积为2cm 2;第2个图形的面积为8 cm 2;第3个图形的面积为18 cm 2;……;第10个图形的面积为 A ．196 cm 2B ．200 cm 2C ．216 cm 2D ． 256 cm 25．如图;动点P 从0;3出发;沿所示的方向运动;每当碰到矩形的边时反弹;反弹时反射角等于入射角;当点P 第2013次碰到矩形的边时;点P 的坐标为 A 、1;4 B 、5;0 C 、6;4 D 、8;36．如图;下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律;图形中M 与m 、n 的关系是A ． M=mnB ． M=nm+1C ．M=mn+1D ．M=mn+17．我们知道;一元二次方程12-=x 没有实数根;即不存在一个实数的平方等于-1;若我们规定一个新数“”;使其满足12-=i 即方程12-=x 有一个根为;并且进一步规定: 一切实数可以与新数进行四则运算;且原有的运算律和运算法则仍然成立;于是有,1i i =12-=i ;,).1(23i i i i i -=-=⋅=.1)1()(2224=-==i i 从而对任意正整数n;我们可得到,.)(.4414i i i i i i n n n ===+同理可得,1,,143424=-=-=++n n n i i i i 那么;20132012432i i i i i i +⋅⋅⋅++++的值为A ．0B ．1C ．-1D ．8．下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成;其中第①个图形有1颗棋子;第②个图形一共有6颗棋子;第③个图形一共有16颗棋子;…;则第⑥个图形中棋子的颗数为A ．51B ．70C ．76D ．81图① 图②图③···第8题图二．填空题1．观察下列图形中点的个数;若按其规律再画下去;可以得到第n个图形中所有的个数为用含n的代数式表示．2．如图;在直角坐标系中;已知点A﹣3;0、B0;4;对△OAB连续作旋转变换;依次得到△1、△2、△3、△4…;则△2013的直角顶点的坐标为．3．如图;正方形ABCD的边长为1;顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1;由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…;以此类推;则第六个正方形A6B6C6D6周长是．4．直线上有2013个点;我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点;经过3次这样的操作后;直线上共有个点．5．如图;古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1;5;12;22…为五边形数;则第6个五边形数是．6 ．如图;是用火柴棒拼成的图形;则第n个图形需根火柴棒．7．观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…;则1+3+5+…+2013的值是．8．如图12;一段抛物线：y＝－xx－30≤x≤3;记为C1;它与x轴交于点O;A1；将C1绕点A1旋转180°得C2;交x 轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3;交x 轴于点A3；……如此进行下去;直至得C13．若P37;m在第13段抛物线C13上;则m =_________．9.直线上有2013个点;我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点;经过3次这样的操作后;直线上共有个点. 10．观察下列各式的计算过程：5×5=0×1×100+25;15×15=1×2×100+25;25×25=2×3×100+25;35×35=3×4×100+25;…………请猜测;第n个算式n为正整数应表示为____________________________．11．将连续的正整数按以下规律排列;则位于第7行、第7列的数x是__ __．12、如下图;每一幅图中均含有若干个正方形;第①幅图中含有1个正方形；第②幅图中含有5个正方形；……按这样的规律下去;则第6幅图中含有个正方形；••••••①②③13．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆; 第2个图形有10个小圆; 第3个图形有16个小圆; 第4个图形有24个小圆; ……;依次规律;第6个图形有 个小圆． 14.已知一组数2;4;8;16;32;…;按此规律;则第n 个数是 ． 15、我们知道;经过原点的抛物线的解析式可以是y ＝ax 2＋bxa ≠0 1对于这样的抛物线：当顶点坐标为1;1时;a ＝__________；当顶点坐标为m ;m ;m ≠0时;a 与m 之间的关系式是__________；2继续探究;如果b ≠0;且过原点的抛物线顶点在直线y ＝kxk ≠0上;请用含k 的代数式表示b ；3现有一组过原点的抛物线;顶点A 1;A 2;…;A n 在直线y ＝x 上;横坐标依次为1;2;…;n 为正整数;且n ≤12;分别过每个顶点作x 轴的垂线;垂足记为B 1;B 2;…;B n ;以线段A n B n 为边向右作正方形A n B n C n D n ;若这组抛物线中有一条经过D n ;求所有满足条件的正方形边长．16．如图;所有正三角形的一边平行于x 轴;一顶点在y 轴上;从内到外;它们的边长依次为2;4;6;8;…;顶点依次用1A 、2A 、3A 、4A 、…表示;其中12A A 与x 轴、底边12A A 与45A A 、45A A 与78A A 、…均相距一个单位;则顶点3A 的坐标是 ;22A 的坐标是 ．第16题图17．如图;已知直线l ：y=33x ;过点A 0;1作y 轴的垂线交直线l 于点B ;过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1;过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；……按此作法继续下去;则点A 2013的坐标为 ．18、如图;在平面直角坐标系中;一动点从原点O 出发;按向上;向右;向下;向右的方向不断地移动;每移动一个单位;得到点A 1 0;1;A 21;1;A 31;0;A 42;0;…那么点A 4n ＋1n 为自然数的坐标为 用n 表示19．当白色小正方形个数n 等于1;2;3…时;由白色小正方形和和黑色小正方形组成的图形分别如图所示．则第n 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于_____________．用n 表示;n 是正整数20. 2013 衢州4分如图;在菱形ABCD 中;边长为10;∠A=60°．顺次连结菱形ABCD 各边中点;可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连结四边形A 1B 1C 1D 1各边中点;可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连结四边形A 2B 2C 2D 2各边中点;可得四边形A 3B 3C 3D 3；按此规律继续下去…．则四边形A 2B 2C 2D 2的周长是 ；四边形A 2013B 2013C 2013D 2013的周长是 ．21.一组按规律排列的式子：ａ２;43a ;65a ;87a ;….则第n 个式子是________22.观察下面的单项式：a;﹣2a 2;4a 3;﹣8a 4;…根据你发现的规律;第8个式子是 ． 23.如图;已知直线l ：y=x;过点M2;0作x 轴的垂线交直线l 于点N;过点N 作直线l 的垂线交x 轴于点M 1；过点M 1作x轴的垂线交直线l 于N 1;过点N 1作直线l 的垂线交x 轴于点M 2;…；按此作法继续下去;则点M 10的坐标为 ．24.为庆祝“六一”儿童节;某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律;摆第n图;需用火柴棒的根数为．答案：选择题：1、C 2、C 3、21 4、B 5、D 6、D 7、D 8、 C填空题：1、n+12 2、8052;0 3、0.5 4、16097 5、51 6、2n+1 7、1014049 8、 2 9、16097 10、10n-1+52=100nn-1+25 11、85 12、91 13、46 14、2n 15、1－1；a ＝－1m或am ＋1＝0；2解：∵a ≠0 ∴y ＝ax 2＋bx ＝ax ＋2b a2－24b a ∴顶点坐标为－2ba;－24b a∵顶点在直线y ＝kx 上∴k －2ba＝－24b a∵b ≠0 ∴b ＝2k3解：∵顶点A n 在直线y ＝x 上 ∴可设A n 的坐标为n ;n ;点D n 所在的抛物线顶点坐标为t ;t由12可得;点D n 所在的抛物线解析式为y ＝－1tx 2＋2x∵四边形A n B n C n D n 是正方形 ∴点D n 的坐标为2n ;n∴－1t2n 2＋2×2n ＝n∴4n ＝3t∵t 、n 是正整数;且t ≤12;n ≤12∴n ＝3;6或9∴满足条件的正方形边长为3;6或916、0;31-;－8;－8. 17、()()201340260,40,2或注：以上两答案任选一个都对18、2n;1 19、n 2+4n 20、20；21、221na n n 为正整数22、-128a 8 23、884736;0 24、6n+2规律探索21、 我们平常用的数是十进制数;如2639=2×103+6×102+3×101+9×100;表示十进制的数要用10个数码又叫数字：0;1;2;3;4;5;6;7;8;9..在电子数字计算机中用的是二进制;只要两个数码：0和1..如二进制中101=1×22+0×21+1×20等于十进制的数5;10111=1×24+0×23＋1×22＋1×21＋1×20等于十进制中的数23;那么二进制中的1101等于十进制的数 ..2、 从1开始;将连续的奇数相加;和的情况有如下规律：1=1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52；…按此规律请你猜想从1开始;将前10个奇数即当最后一个奇数是19时;它们的和是 .. 3、小王利用计算机设计了一个计算程序;输入和输出的数据如下表：输入 (1)2345… 输出……那么;当输入数据是8时;输出的数据是A 、618B 、638C 、658D 、6784、如下左图所示;摆第一个“小屋子”要5枚棋子;摆第二个要11枚棋子;摆第三个要17枚棋子;则摆第30个“小屋子”要 枚棋子.5、如下右图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子;观察图形的变化规律;写出第n 个小房子用了 块石子6、如下图是用棋子摆成的“上”字：第一个“上”字 第二个“上”字 第三个“上”字如果按照以上规律继续摆下去;那么通过观察;可以发现：1第四、第五个“上”字分别需用 和 枚棋子；2第n 个“上”字需用 枚棋子..7、如图一串有黑有白;其排列有一定规律的珠子;被盒子遮住一部分;则这串珠子被盒子遮住的部分有_______颗.(1)(2)(3)第4题第7题图⑴ ⑵ ⑶1 2 348、根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律：猜想第6个图形有 个点;第n 个图形中有 个点.. 9、下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：经观察可以发现：图2比图1多出2个“树枝”；图3比图2多出5个“树枝”；图4比图3多出10个“树枝”；照此规律;图7比图6多出 个“树枝”..10、观察下面的点阵图和相应的等式;探究其中的规律：1在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；2通过猜想写出与第n 个点阵相对应的等式_____________________..11、用边长为1cm 的小正方形搭成如下的塔状图形;则第n 次所搭图形的周长是_______________cm 用含n 的代数式表示..12、如图;都是由边长为1例如第1个图形的表面积为6个平方单位;第2个图形的表面积为18个平方单位;第3个图形的表面积是36..个图形的表面积 个平方单位13、图1是一个水平摆放的小正方体木块;图2、3是由这样的小正方体木块叠放而成;按照这样的规律继续叠放下去;至第七个叠放的图形中;小正方体木块总数应是A 25B 66C 91D 12014、如图是由大小相同的小立方体木块叠入而成的几何体;图⑴中有1个立方体;图⑵中有4个立方体;图⑶中有9个立方体;……按这样的规律叠放下去;第8个图中小立方体个数是 .15、图1是棱长为a 的小正方体;图2、图3由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放;由上而下分别叫第一层、第二层、…、第n 层;第n 层的小正方体的个数为s ．解答下列问题：1按照要求填表：2写出当n =10时;s= ．16、如图用火柴摆去系列图案;按这种方式摆下去;当每边摆10根时即10 n 时;需要的火柴棒总数为 根；n1 2 3 4… s 1 3 6……………①1=12； ②1+3=22；③1+3+5=32； ④ ；⑤ ；第 ··· ···图1 图2 图3B 17、用火柴棒按如图的方式搭一行三角形;搭一个三角形需3支火柴棒;搭2个三角形需5支火柴棒;搭3个三角形需7支火柴棒;照这样的规律下去;搭n 个三角形需要S 支火柴棒;那么用n 的式子表示S 的式子是 _______ n 为正整数．18、;请观察下图：则第n 个图形中需用黑色瓷砖 ____ 19题图19、如图;用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面;观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为20块时;白色瓷砖为 块；当白色瓷砖为n 2n 为正整数块时;黑色瓷砖为 块．20、观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形;寻找规律：如图1中：共有1 个小立方体;其中1个看得见;0个看不见；如图2中：共有8个小立方体;其中7个看得见;1个看不见；如图3中：共有27个小立方体;其中有19个看得8个看不见；……;则第6个图中;看不见的小立方体有 个..21、下面的图形是由边长为l 的正方形按照某种规律排列而组成的． 1观察图形;填写下表：2推测第n 个图形中;正方形的个数为________;周长为______________都用含n 的代数式表示．22、观察下图;我们可以发现：图⑴中有1个正方形；图⑵中有5个正方形;图⑶中共有14个正方形;按照这种规律继续下去;图⑹中共有_______个正方形..23、某正方形园地是由边长为1的四个小正方形组成的;现要在园地上建一个花坛阴影部分使花坛面积是园地面积的一半;以下图中设计不合要求．．．．的是 第22题图 24;25<1>、 <3>26、2次把第1次铺的完全围起来;如图2；第3次把第23；…依此方法;第n 次铺完后;用字母n 表示第n 次镶嵌所使用的木块块数为 . n 为正整数27、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律;拼成若干个图案： ⑴ 第4个图案中有白色地面砖 块； ⑵ 第n 个图案中有白色地面砖 块..28、分析如下图①;②;④中阴影部分的分布规律;按此规律在图③中画出其中的阴影部分.29、将一圆形纸片对折后再对折;得到图2;然后沿着图中的虚线剪开;得到两部分;其中一部分展开后的平面图形是30．如图1;小强拿一张正方形的纸;沿虚线对折一次得图2;再对折一次得图3;然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角;再DCB打开后的形状是A B C D31、 用一条宽相等的足够长的纸条;打一个结;如图１所示;然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图２所示的正五边形ＡＢＣＤＥ;其中∠ＢＡＣ＝ 度.32、如图;一张长方形纸沿AB 对折;以AB 中点O 为顶点将平角五等分;并沿五等分的折线折叠;再沿CD 剪开;使展开后为正五角星正五边形对角线所构成的图形.则∠OCD 等于A ．108°B ．144°C ．126°D ．129°33、如图;把一个正方形三次对折后沿虚线剪下则得到的图形是A B C D 第35题图34、将一张长方形的纸对折;如图5所示可得到一条折痕图中虚线. 继续对折;对折时每次折痕与上次的折痕保持平行;连续对折三次后;可以得到7条折痕;那么对折四次可以得到 条折痕 .如果对折n 次;可以得到 _____________条折痕 ..35、观察图形：图中是边长为1;2;3 …的正方形：当边长n ＝1时;正方形被分成2个大小相等的小等腰直角三角形；当边长n ＝2时;正方形被分成8个大小相等的小等腰直角三角形；当边长n ＝3时;正方形被分成18个大小相等的小等腰直角三角形；以此类推：当边长为n 时;正方形被分成大小相等的小等腰直角三角形的个数是 ..36、水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图;是一个正方体的平面展开图;若图中的“似”表示正方体的前面; “锦”表示右面; “程”表示下面.则“祝”、 “你”、“前”分别表示正方体的___________________.37、如图是一块长方形ABCD 的场地;长AB =102m;宽AD =51m;从A 、B 两处入口的中路宽都为1m;两小路汇合处路宽为2m;其余部分种植草坪;则草坪面积为A5050m 2 B4900m 2 Ｃ5000m 2Ｄ4998m 238、读一读;想一想;做一做：国际象棋、中国象棋和围棋号称为世界三大棋种.国际象棋中的“皇后”的威力可比中国象棋中的“车”大得多：“皇后”不仅能控制她所在的行与列中的每一个小方格;而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每一个小方格.如图甲是一个4×4的小方格棋盘;图中的“皇后Q ”能控制图中虚线所经过的每一个小方格.① 在如图乙的小方格棋盘中有一“皇后Q ”;她所在的位置可用“2;3”来表示;请说明“皇后Q ”所在的位置“2;3”的意义;并用这种表示法分别写出棋盘中不能被该“皇后Q ”所控制的四个位置.②如图丙也是一个4×4的小方格棋盘;请在这个棋盘中放入四个“皇后Q ”;使这四个“皇后Q ”之间互不受对方控制在图丙中的某四个小方格中标出字母Q 即可._沿虚线剪开 程前 你 祝 似 锦 AS D S CSB S 图１DEBA图２3 甲行乙3丙参考答案1、132、1003、C4、1795、 3n+1-3+nn+1或n+12+2n-16、118、22 24n+27、278、31;n2-n-19、8010、1+3+5+7=42；1+3+5+7+9=52；1+3+5+……+2n-1=n2 11、 4n 12、9013、C 14、64 5、110 21+2+3+……+n=nn+1/2 16、16517、s=2n+1 18、4n+6 19、16;4n+420、125 21、113、18；28、38； 25n+3;10n+8 22 、9123、B 24、B 25、A 26、8n-6 27、118 ；24n+228、29、C30、 C31、3632、A 33、C34、15 ；2n-1 35、 2n2 36、后面、上面、左面 37、C38、1 1;1;3;1;4;2;4;4；2。

规律研究一.1.〔2021·湖北随州· 3分〕我将如所示的两种排列形式的点的个数分称作“三角形数〞〔如1、3、6、10⋯〕和“正方形数〞〔如1、 4、 9、16⋯〕、在小于200 的数中、最大的“三角形数〞m、最大的“正方形数〞n、 m+n的〔〕A． 33 B． 301C． 386D． 571【解析】由形知第n 个三角形数 1+2+3+⋯ +n=、第 n 个正方形数 n2、据此得出最大的三角形数和正方形数即可得．【解答】解：由形知第n 个三角形数 1+2+3+⋯ +n=、第 n 个正方形数n2、当 n=19 、=190＜ 200、当 n=20 、=210＞ 200、所以最大的三角形数m=190；22当 n=14 、 n =196＜ 200、当 n=15 、 n =225＞ 200、所以最大的正方形数n=196、m+n=386、故： C．【点】本主要考数字的化律、解的关是由形得出第n 个三角形数1+2+3+⋯ +n=、第 n 个正方形数 n2．2.〔 2021?山烟台市? 3 分〕如所示、以下形都是由相同的玫瑰花依照必然的律成的、按此律下去、第n 个形中有120 玫瑰花、n 的〔〕A． 28 B．29 C． 30 D． 31【解析】依照目中的形化律、可以求得第个形中玫瑰花的数量、尔后令玫瑰花的数量120、即可求得相的n 的、从而可以解答本．【解答】解：由可得、第 n 个形有玫瑰花：4n、令 4n=120、得 n=30、故： C．【点】本考形的化、解答本的关是明确意、找出目中形的化律．3. 〔 2021?山宁市? 3 分〕如、小正方形是按必然律放的、下面四个中的片、适合填中空白的是〔〕A．B．C．D．【解答】解：由意知、原形中各行、各列中点数之和10、吻合此要求的只有故： C．4. 〔 2021 湖南家界 3.00 分〕察以下算式：21=2、22=4、23=8、24=16、25=32、 26=64、27=128、 28=256⋯、2+22+23+24+25+⋯+21018的末位数字是〔〕A．8B．6C． 4D． 0【解析】通察：2n的个位数字是2、4、 8、 6 四个一循、所以依照2021÷4=504⋯2、得出22021 的个位数字与 22的个位数字相同是4、而得出答案．【解答】解：∵ 2n的个位数字是2、 4、 8、 6 四个一循、 2021÷4=504⋯2、∴22021的个位数字与22的个位数字相同是4、故 2+22+23+24+25+⋯+21018的末位数字是 2+4+8+6+⋯+2+4 的尾数、2+22+23+24+25+⋯+21018的末位数字是： 2+4=6．故： B．【点二. 填空1. 〔 2021 ·湖北江油田、潜江市、天市、仙桃市· 3 分〕如、在平面直角坐系中、△ P1OA1、△ P2A1A2、△P3A2A3、⋯都是等腰直角三角形、其直角点P〔1 3、3〕、P2、P3、⋯均在直y=x+4 上．△ P1OA1、△ P2A1A2、△P3A2A3、⋯的面分S1、 S2、 S3、⋯、依照形所反响的律、S2021=．【解析】分点P1. P2. P3作 x 的垂段、先依照等腰直角三角形的性求得前三个等腰直角三角形的底和底上的高、而求得三角形的面、得出头的律即可得出答案．【解答】解：如、分点P1. P2. P3作 x 的垂段、垂足分点 C.D.E 、∵P1〔 3、 3〕、且△ P1OA1是等腰直角三角形、∴OC=CA1=P1C=3、A1D=a、 P2D=a、∴OD=6+a、∴点 P2坐〔 6+a、 a〕、将点 P2坐代入y=x+4、得：〔6+a〕+4=a、解得： a=、∴A1A2=2a=3、 P2D=、同理求得P3E=、A2A3=、∵S1=×6× 2=×3×=、S3=××=、⋯⋯∴S2021 =、故答案：．【点】本考律型：点的坐、等腰直角三角形的性等知、解的关是从特别到一般、研究律、利用律解决、属于中考常考型．2.〔 2021?江淮安? 3 分〕如、在平面直角坐系中、直 l 正比率函数 y=x 的象、点 A 的坐〔 1、10〕、点 A1作 x 的垂交直 l 于点 D1、以 A1D1作正方形A1B1C1D1；点 C1作直 l 的垂、垂足A2、交 x 于点 B2、以 A2B2作正方形 A2B2C2D2；点 C2作 x 的垂、垂足A3、交直 l 于点 D3、以A3 D3作正方形 A3B3C3D3、⋯、按此律操作下所获取的正方形A n B n C n D n的面是〔〕n﹣1．【解析】依照正比率函数的性获取∠D1OA1=45°、分求出正方形A1 B1C1D1的面、正方形A2B2C2D2的面、律解答．【解答】解：∵直l 正比率函数y=x 的象、∴∠ D1OA1=45°、∴D1A1=OA1=1、∴正方形A1B1C1D1的面 =1=〔〕1﹣1、由勾股定理得、OD1=、D1A2=、∴A2B2=A2O=、∴正方形A2B2C2D2的面 = =〔〕2﹣1、同理、 A3D3=OA3=、∴正方形 AB CD 的面 ==〔〕3﹣ 1、3333⋯由律可知、正方形A n B n C n D n的面 =〔〕n﹣1、故答案：〔〕n﹣1．【点】本考的是正方形的性、一次函数象上点的坐特色、依照一次函数解析式获取∠ D1OA1=45°、正确找出律是解的关．3.〔 2021?山市? 3 分〕如、在平面直角坐系中、点A1、A2、A3、⋯和B1、B2、B3、⋯分在直y= x+b 和 x 上．△ OA1B1、△ B1A2B2、△ B2A3B3、⋯都是等腰直角三角形．若是点A1〔 1、1〕、那么点A2021的坐是．【解析】因每个 A 点等腰直角三角形的直角点、每个点 A 的坐等腰直角三角形的斜一半．故先出各点 A 的坐、可以表示 A 的横坐、代入解析式可求点 A 的坐、律可求．【解答】解：分点 A1、A2、 A3、⋯向 x 作垂、垂足 C1、C2、 C3、⋯∵点 A1〔 1、1〕在直 y= x+b 上∴代入求得： b=∴y= x+∵△ OA1B1等腰直角三角形∴OB1=2点 A2坐〔 a、 b〕∵△ B1A2B2等腰直角三角形∴A2C2=B1C2=b∴a=OC2=OB1+B1C2=2+b把 A2〔 2+b、b〕代入 y= x+解得 b=∴OB2=5同理点A3坐〔 a、 b〕∵△ B2A3B3等腰直角三角形∴A3C3=B2C3=b∴a=OC3=OB2+B2C3=5+b把 A2〔 5+b、b〕代入 y= x+解得 b=以此推、每个 A 的坐依次是前一个的倍A2021的坐是故答案：【点】本一次函数象背景下的律研究、合了等腰直角三角形的性、解答程中注意比每个点 A 的坐化律．22、4+222×4.〔 2021?安?3 分. 〕：2+ =2 ×、3+ =3 ×=4 ×、5+ =5 ×、⋯、假设 10+ =10吻合前面式子的律、a+b=109．【解析】要求a+b 的、第一真仔地察目出的 4 个等式、找到它的律、即中、b=n+1、a=〔 n+1〕21．【解答】解：依照中资料可知=、∵10+ =102×、∴b=10、 a=99、a+b=109．【点】解关是要懂目的意思、依照目出的条件、找出式子的律．4.〔 2021?广西桂林?3 分〕将从 1 开始的自然数按如律排列：定位于第 m行、第 n 列的自然数10 〔 3、 2〕、自然数15 〔 4、 2〕......按此律、自然数 2021 __________【答案】〔 505、 2〕【解析】解析：由表格数据排列可知、 4 个数一、奇数行从左向右数字逐增大、偶数行从右向左数字逐增大、用2021 除以 4、商确定所在的行数、余数确定所行家的序数、尔后解答即可．解： 2021÷4=504 ??2.∴2021 在第 505 行、第 2 列、∴自然数 2021 〔 505、 2〕 .故答案：〔 505、 2〕 .点睛：本是数字化律的考、察出有 4 列、但每行数字的排列序是解的关、要注意奇数行与偶数行的排列序正好相反．5.〔 2021?广西南宁?3 分〕察以低等式： 30=1、 31=3、 32=9、 33=27、34=81、 35=243、⋯、依照其中律可得 30+31+32+⋯+3 2021的果的个位数字是 3 ．【解析】第一得出尾数化律、而得出01220213 +3 +3 +⋯+3的果的个位数字．【解答】解：∵30=1、31 =3、 32=9、33=27、 34=81、 35=243、⋯、∴个位数 4 个数一循、∴〔 2021+1〕÷ 4=504 余 3、∴1+3+9=13、∴30+31+32+⋯+32021的果的个位数字是： 3．故答案： 3．【点】此主要考了尾数特色、正确得出尾数化律是解关．6.〔2021·黑江地区· 3 分〕如、等△ABC的是2、以 BC上的高AB1作等三角形、获取第一个等△AB1C1；再以等△ AB1C1的 B1C1上的高AB2作等三角形、获取第二个等△AB2C2；再以等△ AB2C2的 B2C2上的高AB3作等三角形、获取第三个等△AB3C3；⋯、△ B1CB2的面 S1、2 1 3的面2324的面3n〔〕n．△BCB S、△ BCB S 、这样下去、S =【解析】由 AB1 2 的等三角形ABC的高、利用三合一获取B1 BC的中点、求出BB1的、利用勾股定理求出AB 的、而求出第一个等三角形ABC 的面、同理求出第二个等三角形ABC 的面、11122依此推、获取第n 个等三角形 AB C 的面．n n【解答】解：∵等三角形ABC的2、 AB ⊥BC、1∴BB1=1、 AB=2、依照勾股定理得：AB1=、∴第一个等三角形AB1C1的面×〔〕2 =〔〕1；∵等三角形 AB1C1的、AB⊥B C、211∴B1B2=、AB1=、依照勾股定理得：AB2=、∴第二个等三角形AB2C2的面×〔〕2=〔〕2；依此推、第n 个等三角形ABC 的面〔n．〕n n故答案：〔〕n．【点】此考了等三角形的性、属于律型、熟掌握等三角形的性是解本的关．7.〔2021·黑江哈· 3 分〕在平面直角坐系中、点A〔、1〕在射OM上、点 B〔、3〕在射ON上、以AB 直角作Rt △ ABA1、以BA1直角作第二个Rt △ BA1B1、以A1B1直角作第三个Rt△ A1B1A2、⋯、依次律、获取Rt△ B2021A2021B2021、点 B2021的坐32021．【解析】依照意、分找到1B1. A2B2⋯⋯及 BA1. B1A2. B2A3⋯⋯段度增律即可【解答】解：由可知点 A.A 1. A2. A3⋯⋯A2021各点在正比率函数y=的象上点 B.B 1. B2. B3⋯⋯B2021各点在正比率函数y=的象上两个函数相减获取横坐不的情况下两个函数象上点的坐的差：①由、 Rt△ A1B1A2、⋯、到Rt △ B2021A2021B2021都有一个角30°∴当 A〔 B〕点横坐、由① AB=2、BA1=2、点A1横坐、B1点坐9=32当 A1〔 B1〕点横坐3、由① A1B1=6、B1A2=6、点A2横坐、B2点坐327=3当 A2〔 B2〕点横坐9、由① A2B2=18、B2A3=18、点A3横坐、B3点4坐 81=32021点 B2021的坐 3 故答案： 32021【点】本是平面直角坐系律研究、考了含有特别角的直角三角形各数量关系、解答注意数形合．8.〔2021?广 ?3 分〕如、等△ OA1B1、点 A1在双曲y=〔x＞0〕上、点B1的坐〔2、0〕．B1作 B1A2∥ OA1交双曲于点A2、 A2作 A2B2∥ A1B1交 x 于点 B2、获取第二个等△B1A2B2； B2作 B2A3∥ B1A2交双曲于点A3、 A3作 A3B3∥ A2B2交 x 于点 B3、获取第三个等△B2A3B3；以此推、⋯、点B6的坐〔2、0〕．【解析】依照等三角形的性以及反比率函数象上点的坐特色分求出B2. B3. B4的坐、得出律、而求出点 B6的坐．【解答】解：如、作A2C⊥ x 于点 C、 B1C=a、 A2C=a、OC=OB+B C=2+a、 A 〔 2+a、a〕．112∵点 A 在双曲 y=〔x＞ 0〕上、2∴〔 2+a〕?a=、解得 a=1、或 a=1〔舍去〕、∴OB2=OB1+2B1C=2+22=2 、∴点 B 的坐〔 2、0〕；2作 A3D⊥ x 于点 D、 B2D=b、 A3D= b、OD=OB2+B2D=2 +b、 A2〔 2+b、b〕．∵点 A3在双曲 y=〔x＞ 0〕上、∴〔 2+b〕?b=、解得 b=+、或 b=〔舍去〕、∴OB=OB+2B D=22+2=2、322∴点 B3的坐〔 2、0〕；同理可得点 B4的坐〔 2、 0〕即〔 4、 0〕；⋯、∴点 B n的坐〔 2、0〕、∴点 B6的坐〔 2、0〕．故答案〔 2、 0〕．【点 】本 考 了反比率函数 象上点的坐 特色、等 三角形的性 、正确求出 B 2. B 3. B 4 的坐 而得出点 B n 的 律是解 的关 ．9. 〔2021?广西北海? 3 分〕 察以低等式：、 313、 32 9、 3327、 4、5243、⋯、313 81 3依照其中 律可得1 2 · · ·2021的 果的个位数字是 。

2021届中考数学复习提分专练：规律探究问题一、单选题1.在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n )和芍药的数量规律，那么当11n =时，芍药的数量为( )A.84株B.88株C.92株D.121株2.“分母有理化”是根式运算的一种化简方法,7=+；除此之外,还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数,可以先设x =,再两边平方得22442x ==,又因为>,故0x >,解得x == ,根据以上方法,化简( )A.3-B.3+C.D.33.20182017的个位上的数字是( ) A ．9B ．7C ．3D ．14.如图，在平面直角坐标系上有个点()10A -，，点A 第1次向上跳动一个单位至点()111A -，，紧接着第2次向右跳动2个单位至点()211A ，，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点A 第2017次跳动至点2017A 的坐标是( )A ．()5041008-，B ．()5051009-，C ．()5041009，D ．()5031008-， 5.观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…，将这种做法继续下去(如图2，图3，…)，则图6中挖去三角形的个数为( )A.121B.362C.364D.729 6.为求23201812222++++⋅⋅⋅+的值,可令23201812222S =++++⋅⋅⋅+,则23201922222S =+++⋅⋅⋅+,因此2019221S S -=-,所以23201820191222221++++⋅⋅⋅+=-,仿照以上推理计算出23201813333++++⋅⋅⋅+的值是( )A. 201931- B.201831- C.2019312- D.2018312- 7.有一列数123n a a a a ⋯，，，，，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若12a =，则2011a 为（ ）A ．2011B ．2C ．1-D ．128.下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为( )A.18B.19C.20D.21二、填空题9.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n 个图案有_________个三角形（用含n 的代数式表示）.10.在平面直角坐标系中，点()P x y ，经过某种变换后得到点(1,2)P y x '-++，我们把点(1,2)P y x '-++叫做点()P x y ，的终结点已知点1P 的终结点为2P ，点2P 的终结点为3P ，点3P 的终结点为4P ，这样由1P 依次得到234n P P P P ⋯，，，，若点1P 的坐标为()2,0，则点2017P 的坐标为___________.11.如图所示，①中多边形是由正三角形“扩展”而来的.②中多边形是由正方形“扩展”而来的……以此类推，由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为 .12.已知12132110,,1,,a S S S S a S >==--=435311,,...S S S S =--=(即当n 为大于1的奇数时，11n n S S -=;当n 为大于1的偶数时，11n n S S -=--)，按此规律，2018S =_______. 三、解答题13.观察下列各式:()()111x x -÷-=；()()2111x x x -÷-=+； ()()32111x x x x -÷-=++； ()()432111xx x x x -÷-=+++；……(1)根据上面各式的规律可得()()11n x x -÷-= . (2)利用(1)的结论，求201820172221++⋯++的值.(3)若2201710x x x +++⋯+=，求2018x 的值.参考答案1.答案：B由图可得，芍药的数最为()421 48n n +-⨯=，所以当11n =时，芍药的数量为81188⨯=. 2.答案：D=93-=33=-= 故选：D. 3.答案：A12017个位是7；22017个位是9；32017个位是3；42017个位是1；52017个位是7；…201845042∴÷=⋯，20182017∴的个位上的数字与22017个位数字相同为：9．故选：A 4.答案：B解：设第n 次跳动至点n A ，观察，发现：()10A -，，()111A -，，()211A ，，()312A ，，()422A -，，()523A -，，()623A ，，()724A ，，()834A -，，()935A -，，…，()412n A n n ∴--，，()41121n A n n +--+，，()42121n A n n +++，，()43122n A n n +++，（n 为自然数）．201750441=⨯+，()2017504150421A ∴--⨯+，，即()5051009-，．故选：B ． 5.答案：C图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(13)+个小三角形，图3挖去中间的2(133)++个小三角形，…，则图6挖去中间的2345(133333)+++++个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，故选C.6.答案：C根据题中的推理，设123201813333S =++++⋅⋅⋅+，则2320182019333333S =+++⋅⋅⋅++,即20193231S S S -==-，所以2019312S -=,故选 C.7.答案：B由题意得，12a =211122a =-= 3121a =-=-41(1)2a =--=511122a =-= 6121a =-=-······由上可知，每三个数为一个循环201136701÷=201112a a ∴==，故选B.8.答案：C本题考查规律探索—图形变化类.通过观察可得到，第①个图形中实心圆点的个数为52112=⨯++，第②个图形中实心圆点的个数为82222=⨯++，第③个图形中实心圆点的个数为112332=⨯++，，∴第⑥个图形中实心圆点的个数为266220⨯++=，故选C.9.答案：(31)n +本题考查图形的变化规律.第1个图案有314+=个三角形,第2个图案有3217⨯+=个三角形,第3个图案有33110⨯+=个三角，…，∴第n 个图案有(31)n +个三角形.10.答案：()2,01P 的坐标为()2,0，则2P 的坐标为()1,4，3P 的坐标为()33-，，4P 的坐标为()21--，，5P 的坐标为()2,0，……，20172016145041=+=⨯+，2017P ∴与1P 重合，2017?P ∴的坐标为()2,011.答案：(1)n n +①正三角形"扩展”而来的多边形的边数是1234=⨯,②正四边形"扩展”而来的多边形的边数是2045=⨯ ③正五边形"扩展”而来的多边形的边数是3056=⨯,④正六边形"扩展"而来的多边形的边数是4267=⨯,.∴正边形n 扩展“而来的多边形的边数为(1)n n +12.答案：1a a+-121111,11a S S S a a a +==--=--=-,343211,11111a a S S S S a a a ==-=--=-=-+++,541(1)S a S ==-+,6576111(1)1,,...,S S a a S S a =--=+-===所以n S 的值没6个一循环.因为201833662=⨯+，所以201821a S S a+==- 13.答案：(1)121n n x x x --++⋯++ (2)()()12111nn n xx x x x ---÷-=++⋯++，()()20192018201721212221∴-+-=++⋯++201820172019222121∴++++=-.(3)()()12111nn n xx x x x ---÷-=++⋯++，()()2018201720161110x x x x x ∴-÷-=++⋯++=，201810x ∴-=， 20181x ∴=.。

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）31规律探究题一、单选题1．（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（ ） A ．23- B ．13C ．12-D ．23【答案】D 【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值． 【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律， 202136732=⨯+，2021223a a ∴==， 故选：D ． 【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．2．（2021·湖北中考真题）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B【分析】根据数字的变化关系发现规律第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．【详解】解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．3．（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A ．23B ．511C ．59D ．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案． 【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+ 当3n =时的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102= 故选：D ． 【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．4．（2021·湖北中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p 的值为（ ）A ．100B ．121C ．144D ．169【答案】B 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可． 【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，…… 22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-， ∴第n 个图中的143q =， ∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去) ∴2=121p n =， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键． 5．（2021·山东临沂市·中考真题）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg 镭缩减为1mg 所用的时间大约是（ ）A ．4860年B ．6480年C ．8100年D ．9720年【答案】C 【分析】根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案． 【详解】 解：由图可知：1620年时，镭质量缩减为原来的12，再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的21142=， 再经过1620×2=3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的31182=， ...，∴再经过1620×4=6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的511232=， 此时132132⨯=mg ， 故选C ． 【点睛】本题考查了函数图象，规律型问题，利用函数图象的意义是解题关键．6．（2021·四川达州市·中考真题）在平面直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为()1,0，每一次将AOB ∆绕着点О逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到11A OB ∆，第二次旋转后得到22A OB ∆，…，依次类推，则点2021A 的坐标为（ ）A ．()202020202,2-B ．()202120212,2-C ．()202020202,2D ．()201120212,2-【答案】C 【分析】由题意，点A 每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题． 【详解】解：由题意，点A 每6次绕原点循环一周，20216371......5÷=，2021A ∴点在第四象限，202120212OA =，202160xOA ∠=︒ ，∴点2020A 的横坐标为20212020122=2⨯，纵坐标为20212020=22-，()2020202020212,2A ∴，故选：C ． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．7．（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（ ）A ．4152⨯B ．4312⨯C ．4332⨯D ．4632⨯【答案】B 【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯， 故答案选：B ． 【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题8．（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________． 【答案】12n n + 【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果． 【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +； 故答案为：12n n +． 【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．9．（2021·陕西）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a 的值为______．【答案】-2 【分析】先通过计算第一行数字之和得到各行、各列及各条对角线上的三个数字之和，再利用第二列三个数之和得到a 的值． 【详解】解：由表第一行可知，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均为1616--+=-，∴626a -++=-， ∴2a =-， 故答案为：2-． 【点睛】本题考查了数字之间的关系，解决本题的关键是读懂题意，正确提取表中数据，找到它们之间的关系等，该题对学生的观察分析能力有一定的要求，同时也考查了学生对有理数的和差计算的基本功．10．（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】2m m - 【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++的和，即可计算1001011011992222++++的和． 【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=-． ∴1002=m∴23991000222222=2m m +++++==， ∴22991001012222222+++++=-，∴10123991002222222=++++++12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++3248=2m m m m m m =+++=．……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++． 令012992222S ++++=①12310022222S ++++=②∴-∴，得10021S -=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++=()100221m m m -=- 故答案为：2m m -． 【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．11．（2021·江苏扬州市·中考真题）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【答案】1275【分析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为()12n n+，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．【详解】解：第∴个图形中的黑色圆点的个数为：1，第∴个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3，第∴个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6，第∴个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10，...第n个图形中的黑色圆点的个数为()12n n+，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=16...1，16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275，故答案为：1275． 【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．12．（2021·甘肃武威市·中考真题）一组按规律排列的代数式：2335472,2,2,2a b a b a b a b +-+-，…，则第n 个式子是___________．【答案】()12112n n n a b +-+-⋅【分析】根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a 的次数是式子的序号；第二项中b 的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号． 【详解】解：∴当n 为奇数时，()111n +-=；当n 为偶数时，()111n +-=-，∴第n 个式子是：()1211?2n n n a b +-+-．故答案为：()1211?2n n n a b +-+- 【点睛】本题考查了多项式的知识点，认真观察式子的规律是解题的关键．13．（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3 【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和． 【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律， 例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加， 即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加， 即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加， 即空缺数为：3， 故答案是：3． 【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．14．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）观察下列等式：22110=-，22321=-，22532=-，…按此规律，则第n 个等式为21n -=__________________． 【答案】()221n n --． 【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可． 【详解】解：∴22110=-，22321=-， 22532=-，…∴第n 个等式为：()22211n n n -=--故答案是：()221n n --． 【点睛】本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的关键．15．（2021·黑龙江中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n-．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有1(1)2n n-．16．（2021·四川中考真题）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n个图形需要___________根火柴棍．【答案】2n+1【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．【详解】解：由图可知：拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，...拼成第n个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，故答案为：2n+1．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．17．（2021·四川中考真题）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．【答案】20【分析】根据已知图形得出第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3++n=()12n n+，列一元二次方程求解可得．【详解】解：∴第1个图形中黑色三角形的个数1，第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2， 第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3， 第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4， ……∴第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5++n =()12n n +，当共有210个小球时，()12102n n +=，解得：20n =或21-(不合题意，舍去)， ∴第20个图形共有210个小球． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n ．18．（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n 【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n +2n ×(n -1)，得出结论即可． 【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯ 第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯ 第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯ 第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯ …由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+故答案为：2n 2+2n ． 【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键． 19．（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．【答案】（20212，0）. 【分析】根据题目所给的解析式，求出对应的1M 坐标，然后根据规律求出n M 的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可. 【详解】解：如图，过点N 作NM ∴x 轴于M 将1x =代入直线解析式y x =中得1y = ∴1OM MN ==，MON ∠=45° ∴1ONM =∠90° ∴1ON NM = ∴1ON NM ⊥ ∴11OM MM ==∴1M 的坐标为（2，0）同理可以求出2M 的坐标为（4，0）同理可以求出3M 的坐标为（8，0） 同理可以求出n M 的坐标为（2n ，0） ∴2021M 的坐标为（20212，0） 故答案为：（20212，0）.【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律. 20．（内蒙古呼伦贝尔2021年中考数学试卷）如图，点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作11B A x ⊥轴，垂足为1A ，以11A B 为边向右作正方形1112A B C A ，延长21A C 交直线l 于点2B ；以22A B 为边向右作正方形2223A B C A ，延长32A C 交直线l 于点3B ；……；按照这个规律进行下去，点2021B 的坐标为___________．【答案】202020202019202033(,)22【分析】由题意分别求出A 1、A 2、A 3、A 4……A n 、B 1、B 2、B 3、B 4……B n 、的坐标，根据规律进而可求解． 【详解】解：∴点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作11B A x ⊥轴，垂足为1A ， ∴1(2,0)A ，1(2,1)B ，∴A 1B 1=1， 根据题意，OA 2=2+1=3， ∴2(3,0)A ，23(3,)2B ， 同理，39(,0)2A ，399(,)24B ，427(,0)4A ，42727(,)48B ……由此规律，可得：123(,0)2n n n A --，112133(,)22n n n n n B ----，∴20211202112021202122021133(,)22B ----即2020202020212019202033(,)22B ，故答案为：202020202019202033(,)22．【点睛】本题考查一次函数的应用、正方形的性质、点的坐标规律，理解题意，结合图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解答的关键．21．（2021·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点O 出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点()11,1P --；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点2P ；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点3P ；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点4P ，…，按此作法进行下去，则点2021P 的坐标为___________．【答案】(1011,1011)-- 【分析】先根据点坐标的平移变换规律求出点2345,,,P P P P 的坐标，再归纳类推出一般规律即可得． 【详解】解：由题意得：2(12,12)P -+-+，即2(1,1)P ，3(13,13)P --，即3(2,2)P --，4(24,24)P -+-+，即4(2,2)P ， 5(25,25)P --，即5(3,3)P --，观察可知，点1P 的坐标为(1,1)--，其中1211=⨯-， 点3P 的坐标为(2,2)--，其中3221=⨯-， 点5P 的坐标为(3,3)--，其中5231=⨯-，归纳类推得：点21n P -的坐标为(,)n n --，其中n 为正整数，2021210111=⨯-，∴点2021P 的坐标为(1011,1011)--，故答案为：(1011,1011)--． 【点睛】本题考查了点坐标的平移变换规律、点坐标的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．22．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）如图，11OA B ，122A A B ，233A A B △…，1n n n A A B -都是斜边在x 轴上的等腰直角三角形，点1A ，2A ，3A ，…，n A 都在x 轴上，点1B ，2B ，3B ，…，n B 都在反比例函数()10y x x=>的图象上，则点n B 的坐标为__________．（用含有正整数n 的式子表示）【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质，得到1B 的横，纵坐标相等，在结合反比例函数解析式求得该点的坐标，再根据等腰三角形的性质和反比例函数的解析式首先求得各个点的坐标，发现其中的规律，从而得到答案． 【详解】11OB A △为等腰三角形 ∴直线1OB 的解析式为y x =由题意得：1y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得1x =()111B ∴，1OB ∴=112OA ∴== ()12,0A ∴122A A B △为等腰三角形∴设直线12A B 的解析式为y x b =+02b ∴=+，解得2b =-∴直线12A B 的解析式为2y x =-∴21y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得1x =)21B ∴21222B A A y ∴==∴点2A ()233A A B △为等腰三角形∴设直线23A B 的解析式为1y x b =+∴10b =解得1b =-∴直线23A B的解析式为y x =-1y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得x =∴3B综上可得：点()111B ，，点)21B，点3B 总结规律可得n B坐标为：故答案为： 【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形的性质以及结合反比例函数的解析式求得点的坐标，解答本题的关键是找出其中的规律求出坐标．23．（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，一次函数y x =与反比例函数1y x =（0x >）的图象交于点A ，过点A 作AB OA ⊥，交x 轴于点B ；作1//BA OA ，交反比例函数图象于点1A ；过点1A 作111A B A B ⊥交x 轴于点B ；再作121//B A BA ，交反比例函数图象于点2A ，依次进行下去，……，则点2021A 的横坐标为_______．【分析】由点A 是直线y x =与双曲线1y x =的交点，即可求出点A 的坐标，且可知45AOB ∠=︒，又AB AO ⊥可知AOB ∆是等腰直角三角形，再结合1BA OA //可知11BA B ∆是等腰直角三角形，同理可知图中所有三角形都是等腰直角三角形，由求2021A 的坐标，即n A 的坐标（n =1,2,3……），故想到过点2021A 作20212021A C x ⊥轴，即过n A 作n n A C x ⊥轴．设1A 的纵坐标为()10m m >，则1A 的横坐标为2m +，再利用点1A 在双曲线上即可求解1A 坐标，同理可得2021A 的坐标． 【详解】解：过n A 作n n A C x ⊥轴于点n C点A 是直线y x =与双曲线1y x =的交点1y xy x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩ ()1,1A ∴1,45OC AC AOC ∴==∠=︒AB AO ⊥∴AOB ∆是等腰直角三角形 ∴22OB AC ==1BA OA //∴11BA B ∆是等腰直角三角形 ∴111AC BC =设1A 的纵坐标为()10m m >，则1A 的横坐标为12m + 点1A 在双曲线上∴()1121m m +=解得11m设2A 的纵坐标为()20m m >，则2A 的横坐标为12222m m m ++=∴()221m m =解得2m同理可得3m =由以上规律知：n m2021m ∴2021A∴2021A =【点睛】本题考察一次函数、反比例函数、交点坐标的求法、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的应用和规律探究，属于综合几何题型，难度偏大．解题的关键是结合等腰直角三角形的性质做出辅助线，并在计算过程中找到规律． 24．（2021·山东中考真题）如图，点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作1B l ⊥，交x 轴于点1A ，以11A B 为边，向右作正方形1121A B B C ，延长21B C 交x 轴于点2A ；以22A B 为边，向右作正方形2232A B B C ，延长32B C 交x 轴于点3A ；以33A B 为边，向右作正方形3343A B B C ，延长的43B C 交x 轴于点4A ；…；按照这个规律进行下去，则第n 个正方形1n n n n A B B C +的边长为________（结果用含正整数n 的代数式表示）．132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的边长，然后再找规律得出第n 个正方形的边长． 【详解】解：点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，∴点1B 纵坐标为1．1OB ∴==分别过1B ，14,,C C ⋅⋅⋅作x 轴的垂线，分别交于14,,,D D D ⋅⋅⋅，下图只显示一条；111111190,B DA C DB B OD A B D ∠=∠=︒∠=∠,∴111Rt B DO Rt A DB ∽类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有11111211112n n n nC A BD B A C A OD OB C A C A +====⋅⋅⋅=， 不妨设第1个至第n 个正方形的边长分别用：12,,,n l l l ⋅⋅⋅来表示，通过计算得：112OB l ==1211233222l l l C A =+==，2232233322l l l C A ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭⋅⋅⋅11113322n n n n n n l l l C A ----⎛⎫=+== ⎪⎝⎭按照这个规律进行下去，则第n 个正方形1n n n n A B B C +的边长为1322n -⎛⎫⎪⎝⎭，132n -⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了三角形相似，解题的关键是：利用条件及三角形相似，先研究好前面几个正方形的边长，再从中去找计算第n 个正方形边长的方法与技巧． 25．（2021·湖北中考真题）如图，过反比例函数()0,0ky k x x=>>图象上的四点1P ，2P ，3P ，4P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为1A ，2A ，3A ，4A ，再过1P ，2P ，3P ，4P 分别作y 轴，11P A ，22P A ，33P A 的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，4S ，1122334OA A A A A A A ===，则1S 与4S 的数量关系为_____________．【答案】414S S =． 【分析】设1122334OA A A A A A A ====m ，则O 2A =2m ，O 3A =3m ，O 4A =4m ，由点1P ，2P ，3P ，4P 都在反比例函数()0,0k y k x x =>>图象上，可求得11k A P m =，222k A P m =，333kA P m=，444k A P m =，根据矩形的面积公式可得1111kOA A P k S m m=⋅=⋅=，1222222k k A A A P m m S =⋅=⋅=，2333333k k A A A P m m S =⋅=⋅=，3444444k kA A A P m m S =⋅=⋅=，由此即可得414S S =． 【详解】设1122334OA A A A A A A ====m ，则O 2A =2m ，O 3A =3m ，O 4A =4m ， ∴点1P ，2P ，3P ，4P 都在反比例函数()0,0k y k x x=>>图象上，∴11k A P m =，222k A P m =，333k A P m =，444kA P m=， ∴1111k OA A P k S m m =⋅=⋅=，1222222k k A A A P m m S =⋅=⋅=，2333333k kA A A P m m S =⋅=⋅=，3444444k kA A A P m m S =⋅=⋅=，∴414S S =．故答案为：414S S =． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，根据反比例函数图象上点的特征求得11k A P m =、222k A P m =、333k A P m =、444kA P m=是解决问题的关键．26．（2021·四川）如图，在平面直角坐标系中，AB y ⊥轴，垂足为B ，将ABO 绕点A 逆时针旋转到11AB O 的位置，使点B 的对应点1B 落在直线34y x =-上，再将11AB O 绕点1B 逆时针旋转到112A B O 的位置，使点1O 的对应点2O 也落在直线34y x =-上，以此进行下去……若点B 的坐标为()0,3，则点21B 的纵坐标．．．为______．【答案】3875【分析】计算出∴AOB 的各边，根据旋转的性质，求出OB 1，B 1B 3，...，得出规律，求出OB 21，再根据一次函数图像上的点求出点B 21的纵坐标即可． 【详解】解：∴AB ∴y 轴，点B （0，3），∴OB =3，则点A 的纵坐标为3，代入34y x =-， 得：334x =-，得：x =-4，即A （-4，3），∴OB =3，AB =4，OA ， 由旋转可知：OB =O 1B 1=O 2B 1=O 2B 2=…=3，OA =O 1A =O 2A 1=…=5，AB =AB 1=A 1B 1=A 2B 2=…=4， ∴OB 1=OA +AB 1=4+5=9，B 1B 3=3+4+5=12，∴OB 21=OB 1+B 1B 21=9+（21-1）÷2×12=129，设B 21（a ，34a -），则OB 21129，解得：5165a =-或5165（舍）， 则335163874455a ⎛⎫-=-⨯-=⎪⎝⎭，即点B 21的纵坐标为3875，故答案为：3875．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出∴OAB 的各边，计算出OB 21的长度是解题的关键．27．（2021·山东东营市·中考真题）如图，正方形1ABCB 中，AB =AB 与直线l 所夹锐角为60︒，延长1CB 交直线l 于点1A ，作正方形1112A B C B ，延长12C B 交直线l 于点2A ，作正方形2223A B C B ，延长23C B 交直线l 于点3A ，作正方形3334A B C B ，…，依此规律，则线段20202021A A =________．【答案】2020【分析】利用tan30°计算出30°角所对直角边，乘以2得到斜边，计算3次，找出其中的规律即可. 【详解】∴AB与直线l 所夹锐角为60︒，正方形1ABCB 中，AB = ∴∴11B AA =30°，∴11B A =1B A ，∴111AA -；∴11B A =1，∴122B A A =30°，∴22B A =11B A tan30°=133⨯=∴2112=2A A -⨯；∴线段20202021A A =202112020233-⨯=,故答案为：2020. 【点睛】本题考查了正方形的性质，特殊角三角函数值，含30°角的直角三角形的性质，规律思考，熟练进行计算，抓住指数的变化这个突破口求解是解题的关键. 28．（2021·黑龙江中考真题）如图，菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，1AB =，延长CD 至1A ，使1DA CD =，以1A C 为一边，在BC 的延长线上作菱形111A CC D ，连接1AA ，得到1ADA ∆；再延长11C D 至2A ，使1211D A C D =，以21A C 为一边，在1CC 的延长线上作菱形2122A C C D ，连接12A A ，得到112A D A ∆……按此规律，得到202020202021A D A ∆，记1ADA ∆的面积为1S ，112A D A ∆的面积为2S ……202020202021A D A ∆的面积为2021S ，则2021S =_____．【答案】40382【分析】由题意易得60,1BCD AB AD CD ∠=︒===，则有1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆……. 202020202021A D A ∆都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得14S =，2S =……由此规律可得242n n S -=，然后问题可求解． 【详解】解：∴四边形ABCD 是菱形，∴1AB AD CD ===，//,//AD BC AB CD ， ∴120ABC ∠=︒， ∴60BCD ∠=︒，∴160ADA BCD ∠=∠=︒， ∴1DA CD =， ∴1DA AD =，∴1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆……. 202020202021A D A ∆都为等边三角形， 过点B 作BE ∴CD 于点E ，如图所示：∴sin BE BC BCD =⋅∠=，∴11211244A D BE A S D =⋅==，同理可得：222212S A D ===223324S A D ===……； ∴由此规律可得：242n n S -=，∴2202144038202122S ⨯-=； 故答案为40382 【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．29．（2021·吉林长春市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB 的斜边OA 在y 轴上，2OA =，点B 在第一象限．标记点B 的位置后，将AOB沿x 轴正方向平移至111AO B 的位置，使11A O 经过点B ，再标记点1B 的位置，继续平移至222A O B △的位置，使22A O 经过点1B ，此时点2B 的坐标为__________．【答案】()3,1 【分析】根据已知条件结合等腰直角三角形的性质先求出点B ()1,1，点1B ()2,1，即可得出点B 向右每次平移1个单位长度，而2B 为点B 向右平移2个单位后的点，根据点平移规律即可得到答案 【详解】如图过点B 作BC OA ⊥，△AOB 为等腰直角三角形，斜边OA 在y 轴上，2OA =1BC ∴=，11CO BO ==()1,1B ∴AOB 向右平移至111AO B ，点B 在11A O 上，同理可得点1B 的坐标为()2,1 AOB ∴每次向右平移1个单位，即点B 向右每次平移1个单位，2B ∴为点B 向右平移2个单位后的点2B ∴点的坐标为()3,1故答案为：()3,1 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，以及坐标与图像变换—平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图像上某点的平移相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减．30．（2021·湖北荆门市·中考真题）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第____行第________列．【答案】64 5 【分析】找到第n 行第n 列的数字，找到规律，代入2021即可求解 【详解】 通过观察发现： 1=1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4 ……故第n 行第n 列数字为：1(1)2n n +，则第n 行第1列数字为：1(1)(1)2n n n +--，即1(1)2n n -+1设2021是第n 行第m 列的数字，则：1(1)2021()2m m n n n +=<-即24421)0(n n m +=-,可以看作两个连续的整数的乘积，2263=396964=4096,,m n ，为正整数，64n ∴=当64n =时，=5m 故答案为：64，5【点睛】本题考查了规律探索，通过观察发现特殊位置的数字之间的关系，找到规律，通过计算确定行数，再根据方程求得列数，能正确发现规律是解题的关键．31．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为11a =，第二个图形表示的三角形数记为23a =，…，则第n 个图形表示的三角形数n a ＝___．（用含n 的式子表达）【答案】()12n n +【分析】由题意易得11a =，2123a =+=，31236a =++=，4123410a =+++=；…..；然后由此规律可得第n 个图形表示的三角形数． 【详解】解：由图及题意可得：11a =，2123a =+=，31236a =++=，4123410a =+++=；…..∴第n 个图形表示的三角形数()112342n a n n n +=++++⋅⋅⋅⋅+=；故答案为()12n n+．【点睛】本题主要考查图形规律，解题的关键是根据给出的图形得到基本的规律，然后进行求解即可．32．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．【答案】875【分析】设第n个“龟图”中有a n个“〇”（n为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“a n＝n2−n＋5（n为正整数）”，再代入n＝30即可得出结论．【详解】解：设第n个“龟图”中有a n个“〇”（n为正整数）．观察图形，可知：a1＝1＋2＋2＝5，a2＝1＋3＋12＋2＝7，a3＝1＋4＋22＋2＝11，a4＝1＋5＋32＋2＝17，…，∴a n＝1＋（n＋1）＋（n−1）2＋2＝n2−n＋5（n为正整数），∴a30＝302−30＋5＝875．故答案是：875．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“〇”个数的变化找出变化规律“a n＝n2−n＋5（n为正整数）”是解题的关键．33．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图①中有5个三角形，图①中有11个三角形，图①中有19个三角形…，依此规律，则第n个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n+-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42 (2)∴上下两部分统一规律为：21+-．n n故答案为：21n n+-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．2021中考真题41。

2021年中考数学专题复习：规律探究题规律探究题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探究规律 .它体现了“从特殊到一般(再到特殊)”数学思想方法，考查分析、解决问题的能力和观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．规律探究题问题常以填空题、选择题的压轴题形式出现．一、探究数字或算式的变化规律1. 计算11×3＋13×5＋15×7＋17×9＋…＋137×39的结果是( ) A.1937 B.1939 C.3739 D.38392．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70＋71＋72＋…＋72019的结果的个位数字是( )A ．0B ．1C ．7D ．8 3．将正整数1至2 018按一定规律排列如下表：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是( )A ．2 019B ．2 018C ．2 016D ．2 0134．已知2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，5＋524＝52×524…若10＋b a ＝102×ba 符合前面式子的规律，则a ＋b ＝________.5．观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S ，用含S 的式子表示这组数据的和是( )A ．2S 2－SB ．2S 2＋SC ．2S 2－2SD ．2S 2－2S －26．观察“田”字中各数之间的关系：…，则c的值为___________________________________________________________．7．将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是________．8．下表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a 1，第二个数记为a 2，第三个数记为a 3，……，第n 个数记为a n ，则a 4＋a 200＝________．9. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等．如图的幻方中，字母m 所表示的数是________．10．(2019·安徽)观察以下等式 ：第 1个等式 ：21＝11＋11，第 2个等式 ：23＝12＋16， 第 3个等式 ：25＝13＋115， 第 4个等式 ：27＝14＋128， 第 5个等式 ：29＝15＋145， ……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第 6个等式： ________________；(2)写出你猜想的第 n 个等式： ________________(用含 n 的等式表示 )，并证明． 11．观察下列一组数：a 1＝13，a 2＝35，a 3＝69，a 4＝1017，a 5＝1533，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n 个数a n ＝________(用含n 的式子表示)．二、探究图形的变化规律1．如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是()2．如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n个图形中有120朵玫瑰花，则n的值为()A．28 B．29C．30D．313．我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1，3，6，10…)和“正方形数”(如1，4，9，16…)，在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m＋n的值为()A．33B．301C．386D．5714．如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2 020次．移动规则是：第k次移动k个顶点(如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处)，按这样的规则，在这2 020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是()A．C，E B．E，F C．G，C，E D．E，C，F5．如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，依此类推，这样连续旋转2 017次．若AB＝4，AD＝3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为()A ．2 017πB ．2 034πC ．3 024πD ．3 026π6．每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2 018层的三角形个数为________．7．如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n 幅图中有2019个菱形，则n ＝________.第1幅 第2幅 第3幅 第n 幅8．如图，在以A 为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC 中，将B 角折起，使点B 落在AC 边上的点D(不与点A ，C 重合)处，折痕是EF.,图1),图2),图3)如图1，当CD ＝12AC 时，tan α1＝34； 如图2，当CD ＝13AC 时，tan α2＝512； 如图3，当CD ＝14AC 时，tan α3＝724； …… …… ……依次类推，当CD ＝1n ＋1AC(n 为正整数)时，tan αn ＝__________. 9．如图，在①ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，若进行以下操作，在边BC 上从左到右依次取点D 1、D 2、D 3、D 4、…；过点D 1作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点E 1、F 1；过点D 2作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点E 2、F 2；过点D 3作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点E 3、F 3…，则4(D 1E 1＋D 2E 2＋…＋D 2019E 2019)＋5(D 1F 1＋D 2F 2＋…＋D 2019F 2019)＝________.三、探究坐标的变化规律1．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A 1，第二次移动到点A 2……第n 次移动到点A n ，则点A 2019的坐标是( )A ．(1010，0)B ．(1010，1)C ．(1009，0)D ．(1009，1)2．我们把1，1，2，3，5，8，13，21…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P 1P 2︵，P 2P 3︵，P 3P 4︵…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4…得到螺旋折线(如图)，已知点P 1(0，1)，P 2(－1，0)，P 3(0，－1)，则该折线上的点P 9的坐标为( )A ．(－6，24)B ．(－6，25)C ．(－5，24)D ．(－5，25)3．如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为(1，0)，以OA 1为直角边作Rt①OA 1A 2，并使①A 1OA 2＝60°，再以OA 2为直角边作Rt①OA 2A 3，并使①A 2OA 3＝60°，再以OA 3为直角边作Rt①OA 3A 4，并使①A 3OA 4＝60°…按此规律进行下去，则点A 2019的坐标为_______________．4．如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝x 和y ＝－12x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点A 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-211，作x 轴的垂线交l 1于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交l 2于点A 3，过点A 3作x 轴的垂线交l 1于点A 4，过点A 4作y 轴的垂线交l 2于点A 5……依次进行下去，则点A 2 018的横坐标为________．5．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，一组同心圆的圆心为坐标原点O ，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线l 0，l 1，l 2，l 3，…都与x 轴垂直，相邻两直线的间距为l ，其中l 0与y 轴重合．若半径为2的圆与l 1在第一象限内交于点P 1，半径为3的圆与l 2在第一象限内交于点P 2，…，半径为n ＋1的圆与l n 在第一象限内交于点P n ，则点P n 的坐标为____________．(n 为正整数)6．如图，点A 1、A 3、A 5…在反比例函数y ＝kx (x>0)的图象上，点A 2、A 4、A 6…在反比例函数y ＝－kx (x>0)的图象上，①OA 1A 2＝①A 1A 2A 3＝①A 2A 3A 4＝…＝①α＝60°，且OA 1＝2，则A n (n 为正整数)的纵坐标为______________________________________．(用含n 的式子表示)7．在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝x ＋1与y 轴交于点A 1，如图所示，依次作正方形OA 1B 1C 1，正方形C 1A 2B 2C 2，正方形C 2A 3B 3C 3，正方形C 3A 4B 4C 4，……，点A 1，A 2，A 3，A 4，…在直线l 上，点C 1，C 2，C 3，C 4，…在x 轴正半轴上，则前n 个正方形对角线长的和是____________．参考答案一、探究数字或算式的变化规律1.B2.A3.D4. 1095. A6. 270(或28＋14)7. 2 0188. 201109. 4 10．(1)211＝16＋166 (2)22n －1＝1n ＋1n （2n －1）证明：∵右边＝1n ＋1n （2n －1）＝2n －1＋1n （2n －1）＝22n －1＝左边．∴等式成立 .11.n （n ＋1）2＋2n ＋1二、探究图形的变化规律1. D2.C3. C4. D5. D6. 4 0357. 1 0108. 2n ＋12n 2＋2n 9. 40 380三、探究坐标的变化规律1.C2.B3. (－22 017，22 0173)4. 21 0085. (n ，2n ＋1)6. (－1)n ＋13(n －n －1)或⎩⎪⎨⎪⎧3（n －n －1），n 为奇数3（n －1－n ），n 为偶数7. 2(2n －1)。

中考重点题型突破之规律探索题（专项训练）1、如图（1）所示，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3...在直线y=x+1上，以OA1为边作第一个正方形OA1B1C1，使点C1在x轴的正半轴上，得到正方形OA1B1C1的对角线的交点G1;以C1A2为边作第二个正方形C1A2B2C2，使点C2在x轴的正半轴上，得到正方形C1A2B2C2的对角线的交点 G2; ...依次作下去，则第n个正方形C1-nAnBnCn的对角线的交点Gn的坐标是_______________.2A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，O为坐标原点，OA=OB=1，过点O作OM1⊥AB于点M1;过点M1作M1A1⊥OA于点A1;过点A1作A1M2⊥AB 于点M2;过点M2作M2A2⊥OA于点 A2…以此类推，点 M2019的坐标为____________.( 1 )( 2 )3、如图（3）所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°,BC=1，CD1为斜边AB上的中线，过点D1作D1E1⊥AC于点E1，连接BE1交CD1于点D₂;过点D₂作 D2E2⊥AC于点E2，连接BE2交CD1于点D3;…依次作下去，可以得到点 D4、点 D5、…点 Dn，分别记△BD1E1、△BD2E2、△BD3E3…△BDnEn的面积为S1、S2、S3、…Sn，则第n个三角形△BDn En的面积Sn=__________________.4、如图（4AOB如图放置，点A的坐标为(-1，0)，每一次将△AOB绕着点 0顺时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2022的坐标为_____________. ( 3 )( 4 )5、如图（5）所示，在平面直角坐标系中，点A1在x轴的正半轴上，且OA1=l，以点A1为直角顶点,逆时针方向作Rt△A1OA2，使A1A2=OA1;再以点A2为直角顶点，逆时针方向作Rt△A2OA3，使A2A3=OA2;再以点A3为直角顶点，逆时针方向作Rt△A3OA4，使A3A4=OA3;…;依次进行作下去，则点A2022的坐标为__________.6、如图（6）所示，在△OAA1中，∠AOA1=30°，∠A=90°，AA1=1，以OA1为边作Rt△OA1A2使∠A1OA2=30°，∠OA1A2=90°;再以 OA2为边作Rt△OA2A3，使∠A2OA3=30°，∠OA2A3=90°;再以OA3为边作Rt△OA3A4，使∠A3OA4=30°，∠OA3A4=90°,…，如此继续，可以依次得到Rt△OA1A2，Rt△OA2A3，Rt△OA3A4,…，Rt△OA1-nAn,则OA2020=________________.( 5 )( 6 )7、如图（7）所示,四边形OA 1B 1C 1;是边长为1的正方形，点A 1C 1;分别在x,y 轴的负半轴上,连接 OB 1以OB 1的长为边长作正方形OA ₂B ₂C 2，点 A 2在y 轴的负半轴上,点C ₂在x 轴的正半轴上;连接OB 2，以OB 2的长为边长作正方形0 A 3B 3C 3，点A 3，C 3分别在x,y 轴的正半轴上……依此规律下去，点B 2023的坐标为___________________.8、如图（8）所示，直线y=313x 31+-分别与x 轴、y 轴相交于点P ，Q,在Rt△OPQ 中从左向右依次作正方形A 1B 1C 1C 2,正方形A ₂B ₂C ₂C33，正方形A 3B 3;C 3;C 4… …正方形 A n B n C n C 1n +分别取每个正方形各边的中点，按如图把正方形分解成若干个三角形和四边形,每个正方形中间的四边形(阴影部分)的面积分别记为S 1，S 2 ,33,…,S n ,则S n =_____________.( 7 )( 8 )9、如图(9)所示,已知OB1= B1B2= B₂B3= …= B1-nBn=1,分别过点B1,B2,B3,…,Bn作x轴的垂线,与反比例函数y=x4(x>0)的图象交于点A1,A2,A3,…An,连接A1A2,A₂A3,A3A4,…,A1-nAn,分别过点A2,A3,A4,…,An作A1B1,A2B2,A₃B3,…,A1-nB1-n的垂线,垂足分别为C1，C2,C3…,C1-n.若△A1A₂C1，的面积为S1，△A2A3C₂的面积为S2，……△A2023A2024C2023的面积为S2023，则S1+S2+S3+…+S2023=___________________.10、如图(10)所示,已知直线y=x+1与x轴交于点B,与y轴交于点A,过点A作直线AB的垂线，交x轴于点C，以AC为直角边向右作等腰直角三角形ACD1，∠ACD1=90°,过点D1作AC的平行线,交直线AB于点A1，交x轴于点C1，再以A1C1为直角边向右作等腰直角三角形A1C1D₂，∠A1C1D₂=90°……按照此方式作下去,点D2023的坐标为________________.( 9 ) (10 )11、如图（11）所示,在平面直角坐标系中,B1(0,1),B₂(0,3),B3(0,6),B4(0,10),…以B1B₂为对角线作第一个正方形A1B1C1B2,以B2B3为对角线作第二个正方形 A2B2C₂B3，以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3B4，…如果所作正方形的对角线Bn B1n+都在y轴上，且BnB1n+的长度依次增加1个单位长度,顶点An都在第一象限内(n≥1,且n为整数),那么用含有n的代数式表示An的坐标为_________________.12、如图(12)所示,在平面直角坐标系中,动点P按箭头所示方向依次运动,第1次从点(-1,0)运动到点(0,1),第2次运动到点(1,0),第3次运动到点(2,-2),…按这样的运动规律,动点P第2022 次运动到点的坐标是_______________.(12 )(11 )参考答案1、 ()2n 2-n 2,123--⨯2、 ⎪⎭⎫⎝⎛-2019201921211， 3、21n 23）（+ 4、()022022，- 5、()1010101022--，6、()201920192020332或10102020332或3341010⎪⎭⎫ ⎝⎛7、），（10111011228、2n 2432-⎪⎭⎫⎝⎛⨯9、1012202310、）（202220222,123-⨯11、()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2n 12n 12，12、（2021,0）。

规律探索1.〔2021•湖北省鄂州市•3分〕如图, 在平面直角坐标系中, 点A1、A2、A3…A n在x轴上, B1、B2、B3…B n在直线y＝x上, 假设A1〔1, 0〕, 且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形, 从左到右的小三角形〔阴影局部〕的面积分别记为S1、S2、S3…S n．那么S n可表示为〔〕A．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣3【分析】直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°, 可得∠OB2A2＝30°, …, ∠OB n A n＝30°, ∠OB1A2＝90°, …, ∠OB n A n+1＝90°；根据等腰三角形的性质可知A1B1＝1, B2A2＝OA2＝2, B3A3＝4, …, B n A n＝2n﹣1；根据勾股定理可得B1B2＝, B2B3＝2, …, B n B n+1＝2n, 再由面积公式即可求解；【解答】解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形,∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n, B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥B n A n+1, △A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形,∵直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°, ∠OA1B1＝120°,∴∠OB1A1＝30°,∴OA1＝A1B1,∵A1〔1, 0〕,∴A1B1＝1,同理∠OB2A2＝30°, …, ∠OB n A n＝30°,∴B2A2＝OA2＝2, B3A3＝4, …, B n A n＝2n﹣1,易得∠OB1A2＝90°, …, ∠OB n A n+1＝90°,∴B1B2＝, B2B3＝2, …, B n B n+1＝2n,∴S1＝×1×＝, S2＝×2×2＝2, …, S n＝×2n﹣1×2n＝；应选：D．【点评】此题考查一次函数的图象及性质, 等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形, 并求出每边长是解题的关键．2.〔2021•四川省达州市•3分〕a是不为1的有理数, 我们把称为a的差倒数, 如2的差倒数为＝﹣1, ﹣1的差倒数＝, a1＝5, a2是a1的差倒数, a3是a2的差倒数, a4是a3的差倒数…, 依此类推, a2021的值是〔〕A．5 B．﹣C．D．【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现, 每3个数为一个循环组依次循环, 用2021除以3, 根据余数的情况确定出与a2021相同的数即可得解．【解答】解：∵a1＝5,a2＝＝＝﹣,a3＝＝＝,a4＝＝＝5,…∴数列以5, ﹣, 三个数依次不断循环,∵2021÷3＝673,∴a2021＝a3＝,应选：D．【点评】此题是对数字变化规律的考查, 理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键．3.〔2021湖南常德3分〕观察以下等式：70＝1, 71＝7, 72＝49, 73＝343, 74＝2401, 75＝16807, …,根据其中的规律可得70+71+72+…+72021的结果的个位数字是〔〕A．0 B．1 C．7 D．8【分析】首先得出尾数变化规律, 进而得出70+71+72+…+72021的结果的个位数字．【解答】解：∵70＝1, 71＝7, 72＝49, 73＝343, 74＝2401, 75＝16807, …, ∴个位数4个数一循环, ∴〔2021+1〕÷4＝505, ∴1+7+9+3＝20,∴70+71+72+…+72021的结果的个位数字是：0． 应选：A ．【点评】此题主要考查了尾数特征, 正确得出尾数变化规律是解题关键．4.〔2021云南4分〕按一定规律排列的单项式：x 3, －x 5, x 7, －x 9, x 11, ……第n 个单项式是A.〔－1〕n －1x 2n －1B.〔－1〕n x 2n －1C.〔－1〕n －1x 2n ＋1D.〔－1〕n x 2n ＋1【解析】观察可知, 奇数项系数为正, 偶数项系数为负, ∴可以用1)1(--n 或1)1(+-n , 〔n 为大于等于1的整数〕来控制正负, 指数为从第3开始的奇数, 所以指数局部规律为12+n , 应选C5 〔2021·广西贺州·3分〕计算++++…+的结果是〔 〕 A ．B ．C ．D ．【分析】把每个分数写成两个分数之差的一半, 然后再进行简便运算． 【解答】解：原式＝＝＝．应选：B ．【点评】此题是一个规律计算题, 主要考查了有理数的混合运算, 关键是把分数乘法转化成分数减法来计算．6．(2021•湖南常德•3分)观察以下等式：70＝1, 71＝7, 72＝49, 73＝343, 74＝2401, 75＝16807, …, 根据其中的规律可得70+71+72+…+72021的结果的个位数字是( ) A ．0B ．1C ．7D ．8【考点】规律探究．【分析】首先得出尾数变化规律, 进而得出70+71+72+…+72021的结果的个位数字． 【解答】解：∵70＝1, 71＝7, 72＝49, 73＝343, 74＝2401, 75＝16807, …, ∴个位数4个数一循环,∴(2021+1)÷4＝505, ∴1+7+9+3＝20,∴70+71+72+…+72021的结果的个位数字是0．应选A ．【点评】此题主要考查了尾数特征, 正确得出尾数变化规律是解题关键．7．(2021•云南•4分)按一定规律排列的单项式：x 3, －x 5, x 7, －x 9, x 11, ……第n 个单项式是( ) A ．121)1(---n n x B ．12)1(--n n x C ．121)1(+--n n x D ．12)1(+-n n x【考点】规律探究．【分析】观察各单项式, 发现奇数项系数为正, 偶数项系数为负, ∴可以用1)1(--n 或1)1(+-n (n 为大于等于1的整数)来控制正负, 指数为从第3开始的奇数, 所以指数局部规律为12+n ．【解答】解：观察可知, 奇数项系数为正, 偶数项系数为负, ∴可以用1)1(--n 或1)1(+-n (n 为大于等于1的整数)来控制正负, 指数为从第3开始的奇数, 所以指数局部规律为12+n , 应选C ．【点评】此题主要考查了数式规律探究．奇数项系数为正, 偶数项系数为负, 一般可用1)1(--n 或1)1(+-n (n 为大于等于1的整数)来调节正负．8．〔2021湖北省鄂州市〕〔3分〕如图, 在平面直角坐标系中, 点A 1、A 2、A 3…A n 在x 轴上, B 1、B 2、B 3…B n 在直线y ＝x 上, 假设A 1〔1, 0〕, 且△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3…△A n B n A n +1都是等边三角形, 从左到右的小三角形〔阴影局部〕的面积分别记为S 1、S 2、S 3…S n ．那么S n 可表示为〔 〕A ．22nB ．22n﹣1C ．22n﹣2D ．22n﹣3【分析】直线y ＝x 与x 轴的成角∠B 1OA 1＝30°, 可得∠OB 2A 2＝30°, …, ∠OB n A n ＝30°,∠OB1A2＝90°, …, ∠OB n A n+1＝90°；根据等腰三角形的性质可知A1B1＝1, B2A2＝OA2＝2, B3A3＝4, …, B n A n＝2n﹣1；根据勾股定理可得B1B2＝, B2B3＝2, …, B n B n+1＝2n, 再由面积公式即可求解；【解答】解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形,∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n, B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥B n A n+1, △A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形,∵直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°, ∠OA1B1＝120°,∴∠OB1A1＝30°,∴OA1＝A1B1,∵A1〔1, 0〕,∴A1B1＝1,同理∠OB2A2＝30°, …, ∠OB n A n＝30°,∴B2A2＝OA2＝2, B3A3＝4, …, B n A n＝2n﹣1,易得∠OB1A2＝90°, …, ∠OB n A n+1＝90°,∴B1B2＝, B2B3＝2, …, B n B n+1＝2n,∴S1＝×1×＝, S2＝×2×2＝2, …, S n＝×2n﹣1×2n＝；应选：D．【点评】此题考查一次函数的图象及性质, 等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形, 并求出每边长是解题的关键．1．〔2021黑龙江省绥化3分〕在平面直角坐标系中, 假设干个边长为1个单位长度的等边三角形, 按如图中的规律摆放．点P从原点O出发, 以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…〞的路线运动, 设第n秒运动到点P n〔n 为正整数〕, 那么点P2021的坐标是．答案：2019322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，考点：找规律解析：2 〔2021•海南省•4分〕有2021个数排成一行, 对于任意相邻的三个数, 都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0, 第二个数是1, 那么前6个数的和是0, 这2021个数的和是2．【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数, 从而可以数字的变化规律, 此题得以解决．【解答】解：由题意可得,这列数为：0, 1, 1, 0, ﹣1, ﹣1, 0, 1, 1, …,∴前6个数的和是：0+1+1+0+〔﹣1〕+〔﹣1〕＝0,∵2021÷6＝336…3,∴这2021个数的和是：0×336+〔0+1+1〕＝2,故答案为：0, 2．【点评】此题考查数字的变化类, 解答此题的关键是明确题意, 发现题目中数字的变化规律, 每六个数重复出现．3 〔2021•黑龙江省绥化市•3分〕在平面直角坐标系中, 假设干个边长为1个单位长度的等边三角形, 按如图中的规律摆放．点P从原点O出发, 以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…〞的路线运动, 设第n秒运动到点P n 〔n为正整数〕, 那么点P2021的坐标是．答案：2019322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，考点：找规律解析：4. 〔2021•贵州省铜仁市•4分〕按一定规律排列的一列数依次为：﹣, , ﹣, , …〔a≠0〕, 按此规律排列下去, 这列数中的第n个数是．〔n为正整数〕〔﹣1〕n•．【解答】解：第1个数为〔﹣1〕1•,第2个数为〔﹣1〕2•,第3个数为〔﹣1〕3•,第4个数为〔﹣1〕4•,…,所以这列数中的第n个数是〔﹣1〕n•．5.〔2021•湖北省仙桃市•3分〕如图, 在平面直角坐标系中, 四边形OA1B1C1, A1A2B2C2,A2A3B3C3, …都是菱形, 点A1, A2, A3, …都在x轴上, 点C1, C2, C3, …都在直线y＝x+上, 且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°, OA1＝1, 那么点C6的坐标是〔95, 32〕．【分析】根据菱形的边长求得A1、A2、A3…的坐标然后分别表示出C1、C2、C3…的坐标找出规律进而求得C6的坐标．【解答】解：∵OA1＝1,∴OC1＝1,∴∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°,∴C1的纵坐标为：sin60°•OC1＝, 横坐标为cos60°•OC1＝,∴C1〔, 〕,∵四边形OA1B1C1, A1A2B2C2, A2A3B3C3, …都是菱形,∴A1C2＝2, A2C3＝4, A3C4＝8, …,∴C2的纵坐标为：sin60°•A1C2＝, 代入y＝x+求得横坐标为2,∴C2〔, 2, 〕,C3的纵坐标为：sin60°•A2C3＝4, 代入y＝x+求得横坐标为11,∴C3〔11, 4〕,∴C4〔23, 8〕,C5〔47, 16〕,∴C6〔95, 32〕；故答案为〔95, 32〕．【点评】此题是对点的坐标变化规律的考查, 主要利用了菱形的性质, 解直角三角形, 根据点的变化规律求出菱形的边长, 得出系列C点的坐标, 找出规律是解题的关键．6.〔2021•湖北省咸宁市•3分〕有一列数, 按一定规律排列成1, ﹣2, 4, ﹣8, 16, ﹣32, …, 其中某三个相邻数的积是412, 那么这三个数的和是﹣384．【分析】根据题目中的数字, 可以发现它们的变化规律, 再根据其中某三个相邻数的积是412, 可以求得这三个数, 从而可以求得这三个数的和．【解答】解：∵一列数为1, ﹣2, 4, ﹣8, 16, ﹣32, …,∴这列数的第n个数可以表示为〔﹣2〕n﹣1,∵其中某三个相邻数的积是412,∴设这三个相邻的数为〔﹣2〕n﹣1.〔﹣2〕n、〔﹣2〕n+1,那么〔﹣2〕n﹣1•〔﹣2〕n•〔﹣2〕n+1＝412,即〔﹣2〕3n＝〔22〕12,∴〔﹣2〕3n＝224,∴3n＝24,解得, n＝8,∴这三个数的和是：〔﹣2〕7+〔﹣2〕8+〔﹣2〕9＝〔﹣2〕7×〔1﹣2+4〕＝〔﹣128〕×3＝﹣384,故答案为：﹣384．【点评】此题考查数字的变化类, 解答此题的关键是明确题意, 发现题目中数字的变化规律．7.〔2021•四川省广安市•3分〕如图, 在平面直角坐标系中, 点A1的坐标为〔1, 0〕, 以OA1为直角边作Rt△OA1A2, 并使∠A1OA2＝60°, 再以OA2为直角边作Rt△OA2A3, 并使∠A2OA3＝60°, 再以OA3为直角边作Rt△OA3A4, 并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去, 那么点A2021的坐标为〔﹣22021, 22021〕．【分析】通过解直角三角形, 依次求A1, A2, A3, A4, …各点的坐标, 再从其中找出规律, 便可得结论．【解答】解：由题意得,A1的坐标为〔1, 0〕,A2的坐标为〔1, 〕,A3的坐标为〔﹣2, 2〕,A4的坐标为〔﹣8, 0〕,A5的坐标为〔﹣8, ﹣8〕,A6的坐标为〔16, ﹣16〕,A7的坐标为〔64, 0〕,…由上可知, A点的方位是每6个循环,与第一点方位相同的点在x正半轴上, 其横坐标为2n﹣1, 其纵坐标为0,与第二点方位相同的点在第一象限内, 其横坐标为2n﹣2, 纵坐标为2n﹣2,与第三点方位相同的点在第二象限内, 其横坐标为﹣2n﹣2, 纵坐标为2n﹣2,与第四点方位相同的点在x负半轴上, 其横坐标为﹣2n﹣1, 纵坐标为0,与第五点方位相同的点在第三象限内, 其横坐标为﹣2n﹣2, 纵坐标为﹣2n﹣2,与第六点方位相同的点在第四象限内, 其横坐标为2n﹣2, 纵坐标为﹣2n﹣2,∵2021÷6＝336…3,∴点A2021的方位与点A23的方位相同, 在第二象限内, 其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22021, 纵坐标为22021,故答案为：〔﹣22021, 22021〕．【点评】此题主点的坐标的规律题, 主要考查了解直角三角形的知识, 关键是求出前面7个点的坐标, 找出其存在的规律．8.〔2021湖南益阳4分〕观察以下等式：①3﹣2＝〔﹣1〕2,②5﹣2＝〔﹣〕2,③7﹣2＝〔﹣〕2,…请你根据以上规律, 写出第6个等式13﹣2＝〔﹣〕2．【分析】第n个等式左边的第1个数为2n+1, 根号下的数为n〔n+1〕, 利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为〔﹣〕2〔n≥1的整数〕．【解答】解：写出第6个等式为13﹣2＝〔﹣〕2．故答案为13﹣2＝〔﹣〕2．【点评】此题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式, 然后进行二次根式的乘除运算, 再合并即可．在二次根式的混合运算中, 如能结合题目特点, 灵活运用二次根式的性质, 选择恰当的解题途径, 往往能事半功倍．9. 〔2021•甘肃庆阳•4分〕一列数a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, ……, 按照这个规律写下去,第9个数是13a+21b．【分析】由题意得出从第3个数开始, 每个数均为前两个数的和, 从而得出答案．【解答】解：由题意知第7个数是5a+8b, 第8个数是8a+13b, 第9个数是13a+21b, 故答案为：13a+21b．【点评】此题主要考查数字的变化规律, 解题的关键是得出从第3个数开始, 每个数均为前两个数的和的规律．10. 〔2021·贵州安顺·4分〕如图, 将从1开始的自然数按下规律排列, 例如位于第3行、第4列的数是12, 那么位于第45行、第7列的数是．【解答】解：观察图表可知：第n行第一个数是n2,∴第45行第一个数是2025,∴第45行、第7列的数是2025﹣6＝2021,故答案为202111. 〔2021•黑龙江省齐齐哈尔市•3分〕如图, 直线l：y＝x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1, 过点A1作A1B1⊥l, 交x轴于点B1, 过点B1作B1A2⊥x轴, 交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l, 交x轴于点B2, 过点B2作B2A3⊥x轴, 交直线l于点A3, 依此规律…, 假设图中阴影△A1OB1的面积为S1, 阴影△A2B1B2的面积为S2, 阴影△A3B2B3的面积为S3…, 那么S n＝．【分析】由直线l：y＝x+1可求出与x轴交点A的坐标, 与y轴交点A1的坐标, 进而得到OA, OA1的长, 也可求出Rt△OAA1的各个内角的度数, 是一个特殊的直角三角形, 以下所作的三角形都是含有30°角的直角三角形, 然后这个求出S1、S2、S3、S4、……根据规律得出Sn．【解答】解：直线l：y＝x+1, 当x＝0时, y＝1；当y＝0时, x＝﹣∴A〔﹣, 0〕A1〔0, 1〕∴∠OAA1＝30°又∵A1B1⊥l,∴∠OA1B1＝30°,在Rt△OA1B1中, OB1＝•OA1＝,∴S1＝；同理可求出：A2B1＝, B1B2＝,∴S2＝＝＝；依次可求出：S3＝；S4＝；S5＝……因此：S n＝故答案为：．12．〔2021•山东泰安•4分〕在平面直角坐标系中, 直线l：y＝x+1与y轴交于点A1, 如下图, 依次作正方形OA1B1C1, 正方形C1A2B2C2, 正方形C2A3B3C3, 正方形C3A4B4C4, ……, 点A1, A2, A3, A4, ……在直线l上, 点C1, C2, C3, C4, ……在x轴正半轴上, 那么前n个正方形对角线长的和是〔2n﹣1〕．【分析】根据题意和函数图象可以求得点A1, A2, A3, A4的坐标, 从而可以得到前n个正方形对角线长的和, 此题得以解决．【解答】解：由题意可得,点A1的坐标为〔0, 1〕, 点A2的坐标为〔1, 2〕, 点A3的坐标为〔3, 4〕, 点A4的坐标为〔7, 8〕, ……,∴OA1＝1, C1A2＝2, C2A3＝4, C3A4＝8, ……,∴前n个正方形对角线长的和是：〔OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+C n﹣1A n〕＝〔1+2+4+8+…+2n﹣1〕,设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1, 那么2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n,那么2S﹣S＝2n﹣1,∴S＝2n﹣1,∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1,∴前n个正方形对角线长的和是：×〔2n﹣1〕,故答案为：〔2n﹣1〕,【点评】此题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标, 解答此题的关键是明确题意, 利用数形结合的思想解答．13．〔2021•山东潍坊•3分〕如下图, 在平面直角坐标系xoy中, 一组同心圆的圆心为坐标原点O, 它们的半径分别为1, 2, 3, …, 按照“加1”依次递增；一组平行线, l0, l1, l2, l3, …都与x轴垂直, 相邻两直线的间距为l, 其中l0与y轴重合假设半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1, 半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2, …, 半径为n+1的圆与l n在第一象限内交于点P n, 那么点P n的坐标为〔n, 〕．〔n为正整数〕【分析】连OP1, OP2, OP3, l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3, 在Rt△OA1P1中, OA1＝1, OP1＝2, 由勾股定理得出A1P1＝＝, 同理：A2P2＝, A3P3＝, ……, 得出P1的坐标为〔1, 〕, P2的坐标为〔2, 〕, P3的坐标为〔3, 〕, ……, 得出规律, 即可得出结果．【解答】解：连接OP1, OP2, OP3, l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3, 如下图：在Rt△OA1P1中, OA1＝1, OP1＝2,∴A1P1＝＝＝,同理：A2P2＝＝, A3P3＝＝, ……,∴P1的坐标为〔1, 〕, P2的坐标为〔2, 〕, P3的坐标为〔3, 〕, ……,…按照此规律可得点P n的坐标是〔n, 〕, 即〔n, 〕故答案为：〔n, 〕．【点评】此题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理；由题意得出规律是解题的关键．14．(2021•湖南益阳•4分)观察以下等式：2＝(2－1)2,①3－22＝(3－2)2,②5－62＝(4－3)2,③7－12…请你根据以上规律, 写出第6个等式．【考点】规律探究---二次根式化简．【分析】第n个等式左边的第1个数为2n+1, 根号下的数为n(n+1), 利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为(－)2(n≥1的整数)．【解答】解：写出第6个等式为13－2＝(－)2．故答案为13－2＝(－)2．【点评】此题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式, 然后进行二次根式的乘除运算, 再合并即可．在二次根式的混合运算中, 如能结合题目特点, 灵活运用二次根式的性质, 选择恰当的解题途径, 往往能事半功倍．15(2021湖北仙桃)〔3分〕如图, 在平面直角坐标系中, 四边形OA1B1C1, A1A2B2C2,A2A3B3C3, …都是菱形, 点A1, A2, A3, …都在x轴上, 点C1, C2, C3, …都在直线y＝x+上, 且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°, OA1＝1, 那么点C6的坐标是〔95, 32〕．【分析】根据菱形的边长求得A1、A2、A3…的坐标然后分别表示出C1、C2、C3…的坐标找出规律进而求得C6的坐标．【解答】解：∵OA1＝1,∴OC1＝1,∴∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°,∴C1的纵坐标为：sin60°•OC1＝, 横坐标为cos60°•OC1＝,∴C1〔, 〕,∵四边形OA1B1C1, A1A2B2C2, A2A3B3C3, …都是菱形,∴A1C2＝2, A2C3＝4, A3C4＝8, …,∴C2的纵坐标为：sin60°•A1C2＝, 代入y＝x+求得横坐标为2,∴C2〔, 2, 〕,C3的纵坐标为：sin60°•A2C3＝4, 代入y＝x+求得横坐标为11,∴C3〔11, 4〕,∴C4〔23, 8〕,C5〔47, 16〕,∴C6〔95, 32〕；故答案为〔95, 32〕．【点评】此题是对点的坐标变化规律的考查, 主要利用了菱形的性质, 解直角三角形, 根据点的变化规律求出菱形的边长, 得出系列C点的坐标, 找出规律是解题的关键．16. (2021湖北咸宁市3分)有一列数, 按一定规律排列成1, ﹣2, 4, ﹣8, 16, ﹣32, …, 其中某三个相邻数的积是412, 那么这三个数的和是﹣384．【分析】根据题目中的数字, 可以发现它们的变化规律, 再根据其中某三个相邻数的积是412, 可以求得这三个数, 从而可以求得这三个数的和．【解答】解：∵一列数为1, ﹣2, 4, ﹣8, 16, ﹣32, …,∴这列数的第n个数可以表示为〔﹣2〕n﹣1,∵其中某三个相邻数的积是412,∴设这三个相邻的数为〔﹣2〕n﹣1.〔﹣2〕n、〔﹣2〕n+1,那么〔﹣2〕n﹣1•〔﹣2〕n•〔﹣2〕n+1＝412,即〔﹣2〕3n＝〔22〕12,∴〔﹣2〕3n＝224,∴3n＝24,解得, n＝8,∴这三个数的和是：〔﹣2〕7+〔﹣2〕8+〔﹣2〕9＝〔﹣2〕7×〔1﹣2+4〕＝〔﹣128〕×3＝﹣384,故答案为：﹣384．【点评】此题考查数字的变化类, 解答此题的关键是明确题意, 发现题目中数字的变化规律．1.〔2021•四川省达州市•11分〕箭头四角形模型规律如图1, 延长CO交AB于点D, 那么∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B．因为凹四边形ABOC形似箭头, 其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C〞这个规律, 所以我们把这个模型叫做“箭头四角形〞．模型应用〔1〕直接应用：①如图2, ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α．②如图3, ∠ABE、∠ACE的2等分线〔即角平分线〕BF、CF交于点F, ∠BEC＝120°, ∠BAC＝50°, 那么∠BFC＝85°．③如图4, BO i、CO i分别为∠ABO、∠ACO的2021等分线〔i＝1, 2, 3, …, 2021, 2021〕．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2021．∠BOC＝m°, ∠BAC＝n°, 那么∠BO1000C ＝〔m+n〕度．〔2〕拓展应用：如图5, 在四边形ABCD中, BC＝CD, ∠BCD＝2∠BA D．O是四边形ABCD 内一点, 且OA＝OB＝O D．求证：四边形OBCD是菱形．【分析】〔1〕①由∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α, ∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α可得答案；②由∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F, ∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A且∠EBF＝∠ABF, ∠ECF＝∠ACF知∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F, 从而得∠F＝, 代入计算可得；③由∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝〔∠ABO+∠ACO〕+∠BO1000C, ∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝〔∠ABO+∠ACO〕+∠BAC知∠ABO+∠ACO＝〔∠BO1000C﹣∠BAC〕, 代入∠BOC＝〔∠ABO+∠ACO〕+∠BO1000C得∠BOC＝×〔∠BO1000C﹣∠BAC〕+∠BO1000C, 据此得出∠BO1000C＝〔∠BOC+∠BAC〕＝∠BOC+∠BAC, 代入可得答案；〔2〕由∠OAB＝∠OBA, ∠OAD＝∠ODA知∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD, 结合∠BCD＝2∠BAD得∠BCD＝∠BOD, 连接OC, 根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可．【解答】解：〔1〕①如图2,在凹四边形ABOC中, ∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α,在凹四边形DOEF中, ∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α；②如图3,∵∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F, ∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A, 且∠EBF＝∠ABF, ∠ECF＝∠ACF,∴∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F,∴∠F＝,∵∠BEC＝120°, ∠BAC＝50°,∴∠F＝85°；③如图3,由题意知∠ABO1000＝∠ABO, ∠OBO1000＝∠ABO,∠ACO1000＝∠ACO, ∠OCO1000＝∠ACO,∴∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝〔∠ABO+∠ACO〕+∠BO1000C,∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝〔∠ABO+∠ACO〕+∠BAC,那么∠ABO+∠ACO＝〔∠BO1000C﹣∠BAC〕,代入∠BOC＝〔∠ABO+∠ACO〕+∠BO1000C得∠BOC＝×〔∠BO1000C ﹣∠BAC〕+∠BO1000C,解得：∠BO1000C＝〔∠BOC+∠BAC〕＝∠BOC+∠BAC,∵∠BOC＝m°, ∠BAC＝n°,∴∠BO1000C＝m°+n°；故答案为：①2α；②85°；③〔m+n〕；〔2〕如图5, 连接OC,∵OA＝OB＝OD,∴∠OAB＝∠OBA, ∠OAD＝∠ODA,∴∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD,∵∠BCD＝2∠BAD,∴∠BCD＝∠BOD,∵BC＝CD, OA＝OB＝OD, OC是公共边,∴△OBC≌△ODC〔SSS〕,∴∠BOC＝∠DOC, ∠BCO＝∠DCO,∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC, ∠BCD＝∠BCO+∠DCO,∴∠BOC＝∠BOD, ∠BCO＝∠BCD,又∠BOD＝∠BCD,∴∠BOC＝∠BCO,∴BO＝BC,又OB＝OD, BC＝CD,∴OB＝BC＝CD＝DO,∴四边形OBCD是菱形．【点评】此题主要考查四边形的综合问题, 解题的关键是掌握“箭头四角形〞的性质∠BOC＝∠A+∠B+∠C及其运用, 全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识点．2．〔2021•山东青岛•10分〕问题提出：如图, 图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L〞形纸片, 图②是一张a×b的方格纸〔a×b的方格纸指边长分别为a, b的矩形, 被分成a×b个边长为1的小正方形, 其中a≥2, b≥2, 且a, b为正整数〕．把图①放置在图②中, 使它恰好盖住图②中的三个小正方形, 共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律, 我们采用一般问题特殊化的策略, 先从最简单的情形入手, 再逐次递进, 最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在2×2的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有多少种不同的放置方法？如图③, 对于2×2的方格纸, 要用图①盖住其中的三个小正方形, 显然有4种不同的放置方法．探究二：把图①放置在3×2的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有多少种不同的放置方法？如图④, 在3×2的方格纸中, 共可以找到2个位置不同的 2 2×方格, 依据探究一的结论可知, 把图①放置在3×2的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有2×4＝8种不同的放置方法．探究三：把图①放置在a×2的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有多少种不同的放置方法？如图⑤, 在a×2的方格纸中, 共可以找到〔a﹣1〕个位置不同的2×2方格, 依据探究一的结论可知, 把图①放置在a×2的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有〔4a﹣4〕种不同的放置方法．探究四：把图①放置在a×3的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有多少种不同的放置方法？如图⑥, 在a×3的方格纸中, 共可以找到〔2a﹣2〕个位置不同的2×2方格, 依据探究一的结论可知, 把图①放置在a×3的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有〔8a﹣8〕种不同的放置方法．……问题解决：把图①放置在a×b的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有多少种不同的放置方法？〔仿照前面的探究方法, 写出解答过程, 不需画图．〕问题拓展：如图, 图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体, 图⑧是一个长、宽、高分别为a, b, c〔a≥2, b≥2, c≥2, 且a, b, c是正整数〕的长方体, 被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到8〔a﹣1〕〔b﹣1〕〔c﹣1〕个图⑦这样的几何体．【分析】对于图形的变化类的规律题, 首先应找出图形哪些局部发生了变化, 是按照什么规律变化的, 通过分析找到各局部的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考, 善用联想来解决这类问题．【解答】解：探究三：根据探究二, a×2的方格纸中, 共可以找到〔a﹣1〕个位置不同的2×2方格,根据探究一结论可知, 每个2×2方格中有4种放置方法, 所以在a×2的方格纸中, 共可以找到〔a﹣1〕×4＝〔4a﹣4〕种不同的放置方法；故答案为a﹣1, 4a﹣4；探究四：与探究三相比, 此题矩形的宽改变了, 可以沿用上一问的思路：边长为a, 有〔a﹣1〕条边长为2的线段,同理, 边长为3, 那么有3﹣1＝2条边长为2的线段,所以在a×3的方格中, 可以找到2〔a﹣1〕＝〔2a﹣2〕个位置不同的2×2方格,根据探究一, 在在a×3的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有〔2a﹣2〕×4＝〔8a﹣8〕种不同的放置方法．故答案为2a﹣2, 8a﹣8；问题解决：在a×b的方格纸中, 共可以找到〔a﹣1〕〔b﹣1〕个位置不同的2×2方格,依照探究一的结论可知, 把图①放置在a×b的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有4〔a﹣1〕〔b﹣1〕种不同的放置方法；问题拓展：发现图⑦示是棱长为2的正方体中的一局部, 利用前面的思路,这个长方体的长宽高分别为a、b、c, 那么分别可以找到〔a﹣1〕、〔b﹣1〕、〔c﹣1〕条边长为2的线段,所以在a×b×c的长方体共可以找到〔a﹣1〕〔b﹣1〕〔c﹣1〕位置不同的2×2×2的正方体, 再根据探究一类比发现, 每个2×2×2的正方体有8种放置方法,所以在a×b×c的长方体中共可以找到8〔a﹣1〕〔b﹣1〕〔c﹣1〕个图⑦这样的几何体；故答案为8〔a﹣1〕〔b﹣1〕〔c﹣1〕．【点评】此题考查了平面图形的有规律变化, 要求学生通过观察图形, 分析、归纳并发现其中的规律, 并应用规律解决问题是解题的关键．。

规律研究一、选择题1．〔2021·重庆(A) ·4分〕把三角形按以以下图的规律拼图案，其中第①个图案中有4 个三角形，第②个图案中有6 个三角形，第③个图案中有8 个三角形，⋯，按此规律排列下去，那么第⑦个图案中三角形的个数为A．12 B．14 C．16 D．18【考点】图形的变化规律【解析】∵第1 个图案中的三角形个数为:2+2=2 ×2=4;第2 个图案中的三角形个数为:2+2+2=2 ×3=6;第3 个图案中的三角形个数为:2+2+2+2=2 ×4=8;⋯⋯∴第7 个图案中的三角形个数为:2+2+2+2+2+2+2+2=2 ×8=16;【谈论】此题观察图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，进而计算出正确结果。

比较简单。

2〔2021·台湾·分〕假设小舒从1～50 的整数中优选4 个数，使其由小到大排序后形成一等差数列，且4 个数中最小的是7，那么以下哪一个数不可以能出现在小舒优选的数之中？〔〕A．20 B．25 C．30 D．35【解析】A、找出7，20、33 、46为等差数列，进而可得出20 可以出现，选项A 不吻合题意；B、找出7、16、25、34为等差数列，进而可得出25 可以出现，选项B 不吻合题意；C、由30﹣7=23，23为质数，30+23＞50，进而可得出30 不可以能出现，选项C吻合题意；D、找出7、21、35、49为等差数列，进而可得出35 可以出现，选项D不吻合题意．【解答】解：A、∵7，20、33、46为等差数列，∴20 可以出现，选项A 不吻合题意；B、∵7、16、25、34为等差数列，∴25 可以出现，选项B 不吻合题意；C、∵30﹣7=23，23为质数，30+23＞50，∴30 不可以能出现，选项C吻合题意；D、∵7、21、35、49为等差数列，∴35 可以出现，选项D不吻合题意．应选：C．【谈论】此题观察了规律型中数字的变化类，依照等差数列的定义结合四个选项中的数字，13〔2021·广东广州·3 分〕在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到以下指令，从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断搬动，每次搬动1 m，其行走路线如图所示，第1 次搬动到，第2 次搬动到⋯⋯，第n 次搬动到，那么△的面积是〔〕A.504B.C.D.【答案】A【考点】研究图形规律【解析】【解答】解：依题可得：A2〔1,1 〕，A4〔2，0〕，A8〔4,0 〕，A12〔6,0 〕⋯⋯∴A4n〔2n，0〕，∴A2021=A4×504〔1008,0 〕，∴A2021〔1009,1 〕，∴A2A2021=1009-1=1008,∴S△= ×1×1008=504〔〕.故答案为：A.〔1008,0 〕，进而得A2021〔1009,1 〕，【解析】依照图中规律可得A4n〔2n，0〕，即A2021=A4×504再依照坐标性质可得A2A2021=1008, 由三角形面积公式即可得出答案.4 (2021 四川省绵阳市) 将全体正奇数排成一个三角形数阵13 57 9 1113 15 17 1921 23 25 27 29⋯⋯⋯⋯⋯⋯依照以上排列规律，数阵中第25 行的第20 个数是〔〕A.639B.637C.635D.633【答案】 A【考点】研究数与式的规律【解析】【解答】解：依题可得：第25 行的第一个数为：1+2+4+6+8+⋯⋯+2×24=1+2×=601，∴第25 行的第第20 个数为：601+2×19=639.故答案为： A.【解析】依照规律可得第25 行的第一个数为，再由规律得第25 行的第第20 个数.5．〔2021 年湖北省宜昌市3 分〕1261 年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形讲解二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角〞，请观察图中的数字排列规律，那么a，b，c 的值分别为〔〕A．a=1，b=6，c=15 B．a=6，b=15，c=20C．a=15，b=20，c=15 D．a=20，b=15，c=6【解析】依照图形中数字规模：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可得a、b、c的值．【解答】解：依照图形得：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，∴a=1+5=6，b=5=10=15，c=10+10=20，应选：B．【谈论】此题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．关于找规律的题目第一应找出哪些局部发生了变化，是依照什么规律变化的．二. 填空题1〔2021 年四川省内江市〕如图，直线y=﹣x+1 与两坐标轴分别交于A，B 两点，将线段OA 分成n 等份，分点分别为P1，P2，P3，⋯，P n﹣1，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T1，T2，T3，⋯，T n﹣1，用S1，S2，S3，⋯，S n﹣1 分别表示Rt △T1OP1，Rt△T2P1P2，⋯，Rt△T n﹣1P n﹣2P n﹣1 的面积，那么S1+S2+S3+⋯+S n﹣1=﹣．【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特色；D 2：规律型：点的坐标．【解析】如图，作T1M⊥OB于M，T2N⊥P1T1 ．由题意可知：△BT1M≌△T1T2N≌△T n﹣1A，四边形OMT1P1 是矩形，四边形P1NT2P2 是矩形，推出= ××= ，S1= ，S2= ，可得S1+S2+S3+⋯+S n﹣1= 〔S△AOB﹣n 〕．【解答】解：如图，作T1M⊥O B于M，T2N⊥P1T1．由题意可知：△BT1M≌△T1T2N≌△T n﹣1A，四边形OMT1P1 是矩形，四边形P1NT2P2 是矩形，4∴= ××= ，S1= ，S2 = ，∴S1+S2+S3+⋯+S n﹣1= 〔S△AOB﹣n 〕= ×〔﹣n×〕=﹣．故答案为﹣．【谈论】此题观察一次函数的应用，规律型﹣点的坐标、三角形的面积、矩形的判断和性质等知识，解题的要点是灵便运用所学知识解决问题，学会用切割法求阴影局部面积．2〔2021?广西桂林?3 分〕将从1 开始的连续自然数按右图规律排列：规定位于第m行，第n 列的自然数10记为〔3，2〕，自然数15记为〔4，2〕...... 按此规律，自然数2021记为__________【答案】〔505，2〕【解析】解析：由表格数据排列可知，4 个数一组，奇数行从左向右数字逐渐增大，偶数行从右向左数字逐渐增大，用2021 除以4，商确定所在的行数，余数确定所行家的序数，然后解答即可．详解：2021÷4=504 ??2.∴2021 在第505 行，第2 列，∴自然数2021记为〔505，2〕.故答案为：〔505，2〕.点睛：此题是对数字变化规律的观察，观察出实质有4 列，但每行数字的排列序次是解题的要点，还要注意奇数行与偶数行的排列序次正好相反．线PA，现要分别以APB ，3〔2021?河北?6 分〕如图10 1，作BPC 均分线的反向延长APC ，BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不相同花纹后成为一个图案.比方，假设以BPC为内角，可作出一个边长为1 的正方形，此时BPC 90 ，而90245是360 〔多边形外角和〕的18，这样就恰好可作出两个边长均为1 的正八边形，填充花纹后获取一个吻合要求的图案，如图10 2所示.图10 2中的图案外轮廓周长是；在所有吻合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，那么会标的外轮廓周长是．4〔2021·广东·3 分〕如图，等边△O A1B1，极点A1 在双曲线y= 〔x＞0〕上，点B1的坐标为〔2，0〕．过B1 作B1A2∥O A1 交双曲线于点A2，过A2 作A2B2∥A1B1 交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2 作B2A3∥B1A2 交双曲线于点A3，过A3 作A3B3∥A2B2 交x轴于点B3，获取第三个等边△B2A3B3；以此类推，⋯，那么点B6 的坐标为〔2 ，0〕．【解析】依照等边三角形的性质以及反比率函数图象上点的坐标特色分别求出B2、B3、B4 的坐标，得出规律，进而求出点B6 的坐标．【解答】解：如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C=a，那么A2C= a，OC=O1B+B1C=2+a，A2〔2+a，a〕．∵点A2 在双曲线y= 〔x＞0〕上，∴〔2+a〕?a= ，解得a=﹣1，或a=﹣﹣1〔舍去〕，∴OB2=OB1+2B1C=2+2﹣2=2 ，∴点B2 的坐标为〔2 ，0〕；作A3D⊥x轴于点D，设B2D=b，那么A3D= b，OD=O2B+B2D=2 +b，A2〔2 +b，b〕．∵点A3 在双曲线y= 〔x＞0〕上，∴〔2 +b〕?b= ，解得b=﹣+ ，或b=﹣﹣〔舍去〕，∴OB3=OB2+2B2D=2﹣2 +2 =2 ，∴点B3 的坐标为〔2 ，0〕；同理可得点B4 的坐标为〔2 ，0〕即〔4，0〕；⋯，∴点B n 的坐标为〔2 ，0〕，∴点B6 的坐标为〔2 ，0〕．故答案为〔2 ，0〕．【谈论】此题观察了反比率函数图象上点的坐标特色，等边三角形的性质，正确求出B2、B3、B4 的坐标进而得出点B n 的规律是解题的要点．5〔2021·浙江临安·3 分〕：2+ =2 2×，3+ =32×，4+ =42×，5+ =52×，⋯，假设10+ =10 2×吻合前面式子的规律，那么a+b= 109 ．【考点】等式的变化规律【解析】要求a+b 的值，第一应该仔细仔细地观察题目给出的4 个等式，找到它们的规律，即中，b=n+1，a=〔n+1〕 2﹣1．【解答】解：依照题中资料可知= ，∵10+ =10 2×，∴b=10，a=99，a+b=109．【谈论】解题要点是要读懂题目的意思，依照题目给出的条件，找出式子的规律．6〔2021·浙江衢州·4 分〕定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a 个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γ〔a，θ〕变换．如图，等边△ABC的边长为1，点A 在第一象限，点B 与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1 就是△ABC经γ〔1，180°〕变换后所得的图形．假设△ABC经γ〔1，180°〕变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ〔2，180°〕变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ〔3，180°〕变换后得△A3B3C3，依此类推⋯⋯△A n﹣1B n﹣1C n﹣1经γ〔n，180°〕变换后得△A n B n C n，那么点A1 的坐标是〔﹣，﹣〕，点A2021 的坐标是〔﹣，〕．【考点】坐标的变化规律.【解析】解析图形的γ〔a，θ〕变换的定义可知：对图形γ〔n，180°〕变换，就是先进行向右平移n 个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换．向右平移n 个单位变换就是横坐标加n，纵坐标不变，关于原点作中心对称变换就是横纵坐标都变为相反数．写出几次变换后的坐标可以发现其中规律．【解答】解：依照图形的γ〔a，θ〕变换的定义可知：对图形γ〔n，180°〕变换，就是先进行向右平移n 个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换．△ABC经γ〔1，180°〕变换后得△A1B1C1，A1 坐标〔﹣，﹣〕△A1B1C1经γ〔2，180°〕变换后得△A2B2C2，A2 坐标〔﹣，〕△A2B2C2经γ〔3，180°〕变换后得△A3B3C3，A3 坐标〔﹣，﹣〕△A3B3C3经γ〔3，180°〕变换后得△A4B4C4，A4 坐标〔﹣，〕依此类推⋯⋯可以发现规律：A n 横坐标存在周期性，每3 次变换为一个周期，纵坐标为当n=2021时，有2021÷3=672 余2所以，A2021 横坐标是﹣，纵坐标为故答案为：〔﹣，﹣〕，〔﹣，〕．【谈论】此题是规律研究题，又是资料阅读理解题，要点是能正确理解图形的γ〔a，θ〕变换的定义后运用，要点是能发现连续变换后出现的规律，该题难点在于点的横纵坐标各自存在不相同的规律，需要分别来研究．7〔2021·四川自贡·4 分〕观察以以下图中所示的一系列图形，它们是按必然规律排列的，依照此规律，第2021 个图形共有6055 个○．【解析】每个图形的最下面一排都是1，别的三面随着图形的增加，每面的个数也增加，据此可得出规律，那么可求得答案．【解答】解：观察图形可知：第1 个图形共有：1+1×3，第2 个图形共有：1+2×3，第3 个图形共有：1+3×3，⋯，第n 个图形共有：1+3n，∴第2021 个图形共有1+3×2021=6055，故答案为：6055．【谈论】此题为规律型题目，找出图形的变化规律是解题的要点，注意观察图形的变化．8〔2021?湖北荆门?3 分〕将数1 个1，2 个，3 个，⋯，n 个〔n为正整数〕按次排成一列：1，，⋯，记a1=1，a2= ，a3= ，⋯，S1=a1，S2=a1 +a2，S3=a1+a2+a3，⋯，S n=a1+a2+⋯+a n，那么S2021= 63 ．【解析】由1+2+3+⋯+n=结合+2=2021，可得出前2021 个数里面包含：1个1，2 个，3 个，⋯，63 个，2 个，进而可得出S2021=1×1+2×+3×+⋯+63×+2×=63 ，此题得解．【解答】解：∵1+2+3+⋯+n= ，+2=2021，∴前2021 个数里面包含：1 个1，2 个，3 个，⋯，63 个，2 个，∴S2021=1×1+2×+3×+⋯+63×+2×=1+1+⋯+1+ =63 ．故答案为：63 ．【谈论】此题观察了规律型中数字的变化类，依照数列中数的排列规律找出“前2021 个数里面包含：1 个1，2 个，3 个，⋯，63 个，2 个〞是解题的要点．9〔2021?甘肃白银，定西，武威?3 分〕如图是一个运算程序的表示图，假设开始输入的值为625，那么第2021 次输出的结果为__________．【答案】1【解析】【解析】依次求出每次输出的结果，依照结果得出规律，即可得出答案．【解答】当x=625时,当x=125时, =25，当x=25时, =5，当x=5时, =1，当x=1时，x+4=5，当x=5时, =1，当x=1时，x+4=5，当x=5时, =1，⋯(2021 - 3) ÷2=1007⋯1，即输出的结果是1，故答案为：1.【谈论】观察代数式的求值，找出其中的规律是解题的要点.10. 〔2021?山东滨州?5 分〕观察以下各式：=1+ ，=1+ ，=1+ ，⋯⋯请利用你所发现的规律，计算+ + +⋯+ ，其结果为9 ．【解析】直接依照数据变化规律进而将原式变形求出答案．【解答】解：由题意可得：+ + +⋯+=1+ +1+ +1+ +⋯+1+=9+〔1﹣+﹣+﹣+⋯+﹣〕=9+=9 ．故答案为：9 ．【谈论】此题主要观察了数字变化规律，正确将原式变形是解题要点．11. 〔2021·山东泰安·3 分〕观察“田〞字中各数之间的关系：那么c 的值为270 或28+14 ．【解析】依次观察每个“田〞中相同地址的数字，即可找到数字变化规律，再观察同一个“田〞中各个地址的数字数量关系即可．【解答】解：经过观察每个“田〞左上角数字依此是1，3，5，7 等奇数，此地址数为15 时，恰好是第8 个奇数，即此“田〞字为第8 个．观察每个“田〞字左下角数据，可以发现，规律是2，22，23，24 等，那么第8 数为28．观察左下和右上角，每个“田〞字的右上角数8字依次比左下角大0，2，4，6 等，到第8 个图多14．那么c=2 +14=270故应填：270 或28+14【谈论】此题以研究数字规律为背景，观察学生的数感．解题时注意相同地址的数字变化规律，用代数式表示出来．12. 〔2021·山东威海·3 分〕如图，在平面直角坐标系中，点A1 的坐标为〔1，2〕，以点O为圆心，以O A1长为半径画弧，交直线y= x 于点B1．过B1 点作B1A2∥y轴，交直线y=2x于点A2，以O为圆心，以OA2长为半径画弧，交直线y= x 于点B2；过点B2 作B2A3∥y轴，交直线y=2x 于点A3，以点O为圆心，以O A3长为半径画弧，交直线y= x 于点B3；过B3 点作B3A4∥y轴，交直线y=2x 于点A4，以点O为圆心，以OA4长为半径画弧，交直线y= x 于点B4，⋯依照这样规律进行下去，点B2021的坐标为〔22021，22021〕．12【解析】依照题意可以求得点B1 的坐标，点A2 的坐标，点B2 的坐标，尔后即可发现坐标变化的规律，进而可以求得点B2021的坐标．【解答】解：由题意可得，点A1 的坐标为〔1，2〕，设点B1 的坐标为〔a，a 〕，，解得，a=2，∴点B1 的坐标为〔2，1〕，同理可得，点A2 的坐标为〔2，4〕，点B2 的坐标为〔4，2〕，点A3 的坐标为〔4，8〕，点B3 的坐标为〔8，4〕，⋯⋯∴点B2021 的坐标为〔2 2021，22021〕，故答案为：〔2 2021，22021〕．【谈论】此题观察一次函数图象上点的坐标特色、点的坐标，解答此题的要点是明确题意，发现题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．13. 〔2021·山东潍坊·3 分〕如图，点A1 的坐标为〔2，0〕，过点A1 作x轴的垂线交直线l ：y= x 于点B1，以原点O为圆心，O B1 的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2 作x轴的垂线交直线l 于点B2，以原点O为圆心，以O B2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；⋯．按此作法进行下去，那么的长是．13【解析】先依照一次函数方程式求出B1 点的坐标，再依照B1 点的坐标求出A2 点的坐标，得出B2 的坐标，以此类推总结规律即可求出点A2021的坐标，再依照弧长公式计算即可求解，．【解答】解：直线y= x，点A1 坐标为〔2，0〕，过点A1 作x轴的垂线交直线于点B1 可知B1 点的坐标为〔2，2 〕，以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，O A2=OB1，O A2 = =4，点A2 的坐标为〔4，0〕，这类方法可求得B2 的坐标为〔4，4 〕，故点A3 的坐标为〔8，0〕，B3〔8，8 〕以此类推即可求出点A2021 的坐标为〔2 2021，0〕，那么的长是= ．故答案为：．【谈论】此题主要观察了一次函数图象上点的坐标特色，做题时要注意数形结合思想的运用，是各地的中考热点，学生在平常要多加训练，属于中档题．14. 〔2021?山东枣庄?4 分〕将从1 开始的连续自然数按以下规律排列：第1 行1第2 行2 3 4第3 行9 8 7 6 5第4 行10 11 12 13 14 15 16第5 行25 24 23 22 21 20 19 18 17⋯那么2021 在第45 行．142【解析】经过观察可得第n 行最大一个数为n ，由此估计2021 所在的行数，进一步计算得出答案即可．【解答】解：∵442=1936，452=2025，∴2021 在第45 行．故答案为：45．【谈论】此题观察了数字的变化规律，解题的要点是经过观察，解析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．15. 〔2021?山东淄博?4 分〕将从1 开始的自然数按以下规律排列，比方位于第3 行、第4列的数是12，那么位于第45 行、第8 列的数是2021 ．【考点】37：规律型：数字的变化类．【解析】观察图表可知：第n 行第一个数是n2，可得第45 行第一个数是2025，推出第45 行、第8 列的数是2025﹣7=2021；【解答】解：观察图表可知：第n 行第一个数是n2，∴第45 行第一个数是2025，∴第45 行、第8 列的数是2025﹣7=2021，故答案为2021．【谈论】此题观察规律型﹣数字问题，解题的要点是学会观察，研究规律，利用规律解决问题．1 6〔2021?四川成都?3 分〕，，，，，，⋯〔即当为大于1 的奇数时，；当为大于1 的偶数时，〕，按此规律，________.【答案】【考点】研究数与式的规律15【解析】【解答】解：∵，∴S2=- -1=∵，∴S3=1÷〔〕=∵，∴S4=-〔〕-1=∴S5=-a-1 、S6=a、S7= 、S8= ⋯∴2021÷4=54⋯2∴S2021=故答案为:【解析】依照求出S2= ，S3= ，S4= 、S5=-a-1 、S6=a、S7= 、S8= ⋯可得出规律，按此规律可求出答案。