2018年最新 湖南省长沙雅礼中学2018届高三2月月考数学

湖南省雅礼中学 2018届高三年级第二次月数 学 试 题（文）（考试范围：函数、数列和三角函数占50%，高考其它内容占50%）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。

时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{3,2},{,}n M N a b ==，若{2}M N = ，则M N =（ ） A ．{0，1，2}B ．{0，2，3}C ．{1，2，3}D ．{0，1，3}2．已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ ）3．ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 1B =，向量(,),(1,2)p a b q ==，若//p q ，则C ∠的大小为（ ）A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π4．已知数列11{},1,,n n n a a a a n +==+若利用如图所示的程序框 图计算该数的第10项，则判断框内的条件是 （ ） A ．8?n ≤ B ．9?n ≤C ．10?n ≤D ．11?n ≤5．设P 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ） A ．0PA PB +=B ．0PB PC +=C ．0PC PA +=D ．0PA PB PC ++=6．在区间[,]22ππ-上随机取一个x ，则s i n x 的值介于1122-与之间的概率为（ ）A ．13B ．2πC ．12D ．237．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点： 1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列*{}()n a n N ∈的 前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律 下去，则200020102011a a a ++等于 （ ） A ．1018 B ．1018C ．1018D ．20188．定义在R 上的函数()f x 满足()(1)f x f x =-+，当[1,3]x ∈时，()2|2|f x x =--，则（ ） A ．22(sin)(cos )33f f ππ> B ．(sin1)(cos1)f f >C ．(tan3)(tan 6)f f <D ．(sin 2)(cos 2)f f <二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

长沙市雅礼中学、河南省实验中学2018届高三联合考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足||3z z i +=+，则z 对应点所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.设集合{}22(,)|1A x y x y =+=，{}(,)|3x B x y y ==，则A B I 的子集的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．13.已知双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一个焦点为(0,2)F -，一条渐近线的斜率为3，则该双曲线的方程为（ ）A ．2213x y -= B ．2213y x -= C ．2213y x -= D ．2213x y -= 4.在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)1n n a a n n n+=+++，则n a =（ ） A ．2ln n n + B ．2(1)ln n n n +- C ．2ln n n n +D ．1ln n n n ++5.某几何体的三视图如图所示，其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成，侧视图由半圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为（ ） A ．342π+B ．4(21)π++C ．4(2)π+D ．4(1)π+6.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此方法求解．如图是解决这类问题的程序框图，若输入24n =，则输出的结果为（ ） A ．23B ．47C ．24D ．487.郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ） A ．168种 B ．156种C ．172种D ．180种8.设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，OA OB ⊥u u u r u u u r，则()()OC OA OC OB -⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r的最大值是（ ）A ．12+B ．12-C ．21-D ．19.将函数2sin cos y x x =+的图象向右平移ϕ个单位长度，得到函数2sin cos y x x =-的图象，则sin ϕ的值为（ ）A ．3 B ．35C ．12D ．4510.已知151x e dxn e =-⎰，其中 2.71e =…，e 为自然对数的底数，则在4(2)n x x--的展开式中2x 的系数是（ ） A ．240B ．80C ．80-D ．240-11.过抛物线C ：24y x =的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与抛物线准线交于M ，且3FM FP =u u u u r u u u r ，则||FP =u u u r（ ）A ．32B ．23C ．43D ．3412.已知函数()sin 2f x x =的图象与直线220kx y k π--=（0k >）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为1x ，2x ，3x ，则1323()tan(2)x x x x --=（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数x ，y 满足1,1,0,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩则22x y x ++的最小值为 ．14.已知点(,)P a b 在函数2e y x=（其中 2.71e =…，e 为自然对数的底数）的图象上，且1a >，1b >，则ln b a 的最大值为 ．15.现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为3，则其包装盒的体积的最小值为 ．16.在平面四边形ABCD 中，120ABC ∠=︒，219AC =，23AB BC =，2AD BD =，BCD ∆的面积为23，则AD = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.若数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a λ=-（0λ>，*n N ∈）． （1）证明：数列{}n a 为等比数列，并求n a ；（2）若4λ=，2,,log ,n n n a n b a n ⎧=⎨⎩是奇是偶（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.如图1，菱形ABCD 的边长为12，60BAD ∠=︒，AC 与BD 交于O 点，将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -，点M 是棱BC 的中点，62DM =．（1）求证：平面ODM ⊥平面ABC ；（2）求二面角M AD C --的余弦值．19.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0.01）；（若||0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如表关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式12211()()()()niii n niii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑0.30.55≈0.90.95≈．20.设点A 为圆C ：224x y +=上的动点，点A 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足2MQ AQ =u u u u r u u u r，动点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）设E 与y 轴正半轴的交点为B ，过点B 的直线l 的斜率为k （0k ≠），l 与E 交于另一点为P ，若以点B 为圆心，以线段BP 长为半径的圆与E 有4个公共点，求k 的取值范围．21.已知函数2()xx x f x ae ae xe =--（0a ≥， 2.718e =…，e 为自然对数的底数），若()0f x ≥对于x R ∈恒成立． （1）求实数a 的值；（2）证明：()f x 存在唯一极值点0x ，且02ln 211()244f x e e +≤<．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点(2,4)M --，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=． （1）写出直线l 的参数方程（α为常数）和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与C 交于A 、B 两点，且||||40MA MB ⋅=，求倾斜角α的值． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||1|f x m x x =---+． （1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．长沙市雅礼中学、河南省实验中学2018届高三联合考试试题数学（理科）答案 一、选择题1-5:DACCA 6-10:BBADB 11、12：CB二、填空题13.4 14.e 15.72π16.三、解答题17.解：（1）由题意可知112S a λ=-，即1a λ=；当2n ≥时，111(2)(2)22n n n n n n n a S S a a a a λλ---=-=---=-，即12n n a a -=； 所以数列{}n a 是首项为λ，公比为2的等比数列，所以12n n a λ-=⨯．（2）由（1）可知当4λ=时12n n a +=，从而12,1,n n n b n n +⎧=⎨+⎩是奇，是偶．n 为偶数时，2(31)4(14)2142n n nn T ++-=+-； n 为奇数时，11n n n T T b ++=-121(311)4(14)2(2)142n n n n +++++-=+-+-14(21)(1)(5)234n n n n +-++=+--14(21)(1)(3)34n n n +--+=+，综上，14(21)(4),344(21)(1)(3),34n n n n nn T n n n +⎧-++⎪⎪=⎨--+⎪+⎪⎩是偶，是奇． 18.（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD DC =，OD AC ⊥，ADC ∆中，12AD DC ==，120ADC ∠=︒，∴6OD =，又M 是BC 中点，∴162OM AB ==，又MD = ∵222OD OM MD +=，∴DO OM ⊥， ∵OM ，AC ⊂平面ABC ，OM AC O =I ， ∴OD ⊥平面ABC ，又∵OD ⊂平面ODM ，∴平面ODM ⊥平面ABC ． （2）解：由题意，OD DC ⊥，OB OC ⊥，又由（1）知OB OD ⊥，建立如图所示空间直角坐标系，由条件知：(6,0,0)D，(0,A -，M ，故AM =u u u u r，AD =u u u r， 设平面MAD 的法向量(,,)m x y z =u r，则0,0,m AM m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u u r u r u u u r即30,60,z x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令y =3x =，9z =，∴(3,m =u r．由条件知OB ⊥平面ACD ，故取平面ACD 的法向量为(0,0,1)n =r，所以，cos ,31||||m n m n m n ⋅<>==⋅u r ru r r u r r ，由图知二面角M AD C --为锐二面角， 故二面角M AD C --的余弦值为31． 19.解：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==，因为51()()(3)(1)000316iii x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，====所以相关系数()()niix x y y r --=∑0.95==≈，因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）记商家周总利润为Y 元，由条件可知至少需要安装1台，最多安装3台光照控制仪． ①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元； ②安装2台光照控制仪的情形：当70X >时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润300010002000Y =-=元， 当3070X <≤时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润230006000Y =⨯=元， 故Y 的分布列为：所以()10000.250000.790000.14600E Y =⨯+⨯+⨯=元．综上可知，为使商家周利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．20.解：（1）设点(,)M x y ，由2MQ AQ =u u u u r u u u r，得(,2)A x y ，由于点A 在圆C ：224x y +=上，则2244x y +=，即点M 的轨迹E 的方程为2214x y +=． （2）由（1）知，E 的方程为2214x y +=， 因为E 与y 轴的正半轴的交点为B ，所以(0,1)B ， 所以故B 且斜率为k 的直线l 的方程为1y kx =+（0k ≠）．由221,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(14)80k x kx ++=，设11(,)B x y ，22(,)P x y ，因此10x =，22814kx k=-+，12|||BP x x =-=由于圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设在y 轴左侧的椭圆上有两个不同的公共点P ，T ，满足||||BP BP =，此时直线BP 斜率0k >， 设直线BT 的斜率为1k ，且10k >，1k k ≠，则||BT ==21014k -=+，即221(14(14k k +=+所以222222111()(18)0k k k k k k -++-=， 由于12k k ≠，因此222211180k k k k ++-=，故22122111198188(81)k k k k +==+--． 因为20k >，所以21810k ->，因此22119188(81)8k k =+>-，又因为0k >，所以k > 又因为1k k ≠，所以2222180k k k k ++-≠，所以428210k k --≠，又因为0k >，解得2k ≠，所以)422k ∈+∞U ，综上所述，k 的取值范围为222222(,)(,)(,)(,)-∞---+∞U U U ．21.解：（1）由()()0xxf x e ae a x =--≥，可得()0xg x ae a x =--≥， 因为(0)0g =，所以()(0)g x g ≥， 从而0x =是()g x 的一个极小值点，由于'()1xg x ae =-，所以'(0)10g a =-=，即1a =． 当1a =时，()1xg x e x =--，'()1xg x e =-，∵(,0)x ∈-∞时，'()0g x <，()g x 在(,0)-∞上单调递减，(0,)x ∈+∞时，'()0g x >，()g x 在(0,)+∞上单调递增；∴()(0)0g x g ≥=，故1a =． （2）当1a =时，2()xx x f x ee xe =--，'()(22)x xf x e e x =--．令()22xh x e x =--，则'()21xh x e =-，∵(,ln 2)x ∈-∞-时，'()0h x <，()h x 在(,ln 2)-∞-上为减函数；(ln 2,)x ∈-+∞时，'()0h x >，()h x 在(ln 2,)-+∞上为增函数，由于(1)0h -<，(2)0h ->，所以在(2,1)--上存在0x x =满足0()0h x =， ∵()h x 在(,ln 2)-∞-上为减函数，∴0(,)x x ∈-∞时，()0h x >，即'()0f x >，()f x 在0(,)x -∞上为增函数， 0(,ln 2)x x ∈-时，()0h x <，即'()0f x <，()f x 在0(,ln 2)x -上为减函数， (ln 2,0)x ∈-时，()0h x <，即'()0f x <，()f x 在(ln 2,0)-上为减函数， (0,)x ∈+∞时，()0h x >，即'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上为增函数，因此()f x 在(ln 2,)-+∞上只有一个极小值点0，综上可知，()f x 存在唯一的极大值点0x ，且0(2,1)x ∈--．∵0()0h x =，∴00220x e x --=， 所以0002220000000222()()()(1)224x x x x x x x f x e e x e x +++=--=-+=-，0(2,1)x ∈--， ∵(2,1)x ∈--时，22144x x +-<，∴01()4f x <； ∵1ln(2,1)2e ∈--，∴021ln 21()(ln )224f x f e e e≥=+； 综上知：02ln 211()244f x e e +≤<． 22.解：（1）∵倾斜角为α的直线过点(2,4)M --，∴直线l 的参数方程是2cos ,4sin x t y t αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 是参数），∵曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=，∴曲线C 的直角坐标方程是：22y x =．（2）把直线的参数方程代入22y x =，得22sin (2cos 8sin )200t t ααα-++=， ∴1222cos 8sin sin t t ααα++=，12220sin t t α=， 根据直线参数方程的几何意义 12220||||||40sin MA MB t t α===，故4πα=或34πα=， 又∵22(2cos 8sin )80sin 0ααα∆=+->，∴34πα=． 23.解：（1）当5m =时，52,1,()3,11,52, 1.x x f x x x x +<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩由()2f x >得不等式的解集为33|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． （2）由二次函数2223(1)2y x x x =++=++，该函数在1x =-取得最小值2，因为2,1,()2,11,2,1,m x x f x m x m x x +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩在1x =-处取得最大值2m -，所以要使二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点， 只需22m -≥，即4m ≥．。

雅礼中学高三第二次月考试卷数学（理科）命题人： 审题人：得分：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{}220A=x x x -<，(){}1B y y lg x ==-，则A B =U （ ）A ．()0,+∞B ．()12,C ．()2,+∞D ．()0,-∞ （2）设x 、y 是两个实数，则“x 、y 中至少有一个数大于1”是“222x y +>”成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 （3）已知直线m 、n 和平面α,β满足m n,m α,αβ⊥⊥⊥，则（ ）A ．n β⊥B ．n α∥C ．n βn β⊂∥或D ．n αn α⊂∥或（4）ABC 中，点D 在AB 上，满足2AD DB =u u u r u u u r，若CB α=u u u r ，CA b =u u u r ，则CD =u u u r （ ）A ．1233a b +B ．2133a b +C ．3455a b +D ．4355a b + （5）设()2a lg e,b lg e ,c lg e ===，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>（6）现有四个函数：y x sin x =，y xcos x =，y x cos x =，2xy x =⋅的图像（部分）如下，但顺序打乱了，则按照从左到右将图像对应序号排列正确的组是（ ）A ．B ．C ．D ． （7）数列{}n a 满足：()12321112*n n n a ,a ,a ,a a a n N++==-=-=-∈，则数列{}na 的前2019项的和（ ）A ．1B ．2-C ．0D ．32-（8）若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是（ ）A．1122,⎡⎤-+⎣⎦ B ．122122,⎡⎤-+⎣⎦ C ．1223,⎡⎤-⎣⎦ D ．123,⎡⎤-⎣⎦（9）若()0a ,π∈，()sin x,x af x cos x,x a >⎧=⎨≤⎩，的图像关于点()0a,对称，则()2f a =（ ）A ．1-B ．12-C ．0D ．3-（10）已知圆O 的半径为2，A 、B 是圆上两点，且23πAOB ∠=，MN 是一条直径，点C 在园内且满足()()101OC λOA λOB λ=+-<<u u u r u u u r u u u r，则CM CN ⋅u u u u r u u u r 的最小值为（ ）A ．3-B ．3-C ．0D ．2 （11）正三棱锥S ABC -的外接球半径为2，底边长AB =3，则此棱锥的体积为（ ）A ．934 B ．933344或 C ．2734D ．273344或 （12）已知函数()x a f x x e -=+， ()()24a x g x ln x e -=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使得()()003f x g x -=成立（ ）A ．21ln --B ．21ln -C ．2ln -D ．2ln第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）~（21）题为必考题，每个试题考试必须作答．第（22）~（23）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（13）已知实数x 、y 、z 满足102400x y x y x -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为 ．（14）三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为 ．（15）等差数列{}n a 的公差0d ≠，3a 是2a ，5a 的等比中项，已知数列1224n k k k a ,a ,a ,a ,,a ,L L 为等比数列，数列{}n k 的前n 项和记为n T ，则29n T += ．（16）三次函数()32f x x mx nx p =+++有三个零点a ，b ，c ，且满足()()12f f -=<0，()1f =()40f >，则111a b c++的取值范围是 ． 三、解答题：共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）如图所示，扇形AOB 中，圆心角∠AOB =4π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P .(1)若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的长；(2)设∠COP =θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值。

2018届⾼三第⼆次⽉考数学试卷（理）含答案⾼三第⼆次⽉考数学试题（理）⼀、选择题：（本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀个符合题⽬要求）1.若M={x|﹣2≤x ≤2}，N={x|y=log 2（x ﹣1）}，则M ∩N=（） A ．{x|﹣2≤x ＜0} B ．{x|﹣1＜x ＜0}C ．{﹣2，0}D ．{x|1＜x ≤2}2.复数()ii z 22-= (i 为虚数单位)，则|z |等于( )A ．25 B.41 C ．5 D. 53.设φ∈R，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R)为偶函数”的( )A ．充分⽽不必要条件B ．必要⽽不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.设x ，y ∈R，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．105．设函数f (x )＝x 2＋4x ＋6，x ≤0－x ＋6，x >0，则不等式f (x )( )A ．(－3，－1)∪(3，＋∞)B ．(－3，－1)∪(2，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－1,3)6.已知定义在R 上的奇函数f (x )满⾜f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25) < f (11) < f (80)B ．f (80) < f (11)C ．f (11)< f (80)D ．f (－25) < f (80)＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则dx x f ?-21)(的值等于 ( )A.56B.12C.23D.16 8．函数y ＝ln(1－x )的⼤致图像为( )第1页（共4页）9.若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为( ) A ．－210B.210 C.3210 D.721010.△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的⾼等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋39411．函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（） A ．2B ．4C ．6D ．812．若直线y=kx +b 是曲线y =ln x +2的切线，也是曲线y =ln （x +1）的切线，则b =（）A ．1 B.21 C. 1-ln2 D. 1-2ln2⼆、填空题：（本⼤题共4⼩题，每⼩题5分）13.已知命题p ：“任意x ∈[0,1]，a ≥e x”；命题q ：“存在x ∈R，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．14.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所⽰，△KLM 为等腰直⾓三⾓形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________．15.在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝4，点P 在AM 上，且满⾜AP →＝3PM →，则PA →·(PB →＋PC →)的值为___________.16.在△ABC 中，D 为边BC 上⼀点，BD=12DC ，∠ADB=120°，AD=2，若ADC ?S =3，则∠BAC=_______.三、解答题：（解答应写出⽂字说明，证明过程和演算步骤）17. （本⼩题满分12分）已知向量a ＝(4,5cos α)，b ＝(3，－4tan α)，α∈(0，π2)，a ⊥b ，求：(1)|a ＋b |；(2)cos(α＋π4)的值．18．（本⼩题满分12分）已知函数f (x )＝(3sin ωx ＋cos ωx )cos ωx －12(ω＞0)的最⼩正周期为4π..(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 满⾜(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．19. （本⼩题满分12分）已知△ABC 的内⾓为A 、B 、C ，其对边分别为a 、b 、c ，B 为锐⾓，向量＝(2sin B ，－3)，＝(cos 2B,2cos 2B2－1)，且∥.(1)求⾓B 的⼤⼩；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最⼤值．20．（本⼩题满分12分）(1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最⼤值，并求出它的最⼤值；(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和．第3页（共4页）21．（本⼩题满分12分）已知函数f (x )＝mx －m x，g (x )＝3ln x ． (1)当m ＝4时，求曲线f (x )＝mx －m x在点(2，f (2))处的切线⽅程；(2)若x ∈(1, e ](e 是⾃然对数的底数)时，不等式f (x )－g (x )＜3恒成⽴，求实数m 的取值范围．(选考题：共10分。