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概率论与数理统计51切比雪夫不等式和大数定律课件

概率论与数理统计51切比雪夫不等式和大数定律课件
概率论与数理统计51切比雪夫不 等式和大数定律课件
目录
• 切比雪夫不等式 • 大数定律 • 切比雪夫不等式与大数定律的联系 • 案例分析 • 习题与解答
01
切比夫不等式
Chapter
切比雪夫不等式简介
01
切比雪夫不等式是概率论中的一个基本不等式，它提供了在一定条件下，一个随 机变量的概率分布的上界和下界。
注意事项
使用切比雪夫不等式时，应注意其适用条件，特 别是随机变量的方差必须存在。
大数定律
要点一
总结词
大数定律描述了当试验次数趋于无穷时，随机事件的相对 频率趋于其概率的规律。
要点二
详细描述
大数定律表明，当试验次数n趋于无穷时，随机事件的相 对频率将以概率收敛于该事件的概率。具体来说，对于任 意小的正数ε，有$lim_{n to infty} P(| frac{X_n}{n} - p| < varepsilon) = 1$，其中$X_n$是n次试验中事件A发生的 次数，p是事件A的概率。
切比雪夫不等式的限制
虽然切比雪夫不等式在许多情况下都 很有用，但它也有一些限制。例如， 当随机变量的分布不是对称的或者偏 斜度较大时，切比雪夫不等式的估计 可能会不准确。
VS
因此，在使用切比雪夫不等式时，需 要考虑到这些限制，并根据具体情况 进行适当的调整和修正。
02
大数定律
Chapter
大数定律的定义
大数定律
定义
大数定律是指在独立同分布随机变量 序列中，当样本量趋于无穷大时，样 本均值的概率分布趋近于真实均值。
应用
大数定律在统计学中有着重要的应用 ，例如在样本均值的分布、置信区间 估计和假设检验等领域。
切比雪夫不等式与大数定律的联系

切比雪夫不等式与大数定律ppt课件

切比雪夫不等式与大数定律ppt课件

的期望的偏差不小于 的概率的估计式 .
如取 = 3
P{| X E(X ) | 3} 2 0.111 9 2
可见，对任给的分布，只要期望和方差 2存在，
则 r.v X取值偏离E(X)超过 3 的概率小于0.111 .
大数定律的客观背景
大量随机试验中
事件发生的频率稳定于某一常数 测量值的算术平均值具有稳定性
依概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛 弱些，它具有某种不确定性.
定理2的另一种叙述形式
设随机变量X1，X 2 , , X n , 相互独立，且具
有相同的数学期望和方差：E( X k ) = m, D( X k ) = 2
(k = 1, 2,
)，则序列X
=
1 n
n k =1
X k依概率收敛于m，即
一个常数.若对于任意正数，有
lim
n
P{|
Yn
a
|
}
=
1
则称序列Y1,Y2, Yn , 依概率收敛于a.记为
Yn P a.
请注意 :
X n依概率收敛于a，意味着对任意给定的 0，
当n充分大时，事件 X n X 的概率很大，接近于1； 并不排除事件 X n X 的发生，而只是说他发生的
可能性很小.
n
P{|
1 n
n i =1
Xi
m
|
} = 1
E(Xk ) D(Xk )
=m =2
E( X ) = m lim
n
P{|
1 n
n i =1
Xi
m
|
}
=1
k
大数定律以严格的数学形式表达了随机现
象最根本的性质之一：

§5.1 切比雪夫不等式

§5.1 切比雪夫不等式
第五章 大数定律与中心极限定理
§5.1 切比雪夫不等式 §5.2 大数定律 §5.3 中心极限定理
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学 科, 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复 试验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机现象中去寻求 必然的法则，应该研究大量随机现象.
研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导 致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中 最重要的有两种: 大数定律 与 中心极限定理
EX np 900 0.5 450, DX 225.
所求概率为:
P{400 X 500} 2
1
225 502
1 0.09
0.91.
|
}
2 2
.
等价形式为：P{|
X
|
}
1
2 2
.（切比雪夫不等式）
证明: 设X的概率密度为f ( x)，则有
P{| X | }
f ( x)dx
x
(x )2
x
2
f ( x)dx
( x )2
2
f ( x)dx
1
2
(x
)2
f
( x)dx
2 2
.
说明：在随机变量X的分布未知的情况下，切比雪夫不
等式给出了估计事件 {| X | } 的概率的一种方法。
2. 切比雪夫不等式的应用
例1 假设一批种子的良种率为 1/6 ,从中任意选出600 粒,试用切比雪夫不等式估计：这600粒种子中良种所占 比例与1/6之差的绝对值不超过0.02的概率.
解
设
X 表示600粒种子中的良种数, 则 X ~ EX 600 1 =100, DX 600 1 5 = 500 .

切比雪夫不等式-PPT文档资料

切比雪夫不等式-PPT文档资料

泊松分布的期望 都和 等方 于差 参 . 数
4. 均匀分布
设X~U(a,b),其概率密度为
p(x)b1a, axb,
0,
其 它 .
则有
E(X) x(px)dx
b 1 xdx aba
11(aa b).. 22
E (X 2)[E (X )2]
E (X2)E2(X).
4. 方差的性质
(1) 设 C 是常数, 则有 D(C)0. 证明 D (C )E (C 2) [E (C )2] C2C20. (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有
D (C)X C 2D (X ). 证明 D(CX) E {C [ X E (C)X 2]}
2(X),即 D(X) 2(X) E{[XE(X)]2}.
称 D(X)为标准差或均,记 方为 差σ(X).
2. 方差的意义
方差描述了随机变量X取值对于数学 期望的分散程度.如果D(X)值大, 表示X 取 值分散程度大, E(X)的代表性差;而如果 D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中,以 E(X)作为随机变量的代表性好.
k
则有
0p1.
EX k n 0kk npk(1p)nknp
E (X 2 ) E [X (X 1 ) X ]
E [X (X 1 ) ] E (X )
n
k(k1)Cn kpk(1p)nknp
k0
nk(k1)n!pk(1p)nknp k0k!(nk)!
1. 两点分布
已知随机变量 X 的分布律为
X1 0 p p 1p
则有 E (X ) 1 p 0 q pp, D (X ) E (X 2 ) [E (X )2] 12p02(1p)p2 pq

5大数定律与中心极限定理 课件(共31张PPT)- 《概率论与数理统计(第2版)》同步教学(人民邮电

5大数定律与中心极限定理 课件(共31张PPT)- 《概率论与数理统计(第2版)》同步教学(人民邮电

三、大数定律
第5章 大数定律及中心极限定理 12
定理4（独立同散布大数定律）
设随机变量序列X1, X2, , Xn, 独立同分布，若E Xi ，D Xi = 2 ，
i 1, 2, 。则对任意 0，有
lim P n
1 n
n i 1
Xi
1.
这里随机变量序列X1, X2, , Xn , 独立同分布指随机变量序列相互独立， 且序列中随机变量的分布类型及参数均相同。
例2 设X ~ N (, 2，) 用切比雪夫不等式估计概率P( X 3 ) 。
解
因为 =3 ，由切比雪夫不等式得
P X EX DX 2
P
X
3
D(X )
3 2
=
1 9
一、切比雪夫不等式
第5章 大数定律及中心极限定理 7
例3
设随机变量 X 的方差 D X 0，求证，X 服从参数为 c 的退化散布。
n
n i 1
X
2 i
P 1 n
n i 1
E
X
2 i
E
X
2 i
D Xi
E2
Xi
三、大数定律
第5章 大数定律及中心极限定理 17
例4续
01 当Xi B(m, p)时，E Xi =mp, E
X
2 i
=mp 1 p m2 p2, 有
OPTION
X P mp,
1 n
n i 1
X
2 i
P mp 1
p
m2 p2
02 OPTION
当X i
E 时，E
Xi
=
1
,
E
X
2 i
=
2

切比雪夫不等式及大数定律 PPT课件

切比雪夫不等式及大数定律 PPT课件

P{20 X 100 20} P{| X 100 | 20}
10 1 202 0.975
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
例2 在每次试验中事件A发生的概率为0.5 .试用切比
雪夫不等式估计在1000次独立的试验中,事件A发生的 的次数在450至550次之间的概率.
1
2
(x
)2
f
( x)dx
2 2
.
证毕.
例1 已知随机变量 X 的数学期望为 E( X ) 100 , 方差为 D( x) 10 2 ,试估计 X 落在( 80 , 120 )内的概率.
解: 由切比雪夫不等式有: P{80 X 120} P{80 100 X 100 120 100}
由切比雪夫不等式 ，对任意 0,
有：
0
P{|
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E( Xi ) |
}
1 1 n
C
2
D( n
i 1
Xi)
n 2
.
从而：lim n
P{|
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E(Xi
)
|
0}
0
证毕 .
推论： 设相互独立的随机变量 X1, X2L , Xn,L 服从相同
即在进行精密测量时，为减少测量误差，可以重复 测量多次，然后用测量值的平均值来代替实际的真值. 当测量次数充分大时，这一平均值与其真值差的绝对 值大于任一小的正数几乎是不可能的,这样就保证了测 量的精度.
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
的分布，且 E( Xi ) , D( Xi ) 2, i 1, 2L ,

5-1切比雪夫不等式


4n(n 1)(2n 1) 2 2(2n 1) 2 2 2 3n(n 1) 6n (n 1)
从而对任意给定的 0，由切比谢夫不等式得
D( Yn ) 0 P{| Yn | } 2
2(2n 1) 2 0 2 3n(n 1)
(n )
因此Yn .
P
四、小结
伯努利大数定理 四个大数定理 泊松大数定理 辛钦定理
契比雪夫大数定理
频率的稳定性是概率定义的客观基础, 而伯 努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳 定性.
第 五 章
大 数 定 律 和 中 心 极 限 定 理
概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相 同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出 来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然 的法则，应该研究大量随机现象.
研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限定理进行研究. 极 限定理的内容很广泛，其中最重要的有两 种: 大数定律 与 中心极限定理
1 n 则 对 于 任 意 正 数, 有 limP X k 0. n n k 1
关于辛钦定理的说明: (1) 与定理5.1相比, 不要求方差存在; (2) 贝努利定理是辛钦定理的特殊情况.
例如要估计某地区的平均亩产量，要 收割某些有代表性的地块，例如n 块. 计 算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它 作为整个地区平均亩产量的一个估计.
即在定理条件下, n个随机变量的算术平均, 当n 无限增加时, 几乎变成一个常数.
定理5.2（贝努利大数定理）
伯努利
设 A 是 n 次 独 立 重 复 试 验 中 事 件发 生 A 的 次 数 p 是 事 件 A 在 每 次 试 验 中 发 生 的 率, , 概 则 对 于 任 意 正 数 0, 有 A A l i mP p 0 或 l i mP p 1. n n n n

§5.1 切比雪夫不等式

7
例5.2 设r.v.Ｘ和Ｙ的数学期望都是2，方 差分别为1和4，而相关系数为0.5，利用切比雪 夫不等式给出概率 P X Y 6 的下界估计．
解 若记 Z X Y , 则 EZ 0, 而
DZ D( X Y ) DX DY 2Cov( X , Y )
6
●切比雪夫不等式在概率估计方面起重要
作用．给出了概率 P X EX 的最小上
界和 P X EX 的最大下界估计．
例5.1 设r.v.Ｘ的方差为2，利用切比雪夫 不等式给出概率 P X EX 2 的上界估计．
DX 2 1 解 P X EX 2 2 2 . 2 2 2
DX DY 2 XY DX DY 3,
于是，由切比雪夫不等式得
P X Y 6 P Z EZ 6 DZ 3 11 1 2 1 . 6 36 12
8
例5.3 设电站供电网有10000盏电灯，夜 晚每一盏灯开灯概率都是0.6，而假定各盏灯 开、关彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数 在5800至6200之间的概率．
9
第 5章
大数定律与中心极限定理
1
随机现象是本门课程的研究对象，本门课 程的任务是研究随机现象的统计规律，而统计 规律是在大数次重复试验中呈现出来的． 作为概率论中最重要同时也最精彩的极限 定理就是揭示各种统计规律． 大数定律和中心极限定理是统计规律的两 种重要的表现形式，是概率论极限定理中的重
要内容，在概率论和数理统计的理论研究和实
际应用中都具有重要的意义．
2
§5.1 切比4)
3
定理5.1 若r.v.Ｘ的期望 EX 和方差 DX 都存在，则对任意的 0, 有

大数定律中心极限定理51切比雪夫不等式引理1设随机变量X的数学

D(X)均存在，则对于任意实数 > 0，有下述
不等式成立
P(|
X

E( X ) |
)

D( X )
2
或
P(|
X

E(X
)
|

)

1

D(

X
2
)
切比雪夫不等式示意图
F(x)
D(X)/2
E(X)
E(X) E(X) + x
例1 已知E(X)=100, D(X)=30，试估计随机 变量X 落在(70,130)内的概率。
本章要解决的问题
1. 为何能以某事件发生的频率
作为该事件的 概率的估计？
2. 为何能以样本均值作为总体 期望的估计？
3. 为何正态分布在概率论中占
有极其重要的地位？
4. 大样本统计推断的理论基础 是什么？
大数 定律
中心极 限定理
§5.1 切比雪夫不等式
引理1 设随机变量X的数学期望E(X)与方差
解: P{70<X<130} =P{|X100|<30}
由切比雪夫不等式可得
P{|
X
100
|
30} 1
30 302
0.967
契比雪夫不等式给出了在随机变量X的
分布未知的情况下，事件{ | X |< } 或 { | X |≥ }的概率的一种估计方法
§5.2 大数定律
大量抛掷硬币 正面出现频率
P


nA n

p


P

1 n
n k 1
Xk

E(Xk )

切比雪夫求积公式ppt课件

证明 必要性.
设 P(x) Hn , 则 P(x)n1(x) H2n1,
（5.5）
8
因此，如果 x0 , x1,, xn 是高斯点，则求积公式(5.1)对于
f (x) P(x)精确n1成(x立) ，
即有
b
n
a P( x)n1( x) ( x)dx Ak P( xk )n1( xk ).
切比雪夫多项式的零点，即为
xk
cos
2k 1 2n 2
π
(k 0,1,,n)
(5.12)的系数
Ak
使π 用, 时将
n 1
个节n 点1公式改为
n
个节点，于是高斯-切比雪夫求积公式写成
1 f (x)
πn
1 1 x2 dx n k1 f (xk ),
xk
cos
(2k 1) 2n
π
（5.13）
22n3[(n 1)!]4 (2n 3)[(2n 2)!]3
f (2n2) ( )
当 n 时1，有
(1,1).
（5.10）
R1[ f
] 1 135
f
(4) ( ).
它比区间 [1上,1]辛普森公式的余项
R1[ f
] 1 90
f
(4) ( )
还小，且比辛普森公式少算一个函数值.
当积分区间不是 [，1而,1]是一般的区间 时[a，, b]
4.5.1 一般理论
求积公式
b
n
f (x)dx
a
Ak f ( xk )
k 0
含有 2n 个2待定参数 xk , Ak (k 0,1,, n).
当 为x等k 距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少
为 次n.
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16
(2) 切比雪夫不等式也从另一角度体现了方差D(X)
的意义。从切比雪夫不等式可以看出，随机变量
X的方差越小，则X的取值越集中在其中心E(X)的
附近。方差越小，X取值越集中在区间(E(X)-ε,
E(X)+ε)之内。
(3)可以证明方差性质
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3
例一台设备由10个独立工作的元件组成,每一元件 在时间T发生故障的概率为0.05．设在时间T发生 故障的元件数为X.试用切比雪夫不等式估计随机 变量X与其数学期望的偏差（若不对称？） （a）小于2；(b)不小于2的概率． 解 （a）由题意知X~b(10, 0.05)，且
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7
• 解：设 表 示 六 颗 骰 子 出 现 的 点 数 总 和。
i，表 示 第 i 颗 骰 子 出 现 的 点 数 ，
i = 1，2，…，6 1， 2， … ，6
相互独立，显然
6
i
i1
Ei
1 1 2 3 4 5 6
6
7 2
Di
1 6
12
22
62
49 35 4 12
方差D(X)=2, 则对任意的正数，有
P{|X
|
}
2 2
P{|
X
|
}
1
2 2
--------切比雪夫(chebyshev)不等式．
证明:（X为连续型） 设X的概率密度为f(x)，则
P{| X - | } f ( x)dx
(x )2
f ( x)dx
| x |
|x| 2
1 2
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5
• 解：设表示1000次独立试验中事件A发生 的次数，则 E(X ) 500, D(X ) 250
P{450 X 550} P{| X 500 | 50}
P{|
X
E(
X
)
|
50}
1
D( X 502
)
1
250 2500
0.9
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6
• 例 随机地掷六颗骰子 ，试利用切比雪夫 不等式估计：六颗骰子出现的点数总和 不小于9且不超过33点的概率。
5.2.4切比雪夫不等式
• 数学期望E(X)反映了随机变量X的平 均值，而方差D(X)刻画了随机变量X的 取值对数学期望E(X)的离散程度。
• 在已知E(X) 、D(X)的情况下，可以利 用切比雪夫不等式近似估计随机变量的 概率分布。
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1
切比雪夫不等式
定理 设随机变量X的数学期望E(X)= ,
E(X)=0.5 D(X)=0.475
由切比雪夫不等式，得 P{| X - 0.5 | 2} 0.88125
(b) P{| X - 0.5 | 2} 0.11875
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4
• 例 在每次试验中，事件A发生的概率为 0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000 次独立试验中，事件A发生的次数在450 至550次之间的概率.
(x )2
f ( x)dx 优选文档
D(X)
2
2 2
2
意义：切比雪夫不等式P{|X Nhomakorabea|
}1
2 2
(1)这个不等式给出了在随机变量X的分布未知的情
况下事件 |x-μ|<ε的概率的一种估计方法。例如
:
P{| X | 3 } 1 1 0.8889 ;
P{| X | 4 } 1 19 0.9375 .
E 21 D 35
2
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8