切比雪夫定理不等式45页PPT

概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学第45讲切比雪夫不等式1第五章大数定律及中心极限定理四川大学第45讲切比雪夫不等式3第五章大数定律及中心极限定理§0切比雪夫不等式§1 大数定律§2中心极限定理四川大学第45讲切比雪夫不等式4§5.0 切比雪夫不等式四川大学第45讲切比雪夫不等式5第45讲切比雪夫不等式四川大学牟尼沟四川大学第45讲切比雪夫不等式6切比雪夫(1821~1894)ЧебышёвChebyshev俄罗斯数学家、力学家。

他一生发表了70多篇科学论文，内容涉及数论、概率论、函数逼近论、积分学等方面。

他证明了贝尔特兰公式，自然数列中素数分布的定理，大数定律的一般公式以及中心极限定理。

四川大学第45讲切比雪夫不等式15例子四川大学第45讲切比雪夫不等式16-四川大学第45讲切比雪夫不等式24例5 证明方差的性质4 ( 教材103页(第41讲) )：设()0{()}1D X P XE X =⇔==证充分性（教材103页）{()}1P X E X ==则22[()]{}1P X E X ==2()X 2]E X=⨯2[()]E X =22()()[()]D X E X E X =-0=四川大学四川大学四川大学第45讲切比雪夫不等式26例6 设某电网有10000盏电灯，夜间每一盏灯开灯的概率都是0.7。

假设电灯开、关时间彼此独立，试估计夜晚同时开着的电灯数在6800与7200盏之间的概率。

解用X 表示在夜晚开着的电灯的盏数，则X 服从参数n =10000, p =0.7的二项分布。

(k =0, 1, …, n ){}P X k =(1)kk n k n C p p -=-{68007200}P X <<100007199100006801(0.7)(0.3)k k k k C -==∑计算量太大。

下面用切比雪夫不等式估计概率四川大学四川大学四川大学第45讲切比雪夫不等式28例7 一机床加工长为50cm 的零件，由于随机扰动，零件长度有一定误差。

第五章大数定律及中心极限定理§0 切比雪夫不等式§1大数定律§2中心极限定理§5.0切比雪夫不等式定理（切比雪夫不等式）设随机变量X 的数学期望E (X )和方差D (X )都 存在，则对任意ε > 0，都有百度传课 我们知道，随机变量X 的方差D (X )描述的是X 的取值偏离其均值E (X )的程度。

下面这个定理给出了方差与均值满足的一个 不等式。

四川大学 徐小湛证（连续型）设X的概率密度为f(x)百度传课证（离散型）设X的分布律为p k =P{X =xk}(k =1,2,..)切比雪夫不等式的意义：在随机变量X的分布未知，而只知道X的均值和方差（或已知分布但很复杂）的情况下，切比雪夫不等式给出了概率的一个估计范围。

切比雪夫不等式可用于以下情形：在已知E(X), D(X)的情况下(1)对给定的ε> 0，估计|X-E(X)| ≥ε的概率。

(2)对给定的概率p ，确定所需的区间长度，即确定满足不等式的ε。

百度传课 、 。

切比雪夫 (1821~1894) ЧебышёвChe bys hev 俄罗斯数学家、力学家。

他一生发表了70多篇科学论 文，内容涉及数论、概率论 函数逼近论、积分学等方面 他证明了贝尔特兰公式，自 然数列中素数分布的定理， 大数定律的一般公式以及中 心极限定理。

例子解例 若随机变量X 服从参数为 2 的泊松分布， 用切比雪夫不等式估计，P {|X -2|≥4}≤1 8 。

42 16 8P { X -2 ≥ 4} = P { X - E (X ) ≥ 4} ≤ D (X ) = 2 = 1课 例 设某电网有10000盏电灯，夜间每一盏灯 开灯的概率都是0.7。

假设电灯开、关时间彼 此独立，试估计夜晚同时开着的电灯数在6800 与7200盏之间的概率。

10000 7199 k C (0.7)k (0.3)10000-kk =6801 = ∑ 计算量太大。